2.5 有理数的乘法与除法 课时作业 2026-2027学年苏科版数学 七年级上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦“有理数的乘法与除法”，分层设计清晰，通过基础巩固与能力提升双层次，实现从单一知识点到综合应用的进阶，培养运算能力、推理意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|有理数乘法法则、倒数、多个有理数相乘、乘法运算律、除法法则的单一应用|选择填空辨析概念（如倒数与相反数区分），解答题训练运算（如简便计算、实际问题解决）| |能力提升|多知识点综合应用|符号讨论（多有理数符号判断）、新运算定义（※运算探究）、连锁约分计算，培养推理与创新|

苏科版七年级数学上册 2.5 有理数的乘法与除法 课时作业 苏科版数学七年级上册　课时作业 第2章　有理数　2.5　有理数的乘法与除法 班级：____________　姓名：____________　完成时间：________　得分：________ 一、学习目标 1．理解有理数乘法、除法的意义，掌握有理数乘法法则与除法法则，并能熟练进行运算。 2．理解倒数的意义，会求一个有理数的倒数，能区分倒数与相反数。 3．掌握多个有理数相乘时积的符号规律，能运用乘法交换律、结合律、分配律进行简便运算。 4．能把除法转化为乘法，体会"转化"这一重要的数学思想，并能解决简单的实际问题。 二、知识梳理 知识点1　有理数的乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与 0 相乘，积仍为 0。 用符号语言表示：当 ， 时，；当 ， 时，；当 ， 时，。 运算步骤可以概括为"一定符号，二算绝对值"： 　第一步：观察两个因数的符号，确定积的符号； 　第二步：把两个因数的绝对值相乘，作为积的绝对值。 例如：，两个因数同号，积为正，，所以 ； 　　　，两个因数异号，积为负，，所以 。 知识点2　倒数 乘积是 1 的两个数互为倒数。即若 ，则 与 互为倒数；（）的倒数是 。 （1）0 没有倒数（因为 0 与任何数相乘都得 0，不可能得 1）； （2）正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，即互为倒数的两个数符号相同； （3）1 的倒数是 1， 的倒数是 ； （4）求分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母颠倒位置；求带分数的倒数，要先把带分数化成假分数；求小数的倒数，要先把小数化成分数。 例如： 的倒数是 ；，它的倒数是 ；，它的倒数是 4。 比较项目 倒数 相反数 定义 乘积是 1 的两个数 和是 0 的两个数 符号关系 符号相同 符号相反（0 除外） 特殊的数 0 没有倒数 0 的相反数是 0 举例 与 与 自身相等 1 与 只有 0 易错提醒：倒数与相反数不同！互为倒数的两数乘积为 1且符号相同；互为相反数的两数和为 0且符号相反（0 除外）。 的倒数是 ，而它的相反数是 。 知识点3　多个有理数相乘 几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数的个数是偶数时，积为正；负因数的个数是奇数时，积为负。几个数相乘，只要有一个因数为 0，积就为 0。 例如： 中有 4 个负因数，积为正，等于 24； 　　　 中有 3 个负因数，积为负，等于 。 知识点4　乘法运算律 乘法交换律：； 乘法结合律：； 乘法分配律：。 灵活运用运算律可以使运算简便，常见技巧有：凑整（把互为倒数或相乘得整数的因数结合）、逆用分配律（把相同因数提出来）。 知识点5　有理数的除法法则 法则一（转化法）：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数，即 （）。 法则二（直接法）：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。 说明：0 不能作除数，分数的分母也不能为 0。 一般地，能整除时用法则二比较简便；出现分数时用法则一（转化为乘法）比较简便。 【典例精讲】 例1　计算：（1）；（2）。 解：（1）同号两数相乘得正，； 　　（2）。 例2　用简便方法计算：。 解：原式 　　　　。 点拨：括号内是分数的和，与括号外的整数相乘时，逆用分配律逐项相乘，可以避免通分。要特别注意每一项的符号。 例3　已知 、 互为倒数，、 互为相反数，求 的值。 解：因为 、 互为倒数，所以 ；因为 、 互为相反数，所以 。 所以 。 例4　计算：。 解：原式 （先把除法化为乘法） 　　　　（3 个负因数，积为负） 　　　　。 点拨：乘除混合运算的三个步骤是"化除为乘 → 定符号 → 算绝对值（约分）"。 例5　某冷库温度原来是 ℃，现在每小时上升 ℃，5 小时后冷库的温度是多少？ 解：（℃）。答：5 小时后冷库温度为 ℃。 三、基础巩固 （一）选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1．计算 的结果是（　　） A．　　　B．24　　　C．　　　D．11 2．下列各数中，与 互为倒数的是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 3．若 ，且 ，则（　　） A．，　　　B．， C．、 异号　　　D．无法确定 4．计算 的结果是（　　） A．2　　　B．　　　C．　　　D． 5．已知 ，且 ，，那么 （　　） A．是正数　　　B．是负数　　　C．是 0　　　D．不能确定 6．下列各式中，计算结果是负数的是（　　） A．　　　B． C．　　　D． 7．用分配律计算 ，结果是（　　） A．　　　B．1　　　C．　　　D． 8．已知 ，，且 ，则 的值是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． （二）填空题（每小题 3 分，共 24 分） 9．计算： ____________， ____________。 10． 的倒数是 ____________， 的相反数是 ____________。 11．若一个数的倒数是 ，则这个数是 ____________。 12．计算： ____________， ____________。 13．计算： ____________。 14．若 与 互为倒数，则 ____________。 15．若 ，则 ____________。 16．如图，有理数 、 在数轴上的位置如下，则 ____________ 0， ____________ 0（填""""或""）。 （第 16 题图） （三）解答题（共 52 分） 17．（16 分）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）。 18．（8 分）用简便方法计算： （1）； （2）； （3）。 19．（6 分）计算：。 20．（6 分）已知 与 互为倒数， 与 互为相反数， 的绝对值是 2，求 的值。 21．（8 分）某山区海拔每升高 100 米，气温大约下降 ℃。已知山脚下的气温是 24 ℃，这座山的高度为 1500 米。 （1）用算式表示山顶的气温，并求出结果； （2）若某天山顶的气温为 6 ℃，求此时山脚的气温。 22．（8 分）一个检修小组从 地出发，在东西方向的公路上检修线路。如果规定向东为正，向西为负，某天的行驶记录如下（单位：千米）： ，，，，，，。 （1）收工时，检修小组在 地的哪个方向？距 地多远？ （2）若每行驶 1 千米耗油 升，求这一天共耗油多少升？ （四）能力提升（每小题 8 分，共 24 分） 23．已知 、、 都是不等于 0 的有理数，求 的所有可能的值。 24．计算：。 25．定义一种新运算"※"：对于任意有理数 、，都有 。 （1）求 的值； （2）求 的值； （3）"※"运算满足交换律吗？即 是否总成立？请说明理由。 参考答案与解析 （一）选择题 1．B　解析：两数同号相乘得正，，故 。选 B。易错点：把乘法当成加法算成 。 2．C　解析：设所求数为 ，则 ，所以 。互为倒数的两个数符号相同，把分子分母颠倒即可。选 C。A 是它的相反数，属于典型混淆。 3．B　解析：由 知 、 同号；若同为正数，则 ，与 矛盾，所以 、 同为负数。选 B。 4．A　解析：。选 A。 5．A　解析：因为 ，，所以 。要使 ，即 ，而 ，故 必须为正数（若 ，则积为正；若 ，则积为 0）。选 A。 6．A　解析：A 中有 3 个负因数，个数为奇数，积为负数，；B 中有 4 个负因数，积为正数 1；C 中 ，0 既不是正数也不是负数；D 中 为正数。选 A。 7．A　解析：原式 。选 A。易错点：漏乘或符号出错。 8．B　解析：由 得 ，由 得 。因为 ，所以 、 异号，从而 ，且 ，所以 。选 B。 （二）填空题 9．42；0。解析： 同号得正，等于 42；任何数与 0 相乘都得 0。 10．；（即 ）。解析：，其倒数为 ；相反数只需改变符号，为 。 11．。解析：，它的倒数为 ；验证：。 12．4；。解析：；。 13．。解析：共有 3 个负因数，个数为奇数，积为负；绝对值为 ，故结果为 。 14．。解析：、 互为倒数，则 ，所以 。 15．。解析： 时 ，所以 。 16．；。解析：由数轴可知 ，异号两数相乘、相除都得负数，所以 ，。 （三）解答题 17．（每小题 4 分） （1）解：原式 。 　　　（三个因数中有 3 个负号，积为负，先定符号再算绝对值。） （2）解：原式 。 （3）解：原式 　　　　　。 （4）解：原式 （3 个负因数，积为负） 　　　　　。 　　　点拨：先观察哪些因数互为倒数，用乘法交换律、结合律"凑 1"，可大大简化计算。 （5）解：原式 。 （6）解：原式 。（先把 凑成 10 再乘 。） 18．（每小题 4 分） （1）解：原式 　　　　　。 （2）解：原式 。 　　　点拨：把 99 拆成 ，再用分配律，这是"拆数法"简算的常见思路。 （3）解：逆用分配律，原式 。 　　　点拨：两项中有相同因数时，把它提到括号外，这是分配律的"逆用"。 19．解：原式 　　　　　。 点拨：乘除混合运算要先把除法统一化为乘法，再一次性确定符号，最后约分，切忌"一步一符号"造成混乱。 20．解：因为 、 互为倒数，所以 ；因为 、 互为相反数，所以 ；因为 ，所以 。 当 时，，原式 ； 当 时，，原式 。 所以原式的值为 4 或 2。 易错提醒：由绝对值求原数时不要漏掉负值，需分类讨论。 21．解：（1）1500 米中含有 个 100 米，气温下降 （℃）。 　　　列式：（℃）。答：山顶气温约为 15 ℃。 （2）设山脚气温为 ℃，则山顶气温比山脚低 9 ℃， 　　　所以 （℃）。答：此时山脚的气温约为 15 ℃。 22．解：（1） 　　　　。 　　　答：收工时检修小组恰好回到 地（即在 地，距离为 0）。 （2）共行驶的路程为各记录绝对值的和： 　　　（千米）。 　　　耗油量为 （升）。答：这一天共耗油 32.4 升。 　　　易错提醒：求位置用代数和，求路程（耗油）用绝对值的和，二者不能混淆。 （四）能力提升 23．解：因为 、、 都不等于 0，所以 的值当 时为 1，当 时为 ，、 同理。分四种情况讨论： ①、、 全为正数：，原式 ； ②、、 中恰有 1 个负数：，原式 ； ③、、 中恰有 2 个负数：，原式 ； ④、、 全为负数：，原式 。 所以原式所有可能的值为 4、0、。 24．解：先把每个因数化简：，，，…，。 所以原式 。 前一个因数的分母与后一个因数的分子依次约分（"连锁约分"）， 所以原式 。 25．解：（1）。 （2）先算中括号内：。 　　　再算 。 　　　所以原式的值为 。 （3）不满足交换律。理由：，， 　　　两式相减得 。 　　　只有当 时二者才相等，一般情况下 。 　　　例如取 ，：，而 ，，所以"※"运算不满足交换律。 本课时易错清单：①乘除法中符号判断出错，尤其是多个因数相乘时忘记数负号个数；②把倒数与相反数混淆；③0 作除数；④用分配律时漏乘某一项或符号弄错；⑤由 求 时漏掉负值。 课后反思 1．本节课我掌握得最好的是：______________________________________________________ 2．我还存在的疑问是：__________________________________________________________ 3．错题订正（请把做错的题号和错因写在下面）： ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $