安徽省华师联盟2027届高三9月份开学质量检测数学试题

高三9月开学质量检测 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5 mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．某小区有4个出入门，如果甲同学从其中的任意一个门进入小区，并要求从其他的门出去，那么甲同学进出小区的方式共有 A．4种 B．9种 C．12种 D．16种 2．经过点且与直线平行的直线方程为 A． B． C． D． 3．已知随机变量服从正态分布且，则 A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 4．若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 5．已知，，若圆上存在点满足，则实数的最小值为 A．3 B．4 C．5 D．6 6．已知是抛物线的焦点，，线段的垂直平分线与抛物线的交点坐标为 A．或 B． C． D． 7．已知等差数列的前项和为，，，若，则 A．14 B．15 C．16 D．17 8．已知函数，若，使得函数在上恒成立，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是 A．一组数据的线性回归方程为，若，则 B．若随机变量满足，则 C．若随机变量的方差，则 D．若随机变量，则 10．已知数列的前项和，则 A． B． C．令，为数列的前项和，则 D． 11．如图，平面，，，，，则下列说法正确的是 A． B．直线与直线夹角的余弦值为 C．平面 D．平面与平面的夹角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若的展开式中的系数为6，则的最小值为__________． 13．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线交双曲线右支于，两点，若为正三角形，则双曲线的离心率__________． 14．已知数列共有6项，，，，，，，，数列的前项和为，若对恒成立，则这样的数列的个数为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15．（本小题满分13分） 设公差不为0的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 16．（本小题满分15分） 某电商平台开展“用户满意度调研”，设置了一道关于售后服务的单选题． 题目：你对本店铺售后服务整体评价为 A．非常满意 B．比较满意 C．不太满意 D．很不满意 平台规定：只有选择A或B，才视为“满意”；选择C或D，则视为“不满意”． 甲、乙两家店铺的顾客都参与了调研，为了解顾客对售后服务的真实满意度，平台分别随机抽取了两家店铺各100名顾客的作答数据，其中甲店顾客选择“满意”（A或B）的人数为80人，乙店顾客选择“满意”（A或B）的人数为75人．假设顾客作答相互独立，用样本估计总体，以频率估计概率． （1）从甲、乙两家店铺的所有顾客中随机抽取1名顾客，抽到的顾客来自于哪家店铺是等可能的，求该顾客选择“不满意”（C或D）的概率； （2）从甲、乙两家店铺的所有顾客中各随机抽取2名，设为这4名顾客中选择“满意”（A或B）的人数，求的分布列和数学期望． 17．（本小题满分15分） 如图所示，在四棱锥中，，，，． （1）证明：平面平面； （2）若，，二面角的平面角为． （ⅰ）求平面与平面的夹角的正弦值； （ⅱ）设点为四棱锥外接球面上的一点，求点到平面距离的最大值，并求此时点的坐标． 18．（本小题满分17分） 已知函数． （1）求函数的单调区间和极值； （2）若，且，证明：． 19．（本小题满分17分） 已知是圆：上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）设直线是过原点的一条动直线，直线与圆交于，两点，，直线，与曲线的交点分别为点，． （ⅰ）是否存在直线，使得四边形为平行四边形？使得四边形为梯形？ 若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由． （ⅱ）求面积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三9月开学质量检测·数学 参考答案及评分细则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B B D A D A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 ACD BCD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．2（5分，其他结果均不得分） 13．（5分，其他结果均不得分） 14．36（5分，其他结果均不得分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15．【答案】（1） （2） 【试题解析】（1）设等差数列的首项为，公差为， 则得， 4分 则，； 5分 （2）， 的前项和 8分 ． 13分 16．【答案】（1）（2）的分布列见解析， 【试题解析】（1）记事件“抽取1名顾客来自于甲店铺”，事件“抽取1名顾客来自于乙店铺”，事件“顾客选择满意”， 1分 根据题意可知，， ，，， 3分 则； 5分 （2）设事件“甲店铺的顾客选择‘满意’（A或B）”， 事件“乙店铺的顾客选择‘满意’（A或B）”， 由题意可知，，，则，． 6分 的可能取值为0，1，2，3，4， 7分 ， 8分 ， 9分 ， 11分 ， 12分 ， 13分 所以的分布列为： 则． 15分 17．【答案】（1）详见解析（2）（ⅰ）（ⅱ）， 【试题解析】（1）如图（1）所示，连接，取的中点为，因为，所以，又因为，所以，所以B，O，D三点共线， 即，所以； 2分 又因为，为中点，所以，，平面，，所以平面，又因为平面，所以平面平面； 4分 （2）因为，，则即为二面角的平面角，即． 因为，，为中点，所以，又因为，在中，由余弦定理得：，所以，即，因为，所以． 5分 因为，，，所以， 又因为，则． 又因为，，，所以，即． 记过点且与平面垂直的直线为轴，因为平面平面，所以轴在平面内．再以，为，轴建立空间直角坐标系，如图（2）所示． 则，，，，，． 6分 的一个法向量为，，， 由，令，则，则； 8分 设平面的一个法向量为，，， 由，令，则，，则． 9分 设平面与平面的夹角为，则， 则，即平面与平面的夹角的正弦值为； 10分 （ii）由上分析可知，，所以点为四棱锥外接球的球心，且外接球半径为2． 11分 因为，平面的一个法向量为， 则点到平面的距离， 所以点到平面距离的最大值为：，并且此时平面． 12分 设，所以有，且，则有①，②， 令，即，，， 代入①得：，即，所以或． 所以或． 13分 当时，， 此时点到平面的距离为：，所以不符合题意，舍； 14分 当，， 此时点到平面的距离为：，所以符合题意， 所以点的坐标为． 15分 18．【答案】（1）单调递增区间为：，；单调递减区间为：，极小值为，无极大值 （2）详见解析 【试题解析】（1）函数的定义域为，且， 1分 则， 3分 令，得，当或时，；当时，， 5分 所以函数的单调递增区间为：，；单调递减区间为：， 6分 当时，函数取极小值，且极小值为，无极大值； 7分 （2）当时，；当时，；当时，，再由其单调性和极值，作出函数的大致图象如图所示： 若，且， 则，，． 8分 因为，则，又因为，且函数在上单调递增，所以，则，则，又因为函数在上单调递减，所以，即； 10分 要证：，又因为，即证：． 由得：，两边同时取对数得：， 即， 即，即证：，即证：， 13分 即证：，令，因为，所以，即证：． 14分 令， 则，所以在上单调递增， 15分 又因为，所以，所以成立； 16分 因为且，所以． 17分 19．【答案】（1） （2）（ⅰ）不存在直线，使得四边形为平行四边形；当直线方程为时，四边形为梯形 （ⅱ） 【试题解析】（1）设，其中，则， 1分 因为点在圆上，所以， 2分 所以曲线的方程为：． 4分 （2）（ⅰ）设直线的方程为：，与曲线的方程为：联立， 得：， 设，，则有，， 6分 因为点在圆上，且是圆的直径，所以，即， 所以，即， 因为，，所以， 即， 7分 所以， 化简整理得：，解得或（舍）， 8分 所以直线的方程为：，即直线恒过定点，即直线与相交于点，而不是线段的中点，即与不可能互相平分，所以四边形不可能为平行四边形，即不存在直线使得四边形为平行四边形； 10分 若四边形是梯形，则有或． 当时，因为，所以，即，，又因为点为线段的中点，所以点为线段的中点．设，因为，所以，因为点在曲线上，点在圆上，则有， 解得（舍）或，即或， 所以或，所以直线的方程为：或； 11分 同理，时，求得直线的方程也为或． 即直线的方程为或时，四边形为梯形； 12分 （ⅱ） ， 14分 令，则，则， 15分 令在上单调递增，所以当时，即时，取最小值，取最大值，且最大值为． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $