精品解析：安徽省阜阳第一中学2025届高三第一次模拟考试数学试题

阜阳一中2025届第一次模拟考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 体育王老师记录了名同学各次投篮的命中次数，记录如下表 命中次数 命中人数 则这名同学投篮数据中（ ） A. 众数为 B. 中位数为 C. 中位数为 D. 平均数为 2. 在中，是延长线上一点，是的中点.若，，则（ ） A. B. C. D. 3. 把函数图象上所有点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变），再将所得曲线上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），最后把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 4. 点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A，B处的两条切线所围成的三角形（P为两切线的交点）叫做“阿基米德三角形”．抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，具有以下性质： ①P点必在抛物线的准线上； ②； ③． 已知直线与抛物线交于A，B点，若，则抛物线的“阿基米德三角形” 的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 设函数，其中，，若存在，使得成立，则实数的值是 A. B. C. D. 7. 等差数列的前n项和为，公差为，，，当取最小值时，n的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 108 8. 已知离散型随机变量X的分布列如下表，其中满足，则的最大值为（ ） X 0 1 2 P a b c A. B. C. 1 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，，为复数，且，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，圆柱的底面半径和高均为1，线段是圆柱下底面的直径，点是下底面的圆心.线段是圆柱的一条母线，且.已知平面经过，，三点，将平面截这个圆柱所得到的较小部分称为“马蹄体”.记平面与圆柱侧面的交线为曲线.则（ ） A. 曲线是椭圆的一部分 B. 曲线是抛物线的一部分 C. 二面角的大小为 D. 马蹄体的体积为满足 11. 已知，是圆O：上两点，则下列结论正确的是（ ） A. 若点O到直线的距离为，则 B. 若的面积为，则 C. 若，则点O到直线的距离为 D. 的最大值为，最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线的右焦点为，过的直线与双曲线的渐近线交于两点，且与其中一条渐近线垂直，若，则此双曲线的离心率为____________. 13. 已知函数（，），若，，且在区间上单调，则________． 14. 若数列为首项为3，公比为2的等比数列，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点. （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成角的正切值； （3）求点到平面的距离. 16. 在等边△ABC中，，点Q为AC的中点，BQ交AM于点N． （1）证明：点N为BQ的中点； （2）若，求的面积． 17. 已知椭圆，过点，离心率为，过点的直线交椭圆于两点，若直线的斜率都存在且分别为， （1）求椭圆的方程 （2）求的值 18. 某运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是和，其中. （1）甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大； （2）若甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为，求的值； （3）在（2）的条件下，设进入决赛的人数为，求的分布列. 19. 一般地，若函数的定义域是，值域为，则称为的“倍跟随区间”，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”. （1）写出二次函数的一个“跟随区间”； （2）求证：函数不存在“跟随区间”； （3）已知函数有“4倍跟随区间”，当取得最大值时，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阜阳一中2025届第一次模拟考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 体育王老师记录了名同学各次投篮的命中次数，记录如下表 命中次数 命中人数 则这名同学投篮数据中（ ） A. 众数为 B. 中位数为 C. 中位数为 D. 平均数为 【答案】D 【解析】 【分析】根据表格数据计算得到众数、中位数和平均数即可判断出结果. 【详解】对于A，名同学中，命中次的人数最多，则众数为，A错误； 对于BC，数据由低到高排序，第和第位同学的命中次数均为次，则中位数为，BC错误； 对于D，平均数为，D正确. 故选：D. 2. 在中，是延长线上一点，是的中点.若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合图形，利用平面向量的线性运算即可得解. 【详解】因为中，是的中点，， 所以， 则，又， 所以，所以. 故选：A. 3. 把函数图象上所有点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变），再将所得曲线上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），最后把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将的图象向右平移个单位，再将曲线上所有点的横坐标变为原来的2倍，然后图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍，从而可求出的解析式. 【详解】因为把函数图象上所有点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变），再将所得曲线上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），最后把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象， 所以将的图象向右平移个单位，得，再将曲线上所有点的横坐标变为原来的2倍，得，然后图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍，得， 所以 ， 故选：A 4. 点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先确定点线距离最小时点的性质，再由导数的几何意义求点坐标，最后应用点线距离公式求最小距离即可. 【详解】由题意，当为平行于并与曲线相切直线的切点时，距离最近. 令得：，故切点为， 所有到直线的距离的最小值为. 故选：D 5. 我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A，B处的两条切线所围成的三角形（P为两切线的交点）叫做“阿基米德三角形”．抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，具有以下性质： ①P点必在抛物线的准线上； ②； ③． 已知直线与抛物线交于A，B点，若，则抛物线的“阿基米德三角形” 的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件求出直线PF方程，进而求出点P坐标及长即可求出的面积. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，直线经过抛物线的焦点， 依题意，，设，， 由消去y并整理得，则，， ，解得，即， 当时，因为“阿基米德三角形”，则直线PF斜率，直线PF方程为：， 点P必在抛物线的准线上，点，， 又，于是得， 由对称性可知，当时，同理有， 所以的面积是. 故选：A 6. 设函数，其中，，若存在，使得成立，则实数的值是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把函数看作是动点与动点之间距离的平方，利用导数求出曲线上与直线平行的切线的切点，得到曲线上点到直线距离的最小值，结合题意可得只有切点到直线距离的平方等于，然后由两直线斜率的关系列式求得实数的值． 【详解】函数可以看作是动点与动点之间距离的平方， 动点在函数的图象上，在直线的图象上， 问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离， 由得，，解得， 曲线上点到直线的距离最小，最小距离， 则，根据题意，要使，则，此时恰好为垂足， 由，解得．故选． 【点睛】本题考查利用导数求曲线上在某点切线的斜率，利用转化与化归思想，把求函数的最小值转化为两点间距离平方的最小值，同时考查数形结合思想的灵活运用． 7. 等差数列的前n项和为，公差为，，，当取最小值时，n的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 108 【答案】B 【解析】 【分析】 根据等差数列的性质和裂项求和方法，求出数列通项，进而求出前项和公式，再根据对勾函数单调性，求出最小值. 【详解】由等差数列的公差为，可得，即， 根据裂项公式可知， 则， 由，代入可得，因为，解得或（舍）； 所以等差数列的首项为3，公差为，则， 则， 设函数，根据对勾函数可知， 在上单调递减，在上单调递增，在处取得最小值； 因为，当时，， 当时，， 可知，所以当时取最小值. 故选：B. 8. 已知离散型随机变量X的分布列如下表，其中满足，则的最大值为（ ） X 0 1 2 P a b c A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分布列的性质得，再利用期望、方差的性质列式求解即得. 【详解】依题意，，解得，则， ， 而，则当时，. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，，为复数，且，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】由得，即可判断A；由得，举例说明即可判断B；由得，举例说明即可判断C；由得，即可判断D. 【详解】A：由，得， ∵，∴，∴，故A正确； B：由，得，∴，例如， 而，，即，故B错误； C：由，得， 当时，，此时，故C错误； D：因为，令(), ∴，则，故D正确. 故选：AD. 10. 如图，圆柱的底面半径和高均为1，线段是圆柱下底面的直径，点是下底面的圆心.线段是圆柱的一条母线，且.已知平面经过，，三点，将平面截这个圆柱所得到的较小部分称为“马蹄体”.记平面与圆柱侧面的交线为曲线.则（ ） A. 曲线是椭圆的一部分 B. 曲线是抛物线的一部分 C. 二面角的大小为 D. 马蹄体的体积为满足 【答案】ACD 【解析】 【分析】将相同的圆柱按如图方式拼接在一起，将两个球放入圆柱内，通过切线相等即可判断A、B选项；由二面角的定义即可判断C选项；马蹄体的体积为小于圆柱体的即可判断D选项. 【详解】 将相同的圆柱按如图方式拼接在一起，将两个球放入圆柱内，使每一个球既与圆柱相切，又与曲线C所在平面相切，球与曲线C的切点为，取曲线C上一点，过点的圆柱母线与两球交于两点，由于同是下面球的切线，同是上面球的切线，可得，，则，由椭圆定义知：曲线是椭圆的一部分，A正确；B错误； 连接，由，，知面，故，则为二面角的平面角，又，则，C正确； 由补成的几何体知马蹄体的体积为小于圆柱体的，即为， 又，所以，所以，D正确. 故选：ACD. 11. 已知，是圆O：上两点，则下列结论正确的是（ ） A. 若点O到直线的距离为，则 B. 若的面积为，则 C. 若，则点O到直线的距离为 D. 的最大值为，最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用弦长公式判定选项A正确；先利用三角形的面积公式求出，再结合角的范围判定选项B错误；利用数量积的计算公式求出，进而判定三角形的形状判定选项C正确；设，，且，利用辅助角公式和三角函数的性质判定选项D错误. 【详解】对于A：易知圆：的半径， 因为点O到直线的距离， 所以， 即选项A正确； 对于B：因为的面积为， 所以， 即，解得， 因为， 所以或， 即选项B错误； 对于C：因为，所以， 即，即， 因为，所以， 即是边长为1的等边三角形， 所以点O到直线的距离为， 即选项C正确； 对于D：由题意设，，且， 则 因为，所以， 则，， ， 所以， 即， 即选项D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线的右焦点为，过的直线与双曲线的渐近线交于两点，且与其中一条渐近线垂直，若，则此双曲线的离心率为____________. 【答案】 【解析】 【分析】双曲线的右焦点，设一条渐近线（为坐标原点）的方程为，则另一条渐近线的方程为，设，由已知构建等式关系表示B点坐标，再由已知垂直关系其直线斜率乘积为-1构建齐次方程，进而求得离心率. 【详解】由题意得右焦点，设一条渐近线（为坐标原点）的方程为，则另一条渐近线的方程为，设， ∵， ∴， ∴，解得， ∴， 由题意知，则，化简可得，即， 解得，即. 【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质，涉及离心率的求解，意在考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算，属于中档题. 13. 已知函数（，），若，，且在区间上单调，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数在区间 内的单调得出周期，进而求得，通过极值点和零点条件建立关于 和 的方程，结合 的范围筛选合理解，验证单调性即可得出结果. 【详解】设函数 的周期为 ，由， ， 结合正弦函数图象的特征可知， ， . 故 . 又因为 在区间上单调，所以， ，故 ， 所以 . 由 ，得 ，即且， 所以，当 时， ， ，或，舍. 当 时， ， ， ，符合条件. 所以 ， . 故答案为：. 14. 若数列为首项为3，公比为2的等比数列，则__________． 【答案】381 【解析】 【分析】根据等比数列的前项和公式计算求解即可. 【详解】根据等比数列的前项和公式得， 所以. 故答案为：381. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点. （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成角的正切值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正方体性质和线面垂直判定定理证明即可得出结论； （2）作出异面直线所成角的平面角，在中由正切函数定义即可求得结果； （3）由点到平面的距离与点到平面的距离相等，利用等体积法计算即可求得结果. 【小问1详解】 由正方体性质可知平面， 而平面，所以，即 由四边形为正方形，可得； 又，平面， 所以平面； 【小问2详解】 易知， 所以异面直线与所成的角即为直线与所成的角， 在中，易知，且， 因此， 即异面直线与所成角的正切值为； 【小问3详解】 易知点到平面的距离与点到平面的距离相等， 易知三棱锥中，且； 所以， 设点到平面的距离为， 由可得， 解得； 即点到平面的距离为. 16. 在等边△ABC中，，点Q为AC的中点，BQ交AM于点N． （1）证明：点N为BQ的中点； （2）若，求的面积． 【答案】（1）设， 点为的中点，， ． 三点共线，， ，点为的中点． （2）． 【解析】 【分析】（1）设，由平面向量的线性运算结合向量共线的推论求得，即可求证； （2）由平面向量的共线定理，向量的数量积的运算性质，结合三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由（1）知，． 设， 三点共线，， ，， ，，， ， ，． 17. 已知椭圆，过点，离心率为，过点的直线交椭圆于两点，若直线的斜率都存在且分别为， （1）求椭圆的方程 （2）求的值 【答案】（1） （2）-4 【解析】 【分析】（1）由椭圆离心率和椭圆上的点，求出，可得椭圆的方程； （2）直线与椭圆联立方程组，设，，表示出，利用韦达定理化简求得的值. 【小问1详解】 因为椭圆的离心率为，所以， 又椭圆过点，则， 又，解得，， 所以椭圆C的方程：． 【小问2详解】 过点的直线交椭圆于两点， 当直线斜率不存在时，有，， ，， ； 当直线斜率存在时，设直线方程为，设，， 由，消去得， 有， . 综上可得. 18. 某运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是和，其中. （1）甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大； （2）若甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为，求的值； （3）在（2）的条件下，设进入决赛的人数为，求的分布列. 【答案】（1）甲 （2） （3）分布列答案见解析 【解析】 【分析】（1）计算出甲、乙、丙分别进入决赛的概率，比较大小后可得出结论； （2）根据独立事件的概率乘法公式与互斥事件的概率公式可得出关于的方程，结合的取值范围可求得的值； （3）分析可知随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列. 【小问1详解】 解：甲进入决赛的概率为，乙进入决赛的概率为， 由已知可得，解得， 丙进入决赛的概率为， 所以，甲进入决赛的可能性最大. 【小问2详解】 解：甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为， 整理可得，因为，解得. 【小问3详解】 解：由题意可知，甲、乙、丙进入决赛的概率分别为、、， 由题意可知，随机变量的可能取值有、、、， ，，， ， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 19. 一般地，若函数的定义域是，值域为，则称为的“倍跟随区间”，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”. （1）写出二次函数的一个“跟随区间”； （2）求证：函数不存在“跟随区间”； （3）已知函数有“4倍跟随区间”，当取得最大值时，求的值. 【答案】（1） （2）证明：，设， 可设或， 因为在和上单调递增， 若是函数的“跟随区间”， 则，则是的两个不等且同号的实根， 又，所以无实数根， 所以函数不存在“跟随区间”； （3） 【解析】 【分析】（1）求得值域，可得，进而可得有两个非负根，求解即可； （2）假设，利用单调性可得，进而可得是的两个不等且同号的实根，判断方程有无解即可； （3）函数有“4倍跟随区间”，则可得是方程的两个不等且同号的实根，计算求解即可. 【小问1详解】 因为，所以值域为，所以“跟随区间”， 又在上单调递增，所以， 从而有两个非负根，解得或， 所以二次函数的一个“跟随区间”为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 的定义域为， 因为函数有“4倍跟随区间”， 则，所以或， 所以在上单调递增， 因为函数有“4倍跟随区间”， 则有，所以是方程的两个不等且同号的实根， 即有两个不等且同号的实根， 所以，得 ，， 所以 ， 当且仅当时，取得最大值. 当时符合的条件， 所以取得最大值时，的值为. 【点睛】方法点睛：对于新定义问题的求解策略：紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；本题根据函数的单调性合理转换是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $