16导数的综合应用(二)三次函数的性质综合题型训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以导数为工具，系统整合三次函数单调性、极值、对称中心、零点等核心性质，通过题型分类与方法提炼实现专项突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|1（含表格）|导数分析单调区间与极值、对称中心判定（二阶导）|概念（导数）→性质推导（极值点、对称中心）→应用（切线、零点）的递进链条| |基础应用|3（多选）|切线问题转化为零点问题、零点存在性结合极值符号|从图象特征到代数推理，强化性质应用的严谨性| |综合拔高|4（解答+多选）|极值与最值求解、对称中心应用于不等式证明|知识交叉（导数+函数性质），培养数学思维的逻辑性| |链接高考|10（高考题）|高考高频题型（极值点、零点个数、切线方程）|对接高考命题趋势，提升用数学语言表达问题的能力|

三次函数的性质综合 一、知识梳理 三次函数通常考查利用导数研究函数的基本性质，如单调性、极(最)值、对称中心、零点问题等，是我们复习导数的重点，也是近年高考的热门考点，掌握“知识准备”中的相关概念与性质，是解决三次函数的关键. 对于三次函数 ,求导得 ,当 时,不妨设 的两个实根是 ,且 . 三次函数的图象、单调区间及极值 图象 单调区间 单调递增区间为 , 和 ; 单调递减区间为 , ) 单调递增区间为 单调递增区间为 , ; 单调递减区间为 , 和 单调递减区间为 极值 为极大值 为极小值 无极值 为极小值 为极大值 无极值 三次函数图象的对称性 三次函数 的图象是中心对称图形, 且对称中心为点 ,此点的横坐标是其导函数取得最值时的横坐标. 二、练习题 1. (多选) 设函数 ,则 ( ) A. 当 时， 有三个零点 B. 当 时， 是 的极大值点 C. 存在 ,使得 为曲线 的对称轴 D. 存在 ,使得点 为曲线 的对称中心 2. (多选) 已知三次函数 ，下列叙述正确的是 ( ) A. 函数 可能只有一个极值点 B. 当 时，函数 的图象关于点 中心对称 C. 当 时，过点 的切线可能有一条或者两条 D. 当 时，在点 处的切线与函数 的图象有且仅有两个交点 3. (多选) 设 是函数 的导函数， 是函数 的导函数,若方程 有实数解 ,则称 为函数 图象的“拐点”. 经研究发现所有的三次函数 图象都有“拐点”，且该“拐点” 也是函数 图象的对称中心. 已知函数 ,则 ( ) A. 函数 有三个零点 B. 函数 有两个极值点 C. 点 是曲线 的对称中心 D. 方程 有三个不同的实数根 三次函数的零点 4. 一般地, 对于一元三次函数 ,若 是 的导函数),则 为三次函数 图象的对称中心,已知函数 图象的对称中心的横坐标为 ,且 有三个零点,则实数 的取值范围是( ). A. B. C. D. 三次函数的极值和最值问题 5. 已知三次函数 , ,曲线 在点 处切线的斜率为-6. (1)求函数 的解析式; (2)求 在区间 上的最值. 切线问题 6. 已知曲线 在点 处的切线方程为 . 若经过点 可以作曲线 的三条切线,则实数 的取值范围为___. 技巧点拨：三次函数图象的切线条数问题本质仍是函数的零点个数问题. 对称问题 7. 给出定义:设 是函数 的导函数， 是函数 的导函数，若方程 有实数解 ,则称 为函数 图象的 “拐点”. 经研究发现所有的三次函数 图象都有“拐点”，且该“拐点” 也是函数 图象的对称中心. (1)若函数 ，求函数 图象的对称中心. (2)已知函数 ,其中 . (i) 求 图象的拐点; (ii) 若 ,求证: 链接高考 8. 已知三次函数 的零点从小到大依次为 ,其图象在 处的切线 经过点 ,则 ( ) A. B. -2 C. D. 9. (多选) 设函数 ,则 ( ) A. 是 的极小值点 B. 的极大值为 1 C. 当 时， D. 若 ,则 10. (多选) 已知函数 ，则 ( ) A. 为奇函数 B. 的单调递增区间为 C. 的极小值为 3 D. 若关于 的方程 恰有 3 个不等的实根,则 的取值范围为 11. (多选) 已知函数 ,则 ( ) A. 若 ,则 有且仅有两个零点 B. 若 ,则 0 为 的极值点 C. 当 为定值时,曲线 在 处的切线在 轴上的截距为定值 D. 若 ,当且仅当 时,曲线 上存在关于直线 对称的两点 12. (多选) 设函数 ,则 ( ) A. 当 时， 有三个零点 B. 当 时， 无极值点 C. ,使 在 上是减函数 D. 图象对称中心的横坐标不变 13. (多选) 已知三次函数 有三个不同的零点 ,函数 . 则 ( ) A. B. 若 成等差数列,则 C. 若 恰有两个不同的零点 , 则 D. 若 有三个不同的零点 ,则 14. 已知函数 . 若 是 的极值点，则 的极小值是___. 15. 已知函数 (1)当 时，求函数的极值； (2)若函数 在区间 上不单调，求 的取值范围. 16. 已知 是三次函数 的极值点， 且直线 与曲线 相切于点 . (1)求实数 的值； (2)若 ,求 的值； (3)若对于任意实数 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围. 17. 经研究发现所有的一元三次函数 的图象都有对称中心,设 是一元三次函数 的导函数, 是函数 的导函数,若方程 有实数根 ,则称 为一元三次函数 的图象的对称中心. 根据以上信息和相关知识解答下列问题:已知函数 . (1)求函数 图象的对称中心和 的值; (2)若 ，解关于 的不等式 . 参考答案与解析 1. 选 AD. 依题意得 , 令 ,得 ,解得 或 . 对于选项 A, 时, , 的图象如图 1 所示，故 A 正确. 图 1 图 2 对于选项 B, 时， 的图象如图 2 所示， 是 的极小值点, 故 B 错误. 对于选项 C, 由三次函数性质知, 三次函数的图象只有对称中心,不存在对称轴,故 C 错误. 对于选项 D, 由三次函数图象的对称性知, 其对称中心的横坐标为 ,令 ,得 ,即存在 ,使得点 为曲线 的对称中心. 故 D 正确,故选 AD. 2. 选 BD. 对于 A 选项, ,令 , 即 , 当 时,方程 有两个不等实根, 有两个极值点; 当 时， 无极值点，故 A 错误； 对于 B 选项， 时， ，其图象的对称轴为 ， 又 , 所以函数 的图象关于点 中心对称,故 B 正确; 对于 C 选项,设切点为 ,则切线方程为 ,因为切线过点 , 所以 , 即 , 整理得 ,所以 或 ,当 时,两根相等,即只有一个切点,即只有一条切线,故 C 错误; 对于 D 选项,在点 处的切线为 ,联立得 化简得 , 所以 或 ,由 ,知方程组有两个不同解, 即有两个不同交点, 故 D 正确. 故选 BD. 知识总结：对三次函数而言, 要么有 2 个极值点, 要么没有极值点, 不存在只有 1 个极值点的情况. 3. 选 BCD. 由 得 , , 令 ,得 ,令 ,得 或 , 所以 在 上单调递减,在 上单调递增. 对于 A,令 ,则 或 ,故 只有 2 个零点,故 A 错误; 对于 B, 的极大值点为 ,极小值点为 , 所以 有 2 个极值点,故 B 正确; 对于 C,令 ,得 ,又 , 所以 是 图象的拐点,故 是曲线 的对称中心，故 C 正确； 对于 D,因为 的极大值为 ,极小值为 , 作出直线 与函数 的图象,如图, 由图可知,直线 与函数 的图象有 3 个交点, 所以方程 有 3 个不同的实根,故 D 正确. 故选 BCD. 4. 选 A. 由 得 ,由 解得 ,则有 . ,当 或 时, ,当 时, , 则 在 上单调递增,在 上单调递减, 因此,当 时, 取得极大值 ,当 时, 取得极小值 , 因为函数 有三个零点,所以函数 的图象与 轴有三个公共点,故 ,解得 . 故实数 的取值范围是 . 故选 A. 5. 解析 (1) , 由导数的几何意义,知 , , . (2) , 令 ,得 , 当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增, 函数 在 时取得极大值,为 , 在 时取得极小值,为 , , 在区间 上的最大值为 17,最小值为 -9 . 6. 答案 . 解析 , 根据题意得 解得 设切点为 ,则 , 由题意得 ,即 , 过点 可作曲线 的三条切线, 方程 有三个不同的实数解, 函数 有三个不同的零点. 当 时, 单调递增, 当 时, 单调递减, 当 时, 单调递增. 当 时, 有极大值,且极大值为 ; 当 时, 有极小值,且极小值为 . 函数 有 3 个零点, (极大值大于 0,极小值小于 0 ) 解得 实数 的取值范围是 . 7. 解析 (1) 因为 , 所以 ,所以 . 令 ,解得 ,又 , 所以函数 图象的对称中心为 . (2)(i)因为 ， 所以 的定义域为 ,所以 , 令 ,得 , 令 , 则 在 上恒成立, 所以 在 上单调递增,又 , 则由零点存在定理知, 有唯一的零点 , 所以 ,当 时, , 所以 图象的拐点为 . (ii) 证明: 由 (i) 可知, 在 上单调递增, , 所以当 时, ; 当 时, , 所以 在 上单调递减,在 上单调递增, 所以 , 所以 在 上恒成立, 所以 在 上单调递增, 又 ,所以由三次函数图象的对称性知, 关于直线 对称,所以 . 8. 选 B. 由题意可设 ,则 , ,又 , 则切线方程为 , 把 代入得 , 由 ,得 ,解得 . 故选 B. 9. 选 AC. ,则 ,令 ,解得 或 ,则函数 在 , 上单调递增; 令 ,解得 ,则函数 在 上单调递减,所以 是 的极小值点,当 时, 有极大值,为 ,所以 选项正确, 选项不正确; 对于 ,当 时, , ,由上可知, ,所以 正确; 对于 ,因为 ,所以若 ,则 ∪ (-1,2),所以 D 不正确,故选 AC. 10. 选 AD. 对于 ,故 ，又其定义域为 ，故 为奇函数，故 正确； 对于 ,所以在 上, , 单调递减; 在 和 上, 单调递增，故 B 错误； 对于 ,由 知, 在 处取极小值,极小值为 ,故 C 错误; 对于 ,方程 恰有 3 个不等的实根,即 恰有 3 个不等的实根. 因为在 和 上, 单调递增; 在 上, 单调递减,所以 ,即 ,故 D 正确. 故选 AD. 11. 选 ACD. 对于 A,若 ,则 ,有且仅有 -1,0 两个零点,故 A 正确; 对于 ,若 ,则 ,当 时 没有极值点,故 错误; 对于 ,又 , 故切线方程为 ,在 轴上的截距为 ,为定值, 正确; 对于 ，曲线 上存在关于直线 对称的两点， 即 有非零实根, 即 , 化简得 有非零实根, 故 有非零实根, 故 ,得 ,由于每步都为充要条件,故 正确. 故选 ACD. 12. 选 BD. 对于 ,当 时, ,令 ,得 或 ,则 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增,且 ,(极大值小于 0 ) ，所以 只有一个零点，A 错误； 对于 ,若 无极值点,则 , 解得 正确; 对于 ,要使 在 上是减函数,则 恒成立,显然 的解集不是 错误; 对于 ,由三次函数图象的对称性知, 图象对称中心的横坐标为 取得最值时的横坐标,为 , D 正确. 13. 选 ABD. ,对于 A,因为 有三个零点,所以 必有两个极值点,所以 正确; 对于 ,由 成等差数列及三次函数图象的中心对称性可知 ,所以 , 又 ,故 ,所以 ,所以 , 故 B 正确; 对于 ,即 , 若 恰有两个零点,则 中必有一个为极值点; 若 为极值点,则该方程的三个根为 ,则 , (根据对应项系数相等得) 若 为极值点,则 ,故 错误; 对于 ,设 ,又 ,所以 同理, ,则 ,所以 ,故 正确. 故选 ABD. 14. 答案 -17. 解析 ,由题知 ,即 , 解得 ,经检验, 符合题意. 则 , 令 ,得 或 . 当 时, ,当 时, ,当 时, , 所以当 时, 取得极小值 . 15. 解析 (1) 当 时, ,故 . 令 ,解得 或 . 当 变化时, 的变化情况如表: 1 (1,+∞) + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗. 所以 . (2) , 令 ,解得 . 当 时, ,解得 ,所以若函数 在区间 , 1) 上不单调,则 ,且 或 , 解得 或 且 . 故 的取值范围为 . 16. 解析 (1) . 在 中,令 ,得 ,即 , 根据题意有 解得 (2)由(1)知 ， 或 时, 时, , 则 在 和 上单调递增,在 上单调递减, 极大值为 ,极小值为 , ,因此 都是唯一的实数. ,所以 的图象关于点 对称,而 , 又 和 都是 图象上唯一的点, 所以 . (3) ,当且仅当 时， , 又 ,所以原不等式 可化为 . 因为 ,所以: ①当 时,由 知 (两处等号仅在 且 时同时成立),此时 与 的成立情况一致; ②当 时, 在 上单调递增,故 等价于 . 所以当 时,不等式 恒成立等价于 恒成立, 则 ,所以 . 但当 时,取 ,有 ,不满足 ,故 舍去. 综上,实数 的取值范围为 . 17. 解析 (1) 对 求导得 则 ,令 ,可得 , 又 , 所以 图象的对称中心为 , 故由函数图象的对称性知 , 设 , 则 , 又因为 所以 ,故 . (2)由(1)可知 ， 所以将不等式 化为 ,且 ,即 . ① 当 时，解得 ； ②当 时，不等式的解集为 ； ③ 当 时，解得 . 综上所述,当 时,不等式的解集为 ,当 时,不等式的解集为 ,当 时,不等式的解集为 . 学科网（北京）股份有限公司 $