25.3 实际问题与一元二次方程（第2课时）—— 几何图形面积 同步练习· 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，以三阶分层设计实现从单一面积问题到动态几何综合应用的知识巩固，培养数学模型意识与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|矩形、直角三角形等单一图形面积问题|聚焦核心公式应用，如矩形修路、铁皮折盒等情境，强化方程建立与根的检验| |能力提升|含限制条件的综合问题（墙长、动态点）|结合函数关系与几何直观，如篱笆围花圃、点移动面积变化，发展运算能力| |拓展探究|分类讨论与阅读材料应用|通过双动点运动、自定义花园设计，培养创新意识与问题解决能力|

25.3 实际问题与一元二次方程（第2课时） 分层同步练习·反思性作业单 （自习课｜家庭作业 专用） 完成场景 □自习课独立完成 □家庭自主完成 预估用时：________分钟 完成状态 □完全独立 □少量翻书 □略有卡点 教学环节 内容要点与习题 一、自习前置速忆 （30秒唤醒） 1. 本节课核心知识点： ①面积问题关键是用含未知数的代数式表示出相应的边长，再根据面积公式列方程。 ②边框/甬道问题常用平移法，把剩余部分拼成一个新矩形。 ③解后必须检验边长为正、符合图形实际。 2. 与本节课相关的旧知识：矩形、三角形、圆的面积公式，勾股定理，平移思想。 3. 预习时遇到的疑问：修路、挖渠问题中，道路宽度如何从总长中扣除？为什么用平移法？。 4. 本节课最大陷阱（必考易错）： ①边框问题中长宽都减两个边宽时只减了一个。 ②列方程后不检验，出现负根或不符合实际的根。 二、基础随堂自检 （当堂清零） 【自我卡点标记】不确定题号：________ 1. 矩形长为x，宽为x-2，面积为24，列方程为____。 2. 长30m宽20m的矩形，中间修宽xm的十字路，剩余面积为____。 3. 直角三角形两直角边为x、x+1，斜边为5，则x=____。 4. 正方形边长增加2后面积为36，原边长为____。 5. 矩形周长20，长为x，则宽为____，面积为____。 6. 菱形一条对角线长6，另一条为x，面积为12，则x=____。 三、分层自主作业 （分层落实） ━━━━━ ★ 基础巩固（全员必做） ━━━━━ 1. 在长80m、宽60m的矩形场地上修两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余草坪面积为4500m²，设路宽x m，列方程正确的是（　）A.(80-x)(60-x)=4500　B.80×60-80x-60x=4500　C.(80-2x)(60-2x)=4500　D.80x+60x=4500 2. 一块矩形铁皮长是宽的2倍，四角各截去边长5cm的小正方形，折成无盖盒子容积1500cm³，求铁皮宽。 3. 用长24m的篱笆围成一边靠墙的矩形养鸡场，面积为64m²，求鸡场长和宽。 4. 在一幅长8dm、宽6dm的矩形风景画四周镶宽度相同的金边，使风景画面积占整幅挂图面积的1/2，求金边宽。 5. 一个直角三角形的两条直角边的和是14cm，面积是24cm²，求两条直角边的长。 6. 有一张矩形纸片，长10cm宽8cm，在它的四角各剪去一个同样的正方形，将四周折起做成底面积为48cm²的无盖长方体盒子，求剪去的正方形边长。 7. 某中学矩形操场长120m宽80m，现要扩建，使长和宽都增加xm，使面积增加1600m²，求x。 8. 等腰三角形的底边长8cm，腰长5cm，求它的面积。 9. 用一根长40cm的铁丝围成一个斜边为17cm的直角三角形，求两条直角边的长。 10. 矩形花圃一面靠墙，另三面用栏杆围成，已知栏杆总长35m，花圃面积150m²，墙足够长，求花圃长和宽。 11. 在长为32m、宽为20m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（两条纵向一条横向），把耕地分成六块大小相等的试验田，要使试验田总面积为570m²，求道路宽。 12. 一个矩形的两条边长是方程x²-7x+12=0的两根，求这个矩形的对角线长。 ━━━━━ ★★ 能力提升（自主选做） ━━━━━ 1. 如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃。设花圃的宽AB为x m，面积为S m²。(1)求S与x的函数关系式；(2)如果要围成面积为45m²的花圃，AB的长是多少？ 解： 2. 要在宽为28m的海堤公路路边安装路灯，路灯灯臂长3m，且与灯柱成120°角，路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯臂垂直。当灯罩轴线正好通过路面中心线时，灯柱高应为多少？（提示：构造直角三角形，路宽的一半为14m） 3. 某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2:1。在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其他三侧内墙各保留1m宽的通道。当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m²？ 解： 4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm。点P由A出发沿AC向C匀速移动，点Q同时由B出发沿BC向C匀速移动，它们的速度都是1cm/s。(1)经过几秒，△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半？(2)此时PQ的距离是多少？ 5. 一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙脚6m。如果梯子的顶端沿墙下滑1m，那么梯子的底端将滑动多少米？（精确到0.1m） ━━━━━ ★★★ 拓展探究（学优挑战） ━━━━━ 1. 如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm。点P从A点开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向C以2cm/s的速度移动。(1)如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒，△PBQ的面积等于8cm²？(2)如果P、Q分别从A、B同时出发，点P到B后又继续沿BC边移动，点Q到C后停止移动，那么经过几秒后，△PBQ的面积等于1cm²？ 解： 2. 某公园管理处要在一块长24m、宽12m的矩形土地上修建矩形花坛，四周铺出宽度相等的草坪，使花坛面积占整个矩形土地面积的5/9，求草坪宽度。 解： 3. 阅读材料：通常情况下，通过平移道路可把分散的地块拼成整块。请利用这一方法解决：在宽20m、长32m的矩形地面上修同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分种草坪，要使草坪面积为540m²，求道路宽。 解： 四、自习后置复盘 （2-3分钟） 复盘项目 我的记录 改进措施 本节课最大收获 做错/不会的题 需要请教的问题 五、学以致用 （可选·素养） 1. 某校准备在图书馆二楼大厅（长8m、宽6m）铺设一块面积为24m²的矩形地毯，要求地毯四周未铺地毯的地面宽度相同，求这个宽度。 解： 2. 某小区要在一块长30m、宽20m的矩形空地上建造一个矩形健身区，使四周留出宽度相同的走道，且健身区面积是空地面积的一半，求走道宽度。 解： 3. 在一块长为16m、宽为12m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半。请你设计一种方案（画出草图并计算）。 解： 六、自主学习评价 学生自评：□基础扎实 □做题稳定 □规避陷阱 □思维有提升 教师等级：□A □B □C □D 教师评语： ________________________________ ________________________________ 25.3 实际问题与一元二次方程（第2课时）参考答案 一、自习前置速忆 平移拼矩形→表示边长→面积公式列方程→检验正根。 二、基础随堂自检 1.x(x-2)=24　2.(30-x)(20-x)　3.3　4.4　5.10-x，x(10-x)　6.4 三、分层自主作业 ★ 基础巩固 1.A　2.宽10cm　3.长16m宽4m　4.宽1dm　5.6cm、8cm　6.2cm　7.x=10　8.12cm²　9.8cm、15cm　10.长15m宽10m　11.道路宽1m　12.5 ★★ 能力提升 1.(1)S=-3x²+24x；(2)AB=5m　2.约16.2m　3.长28m宽14m　4.(1)2秒；(2)2√5cm　5.约0.8m ★★★ 拓展探究 1.(1)2秒或4秒；(2),4}}秒　2.2m　3.2m 五、学以致用 1.1m　2.约4.4m　3.如四周留2m宽，中间花园长12m宽8m 学科网（北京）股份有限公司 $