精品解析：黑龙江哈尔滨市虹桥中学校虹桥中学2026-2027学年上学年假期作业反馈（数学）

虹桥中学2026-2027（上）初四学年假期作业反馈（数学） 2026-9 一、选择题（每题3分，共计30分） 1. 下列关于x的方程是一元二次方程的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2进行分析即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，故此选项正确； B、含两个未知数，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程，故此选项错误； C、不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项错误； D、未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故此选项错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的判断，解题的关键是掌握一元二次方程的定义． 2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 6，8，10 C. 8，12，15 D. 9，15，17 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形，逐一判定即可． 【详解】A、 ，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意； B、，符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意； C、，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意； D、，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 3. 已知一次函数，随的增大而增大，则的值可能是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵一次函数中，随的增大而增大， ∴， 所有选项中只有． 4. 直线沿轴向下平移2个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：将直线沿轴向下平移2个单位长度，得，即． 5. 在平面直角坐标系中，一次函数y=2x﹣3的图象不经过（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的性质可知一次函数y=2x﹣3的图象经过哪几个象限，不经过哪个象限，从而可以解答本题． 【详解】∵2>0， ∴y随x的增大而增大； ∵-3<0， ∴图像与y轴的负半轴相交， ∴该函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于y=kx+b（k为常数，k≠0），当k＞0，b＞0，y=kx+b的图象在一、二、三象限；当k＞0，b＜0，y=kx+b的图象在一、三、四象限；当k＜0，b＞0，y=kx+b的图象在一、二、四象限；当k＜0，b＜0，y=kx+b的图象在二、三、四象限． 6. 若直角三角形的两条直角边的长分别为、，则斜边上的高为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据勾股定理可求出斜边．然后由于同一三角形面积一定，可列方程直接解答． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边分别为5cm，12cm， ∴斜边＝cm， 设斜边上的高为h，则直角三角形的面积＝ ∴h＝ 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用及直角三角形的面积的求法，属中学阶段常见的题目，需同学们认真掌握． 7. 小虹同学按如下步骤作四边形：①画，②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点B，D，③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C，④连接，，．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据作图得出，证明四边形为菱形，根据菱形的性质得出，平分，根据平行线的性质得出，最后得出答案即可． 【详解】解：根据作图可得：， ∴四边形为菱形， ∴，平分， ∴， ∴． 8. 如图，四边形中，，，，连接，，，则的长为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接AC，根据勾股定理得到AC＝，由三角形的中位线的性质定理即可得到结论． 【详解】解：连接AC， ∵∠ADC＝90°，AD＝3，CD＝1， ∴AC＝， ∵AE＝BE，BF＝CF， ∴EF＝AC＝， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形中位线定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 9. 某校组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了15场比赛，则这次参加比赛的球队个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用单循环赛制总场数与球队个数的等量关系，设未知数列方程求解． 【详解】解：设参加比赛的球队个数为个．由题意得 ， 整理得 ， 解得，（不符合题意，舍去）． 10. 如图，在中，点D、E、F分别在边上，连接，若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质对每个选项进行判断即可． 【详解】解：、， ∴，故选项A正确； 、∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，故选项B正确； 、∵， ∴， ∵与的大小关系不能确定， ∴，故选项C错误； 、∵， ∴， ∴，故选项D正确， 故选：C 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，正确应用平行线分线段成比例定理是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共计30分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】x≠-3 【解析】 【详解】解：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须x+3≠0， ∴x≠-3． 故答案为：x≠-3． 12. 计算：________________． 【答案】## 【解析】 【分析】先将两个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解：． 13. 已知一元二次方程的一个根为3，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】把代入方程可得关于n的方程，然后解n的方程即可． 【详解】解：把代入方程得， 解得． 故答案为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 14. 如图，数轴上点A所表示的实数是________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查数轴与无理数，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．利用勾股定理计算出长度，即长度，进而计算长度，则题目可求． 【详解】解：如图，由勾股定理得：， 则， ， ∴点A所表示的实数是． 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过两点，若，则___________．（填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的增减性解答即可． 【详解】解：中， 函数值y随x的增大而减小， ， ， 故答案为：． 16. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是__________. 【答案】k＞－且k≠0 【解析】 【详解】由题意知，k≠0，方程有两个不相等的实数根， 所以△＞0，△=b2-4ac=（2k+1）2-4k2=4k+1＞0． 又∵方程是一元二次方程，∴k≠0， ∴k＞-1/4 且k≠0． 17. 如图所示，一次函数（，是常数，且）与正比例函数（是常数，且）的图象相交于点，根据图象可知，不等式的解集为_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：观察函数图象可得，当时，函数在的上方， 的解集为． 18. 如图，在中，，，则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质等知识．根据，证明，，进而证明，即可求出，从而求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4 19. 已知，在菱形中，，在上取点P，连接，，则的度数为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意画出图形，然后根据垂直平分线的性质以及菱形的性质：对角线互相垂直平分，对角线平分对角进行分情况讨论即可． 【详解】解：在菱形中，， ∴互相垂直平分，， ∴， 当点P在上时： ∵互相垂直平分， ∴， ∴， ∴； 当点P在上时： 同理： ∴； 综上：的度数为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键，注意分类讨论． 20. 如图，先有一张矩形纸片点分别在矩形的边上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接．下列结论： ②四边形是菱形； ③重合时，； ④的面积的取值范围是 其中正确的是_____（把正确结论的序号都填上）． 【答案】②③ 【解析】 【分析】先判断出四边形是平行四边形，再根据翻折的性质可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出②正确；假设得，进而得，这个不一定成立，判断①错误；点与点重合时，设，表示出，利用勾股定理列出方程求解得的值，进而用勾股定理求得，判断出③正确；当过点时，求得四边形的最小面积，进而得的最小值，当与重合时，的值最大，求得最大值便可． 【详解】如图1， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形，故②正确； 若，则 ，这个不一定成立， 故①错误； 点与点重合时，如图2， 设则 在 即 解得 , , ， , 故③正确； 当过点时，如图3， 此时，最短，四边形的面积最小，则最小为， 当点与点重合时，最长，四边形的面积最大，则最大为， ， 故④错误． 故答案为②③． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了折叠问题与菱形的判定与性质、勾股定理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理和性质定理、勾股定理是解本题的关键． 三、解答题（21题7分；22、23、24题每各6分；25题5分；26题10分，共40分） 21. 先化简，再求代数式的值． ，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， ， ∴原式． 22. 如图1、图2均为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，分别在给定的网格中按下列要求作图．（只用无刻度的直尺，保留必要的作图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．） （1）在图1中，作以为边的，使； （2）在图2中，画出（1）的中线． （3）直接写出（2）的长． 【答案】（1）如图1所示，为所求作： （2）如图2所示，为所求作： （3） 【解析】 【分析】（1）取格点E，连接、，利用勾股定理求得三边长，结合勾股定理逆定理可证明为等腰直角三角形； （2）如图2，取格点、，连接，交于点，连接即为所求，根据网格可得四边形为矩形，根据矩形的对角线互相平分，即可得到为的中点； （3）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【小问1详解】 解：如图1所示，，， ∴， ∴为等腰直角三角形，且， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（1）（2）可知，是直角斜边上的中线，， ∴． 23. 虹桥中学评选“劳动小能手”，随机调查了部分学生的周末家务劳动时间，根据调查结果，将劳动时长划分为，，，四个组别，并绘制成了不完整统计图表． 学生周末家务劳动时长分组表 组别 （小时） 请根据图表中的信息解答下列问题： （1）这次抽样调查共抽取_________名学生，条形统计图中的_________， （2）组所在扇形的圆心角的度数是_________； （3）已知该校有名学生，根据调查结果，请你估计该校周末家务劳动时长不低于小时的学生共有多少人？ 【答案】（1）， （2） （3）估计该校周末家务劳动时长不低于小时的学生共有人 【解析】 【分析】（1）由条形统计图可知，组共有人，由扇形统计图可知，组的人数占抽查总人数的，用除以它所对应的百分比即可求出抽查的总人数；用总人数乘以组人数所占的百分比，即可求出的值； （2）用乘以组所对应的百分比，即可求出扇形对应的圆心角度数； （3）利用样本百分比代表总体百分比即可估计出该校周末家务劳动时长不低于小时的学生人数． 【小问1详解】 解：由条形统计图可知，组共有人，由扇形统计图可知，组的人数占抽查总人数的， 这次抽样调查共抽取了名学生， 组的人数为； 【小问2详解】 解：组所在扇形的圆心角的度数是； 【小问3详解】 解：估计该校有名学生，周末家务劳动时长不低于小时的学生共有人． 24. 四边形是正方形，点E是射线上一点，，且交正方形外角的平分线于F． （1）如图（1）若点E是边的中点，求证：； （2）如图（2）若点E在的延长线上，且，的面积等于2，则线段_________． 【答案】（1）证明：取的中点，连接， ， 点E是边的中点， ， 四边形是正方形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ∵与正方形外角的平分线交于点． ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， 在和中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）在上取一点，使，连接，证明即可． （2）过点F作于点H，在上截取，连接，证明，利用勾股定理，三角形的面积解答即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：如图，过点F作于点H，在上截取，连接， ∵与正方形外角的平分线交于点． ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， ∵与正方形外角的平分线交于点． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 四边形是正方形， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ， ， 根据勾股定理，得，， ， ， ， ， ， 的面积等于2， ， ， ， ，， ， ． 25. 等腰直角三角形是初中几何常见图形，在平面直角坐标系下，利用其构造全等解决问题是常用的解题方法． （1）如图1，在平面直角坐标系中，等腰，度，，点的坐标为，点的坐标为，求直线解析式． （2）如图2，在平面直角坐标系中，直线函数关系式为，点，在直线上是否存在点使直线与直线的夹角为度？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，点的坐标为或，理由如下： 如图，设点，点是符合要求的两个点，即， 设， 过点作直线平行轴，过点作直线平行轴，两直线相交于点，再过作于点， 则， ， ，， ，， ， 又， ， ，， ，， ，， ，， ，即， 点在直线上， ， 解得， 点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）过点作轴于点，根据题意可得，，证明得到，，可求出，设直线的解析式为，利用待定系数法，即可求解； （2）画出符合题意的示意图，设点，点是符合要求的两个点，即，设，过点作直线平行轴，过点作直线平行轴，两直线相交于点，再过作于点，由点、的坐标表示线段和，证明得到，，继而得到点的坐标，最后将点代入直线上即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作轴于点， 则， 点的坐标为，点的坐标为， ，， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 设直线的解析式为，将，代入得 ， 解得， 直线的解析式为； 【小问2详解】 略 26. 已知四边形中，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，，垂足为点H，点E为上一点，连接、，，求证：； （3）在（2）的条件下，如图3，点Q为上一点，连接，点M为的中点，分别连接、，，，，，求的面积． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）证明：由（1）知四边形是平行四边形， ∴， 如图2，设，，则， ∵， ∴， ∴ 在中，， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据两直线平行内错角相等，利用可证明，然后根据对边平行且相等的四边形为平行四边形得到四边形是平行四边形，即可证得结论； （2）设，，根据题意表示出和，结合三角形内角和定理可求得即可由等角对等边证得结论； （3）延长交延长线于点，连接，先证明，结合，，从而得到垂直平分，可推出，由等边对等角，利用三角形内角和定理得到，从而证得为等边三角形；延长到使，连接，利用等边三角形的性质和平行线的性质证明，进而证得，接着设，，利用30度直角三角形的性质和勾股定理，在中建立方程求得的值，从而得到的长度，最后作于，求得的长度即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，延长交延长线于点，连接， ∵，点M为的中点， ∴，， ∵， ∴ ∴， 由（1）可知，四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由（2）可知， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， 延长到使，连接、， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴不妨设，， 作于，则， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 在中，，即， 解得（负值舍去）， ∴， ∴， 作于，则， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 虹桥中学2026-2027（上）初四学年假期作业反馈（数学） 2026-9 一、选择题（每题3分，共计30分） 1. 下列关于x的方程是一元二次方程的是( ) A. B. C. D. 2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 6，8，10 C. 8，12，15 D. 9，15，17 3. 已知一次函数，随的增大而增大，则的值可能是（ ） A. 2 B. C. D. 4. 直线沿轴向下平移2个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，一次函数y=2x﹣3的图象不经过（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 若直角三角形的两条直角边的长分别为、，则斜边上的高为( ) A. B. C. D. 7. 小虹同学按如下步骤作四边形：①画，②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点B，D，③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C，④连接，，．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形中，，，，连接，，，则的长为( ) A. B. C. D. 9. 某校组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了15场比赛，则这次参加比赛的球队个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 10. 如图，在中，点D、E、F分别在边上，连接，若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共计30分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是_____． 12. 计算：________________． 13. 已知一元二次方程的一个根为3，则的值为_________． 14. 如图，数轴上点A所表示的实数是________ 15. 在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过两点，若，则___________．（填“>”“<”或“=”） 16. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是__________. 17. 如图所示，一次函数（，是常数，且）与正比例函数（是常数，且）的图象相交于点，根据图象可知，不等式的解集为_________． 18. 如图，在中，，，则_____． 19. 已知，在菱形中，，在上取点P，连接，，则的度数为_________． 20. 如图，先有一张矩形纸片点分别在矩形的边上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接．下列结论： ②四边形是菱形； ③重合时，； ④的面积的取值范围是 其中正确的是_____（把正确结论的序号都填上）． 三、解答题（21题7分；22、23、24题每各6分；25题5分；26题10分，共40分） 21. 先化简，再求代数式的值． ，其中． 22. 如图1、图2均为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，分别在给定的网格中按下列要求作图．（只用无刻度的直尺，保留必要的作图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．） （1）在图1中，作以为边的，使； （2）在图2中，画出（1）的中线． （3）直接写出（2）的长． 23. 虹桥中学评选“劳动小能手”，随机调查了部分学生的周末家务劳动时间，根据调查结果，将劳动时长划分为，，，四个组别，并绘制成了不完整统计图表． 学生周末家务劳动时长分组表 组别 （小时） 请根据图表中的信息解答下列问题： （1）这次抽样调查共抽取_________名学生，条形统计图中的_________， （2）组所在扇形的圆心角的度数是_________； （3）已知该校有名学生，根据调查结果，请你估计该校周末家务劳动时长不低于小时的学生共有多少人？ 24. 四边形是正方形，点E是射线上一点，，且交正方形外角的平分线于F． （1）如图（1）若点E是边的中点，求证：； （2）如图（2）若点E在的延长线上，且，的面积等于2，则线段_________． 25. 等腰直角三角形是初中几何常见图形，在平面直角坐标系下，利用其构造全等解决问题是常用的解题方法． （1）如图1，在平面直角坐标系中，等腰，度，，点的坐标为，点的坐标为，求直线解析式． （2）如图2，在平面直角坐标系中，直线函数关系式为，点，在直线上是否存在点使直线与直线的夹角为度？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 26. 已知四边形中，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，，垂足为点H，点E为上一点，连接、，，求证：； （3）在（2）的条件下，如图3，点Q为上一点，连接，点M为的中点，分别连接、，，，，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $