(8)·函数与导数 导数零点大题训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦导数零点问题，通过分类讨论、极值分析、零点存在定理构建系统性解题体系，实现从基础到创新的逻辑递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|1-4题|求导定单调区间，极值分析结合零点存在定理|导数几何意义→单调性→极值→零点判定| |综合提升|5-8题|参数分类讨论，多次求导研究复杂函数|单调区间→极值正负→零点个数关系| |创新拓展|9-10题|构造函数转化问题，新定义情境应用|常规方法→模型迁移→创新问题解决|

2027届一轮复习(8)·函数与导数：导数零点大题 7月第五周，我们进行 2027届一轮复习(8)·函数与导数：导数零点大题 ，题目难度较大。一轮复习一定要做到无漏洞，加油哦！（大家可以在评论区留言自己的需求） 1．（山东省临沂市2026届高三一模考试数学试题·★★★）已知函数． (1)求的单调区间； (2)已知在上有且仅有两个零点，求a的取值范围. 2．（天津市第一中学滨海学校2025-2026学年下学期期中考试高二年级数学学科检测试卷·★★★）已知，函数. (1)若在处取得极值，求实数的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若在上有三个零点，求的取值范围. 3．（广东省汕头市潮南区2024届高三下学期高考考前测试数学试题·★★★）已知函数. (1)若曲线在处的切线与轴垂直，求的极值. (2)若在只有一个零点，求. 4．（湖南省邵阳市邵东市第四中学2025届高三第二次月考数学试题·★★★）已知函数， (1)若，求在点处的切线方程. (2)若有两个零点，求a的取值范围. 5．（浙江省温州市2024-2025学年高三下学期第二次适应性考试数学试题·★★★）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若在区间上恰有一个零点，求的取值范围； (3)当时，解方程． 6．（江苏省苏锡常镇四市2022-2023学年高三下学期5月教学情况调研（二）数学试题·★★★）已知函数，. (1)若，求函数的单调区间； (2)若有且只有2个不同的零点，求的取值范围. 7．（江苏苏锡常镇四市2026届高三下学期教学情况调研（一）数学试卷·★★★☆）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的零点个数； (3)当时，证明：． 8．（重庆市南开中学校2024届高三上学期第三次质量检测（11月）数学试题·★★★☆）设函数． (1)当时，求函数的最值； (2)函数，其中为函数的导函数，试讨论函数在的零点个数． 9．（2024年普通高等学校招生全国统一考试数学理科押题卷（六）·★★★★）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数在和上各有一个零点，求实数a的取值范围. 10．（江苏省苏北七市2025届高三第三次调研测试数学试题·★★★★）记．已知函数和的定义域都为，若存在，使得，当且仅当时等号成立，则称和在上“次缠绕”. (1)判断和在上“几次缠绕”，并说明理由； (2)设，若和在上“3次缠绕”，求的取值范围； (3)记所有定义在区间上的函数组成集合，证明：给定，对任意，都存在，使得，且和在上“次缠绕”. 试卷第2页，共3页 1．(1)当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. (2) 【难度】0.51 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求导后讨论的取值，从而判断导函数的正负，确定单调区间. （2）根据（1）的结论，以及零点存在定理确定不等式，进而求解的取值范围. 【详解】（1）已知，其定义域为.求导​. 当时，因为，所以，即.所以在上单调递增. 当时，令，即，因为，所以，解得. 当​时，，则，所以在上单调递增； 当​时，，则，所以在上单调递减. 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由（1）可知，当时，在上单调递增，所以在上至多有一个零点，不符合题意. 所以，此时在上单调递增，在上单调递减. 要使在上有且仅有两个零点，当趋近于时，趋近于, 所以根据零点存在定理， 则需满足， ，解得. ，化简得，解得. 又因可得. 综上，的取值范围是. 2．(1) (2)答案见解析 (3) 【难度】0.56 【知识点】由函数的单调区间求参数、利用导数研究函数的零点、利用导数求函数（含参）的单调区间、根据极值点求参数 【分析】通过求导，根据极值的性质导数等于0来求解参数； 通过求导，根据导数的正负来判断原函数的单调性； 根据零点的数量来判断满足条件的极值的正负情况，从而求解参数的取值范围. 【详解】（1）函数，求导可得， 因为在处取得极值，所以， 化简可得，解得. 此时， 令得或；令得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点. （2）， 分类讨论，当时， 当或时，，单调递增， 当时， ，单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时， 当或时，，单调递增， 当时， ，单调递减. 终上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （3）因为，由第二问可知当或时，，单调递增，当时， ，单调递减， 所以在时，取到极大值， 在时，取到极小值， 因为在上有三个零点，所以，即， 解得，即的取值范围是. 3．(1)极小值，无极大值； (2). 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、已知切线（斜率）求参数、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求出函数的导数，结合几何意义求出，再分析单调性求出极值. （2）由函数零点的意义，等价变形得在只有一解，转化为直线与函数图象只有一个交点求解. 【详解】（1）函数的定义域为R，求导得，， 依题意，，则，， 当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值，无极大值. （2）函数在只有一个零点，等价于在只有一个零点， 设，则函数在只有一个零点，当且仅当在只有一解， 即在只有一解，于是曲线与直线只有一个公共点， 令，求导得，当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在取得极小值同时也是最小值， 当时，；当时，， 画出大致的图象，如图， 在只有一个零点时，， 所以在只有一个零点吋，. 4．(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）把代入，求出导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求导后，分别在、和的情况下，求得单调性和最值，结合零点存在定理可确定符合题意的取值范围. 【详解】（1）当时，，求导得，则，而， 所以函数的图象在点处的切线方程为. （2）函数的定义域为R，求导得， ①当时，恒成立，函数在上单调递增，至多有一个零点，不合题意； ②当时，由，解得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 当时，，则，则至多有一个零点，不合题意； 当时，，则，而，则在上有唯一零点； 由（1）知，当时，，函数在上单调递增， 当时，，即， 当时，，在上有唯一零点； 因此当时，有两个不同零点， 所以实数的取值范围为. 5．(1) 当时，在定义域内单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. (2) (3)． 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求导，分，讨论导函数的符号，判断函数的单调性. （2）结合（1）的结论，根据函数零点所在区间求参数的取值范围. （3）明确的解析式，分析其单调性，得到方程解得个数，再结合二次方程的根的情况进行验证即可. 【详解】（1）因为（）， 所以（）， 当时，因为，所以，即，在定义域内单调递增； 当时，由 ；由 . 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在定义域内单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，当时，在内单调递增，且注意到，因此在区间上无零点； 当时，由可得仅有一解， 所以仅有一解， 令，则直线与的图象仅有一个交点， 因为，且直线过点， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，且，， 所以，结合，则的取值范围为． （3）由题，，记上式为， 则在定义域内单调递减，因此，仅有一个解， 注意到待求方程， 对中含的部分单独考察，即，其中关于的多项式的解为， 因此时可消去． 当时，有，满足题意； 当时，没有意义，不符合题意； 综上，原方程的解为． 6．(1)函数的单调减区间是，单调增区间是 (2). 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）利用导数法求函数的单调性的步骤即可求解； （2）利用分类讨论及函数的零点与单调性的关系，再利用导数法求函数的单调性及最值，结合函数零点的存在性定理即可求解. 【详解】（1），， ，恒成立， 所以在递增. 所以当，； ， 所以函数的单调减区间是，单调增区间是. （2）， ①当时，由（1）知有且只有一个零点. ②当时，，则在区间上单调递减， 所以至多有一个零点. ③当时，，， 又因为的图象在区间上连续不间断， 所以，使得，即. 令，， 所以在区间上单调递增， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增. 所以， 所以无零点. ④令，当时，， 所以在区间上单调递减， 所以，有， 所以，则. 当时，，， 又因为的图象在区间上连续不间断， 所以，使得，即. 令，， 所以在区间上单调递增， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增. 所以. 令. ， 又因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且的图象连续不间断，，， 所以有且只有2个零点. 综上，若函数有且只有2个零点，则实数的取值范围是. 【点睛】关键点睛：解决此题第一问是利用二阶导数及函数单调性与导数的正负的关系即可，第二问是利用分类讨论的思想及导数法求函数的单调性和最值，结合函数单调性与函数零点的关系及零点的存在性定理即可. 7．(1)； (2)当时，的零点个数为0；当时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2； (3) ①当时，， 令， 因为，所以，而，即，， 所以在区间上单调递增，所以，即， 所以在区间上单调递增．所以. ②当时，令，所以单调递增， 所以，即. 又因为， 令， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，的极小值为． 若，即，则，所以． 若，即，则在区间上单调递减， 所以． 所以，即． 综上可得，. 【难度】0.32 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）根据导数的几何意义可得切线方程； （2）先进行参数分离，再转化为与图象交点的个数可得； （3）分两种情况讨论：当时，用导数可判断的单调性可得；当时，先证，进而再用导数证明，从而可证明不等式. 【详解】（1）当时，． 所以曲线在处的切线方程为，即． 曲线在处的切线方程为. （2）解法一：因为，令，得，即. 令，所以的零点个数等价于与的图象交点的个数. 又因为，当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 且，有极大值也是最大值，如图： 由图可知，当时，函数与的图象无交点； 当时，函数与的图象有1个交点； 当时，函数与的图象有2个交点. 综上，时，的零点个数为0；时，的零点个数为1； 时，的零点个数为2. 解法二：因为， 设， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 当时，的极小值为． ①当，即时，恒成立，此时的零点个数为0． ②当，即时，的零点个数为1． ③当，即时，的极小值， 令，所以单调递减， 所以，即， 有， 所以， 所以在区间和上各有一个零点，即的零点个数为2． 综上，时，的零点个数为时，的零点个数为1； 时，的零点个数为2． （3）略 8．(1)， (2)3 【难度】0.15 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）利用导数求得的单调区间，进而求得的最值. （2）利用多次求导的方法研究的单调性，结合零点存在性定理、构造函数法判断出在的零点个数. 【详解】（1）． 当时，单调递增； 当时，单调递增； 上单调递增;. （2）， ， ， ①当时，注意到，当时，，故， 又，所以在仅有一个零点； ②当时，单调递增， 又， 由零点存在性定理可知，存在唯一，使得， 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增； 注意到， 由零点存在性定理可知，存在唯一，使得， 所以在上单调递增，在上单调递增， 所以，又， 令，则， 所以在单调递增，在单调递减，故，所以， 由零点存在性定理可知，在上仅有一个零点； ③当时，递减，所以单调递减， 又， 所以存在唯一，使得， 所以在单调递增，在单调递减， 又， ，即在单调递增， 又， 由零点存在性定理可知，存在唯一，使得， 所以在单调递减，在单调递增； 所以，又， 由零点存在性定理可知，在仅有一个零点； ④当时，，故， 所以在无零点； 综上，函数在上恰有3个零点． 【点睛】方法点睛：求解函数单调区间的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间：，则在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；，则在对应区间上是减函数，对应区间为减区间.如果一次求导无法求得函数的单调区间，可以考虑利用多次求导的方法来进行求解. 9．(1) (2) 【难度】0.15 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）将代入，求出时，再利用导数的几何意义求出切线斜率，由点斜式写出直线方程即可； （2）解法一：通过分类讨论和构造函数，并利用导数判定出函数在区间和上的单调性，结合零点存在定理即可求得实数a的取值范围. 解法二：当时，利用导数得到的单调性，结合零点存在定理找到的零点，再根据常规放缩从而确定实数a的取值范围. 【详解】（1）当时，. 所以，，所以， 所以曲线在处的切线方程为. （2）当时，令，得， 构造函数， 则在和上各有一个零点， ，. 令， 当时，，即，在上单调递增， 又，故在和上没有零点，不符合题意. 解法一  当时，时，有，，故， 所以，即，所以单调递减， 所以当时，， 所以在上没有零点，不符合题意. 当时，， 令，得，则. 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又，， 故存在，，使得， 则在，上单调递减，在上单调递增. 而当无限趋向于时，无限趋向于正无穷大， 当无限趋向于时，无限趋向于负无穷大，且，， 所以， 故在和上各有一个零点，满足题意. 综上，实数a的取值范围为. 解法二  当时，， 令，得，则.（注意利用正切函数的单调性得到的大致范围） 当时，，当时，. 故在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以要使在和上有零点，需，得， 此时存在，，使得， 则在，上单调递减，在上单调递增. 又当无限趋向于时，无限趋向于正无穷大， 当无限趋向于时，无限趋向于负无穷大，且， 所以要使在和上各有一个零点，只需， 故，所以. 由得，又，， 所以，所以，满足题意， 所以实数a的取值范围为. 【点睛】方法点睛：利用函数零点求参数取值范围的方法及步骤： （1）常用方法：①直接法，先根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围；②分离参数法，将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决；③数形结合法，先将问题转化为两函数图象的交点问题，再在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解. （2）一般步骤：先转化，把已知函数零点的存在情况转化为方程（组）的解、不等式（组）的解集或两函数图象的交点的情况；再列式，根据零点存在定理或结合函数图象列式；最后得结论，求出参数的取值范围或根据图象得出参数的取值范围. 10．(1)函数和＂2次缠绕＂， 理由如下：，当和时，， 则对任意， 当且仅当和时，等号成立， 所以由＂次缠绕＂定义可知和在上＂2次缠绕＂． (2)； (3)方法一：取， 设， 令， 显然，且， 当且仅当时，等号成立． 所以对任意， 存在， 其中， 使得，且和在上＂次缠绕＂． 方法二：记，取， 设，其中，则， 且当时，， 因为， 所以与同号，（＊） 为奇数时，设， 显然，且， 当时，与同号， 由（＊），（＊＊）式知，对给定，任意，与同号； 所以． 为偶数时，设， 同理可知，，且和“次缠绕”． 综上，存在，使得， 且和在上“次缠绕” 【难度】0.15 【知识点】利用导数研究函数的零点、函数新定义 【分析】（1）找到和时，，则得到其为“2次缠绕”； （2）转化为存在互异的三个正数，使得，求导得，再对合理分类讨论即可； （3）方法一：取，令，则，且，即可证明存在，则证明了结论；方法二： 记，取，设，再对分奇数和偶数讨论即可. 【详解】（1）略 （2）设， 因为和在上＂3次缠绕＂， 所以存在互异的三个正数，使得， 当且仅当时等号成立， 所以是的三个零点． 注意到，所以1是的一个零点． ， ①当时，在上单调递增， 1是的唯一零点，不合题意． ②当时，在上单调递减， 1是的唯一零点，不合题意． ③当时，令，存在两根， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以，因为， 设，因为， 所以在上单调递减，所以，即， 所以存在． 又， 所以存在． 所以恒成立，即时，和在上＂3次缠绕＂，综上，的取值范围是． （3）略 答案第8页，共9页 答案第3页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $