2.5有理数的乘法与除法（知识梳理+同步练习） 2026-2027学年苏科版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦有理数乘除法，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，构建从单一法则到实际问题解决的知识巩固路径，培养运算能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|乘法法则、符号规则、倒数定义|单选题1-5直接考查法则应用，填空题11-13强化概念辨析，夯实运算基础| |能力提升|运算律、乘除混合、新定义运算|单选题6-10结合数轴与实际情境，填空题14-16融入行列式等创新题型，发展推理意识| |综合应用|跨知识点整合、生活实际问题|解答题22-25涉及销售、水费计算等真实情境，培养数据观念与模型意识，体现数学应用价值|

2.5有理数的乘法与除法（知识梳理+同步练习） 知识梳理 一、有理数乘法法则 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 2. 任何数与0相乘，结果都为0。 3. 任何数与1相乘，等于它本身；任何数与-1相乘，等于它的相反数。 二、多个有理数相乘符号规则 1. 几个不为0的数相乘，负因数个数为偶数，积为正；负因数个数为奇数，积为负。 2. 相乘的数中只要有一个为0，积就为0。 三、有理数乘法运算律 乘法交换律： 乘法结合律： 乘法分配律： 运算技巧：凑整约分、正负归类、利用分配律展开或合并简化计算。 四、倒数的定义与性质 乘积为1的两个数互为倒数。 1. 1的倒数是1，-1的倒数是-1。 2. 0没有倒数。 3. 正数的倒数为正数，负数的倒数为负数。 五、有理数除法法则 法则一：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任意非0数，结果为0。 法则二：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 公式： 六、有理数乘除混合运算 1. 运算顺序：从左到右依次计算。 2. 统一转化：所有除法先转化为乘法，统一成连乘运算。 3. 先定符号，再算绝对值，最后约分求值。 七、核心结论 1. 互为倒数的两数符号相同。 2. 0不能做除数，无意义。 3. 乘法可使用运算律调换顺序，除法不可直接调换顺序，必须先化乘。 同步练习 一、单选题 1．（2026·江苏徐州·模拟预测）计算的结果等于（     ） A．7 B． C． D．6 2．（26-27七年级·全国·小升初衔接）（     ） A．2 B． C．1 D．4 3．（26-27七年级·全国·暑假作业）下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）如图，数轴、两点分别对应实数、，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）内蒙古奶茶，是鄂尔多斯牧民待客的常见饮料，煮一锅内蒙古奶茶，其中牛奶占整锅奶茶质量左右，砖茶汤占左右，如果整锅奶茶的总质量为千克，那么牛奶的质量可能是（     ） A．千克 B．千克 C．千克 D．千克 6．（26-27七年级上·江苏徐州·开学考试）如图，张叔叔从A地出发去C地，然后返回，去时经过B地加油，而返回时不停，返回时的速度是90千米/时，那么去时的速度是（     ）千米/时． A．90 B．80 C．72 D．100 7．（2026·河北·中考真题）嘉嘉在美术课上了解到，用不同比例的红、黄两种颜料能调配出多种暖色调颜色．如图，根据红色颜料的占比，可以将调配出的颜色分为①、②、③、④等四类．用红色颜料和黄色颜料调配出的颜色属于（     ） A．①类 B．②类 C．③类 D．④类 8．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）规定是一种特殊运算符号，且，，…，则的值为（     ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）四个互不相等整数，满足，则（    ） A．0 B．12 C． D．6 10．（25-26七年级上·天津河东·期末）已知a，b是有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列结论：①；②；③；④若，c是有理数，且满足，则．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 二、填空题 11．（2026·江西·中考真题）有理数的倒数为_____________． 12．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： ______． 13．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）下列有理数的运算中正确的有___________（填序号） ①   ②   ③    ④ 14．（25-26七年级·全国·暑假作业）已知，，，则的值等于____________． 15．（25-26七年级下·云南文山·期末）把四个数字分成横着两行、竖着两列，左右各画一根竖线包住，横着的一组数叫一行，从上往下是第一行、第二行；竖着的一组数叫一列，从左往右是第一列、第二列.这个整体就叫二阶行列式．例如我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，如，请你计算的值为______． 16．（25-26七年级下·重庆·开学考试）如果（甲、乙、丙、丁都不为），那么把甲、乙、丙、丁数从小到大依次排列后第三个是_______． 17．（2026·山东潍坊·二模）如图，数轴上点，，表示的数分别是，，，且，则________（填“，或”）． 18．（26-27七年级上·湖北武汉·开学考试）根据规律，“？”处应填___________． 19．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）爱动脑筋的小明设计了一种“幻圆”游戏，将，，，，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，若他已经将，，，这四个数填入了圆圈，则图中的值为_____ 20．（25-26七年级上·天津·阶段检测）若，则的值是______． 三、解答题 21．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 22．（25-26六年级下·上海·期末）某淘宝商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车100辆，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有差距．下表是本周每天的销售情况（超额记为正．不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差额（辆） (1)本周四销售该品牌儿童滑板车 辆； (2)本周销售量最多的一天比最少的一天多 ； (3)通过计算说明，本周实际销售总量是否达到了计划？ 23．（26-27七年级上·江苏宿迁·开学考试）学校篮球队要买50个篮球，张老师去了甲、乙、丙三家专卖店，单价都是75元，但促销方式各不相同．甲专卖店：买十送二；乙专卖店：打八折；丙专卖店：每满100元返现金20元．如果只在一家专卖店买，张老师选择哪家专卖店买最省钱？ 24．（26-27七年级上·湖南·开学考试）为鼓励居民节约用水，长沙市自来水公司制定了下面的收费方式：每户每月用水吨以内（含吨），按元/吨收取；超出吨但不超过吨（含吨）的部分，按元/吨收取，超过吨的部分，按元/吨收取． (1)小明家月份用水吨，应缴水费多少元？ (2)小明家月份用了吨水，应缴水费多少元？ (3)小红家月份缴水费元，她家月份用水多少吨？ 25．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）某平台和政府合作推出了“平台政府补贴”优惠政策．为了鼓励消费者购买节能环保产品，这个平台的家电产品政府补贴标准见下表： 能效等级 补贴比例 补充说明 一级能效 产品销售价格的 一级能效产品最高补贴不超过2000元（即超过2000元的，最高只能补贴2000元）；二级能效最高补贴1500元（同前） 二级能效 产品销售价格的 周叔叔家在“平台政府补贴”优惠期内购买了2件家电，一共获得2400元的政府补贴．他购买的电器可能是哪两件？（写出一种情况即可） 试卷第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B C C B C B A A 1．C 【详解】解：． 2．D 【详解】解：． 3．B 【详解】解：A、有2个负因数，积的符号为正，不符合题意； B、有3个负因数，积的符号为负，符合题意； C、积为0，不符合题意； D、有4个负因数，积的符号为正，不符合题意． 4．C 【详解】解：由题意可知，， ∴，，，， 综上可知，选项C正确． 5．C 【详解】解：砖茶汤占整锅奶茶质量左右，总质量为千克，则砖茶汤质量约千克． 牛奶占比左右，小于砖茶占比，故牛奶质量小于千克，排除A、B选项．（千克），剩余选项中千克更接近千克，C符合要求． 6．B 【详解】解：∵张叔叔返回时的速度是90千米/时，返回时间为（分）， ∴返回的路程为：（千米）， ∵去时的时间为：（分）， ∴去时的速度为：（千米/时）． 7．C 【详解】解：∵红色颜料质量为，黄色颜料质量为 ∴调配出的颜料总质量为 ∴红色颜料的占比为 ∵ ∴该颜色属于③类 ． 8．B 【详解】解：． 9．A 【详解】解：∵，且是互不相等的整数，将81分解为四个互不相等整数的乘积，可得： ， 或， 或， 或， 或， ∴， 或， 或 或， 或， 观察四个选项，只有0符合，故A正确． 10．A 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴，； 若，， 则：或； 综上：①②③正确，④错误； 故答案为：①②③ 11． 【详解】解：有理数的倒数为． 12．1 【详解】解：． 13．② 【详解】解：对四个式子逐一计算判断：①，，故①错误； ②，结果正确，故②正确； ③，，故③错误； ④，，故④错误； 综上正确的有②． 14．8或 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴当时，，，两种情况均不符合条件，舍去， ∴， ①当，时，满足， ； ②当，时，满足， ； 综上所述，的值为或． 15．16 【详解】解：∵把称作二阶行列式，规定它的运算法则为， ∴． 16．甲 【详解】解：设， 则，，，， 比较大小得，即， 因此从小到大依次排列后，第三个数是甲． 17． 【详解】解：， 点是线段的中点， 根据中点公式：， 等式两边同时乘以，得：， 由数轴可知：， ，即． 18． 【详解】解：方框1： 方框2： 方框3： 规律：第一行的两个数的和与第二行第一个数的积等于第二行的第二个数． “？”处应填． 19．或 【详解】解：∵， ∴， 即：， ∵， ∴， 当时，， 当时，， 综上：或． 20．或 【详解】解：当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 综上所述，的值是或， 故答案为：或． 21．(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 22．(1) (2)辆 (3)本周实际销售总量达到了计划 【详解】（1）解：（辆）， 答：本周四销售该品牌儿童滑板车92辆； （2）解：（辆）， 答：本周销售量最多的一天比最少的一天25辆； （3）解：（辆）， （辆）， ， 故本周实际销售总量达到了计划. 23．张老师选择乙专卖店买最省钱 【详解】解：甲专卖店：付10个的钱可获得：（个）篮球， ， ∴需付费购买的篮球数量为：（个）， 总花费为：（元）， 乙专卖店：总花费为（元）， 丙专卖店：50个篮球总原价为（元）， ， ∴可返现金额为（元）， 实际花费为（元）， ∵， ∴乙专卖店花费最少， 答：张老师选择乙专卖店买最省钱． 24．(1)元 (2)元 (3)吨 【详解】（1）解：吨吨， 按第一档计费：（元）； 答：小明家月份用水吨，应缴水费元； （2）解：吨吨吨， 分两档计费：吨费用：（元） ， 超出吨的部分：（吨），费用（元）， 总水费：（元）； 答：月份用了吨水，应缴水费元； （3）解：吨总水费元， 吨总水费： （元） ， ， 用水量在吨之间， 超出吨的费用：（元） ，超出吨的水量：（吨）， 总用水量：（吨）． 答：她家月份用水吨． 25．电冰箱和洗衣机或电视机和空调 【详解】解：购买一台电冰箱，， 则购买一台电冰箱的政府补贴为2000元， 购买一台电视机的政府补贴为元， 购买一台洗衣机的政府补贴为元， 购买一台空调的政府补贴为元， 因为周叔叔家在“平台政府补贴”优惠期内购买了2件家电，一共获得2400元的政府补贴，， 所以他购买的电器可能是电冰箱和洗衣机或电视机和空调． $