精品解析：青海海东市第二中学2026-2027学年高二上学期开学数学试题

数学试卷 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的80％分位数为（ ） A. 7 B. 7．2 C. 7．5 D. 8 3. 已知向量与的夹角是，且，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，若，则（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 9 5. 已知角满足，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 6. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列判断正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 7. 我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图池盆几何体是一个刍童，其中上，下底面均为正方形，且边长分别为8和4，侧面是全等的等腰梯形，且梯形的高为，则该盆中最多能装的水的体积为（ ） A. B. C. D. 448 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分．全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知实数满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为 . 记事件为 “两人都击中”，事件 为 “至少 1 人击中”，事件 为 “无人击中”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与 是互斥事件 B. 事件 与 是对立事件 C. 事件 与 相互独立 D. 11. 如图，在正方体中，、、、均为棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面平面 B. 梯形的面积是面积的倍 C. 过可作一个平面，使得，到这个平面的距离相等 D. 梯形内存在一点，使得平面 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知向量，向量，若向量与平行，则__________． 13. 正方体中，与相交于点，则直线与所成角的度数为_____________________. 14. 若正数满足，则的最小值是__________. 四、解答题 15. 已知，． （1）分别求，的值； （2）若角终边上一点，求的值． 16. 在中，角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角； （2）若，的面积为1，求边的值. 17. 如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 18. 某中学为了解该校高二年级学生的语文成绩，从中抽取了100名该校学生的成绩作为样本进行统计（成绩均在分），按照，，，，，，，分为8组，并作出频率分布直方图，如图所示： （1）求频率分布直方图中的值，并估计该中学高二年级语文成绩的中位数； （2）现从第七、八组中按分层抽样方法抽取5名学生， （i）学校要派这5名学生参加校古诗词比赛（总分值10分），经过比赛后，第七组学生得分的平均数，方差，第八组学生得分的平均数，方差，则这5人得分的平均数和方差分别为多少？ （ii）从这5名学生中随机抽取2名学生参加市古诗词比赛，求这2名学生中恰有1名成绩不低于130分的概率． 19. 已知幂函数的图象过点，函数，函数． （1）求实数的值及函数的函数解析式； （2）用单调性的定义证明：在上单调递增； （3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次方程求集合B，再由集合的并运算求. 【详解】由， 所以. 故选：D. 2. 数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的80％分位数为（ ） A. 7 B. 7．2 C. 7．5 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数的定义计算即可得出答案． 【详解】解：因为，所以第80％分位数为第8个数， 故数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的第80百分位数为8. 故选：D． 3. 已知向量与的夹角是，且，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的定义求出，再由投影向量的定义计算可得. 【详解】因为向量与的夹角是，且，， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：B 4. 已知，若，则（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数乘法运算，共轭复数的概念以及复数相等求出参数，计算即可. 【详解】因为，所以， 所以， 又，所以，解得，所以. 5. 已知角满足，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由倍角公式化简可得，再由平方关系即可求解 【详解】由，可得，． 故选：C 6. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列判断正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用线面平行、面面平行、面面平行，面面垂直的性质定理和判定定理对四个选项分别分析解答． 【详解】解：对于A，因为，，所以或，故A错误； 对于B，因为，，所以或，故B错误； 对于C，因为，，所以或，故C错误； 对于D，因为，，所以，故D正确． 故选：D 7. 我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图池盆几何体是一个刍童，其中上，下底面均为正方形，且边长分别为8和4，侧面是全等的等腰梯形，且梯形的高为，则该盆中最多能装的水的体积为（ ） A. B. C. D. 448 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知，这个刍童为棱台，求出棱台的高，再根据棱台的体积公式即可得出答案. 【详解】根据题意可知，这个刍童为棱台， 如图，为垂直底面的截面， 则棱台的高为， 所以该几何体的体积为， 即该盆中最多能装的水的体积为. 故选：B. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 首先利用换底公式化，，再通分化简，利用对数的性质判断正负，其他同理判断大小. 【详解】，，， 则， ，，即， 且，，即， 同理，即. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查做差法比较对数大小，关键是利用换底公式，换成同底对数后再做差化简. 二、多选题（每小题6分，共18分．全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知实数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由不等式的性质结合已知可得A正确、B正确；作差可得C错误；举反例可得D错误； 【详解】对于A，因为，两边同乘以，因为，所以由不等式的性质，得，故A正确； 对于B，因为，所以，又，由不等式的性质，得，所以，故B正确； 对于C，，由题意知，且，所以，所以，故C错误； 对于D，取，此时，故D错误． 故选：AB． 10. 射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为 . 记事件为 “两人都击中”，事件 为 “至少 1 人击中”，事件 为 “无人击中”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与 是互斥事件 B. 事件 与 是对立事件 C. 事件 与 相互独立 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据事件之间的关系，以及互斥事件，对立事件的概念，相互独立事件的概率公式逐一判断即得. 【详解】依题意，，，. 对于A，因“两人都击中”的对立事件为“至多1人击中”，即包括“无人击中”，“1人击中”，故事件与 是互斥事件，即A正确； 对于B，因“至少 1 人击中”包括“1人击中”，“2人击中”两种情况，故其对立事件即“无人击中”，即B正确； 对于C，依题意，因，则，而，故事件 与 不相互独立，即C错误； 对于D，因，故，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，在正方体中，、、、均为棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面平面 B. 梯形的面积是面积的倍 C. 过可作一个平面，使得，到这个平面的距离相等 D. 梯形内存在一点，使得平面 【答案】ACD 【解析】 【分析】由面面平行证明判断A，因为梯形与的高分别为且，所以面积的比值为即可判断B，连接，取的中点，连接，连接，取 的中点，连接，即可判断C，连接 ，，，连接，过点作的垂线，交于，交于，证明线面垂直即可判断D. 【详解】在正方体中，均为棱的中点， 可得，平面，平面，所以平面， ，平面，平面，所以平面， ，所以平面平面，故A正确； 连接 ，设，，连接， 显然分别为的中点，而，则， 又，则四边形为平行四边形，， 所以梯形的面积与面积的比值为，故B错误； 连接，取 的中点，连接， 所以过直线的平面一定满足到这个平面的距离相等，故C正确； 由平面，得平面， 又平面，因此平面平面，取中点，连接， 由，得，则， 于是，， 而平面，平面平面，则平面， 梯形内存在一点，使得平面，D正确. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知向量，向量，若向量与平行，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标关系，代入关系式即可求得m的值． 【详解】由题可知：， 即. 【点睛】本题考查了向量平行的坐标表示，属于基础题． 13. 正方体中，与相交于点，则直线与所成角的度数为_____________________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，作图，根据异面直线夹角，作平行找角，利用余弦定理，可得答案. 【详解】由题意，连接，，，记，连接，作图如下： 在正方体中，易知，且，则， 故为直线与所成角或其补角， 设正方体的棱长为，则，， 在中，， 在中，， 故直线与所成角的度数为. 故答案为：. 14. 若正数满足，则的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由条件可得，故展开，结合基本不等式求其最小值. 【详解】由，可得， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知，． （1）分别求，的值； （2）若角终边上一点，求的值． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】 （1）由的值以及的范围，利用同角三角函数的基本关系即可求的值，进而可得的值. （2）利用三角函数的定义可求的值，利用正切的二倍角公式可求出的值，再由两角和的正切公式即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以， （2）由三角函数的定义可得， 由正切的二倍角公式可得， . 16. 在中，角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角； （2）若，的面积为1，求边的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由结合两角和差正弦公式化简即可求解； （2）由三角形面积公式可得，由余弦定理化简即可求解. 【小问1详解】 中，，所以 所以 又，所以， 又因为，所以. 【小问2详解】 因为， 由余弦定理， 将，代入解得， 所以. 17. 如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明：连接，交于点，连接， 因为四边形是正方形，所以为中点， 又为中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接，根据三角形中位线的性质及线面平行的判定定理证明即可； （2）根据线面角的定义，求得线面夹角的平面角即可求解． 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 又四边形是正方形，所以， 因为平面，所以平面， 连接，则直线与平面所成角的平面角为， 又平面，所以， 在正方形中，， 因为平面，平面，所以， 因为，所以， 在中，， 又，所以， 所以直线与平面所成角为． 18. 某中学为了解该校高二年级学生的语文成绩，从中抽取了100名该校学生的成绩作为样本进行统计（成绩均在分），按照，，，，，，，分为8组，并作出频率分布直方图，如图所示： （1）求频率分布直方图中的值，并估计该中学高二年级语文成绩的中位数； （2）现从第七、八组中按分层抽样方法抽取5名学生， （i）学校要派这5名学生参加校古诗词比赛（总分值10分），经过比赛后，第七组学生得分的平均数，方差，第八组学生得分的平均数，方差，则这5人得分的平均数和方差分别为多少？ （ii）从这5名学生中随机抽取2名学生参加市古诗词比赛，求这2名学生中恰有1名成绩不低于130分的概率． 【答案】（1），中位数为 （或 ）； （2）（i）平均数 ，方差 （或 ）；（ii）． 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有小矩形面积之和为 1 求出 ，再根据中位数左右两侧面积相等求解即可； （2）（i）先根据分层抽样确定第七、八组抽取的人数，再利用分层抽样平均数和方差公式计算即可；（ii）利用古典概型概率公式求解． 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，组距为 10． 因为所有小矩形的面积之和为 1， 所以，解得 ． 前四组的频率之和为 ， 前五组的频率之和为 ， 所以中位数位于第五组内． 设中位数为 ，则 ， 解得． 故估计该中学高二年级学生成绩的中位数为 ． 【小问2详解】 第七组 的频率为，人数为 ； 第八组  的频率为 ，人数为 ． 按分层抽样方法抽取 5 名学生，则从第七组抽取人数为：  ，从第八组抽取 人数为： ． （i）设第七组抽取的 3 名学生得分为，第八组抽取的 2 名学生得分为． 由题意知，，方差，，方差. 这 5 人得分的平均数：  这 5 人得分的方差 ． 且 故 所以， 同理则 ， 故. （ii）记第七组抽取的 3 名学生为 （成绩低于 130 分），第八组抽取的 2 名学生为（成绩不低于 130 分）． 从这 5 名学生中随机抽取 2 名学生，所有可能的情况有：，共 10 种． 其中恰有 1 名成绩不低于 130 分的情况有： (共 6 种． 故所求概率  19. 已知幂函数的图象过点，函数，函数． （1）求实数的值及函数的函数解析式； （2）用单调性的定义证明：在上单调递增； （3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2） 由（1）可知，， 任取，不妨设， 则 ， 因为，所以， 则， 所以，则， 所以， 则，即， 故在上单调递增． （3） 【解析】 【分析】（1）利用幂函数的定义求出 并验证，进而求出 值. （2）由（1）求出，再利用增函数的定义推理论证. （3）先求出，方法一：利用换元法以及分离参数法，结合基本不等式可求出实数的取值范围；方法二：利用换元法，通过分类讨论思想求二次函数的最值，即可求解. 【小问1详解】 由幂函数的定义可知，解得， 当时，，， 又的图象不过点，显然不满足题意； 当时，，将点代入得． 综上所述，，且． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 法一：由题可知， 不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则，不等式化为：， 又∵，∴，整理得在恒成立， 令，则， ， 当且仅当时取等号， ∴， 综上，的取值范围是． 法二：由题可知， 不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则，不等式化为：， 记，则恒成立． 抛物线开口向上，且对称轴：， ①，此时在上单调递增， 恒成立， 故满足条件 ②， 此时 ． 解不等式，即，解得， ∴， ③，此时在上单调递减， ， 解得，故此情况无解， 综上所述，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $