25.3.1 实际问题与一元二次方程(1)——面积问题 课堂练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学同步练，聚焦“实际问题与一元二次方程（面积问题）”，通过三级分层设计，实现从概念理解到综合应用的渐进式巩固，培养模型意识与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |复习旧知|长方形面积公式、列方程步骤|基础概念回顾，激活已有经验| |学习新知|单一矩形面积、简单截补问题|情境逐步复杂，强化方程建模| |过关检测|基础训练（通道宽度）、能力训练（“之”字路）、拓展训练（体积关联）|梯度进阶，融合空间观念与运算能力|

25.3.1 实际问题与一元二次方程 课时1 面积问题(1) 复习旧知 长方形的面积________又________. 列方程解应用题步骤：①审；②设；③列；④解；⑤验；⑥答. 学习新知 1.一个长方形的面积为，长是宽的2倍，设长方形的宽为，根据题意，可列方程为________. 2.如图，，________，________. 3.如图，从一块长8m、宽6m的长方形中间截去一个小长方形，使剩下的长方形框四周的宽度一样，且小长方形的面积为，求长方形框的宽度. 4.有一幅长20cm、宽16cm的照片，现要为这幅照片配一个四条边宽度相同的相框，且相框边所占面积为照片面积的二分之一，求相框边的宽度. 5.某学校在一块如图所示的长方形场地布展，米，米.现将长方形场地划分为六个展区，在各展区之间留同样宽的长方形通道，如果六个展区的总面积为70平方米，求通道的宽度. 6.如图，一个长为、宽为的长方体礼品盒盖表面绑有宽度相同的四条丝带，若空白面积为，求丝带的宽度. 7.如图，在长为、宽为的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，折成一个底面积为的无盖长方体，求截去的小正方形的边长. 8.如图是一块长方形铁皮，长比宽多3cm，四个角上截去四个边长为的小正方形后，可折成一个底面积为的无盖长方体，求铁皮的宽. 过关检测 一、基础训练 9.如图，在一块长方形空地上修建一个面积为的停车场，将停车场四周余下的空地修建成相同宽度的通道.已知整个长方形空地的长为、宽为.设四周通道的宽度为，则可列方程为________.总结： 二、能力训练 10.如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，绿化的面积为，则道路的宽为______m. 三、拓展训练 11.如图，在长比宽多的矩形的四个角上截去四个边长为的小正方形，折成一个体积为的无盖长方体，求矩形的宽.设矩形的宽为，那么可列方程为________. 12.如图，有一块长为、宽为的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道.问人行通道的宽度是多少?设人行通道的宽度为，则可列方程为________. 课时2 面积问题(二) 学习新知 知识点1 全封闭矩形问题 1.如图，用长20m的铁丝围成一个面积为的长方形，则长与宽各为多少? 2.如图，用长的铁线围成一个面积为，形如“日”字的矩形，设为，则可列方程为________ 知识点2 靠墙矩形问题 3.如图，用长的篱笆靠墙(墙长)围成一个面积为的矩形养鸡场，求的长.(靠墙部分不用篱笆) 4.如图，园林小组的同学用一段长16米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园ABCD，墙的长度为9米，设的长为米，的长为米. (1) ①写出与的函数关系式：________； ②自变量的取值范围是________. (2) 园林小组的同学计划使矩形花园的面积为30平方米，试求此时边的长. 5.如图，要使用长为的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.若要围成面积为的花圃，设，则可列方程为________. 6.如图，有一个面积为的长方形养鸡场，其中养鸡场的一边靠墙，另外五边用竹篱笆围成，竹篱笆总长为.设为，那么可列方程为________. 总结： (1) 矩形面积长宽； (2) 正确写出长和宽(用表达)； (3) 全封闭：某条边另一边； (4) 一边靠墙(如题3)：平行于墙的边篱笆总长－2；当靠墙用篱笆围矩形养鸡场时，平行于墙的边长要不大于墙长. 过关检测 一、基础训练 7.如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个1米宽的门，墙的最大可用长度为30米.如果羊圈的总面积为300平方米，求边的长. 二、能力训练 8.如图，修建一个面积为300平方米的长方形运动员候场区，候场区一面靠墙，墙长26米，另外三边用48米隔栏围成，为了方便运动员进出，在两边空出两个各为1米的出入口(出入口不用隔栏).那么围成的这个长方形的边长是多少米呢? 三、拓展训练 9.是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个? 10.(1) 将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形，如果要使这两个正方形的面积之和等于，那么这条铁丝剪成的两段的长度分别是________； (2) 现有可建造50m围墙的材料，准备围成如图所示的仓库，有一边要开三扇宽均为的门.当围成总面积为的仓库时，的长为________. 答案 课时1 复习旧知：长 宽 1. 3.解：设长方形框的宽度为.依题意，得，解得(不合题意，舍去).答：长方形框的宽度为. 4.解：设相框边的宽度为. 依题意，得 解得(不合题意，舍去).答：相框边的宽度为. 5.解：设通道的宽度为米，则边上展区的总长为米，边上展区的总宽为米. ∵六个展区的总面积为70平方米， ∴， 解得(不合题意，舍去). 答：通道的宽度为1米. 6.解：设丝带的宽度为，则盒盖表面未被丝带覆盖的部分可合成长为(30－、宽为的长方形.依题意，得.整理，得.解得(不合题意，舍去).答：丝带的宽度为. 7.解：设截去的小正方形的边长为.依题意，得，解得(不合题意，舍去).答：截去的小正方形的边长为1cm. 8.解：设铁皮的宽为， 则长为. 依题意，得. 整理，得， 解得(不合题意，舍去)，. 答：铁皮的宽为. 10. 12. 课时2 1.解：设长为，则宽为. 依题意，得. 整理，得， 解得(不合题意，舍去). . 答：长为，宽为. 2. 3.解：设，则. 依题意，得. 整理，得. 解得. 当时，，不合题意，舍去； 当时，18，符合题意. 答：的长为. 4.解：(1) ① ② (2) 依题意，得， 解得(不合题意，舍去). 答：此时边的长为5米. 5. 6. 7.解：设边的长为米，则的长为米. 依题意，得， 解得. 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意.答：边的长为15米. 8.解：设长方形候场区的边为米.则米. 依题意，得， 解得. 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意. 答：长方形候场区的边为15米，为20米. 9.解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为，其中为正整数.由勾股定理，得，解得(不合题意，舍去).因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3，4，5. 10.(1) (2) 或 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $