专题27.1反比例函数的概念专项练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 以“定义本质—情境应用—素养拓展”为主线，构建“模块通关-专题攻坚-压轴突破”三阶训练体系，突出反比例函数概念的系统性理解与核心素养培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |反比例函数的识别|典例1+3变式|紧扣“乘积为非零常数”本质特征，等价形式转化判断|概念辨析基础，建立定义认知| |求参数|典例1+3变式|定义双条件（形式+系数非零），幂指数与系数验证|定义深化，参数问题逻辑推理| |列关系式（几何/物理/生活/图表）|4微专题各典例1+3变式|抓常量建模型，图表数据乘积验证，实际意义约束|概念应用，跨学科模型意识培养| |压轴突破|2压轴各典例1+3变式|规律探索中乘积不变验证，新定义问题转化为标准形式|综合拓展，抽象能力与创新意识提升|

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 纳无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题27.1反比例函数的概念》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 反比例函数的识别 微专题三 求反比例函数中自变量的取值范围 模块2 根据反比例函数的定义求参数 微专题四 列反比例函数关系式-图表信息类 模块3 求反比例函数中自变量的取值范围 压轴一 反比例函数定义背景下的规律探索 模块4 求反比例函数的解析式 压轴二 反比例函数定义背景下的新定义问题 微专题一列反比例函数关系式-几何图形类 通关检测·实战演练 微专题二列反比例函数关系式-物理公式类 知识梳理 · 基础溯源 知识点1 反比例函数的定义 1.定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例．即，或表示为，其中是不等于零的常数． 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数． 2.注意： （1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是．故函数图像与轴、轴无交点． （2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件． （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式． 知识点2列反比例关系式 1.理解题意:找出实际问题中的已知量和变量(自变量，因变量)，将文字或图形语言转化为数学语言; 2.分析关系:找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式; 3.列函数表达式:设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示的 函数的形式. 模块通关·举一反 三 【模块一】反比例函数的识别 识别一个函数是否为反比例函数，要紧扣定义中的本质特征：两个变量的乘积保持为一个非零常数。也就是说，无论关系式以 y=k/x、xy=k 还是 y=kx-1 的形式出现，只要化简后能转化为这些等价形式，且 k 为非零常数，就可以判定它是反比例函数。因此判断时可先对关系式进行整理变形，观察能否写成上述标准结构；对于实际问题，则应先分析两个变量之间是否存在乘积不变的关系，再结合题目情境确认自变量的取值范围。 【典例1】下列函数中，是反比例函数的为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的定义即可求解． 【详解】解：A. ，不是反比例函数，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，不是反比例函数，故该选项不正确，不符合题意； C. ，是反比例函数，故该选项正确，符合题意；     D. ，不是反比例函数，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的几种形式是解题的关键． ()或或的函数是反比例函数． 【变式1-1】下列式子中，y是x的反比例函数的是　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的定义进行判断． 【详解】A、该函数式表示y与x2成反比例关系，故本选项错误； B.该函数式表示y与x成正比例关系，故本选项错误； C.该函数式属于复合函数，故本选项错误； D.由原式得到y=，符合反比例函数的定义，故本选项正确； 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式y＝（k≠0）转化为y=kx-1（k≠0）的形式． 【变式1-2】下列函数不是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的意义分别进行分析即可.形如：y＝()或或的函数是反比例函数． 【详解】A. ，是反比例函数，不符合题意； B. ，是反比例函数，不符合题意；     C. ，不是反比例函数，符合题意；     D. ，是反比例函数，不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的几种形式是解题的关键． 【变式1-3】下列函数：①y＝2x，②y＝，③y＝x﹣1，④y＝．其中，是反比例函数的有（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据反比例函数的定义，逐项分析判断即可．解析式符合的形式为反比例函数． 【详解】解：①y是x正比例函数； ②y是x反比例函数； ③y是x反比例函数； ④y是x+1的反比例函数． 综上所述，是反比例函数的有②③，共计2个 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，将一般转化为y=kx﹣1，是解题的关键． 【模块二】根据反比例函数的定义求参数 根据反比例函数的定义求参数，核心仍要抓住定义中的两个必要条件：解析式可以化成 y=k/x 或 y=kx⁻¹ 的等价形式，且比例系数 k 不为零。由于解析式中含有待定字母，不能直接判断，需要先将其整理为 x 的幂的乘积形式，再根据定义列出关于参数的条件。常见的一类是根据“该函数为反比例函数”求参数值，此时一般令 x 的指数等于 -1，解出参数后，再代回比例系数，确认其不为零，两者缺一不可。另一类是根据一组对应值或图像上一点的坐标求解析式中的待定系数，此时可直接代入 y=k/x 或 xy=k 中求出 k 的值。 【典例2】若函数是反比例函数，则的值为(　　) A．4 B． C．4或 D．0 【答案】A 【分析】根据自变量的指数等于1，且系数不等于0列式求解即可 【详解】解：由题意得， ，且， 解得：． 故选A． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义．一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数． 【变式2-1】函数是反比例函数，则k=（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据反比例函数的定义：形如的函数叫做反比例函数，进行求解即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，解题的关键在于能够熟知反比例函数的定义． 【变式2-2】若为关于的反比例函数，则的值是（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据反比例函数定义直接列式求解即可得到答案． 【详解】解：∵为关于的反比例函数， ∴， 解得， 故选B． 【点睛】本题考查反比例函数的定义：形如的函数，叫反比例函数． 【变式2-3】若函数是反比例函数，则为（  ） A．±2 B．2 C．-2 D．以上都不对 【答案】C 【分析】让反比例函数中未知数的次数为-1，系数不为0列式求值即可． 【详解】∵y=(n-2)是反比例函数， ∴， 解得：n=-2. 故答案选C. 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是熟练地掌握反比例函数的定义. 【模块三】求反比例函数中自变量的取值范围 求这类问题的关键是抓住分母不为零这一根本条件。在纯数学问题中，反比例函数 y=k/x（k≠0）的自变量 x 只要保证分母不为零即可，因此其取值范围为所有非零实数。但在实际问题中，自变量往往还受到实际意义的约束，例如路程、时间、面积、价格等量通常取正值，有时还需考虑变量只能取某些特定数值，不能只写 x≠0。 求自变量的取值范围时，通常可按以下步骤进行：先观察解析式的形式，如果除分母外还有其他限制条件，如根式中的被开方数必须非负，需要同时满足这些条件；再结合题目给出的实际背景，判断自变量是否只能取正数、非负整数或某一区间内的值；最后把纯数学条件与实际限制条件综合起来，写出最终取值范围。 【典例3】下列函数中，哪些是反比例函数？是反比例函数的，指出其比例系数和自变量的取值范围． (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)不是反比例函数 (2)是反比例函数，比例系数是，自变量的取值范围是 (3)是反比例函数，比例系数是，自变量的取值范围是 (4)不是反比例函数 【分析】根据反比例函数的定义：形如的函数，进而可依此进行求解． 【详解】（1）不是反比例函数． （2）是反比例函数，比例系数是，自变量的取值范围是． （3）是反比例函数，比例系数是，自变量的取值范围是． （4）不是反比例函数． 【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 【变式3-1】．函数中，自变量的取值范围是（　　） A．x≠0 B．x≠1 C．x>1 D．x≥1 【答案】B 【分析】分式有意义的条件是分母不等于0，根据这个条件就可以求出x的范围． 【详解】根据题意得：x-1≠0 解得x≠1， 故选B. 【点睛】考查自变量的取值范围，掌握分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键. 【变式3-2】．函数中，自变量的取值范围是（　　） A．＞2 B．≥2 C．≤2 D．＜2 【答案】A 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0求解即可． 【详解】根据题意得，x-2＞0， 解得，x＞2. 故选A. 【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 【变式3-3】已知函数，当函数值为3时，自变量x的值为（　　） A．﹣2 B．﹣ C．﹣2或﹣ D．﹣2或﹣ 【答案】A 【分析】根据分段函数的解析式分别计算，即可得出结论． 【详解】解：若x＜2，当y=3时，﹣x+1=3， 解得：x=﹣2； 若x≥2，当y=3时，﹣=3， 解得：x=﹣，不合题意舍去； ∴x=﹣2， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质、一次函数的图象上点的坐标特征；根据分段函数进行分段求解是解题的关键． 【模块四】求反比例函数的解析式 求反比例函数的解析式，通常采用待定系数法。因为反比例函数的一般形式为 y=k/x（k≠0），其中只有一个待定系数 k，所以只要根据题目给出的一个独立条件求出 k 的值，解析式即可确定。具体操作时，先设出反比例函数的解析式 y=k/x，并注明 k≠0；再将已知的一组 x 与 y 的对应值代入，或将图像经过的某一点坐标代入，得到关于 k 的方程；解方程求得 k 的值后，代回所设解析式，检验 k 是否确实不为零，最后写出完整解析式。 在实际问题中，有些条件并不直接给出 x 与 y 的对应值，而是给出两个变量之间的乘积关系。这时可以利用反比例函数的等价形式 xy=k，直接将已知的两个量相乘得到 k，再根据实际意义判断 k 的正负及其是否符合题意。若题目中的两个变量成反比例关系，但给出的是一些变化过程中的对应数据，也需要先判断它们是否满足乘积不变这一特征，再建立解析式。 【典例4】已知y与成反比例函数关系，且当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了函数．熟练掌握待定系数法求函数解析式，求函数值，是解决问题的关键． （1）设该函数的解析式为根据时，，求得，即得； （2）把代入（1）中所得解析式即得． 【详解】（1）∵y与成反比例函数关系， ∴设该函数的解析式为， ∵时，， ∴， ∴， ∴y与x之间的函数表达式为：； （2)∵， ∴当时，． 【变式4-1】．y与x成反比例，当时，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法即可求解． 【详解】设．根据题意得：， 解得：， 即函数解析式是． 故选：D． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式．待定系数法是求函数解析式最常用的方法，需要熟练掌握． 【变式4-2】已知反比例函数的图像经过点，则下列各点中也在该函数图像上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用待定系数法求出的值，再分别计算出四个选项中的点的横纵坐标的积，等于的值的就在反比例函数图像上，反之则不在． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过点， ∴， A.，故此点不在此函数图像上； B.，故此点在此函数图像上； C.，故此点不在此函数图像上； D.，故此点不在此函数图像上． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征，关键是掌握图像上的点的横纵坐标的积是定值，即． 【变式4-3】已知点、点都在反比例函数的图像上，则k的值为 ____． 【答案】 【分析】根据反比例函数图像上点的坐标特征得到得到关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：∵点、点都在反比例函数的图像上， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，反比例函数中横纵坐标的积是定值k． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】列反比例函数关系式-几何图形类 在几何图形类问题中，列反比例函数关系式时，通常没有直接给出的两组对应值，而是把关系隐含在图形的面积、线段比或动点位置中。基本思路是先根据图形结构设出关键点的坐标，把相关线段用含 x 或 y 的式子表示出来；再抓住反比例函数图像上任意一点都满足 xy=k 这一本质，结合矩形、三角形面积公式或相似三角形对应边成比例建立关于 k 的等式；解出 k 后，再根据图像所在象限确定其正负，最后写出关系式。 【典例5】在面积为定值的一组矩形中，当矩形的一边长为时，它的另一边长为． (1)设矩形相邻的两边长分别为，求y关于x的函数表达式．这个函数是反比例函数吗？如果是，指出比例系数． (2)若其中一个矩形的一条边长为，求这个矩形与之相邻的另一边长． 【答案】(1)，是反比例函数，比例系数为60 (2)这个矩形与之相邻的另一边长为12cm 【分析】（1）根据矩形的面积及反比例函数的定义即可求解； （2）把代入（1）中函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：设矩形的面积为，则， 即，， 即关于的函数解析式是，这个函数是反比例函数，系数为60； （2）解：当时，， 故这个矩形与之相邻的另一边长为12cm． 【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键 【变式5-1】设面积为的三角形的一条边长为，这条边上的高线长为． (1)求h关于a的函数表达式和自变量a的取值范围． (2)h关于a的函数是不是反化例函数？如果是，说出它的比例系数． (3)求当边长时，这条边上的高线长． 【答案】(1)，自变量a的取值范围为 (2)是反比例函数，比例系数为20 (3)这条边上的高线长为8cm 【分析】（1）根据平行四边形的面积公式可得，进而得出与的函数关系式，结合的意义确定其取值范围； （2）根据反比例函数的定义和一般形式解答即可； （3）将代入（1）中的函数表达式求解的值即可． 【详解】（1）解：根据题意得， ， ∵为三角形的边长， ∴． （2）答：关于的函数是反比例函数，它的比例系数是20． （3）解：当时，这条边上的高． 【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键 【变式5-2】用函数解析式表示下列问题中变量间的对应关系： （1）一个游泳池的容积为，游泳池注满水所用时间t（单位：h）随注水速度v（单位：）的变化而变化； （2）某长方体的体积为，长方体的高h（单位：）随底面积S（单位：）的变化而变化； （3）一个物体重，物体对地面的压强p（单位：）随物体与地面的接触面积S（单位：）的变化而变化． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）根据游泳池的容积=游泳池注满水所用时间×注水速度解答即可； （2）根据长方体的体积=长方体的底面积×高求解即可； （3）根据物体对地面的压强=物体重量÷物体与地面的接触面积解答即可． 【详解】解：（1）根据vt=2000得：游泳池注满水所用时间； （2）根据1000=Sh得：长方体的高； （3）根据题意，物体对地面的压强． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解答的关键． 【变式5-3】如图，在中，，．动点分别在直线上运动，且始终保持．设，，则与之间的函数关系可以表示为________． 【答案】y= 【分析】由AB＝AC，∠BAC＝20°，得∠ABC＝80°，即∠P+∠PAB＝80°，由∠BAC＝20°，∠PAQ＝100°，得∠PAB+∠QAC＝80°，由此可得∠P＝∠QAC，同理可证∠PAB＝∠Q，从而证明△PAB∽△AQC，利用相似比求函数关系式． 【详解】解：∵AB＝AC，∠BAC＝20°， ∴∠ABC＝（180°-∠BAC）÷2＝80°，即∠P+∠PAB＝80°， 又∵∠BAC＝20°，∠PAQ＝100°， ∴∠PAB+∠QAC＝80°， ∴∠P=∠QAC， 同理可证∠PAB＝∠Q， ∴△PAB∽△AQC， ∴，即， ∴y=， 故答案为：y=． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是利用等腰三角形的性质，外角的性质证明角相等，从而证明三角形相似，利用相似比得函数关系式． 【微专题二】列反比例函数关系式-物理公式类 在物理公式类问题中，列反比例函数关系式通常不需要通过图形面积或相似关系寻找等量，而是直接依托物理学中的基本公式。这类题目的关键是先明确哪些物理量在给定条件下保持不变，再把原公式变形成“一个变量等于常量除以另一个变量”的形式，使反比例关系显现出来。例如，当压力 F 一定时，压强 p 与受力面积 S 之间满足 p=F/S，其中 F 为常量；当电压 U 一定时，电流 I 与电阻 R 之间满足 I=U/R，其中 U 为常量。变形成 y=k/x 后，k 就是题目中保持不变的那个物理量，它的物理意义往往比单纯的数值更重要。 【典例6】如图，阻力为，阻力臂长为．设动力为，动力臂长为（图中杠杆本身所受重力略去不计．杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂）． (1)求y关于x的函数表达式这个函数是反比例函数吗？如果是，说出比例系数． (2)求当时，函数y的值，并说明这个值的实际意义． (3)利用y关于x的函数表达式，说明当动臂长扩大到原来的倍时，所需动力将怎样变化？ 【答案】(1)函数的表达式为，这个函数是反比例函数，比例系数是5000 (2)这个函数值的实际意义是，当动力臂长为时，所需动力为 (3)当动力臂长扩大到原来的n倍时，所需动力缩小到原来的 【分析】（1）根据动力×动力臂=阻力×阻力臂可进行求解； （2）把代入（1）中函数关系式可进行求解； （3）设原来的动力臂长为，动力为；扩大后的动力臂长为，动力为，进而代入函数关系式可进行求解． 【详解】（1）解：根据题意，得， 所以所求函数的表达式为． 这个函数是反比例函数，比例系数是5000． （2）解：当时， ． 这个函数值的实际意义是，当动力臂长为时，所需动力为． （3）解：设原来的动力臂长为，动力为；扩大后的动力臂长为，动力为． 将分别代入， 得． ∴． 所以当动力臂长扩大到原来的n倍时，所需动力缩小到原来的． 【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义及动力×动力臂=阻力×阻力臂是解题的关键． 【变式6-1】一辆汽车前灯电路上的电压保持不变，通过灯泡的电流越大，灯就越亮．设选用灯泡的电阻为，通过的电流强度为． (1)若电阻为，通过的电流强度为，求I关于R的函数表达式，并说明比例系数的实际意义． (2)如果电阻大于，那么与原来的相比，汽车前灯的亮度将发生什么变化？ 【答案】(1)所求的函数表达式为．比例系数是12，在本题中的实际意义是指汽车前灯的电压为 (2)当电阻大于时，电流强度I变小，汽车前灯将变暗 【分析】（1）根据欧姆定律知，I与R成反比例，设，然后待定系数法进行求解函数解析式即可； （2）设电阻，此时通过灯泡的电流强度，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：在题设条件下，电压U是不为零的常数．由欧姆定律知，I与R成反比例，设． 由题意知，当时，， ∴， ∴． 所以所求的函数表达式为．比例系数是12，在本题中的实际意义是指汽车前灯的电压为． （2）解：设电阻，此时通过灯泡的电流强度． ∵， ∴，即． 也就是说，当电阻大于时，电流强度I变小，汽车前灯将变暗． 【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义及欧姆定律是解题的关键． 【变式6-2】如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当时，． (1)求y关于x的函数解析式． (2)变化蜡烛和小孔之前的距离，某一时刻像高为3cm，请回答蜡烛是怎样移动的？ 【答案】(1)函数解析式为 (2)蜡烛向小孔方向移动了 【分析】（1）根据待定法求反比例函数的解析式即可； （2）根据解析式代入数值解答即可． 【详解】（1）解：设解析式为 把，代入得： 解得 ∴函数解析式为； （2）当像高为时，即 将代入得： 解得：， 而 ∴蜡烛向小孔方向移动了． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键 【变式6-3】在探究欧姆定律时，小明发现小灯泡电路上的电压保持不变，通过小灯泡的电流越大，灯就越亮．设选用小灯泡的电阻为，通过的电流强度为．欧姆定律公式： (1)若电阻为，通过的电流强度为，求关于的函数表达式； (2)如果电阻小于，那么与原来的相比，小灯泡的亮度将发生什么变化？并说明理由． 【答案】(1) (2)小灯泡的亮度将比原来的灯泡更亮，理由见解析 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据反比例函数的性质得出，进而即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意知，I关于R成反比例函数关系， 设，则， 解得， ∴关于的函数表达式为； （2）小灯泡的亮度将比原来的灯泡更亮，理由如下： 当时，， 即， ∴小灯泡的亮度将比原来的灯泡更亮． 【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【微专题三】列反比例函数关系式-生活经济类 在生活经济类问题中，列反比例函数关系式通常依托常见的总量不变的数量关系。比如总价一定时，单价与购买数量成反比；工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比；路程一定时，速度与时间成反比；总费用一定时，每人分摊费用与人数成反比。列关系式时，先确定题目中哪个总量始终保持不变，把它作为 k，再根据基本数量关系把目标量写成 y=k/x 的形式。例如，设总价为 k，则单价=总价÷数量，即 y=k/x，其中 x 表示数量，y 表示单价，这样就能直接反映两个变量之间的反比例特征。 常见问题的处理主要有两类。一类是题目中已明确某个总量为定值，或通过“总”“共”“一定”等词语暗示总量不变，此时直接把该总量作为 k 写入解析式即可。另一类是题目中没有给出具体总量，但可以结合生活实际把总量看作单位“1”，例如工程问题中工作总量视为“1”，则工作效率=1÷工作时间，同样能转化为反比例关系。无论哪类情况，都不能仅凭“一个量随另一个量增大而减小”就判定为反比例关系，必须看两个变量的乘积是否保持不变。 【典例7】华润苏果超市计划购进甲、乙两种商品，已知甲的进价比乙多20元/件，用2000元购进甲种商品的件数与用1600元购进乙种商品的件数相同． （1）求甲、乙两种商品的进价各是多少元？ （2）小丽用960元只购买乙种商品，她购买乙种商品件，该商品的销售单价为元，列出与函数关系式？若超市销售乙种商品，至少要获得20%的利润，那么小丽最多可以购买多少件乙种商品？ 【答案】（1）甲商品的进价为100元/件，乙商品的进价为80元/件；（2）；小丽最多可以购买10件乙种商品． 【分析】（1）设乙商品的进价为x元/件，根据用2000元购进甲种商品的件数=用1600元购进乙种商品的件数即可列出关于x的方程，解方程并检验即得结果； （2）根据购买乙种商品的数量=960除以该商品的销售单价即得与的函数关系式；由超市销售乙种商品，至少要获得20%的利润可得关于x的不等式，解不等式即可求出x的范围，进一步即可求出结果． 【详解】解：（1）设乙商品的进价为x元/件，则甲商品的进价为（x+20）元/件， 根据题意，得：， 解得：x=80， 经检验：x=80是所列方程的解，x+20=100， 答：甲商品的进价为100元/件，乙商品的进价为80元/件． （2）与的函数关系式为； 根据题意，得：，解得：， ∴，即小丽最多可以购买10件乙种商品． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和列出实际问题中的反比例函数关系式，属于常考题型，正确理解题意、找准相等与不等关系是解题的关键． 【变式7-1】某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂每月生产只（取正整数），这个月的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等量关系“每只玩具熊猫的成本=总成本÷数量”列出关系式即可． 【详解】解：由题意得：y与x之间满足的关系为． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数在实际生活中的运用，重点是找出题中的等量关系． 【变式7-2】华润苏果超市计划购进甲、乙两种商品，已知甲的进价比乙多20元/件，用2000元购进甲种商品的件数与用1600元购进乙种商品的件数相同． （1）求甲、乙两种商品的进价各是多少元？ （2）小丽用960元只购买乙种商品，她购买乙种商品件，该商品的销售单价为元，列出与函数关系式？若超市销售乙种商品，至少要获得20%的利润，那么小丽最多可以购买多少件乙种商品？ 【答案】（1）甲商品的进价为100元/件，乙商品的进价为80元/件；（2）；小丽最多可以购买10件乙种商品． 【分析】（1）设乙商品的进价为x元/件，根据用2000元购进甲种商品的件数=用1600元购进乙种商品的件数即可列出关于x的方程，解方程并检验即得结果； （2）根据购买乙种商品的数量=960除以该商品的销售单价即得与的函数关系式；由超市销售乙种商品，至少要获得20%的利润可得关于x的不等式，解不等式即可求出x的范围，进一步即可求出结果． 【详解】解：（1）设乙商品的进价为x元/件，则甲商品的进价为（x+20）元/件， 根据题意，得：， 解得：x=80， 经检验：x=80是所列方程的解，x+20=100， 答：甲商品的进价为100元/件，乙商品的进价为80元/件． （2）与的函数关系式为； 根据题意，得：，解得：， ∴，即小丽最多可以购买10件乙种商品． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和列出实际问题中的反比例函数关系式，属于常考题型，正确理解题意、找准相等与不等关系是解题的关键． 【变式7-3】某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装一批空调，计划是每天组装的数量y（台/天）与组装的时间x（天）之间的关系如下表： 组装的时间x（天） 30 45 60 每天组装的数量y（台/天） 300 200 150 (1)求y关于x的关系式； (2)某商场以进货价为每台2500元购进这批空调．调查发现，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；当销售价每降低100元时，平均每天就能多售出4台．商场要想这批空调的销售利润平均每天达到3500元，且让顾客得到最大优惠，每台空调的定价为多少元？ 【答案】(1)y关于x的关系式为； (2)每台空调的定价为2750元． 【分析】（1）由表格知，y关于x的函数关系为反比例函数关系，利用待定系数法即可求解； （2）设销售单价降低x元，则每台的销售利润为元，平均每天的销售量为台，利用每天销售冰箱获得的利润=每台的利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴y关于x的函数关系为反比例函数关系， 设y关于x的函数解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴y关于x的关系式为； （2）解：设销售单价降低x元，则每台的销售利润为元，平均每天的销售量为台， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 让顾客得到最大优惠，销售单价应降低150元， ∴每台空调的定价为(元)． 答：每台空调的定价为2750元． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【微专题四】列反比例函数关系式-图表信息类 图表信息类问题重在从表格、图像或统计图中读取两个变量的对应值，并判断它们是否成反比例。与生活经济类直接给出总量不同，图表中的总量往往隐含在数据关系里，需要先通过数据特征或图像形状识别关系类型。分析表格时，可选取若干组对应值，分别计算两个变量的乘积，若乘积在允许误差范围内保持恒定，就可把这个恒定的积作为 k，进而写出 y=k/x；如果各组乘积明显不等，则不能贸然认定为反比例关系。对于函数图象，若呈现为以坐标轴为渐近线的双曲线，且两支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，可初步判断符合反比例函数特征，再任取图象上一个已知坐标的点代入 xy=k，求出 k 并验证其他点是否满足。需要注意的是，图表中的图象也可能是双曲线的一部分，例如只保留第一象限的一支，或受实际背景限制只显示某一段，此时不能随意补出不存在的一支。 【典例8】某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作．已知该品牌运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如表所示： 第1天 第2天 第3天 第4天 售价(元/双) 150 200 250 300 销售量(双) 40 30 24 20 (1)观察表中数据，x，y满足什么关系式？并写出用表示的函数表达式； (2)若商场计划每天的销售利润为元，则每双运动鞋的售价应定为多少元？ 【答案】(1)， (2)若商场计划每天的销售利润为元，则每双运动鞋的售价应定为元 【分析】（1）观察表格数据，发现x与y的乘积保持不变，由此得到反比例函数表达式； （2）根据“售价进价销售量利润”列出式子，整理即可求解． 【详解】（1）（1）由表中数据得：， ， 是的反比例函数， 故所求函数关系式为； （2）由题意得：， 把代入得：， 解得：； 经检验，是原方程的根，符合题意. 答：若商场计划每天的销售利润为元，则每双运动鞋的售价应定为元． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用，反比例函数的解析式，理解题目信息，找到等量关系，列出方程是解题的关键，分式方程求解之后记得检验． 【变式8-1】已知y是x的反比例函数，下表列出了x与y的一些对应值． x … -4 -3 -2 -1 2 3 … y … 6 -18 … (1)写出这个反比例函数的表达式； (2)根据表达式完成上表． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】（1）设反比例函数的表达式为y=，找出函数图象上一个点的坐标，然后代入求解即可； （2）将x或y的值代入函数解析式求得对应的y或x的值即可． 【详解】解：（1）设反比例函数的表达式为y=， 把代入得， （2）将y=代入得：； 将代入得：y=； 将代入得：y=9； 将代入得：y=18， 将代入得：x=1； 将x=2代入得：， 将x=3代入得：． 【点睛】本题主要考查的是反比例函数的定义、函数图象上点的坐标与函数解析式之间的关系，求得函数的解析式是解题的关键． 【变式8-2】在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如下表： 体积x(mL) 100 80 60 40 20 压强y(kPa) 60 75 100 150 300 则可以反映y与x之间的关系的式子是(　　) A．y＝3000x B．y＝6000x C．y＝ D．y= 【答案】C 【分析】利用表格中数据得出函数关系，进而求出即可． 【详解】解：此函数是反比例函数，设解析式为：y=,则xy=k=6000， 故y与x之间的关系是y=． 故选C． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列反比例函数关系式，熟练掌握其性质是解题的关键． 【变式8-3】测量质量都是的金、铜、铁、铝四种金属块的体积，获得数据如表所示．表中表示金属块的密度．已知锌的密度是，金的密度是，请完成表．V与有什么数量关系？能用一个函数表达式表示吗？ 金属种类相关量 金 铜 铁 锌 铝 5.18 11.21 12.82 35.84 19.30 7.14 【答案】表格见详解；V与符合的函数关系 【分析】根据公式可分别进行求解． 【详解】解：根据公式且它们的质量都为， ∴铜的密度为；铁的密度为；锌的体积为；铝的密度为； ∴补全表格如下： 金属种类相关量 金 铜 铁 锌 铝 5.18 11.21 12.82 14.01 35.84 19.30 8.92 7.80 7.14 2.79 ∴V与符合的函数关系． 【点睛】本题主要考查反比例函数定义，熟练掌握是解题的关键． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】 反比例函数定义背景下的规律探索 在利用反比例函数定义进行规律探索时，通常需要从形如 (为常数，)的解析式结构出发，先判断变量之间是否满足“乘积为定值”这一核心特征，再从具体数据或图形中归纳出一般规律。探索过程中，可先计算各组对应值的乘积，观察乘积是否保持不变，进而确认变化关系；同时要注意自变量的取值范围，一般要求自变量不能为零，且实际问题中还需结合具体情境排除不合题意的取值。在归纳规律时，应避免仅凭少量数据就轻易下结论，需结合函数定义进行验证。此外，还要注意区分反比例函数与一次函数、正比例函数等其他关系，尤其要关注解析式中系数的实际意义，防止将非反比例关系误判为反比例函数。 【典例9】两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P1，P2，P3，…，P2021在反比例函数的图象上，它们的纵坐标分别为y1，y2，y3，…，y2021，横坐标分别为2，4，6，…，共2021个偶数，过点P1，P2，P3…，P2021分别作y轴的垂线，与的图象交点依次为Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），Q3（x3，y3），…，Q2021（x2021，y2021），则x2021=________． 【答案】2021 【分析】根据点P1，P2，P3，…，P2021在反比例函数的图象上，它们的横坐标分别是2，4，6，…，共2021个连续偶数，纵坐标分别是y1，y2，y3，…，y2021，可求出相应的y1，y2，y3，…，y2021，再把y2021代入反比例函数，可求出x2021的值． 【详解】解：∵点P1，P2，P3，…，P2021在反比例函数的图象上，它们的横坐标分别是2，4，6，…，共2021个连续偶数，纵坐标分别是y1，y2，y3，…，y2021， ∴，，，……， 把代入反比例函数， 得， 故答案为：2021． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及平行线的性质，找出点P2021的纵坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出点Q2021的坐标是解题的关键． 【变式9-1】．平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：，称点为点的“可控变点”．例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点 根据定义，解答下列问题： (1)点的“可控变点”为点________． (2)点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点，…，以此类推，若点的坐标为，则点的坐标为________． (3)若点是函数图象上点的“可控变点”，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点M的坐标为或． 【分析】（1）依据“可控变点”的定义可得，点的“可控变点”为点； （2）依据变化规律可得每四次变化出现一次循环，即可得到当点的坐标为，则点的坐标为； （3）由题意知，点M在上，设，当时，的“可控变点”坐标为：，当时，的“可控变点”坐标为：，再结合反比例函数的特点解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴根据“可控变点”的定义可得，点的“可控变点”为点， （2）当时，点的“可控变点”为点， 点的“可控变点”为点， 点的“可控变点”为点， 点的“可控变点”为点，…， 故每四次变化出现一次循环； 当时， 点的“可控变点”为点， 点的“可控变点”为点， 点的“可控变点”为点， 点的“可控变点”为点，…， 故每四次变化出现一次循环； ∵， ∴当点的坐标为，则点的坐标为． （3）由题意知，点M在上，设， 当时，的“可控变点”坐标为：， ∵点是函数图象上点的“可控变点”， ∴，则， ∴， 当时，的“可控变点”坐标为：， ∵点是函数图象上点的“可控变点”， ∴，则， 此时， ∴ 综上所述，点M的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，新定义的理解，坐标变换，解答本题的关键是熟练掌握新定义“可控变点”，解答此题还需要根据点的坐标变化规律进行判断． 【变式9-2】将x1=代入反比例函数y=﹣中，所得的函数值记为y1，将x2=y1+1代入反比例函数y=﹣中，所得的函数值记为y2，再将x3=y2+1代入函数y=﹣中，所得的函数值记为y3…，将xn=y（n﹣1）+1 代入反比例函数y=﹣中，所得的函数值记为yn（其中n≥2，且n是整数） 如此继续下去，则在2006个函数值y1．y2，…，y2006中，值为2的情况共出现了 次？ 【答案】669 【详解】试题分析：先根据题意分别计算出、、、…，的值，根据发现的规律即可判断. 当时， 当时， 当时， 当时， 则可得、、、…，的值以、2、三个数为一个循环 ∵余2， ∴值为2的情况共出现了669次. 考点：找规律－数字的变化 点评：解答本题的关键是仔细分析题意得到规律，再把这个规律应用于解题. 【变式9-3】如图，点，，，…，在反比例函数的图象上，点，，，…，在y轴上，且，直线与双曲线交于点，，，，则（n为正整数）的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，想办法求出OB1，OB2，OB3，OB4，…，探究规律，利用规律解决问题即可得出结论． 【详解】解：∵点在直线上，， ∴△OA1B1是等腰直角三角形， 同理△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形， ∵直线与双曲线交于点， ∴A1（1，1）， 作A1C⊥y轴于C，则A1C=1， ∴OB1=2A1C=2， 设A2（m，2+m）， 则有m（2+m）=1， 解得m=-1（负值舍去）， ∴A2（-1，+1）， ∴B1A2=2-2， ∴OB2=2+2-2=2， 设A3（a，2+a），则有a（2+a）=1， 解得a=-（负值舍去）， ∴OB3=2， 同法可得，OB4=2， OB5=2， ……， ∴OBn=2， ∴Bn（0，2）， 故选A． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考选择题中的压轴题． 【压轴二】反比例函数定义背景下的新定义问题 解决这类问题时，应先把新定义给的条件转化为熟悉的等量关系，尤其要关注两个变量之间能否整理成乘积为常数的形式，或能否化为 y=k/x（k为常数且k不等于0）的标准结构。如果新定义涉及点的坐标，可以先设出坐标并用含未知数的式子表示定义中的关系，再观察化简后是否满足反比例函数的一般形式。变形过程中要保持等价性，不能随意约去可能为零的因式，否则会漏掉或增加无意义的点。确认满足定义后，再通过待定系数法由已知对应值求出比例系数 k，最后把求出的解析式代回新定义条件中检验。 【典例10】已知是关于的函数，若存在时，函数值，则称函数是关于的倩影函数，此时点叫该倩影函数的影像点． （1）判断函数是否为倩影函数．如果是，请求出影像点．如果不是，请说明理由； （2）已知函数（）． ①求证：该函数总有两个不同的影像点； ②是否存在一个值，使得函数（）的影像点的横坐标，都为整数，如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）函数是倩影函数，影像点为（2，−2），（−2，2），理由见详解；（2）①见详解；②不存在k的值，使得影像点的横坐标x1，x2都为整数，理由见详解． 【分析】（1）把点（p，−p）代入，有解则是倩影函数，求出影像点； （2）①把点（p，−p）代入，得到关于p的二次方程，用根式判别式证明；②在①的条件下，求出x的值，结合x为整数求出k的值． 【详解】（1）解：由题意得：把点（p，−p）代入得：−p＝−4p， 解得：p1＝2，p2＝−2， ∴函数是倩影函数，影像点为（2，−2），（−2，2）． （2）①证明：把点（p，−p）代入（k≠0）得：， 化简得：3p2＋（−6−k）p＋k＝0， ∴Δ＝（−6−k)2−4×3×k＝k2＋36＞0， ∴该函数总有两个不同的影像点． ②解：由①得，方程3p2＋（−6−k）p＋k＝0的解为：p＝， ∵影像点的横坐标x1，x2都为整数， ∴是6的整数倍，且k为整数， 设＝6n（n为整数）， 化简得：3n2−nk−3＝0，解得：k＝3n−， ∴n＝1或3， 当n＝1时，k＝0（舍）， 当n＝3时，k＝8， 此时，x1＝4，x2＝，不符合题意， 综上所述：不存在k的值，使得影像点的横坐标x1，x2都为整数． 【点睛】本题以新定义为背景，考查了反比例函数和一元二次方程的解相关知识点，解题的关键是把（p，−p）代入函数解析式后，结合根式判别式Δ判断一元二次方程的根情况． 【变式10-1】定义:[a,b]为反比例函数y=(ab≠0,a,b为实数)的“关联数”.反比例函数y=的“关联数”为[m,m+2],反比例函数y=的“关联数”为[m+1,m+3],若m>0,则 (     ) A．k1=k2 B．k1>k2 C．k1<k2 D．无法比较 【答案】C 【分析】利用题中的新定义表示出k1与k2，利用作差法比较即可． 【详解】根据题意得：， ∵m＞0， ∴k1-k2=＜0， 则k1＜k2． 【点睛】此题考查了反比例函数的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键． 【变式10-2】在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若两垂线与坐标轴围成矩形的周长C数值和面积S数值相等，则称这个点为“等值点”，例如：点，因为，，所以A是“等值点”． (1)在点，，中，是“等值点”的有：_____； (2)若点E为双曲线，上任意一点，将点E向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到点F，求证：点F为“等值点”； (3)若一次函数的图象在第一象限内有两个“等值点”，求b的取值范围． 【答案】(1)D； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）根据“等值点”的定义分别进行判断即可； （2）由点E为双曲线，上任意一点可设点，将点E向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到点F，则点F的坐标是，根据“等值点”的定义进行计算后即可证明； （3）设一次函数的图象在第一象限内“等值点”坐标为，由“等值点”的定义得到，由在第一象限内有两个“等值点”得到，，即可得到b的取值范围． 【详解】（1）解：点，因为，， ∴， ∴不是“等值点”； 点，因为，， ∴， ∴不是“等值点”； 点，因为，， ∴， ∴是“等值点”, 故答案为： （2）∵点E为双曲线()上任意一点， ∴可设点， 将点E向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到点F， 则点F的坐标是， ∵，， ∴， ∴点F为“等值点”． （3）设一次函数的图象在第一象限内“等值点”坐标为， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∵在第一象限内有两个“等值点”， ∴，， ∴． 【点睛】此题是新定义题，考查了一次函数和反比例函数的性质，分式的混合运算，一元二次方程根的判别式和根与系数关系，读懂题意，准确计算是解题的关键． 【变式10-3】平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：，称点为点的“可控变点”．例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点 根据定义，解答下列问题： (1)点的“可控变点”为点________． (2)点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点，…，以此类推，若点的坐标为，则点的坐标为________． (3)若点是函数图象上点的“可控变点”，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点M的坐标为或． 【分析】（1）依据“可控变点”的定义可得，点的“可控变点”为点； （2）依据变化规律可得每四次变化出现一次循环，即可得到当点的坐标为，则点的坐标为； （3）由题意知，点M在上，设，当时，的“可控变点”坐标为：，当时，的“可控变点”坐标为：，再结合反比例函数的特点解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴根据“可控变点”的定义可得，点的“可控变点”为点， （2）当时，点的“可控变点”为点， 点的“可控变点”为点， 点的“可控变点”为点， 点的“可控变点”为点，…， 故每四次变化出现一次循环； 当时， 点的“可控变点”为点， 点的“可控变点”为点， 点的“可控变点”为点， 点的“可控变点”为点，…， 故每四次变化出现一次循环； ∵， ∴当点的坐标为，则点的坐标为． （3）由题意知，点M在上，设， 当时，的“可控变点”坐标为：， ∵点是函数图象上点的“可控变点”， ∴，则， ∴， 当时，的“可控变点”坐标为：， ∵点是函数图象上点的“可控变点”， ∴，则， 此时， ∴ 综上所述，点M的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，新定义的理解，坐标变换，解答本题的关键是熟练掌握新定义“可控变点”，解答此题还需要根据点的坐标变化规律进行判断． 通关检测·实战演练 一 选择题 1.下列函数中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的定义式对各项进行判断即可得到结论． 【详解】解：A、由得：xy=，即x与y成反比例，y是x的反比例函数，正确； B.由知，y与x2成反比例；y不是x的反比例函数，故不合题意； C.由知y与x+3成反比例，y不是x的反比例函数，故不合题意； D.由知，y-2与x成反比例，y不是x的反比例函数，故不合题意； 故选：A ． 【点睛】本题考查反比例函数的判断，熟练掌握反比例函数的定义是解题关键． 2．已知点、是反比例函数图象上的一点，则b的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数表达式的特点可知，在其图象上的点的横、纵坐标的乘积都等于k，依此列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵点、是反比例函数图象上的一点， ∴， 解得． 故选：A． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．掌握所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积都等于比例系数是解题的关键． 3.下列哪个点在反比例函数的图像上？（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的图像上的点的横纵坐标乘积为4进行判断即可． 【详解】解：A．∵，∴不在反比例函数的图像上，故选项不符合题意； B．∵，∴不在反比例函数的图像上，故选项不符合题意； C．∵，∴不在反比例函数的图像上，故选项不符合题意； D．∵，∴在反比例函数的图像上，故选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 4.如图，反比例函数的图象经过点，当时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据点A在反比例函数上可得反比例函数的解析式，再根据，计算x的取值范围即可． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∴该反比例函数表达式为：， 当时，，解得：， ∵， ∴在每一象限内，y随x的增大而减小， ∴当时，或． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握用待定系数法求反比例函数解析式的方法，以及利用函数图象求自变量的值． 5.在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点P(x，y)，我们把P'(，)称为点P的“倒影点”．直线y=﹣2x+1上有两点A、B，它们的倒影点A'、B'均在反比例函数y的图象上，若AB，则k的值为(　　) A． B． C．5 D．10 【答案】A 【分析】设点A（a，-2a+1），B（b，-2b+1）（a＜b），则A'(，)，B'(，)，由AB可得出b=a+1，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、a、b的方程组，解之即可得出k值． 【详解】设点A(a，﹣2a+1)，B(b，﹣2b+1)(a＜b)，则A'(，)，B'(，)． ∵AB(b﹣a)， ∴b﹣a=1，即b=a+1． ∵点A'，B'均在反比例函数y的图象上， ∴k••， 解得：k． 故选：A． 【点睛】此题考查反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征以及两点间的距离公式，根据反比例函数图象上点的坐标特征列出关于k、a、b的方程组是解题的关键． 二 填空题 6.给出的六个关系式：①x（y+1）；②y＝；③y＝；④y＝﹣；⑤；⑥ ，其中y是x的反比例函数是_____． 【答案】④⑥ 【分析】根据反比例函数的定义求解可得． 【详解】解：①x（y+1）不是函数，不符合题意； ②y＝是y关于x+2的反比例函数，不符合题意； ③y＝是y关于x2的反比例函数，不符合题意； ④y＝﹣＝，是y关于x的反比例函数，符合题意； ⑤是y关于x的正比例函数，不符合题意； ⑥y＝＝，是y关于x的反比例函数，符合题意； 故答案为：④⑥． 【点睛】本题考查了正比例函数及反比例函数的定义，注意区分：正比例函数的一般形式是y=kx（k≠0），反比例函数的一般形式是（k≠0） 7.已知函数是反比例函数，则m的值为___________． 【答案】-1． 【分析】根据反比例函数的定义解答． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴m2-2=-1且m-1≠0， 解得m=-1． 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟悉y=kx-1（k≠0）的形式的反比例函数是解题的关键． 8.函数y＝-的自变量的取值范围是_____． 【答案】x≠1 【分析】根据分母不能为零，可得答案． 【详解】由题意，得 x-1≠0， 解得x≠1， 故答案为x≠1． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，利用分母不能为零得出不等式是解题关键． 9.观察反比例函数的图象，当时，x的取值范围是____________． 【答案】x＜﹣1或x＞0/x＞0或x＜-1 【分析】利用函数值找到分界点（-1，-2），根据反比例函数的图象和性质与直线y=-2的位置关系解答即可． 【详解】解：∵k＝2＞0，反比例函数图像位于一三象限，在每个象限内y随x的增大而减小， ∴y=-2时，， 解得x=-1， ∴当y＞-2时x＜﹣1或x＞0， 故答案为x＜﹣1或x＞0． 【点睛】本题重点考查学生对反比例函数图像和性质的理解，掌握反比例函数的图象和性质，以及利用反比例函数与直线y=-2的交点求不等式解集是解题的关键． 10.将x= 代入反比例函数y=－中，所得函数值记为y1，又将x=y1+1代入原反比例函数中，所得函数值记为y2，再将x=y2+1代入原反比例函数中，所得函数值记为y3，……，如此继续下去，则y2012 = __________． 【答案】2. 【详解】根据题意可得，如此循环下去，2012÷3= 670…2，所以y2012 =2 三解答题 11.下列关系式中的y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？ (1) (2) (3) (4)xy=1 (5) 【答案】(1)是，； (2)是，； (3)否； (4)是，（可化为）； (5)是， 【分析】利用反比例函数的定义判定即可． 【详解】（1）解：是反比例函数，比例系数； （2）解：是反比例函数，比例系数； （3）解：不是反比例函数； （4）解：∵xy=1， ∴， ∴y是x的反比例函数，比例系数； （5）解：是反比例函数；比例系数； 【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，解题的关键是熟记反比例函数的定义，反比例函数解析式的一般式y=（k≠0）． 12已知，与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． （1）求与之间的函数关系式； （2）当时，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设，则有，然后把当时，；当时，代入求解即可； （2）由（1）可直接把x=3代入求解． 【详解】解：（1）设，由可得：， ∴把，和，代入得： ，解得：， ∴y与x的函数解析式为：； （2）由（1）可把x=3代入得： ． 【点睛】本题主要考查反比例函数的定义及函数解析式，熟练掌握反比例函数的定义及求函数解析式的方法是解题的关键． 13北京到杭州铁路线长为．一列火车从北京开往杭州，记火车全程的行驶时间为，火车行驶的平均速度为，你能完成表吗？y与x有什么数量关系？能用一个函数表达式表示吗？ 12 15 17 22 87.4 【答案】表格见解析，y与x的函数关系式为 【分析】根据路程=速度×时间可进行求解． 【详解】解：当时，则；当时，则；当时，则；当时，则；当时，则； ∴补全表格如下： 12 15 17 19 22 138.4 110.7 97.7 87.4 75.5 ∴y与x的函数关系式为． 【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义及路程=速度×时间是解题的关键． .14.如图，某养鸡场利用一面长为11m的墙，其他三面用栅栏围成矩形，面积为，设与墙垂直的边长为xm，与墙平行的边长为ym． (1)直接写出y与x的函数关系式为______； (2)现有两种方案或，试选择合理的设计方案，并求此栅栏总长． 【答案】(1) (2)22m 【分析】（1）)利用矩形的面积计算公式可得出xy= 60，变形后即可得出结论； （2）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出当x = 5和x = 6时的y值，结合墙长11m即可得出应选x = 6的设计方案，再将其代入2x + y中即可求出此栅栏的总长． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴y与x的函数关系式为：， 故答案为：； （2）解：当x= 5时，， ∵， ∴不符合题意，舍去； 当x=6时，， ∵， ∴符合题意，此栅栏总长为： ； 答：应选择x = 6的设计方案，此栅栏总长为22m． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y与x的函数关系式；（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出x=5和x=6时的y值． 15一辆汽车前灯电路上的电压保持不变，通过灯泡的电流越大，灯就越亮．设选用灯泡的电阻为，通过的电流强度为． (1)若电阻为，通过的电流强度为，求I关于R的函数表达式，并说明比例系数的实际意义． (2)如果电阻大于，那么与原来的相比，汽车前灯的亮度将发生什么变化？ 【答案】(1)所求的函数表达式为．比例系数是12，在本题中的实际意义是指汽车前灯的电压为 (2)当电阻大于时，电流强度I变小，汽车前灯将变暗 【分析】（1）根据欧姆定律知，I与R成反比例，设，然后待定系数法进行求解函数解析式即可； （2）设电阻，此时通过灯泡的电流强度，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：在题设条件下，电压U是不为零的常数．由欧姆定律知，I与R成反比例，设． 由题意知，当时，， ∴， ∴． 所以所求的函数表达式为．比例系数是12，在本题中的实际意义是指汽车前灯的电压为． （2）解：设电阻，此时通过灯泡的电流强度． ∵， ∴，即． 也就是说，当电阻大于时，电流强度I变小，汽车前灯将变暗． 【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义及欧姆定律是解题的关键． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 纳无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题27.1反比例函数的概念》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 反比例函数的识别 微专题三 求反比例函数中自变量的取值范围 模块2 根据反比例函数的定义求参数 微专题四 列反比例函数关系式-图表信息类 模块3 求反比例函数中自变量的取值范围 压轴一 反比例函数定义背景下的规律探索 模块4 求反比例函数的解析式 压轴二 反比例函数定义背景下的新定义问题 微专题一列反比例函数关系式-几何图形类 通关检测·实战演练 微专题二列反比例函数关系式-物理公式类 知识梳理 · 基础溯源 知识点1 反比例函数的定义 1.定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例．即，或表示为，其中是不等于零的常数． 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数． 2.注意： （1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是．故函数图像与轴、轴无交点． （2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件． （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式． 知识点2列反比例关系式 1.理解题意:找出实际问题中的已知量和变量(自变量，因变量)，将文字或图形语言转化为数学语言; 2.分析关系:找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式; 3.列函数表达式:设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示的 函数的形式. 模块通关·举一反 三 【模块一】反比例函数的识别 识别一个函数是否为反比例函数，要紧扣定义中的本质特征：两个变量的乘积保持为一个非零常数。也就是说，无论关系式以 y=k/x、xy=k 还是 y=kx-1 的形式出现，只要化简后能转化为这些等价形式，且 k 为非零常数，就可以判定它是反比例函数。因此判断时可先对关系式进行整理变形，观察能否写成上述标准结构；对于实际问题，则应先分析两个变量之间是否存在乘积不变的关系，再结合题目情境确认自变量的取值范围。 【典例1】下列函数中，是反比例函数的为（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】下列式子中，y是x的反比例函数的是　　 A． B． C． D． 【变式1-2】下列函数不是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列函数：①y＝2x，②y＝，③y＝x﹣1，④y＝．其中，是反比例函数的有（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【模块二】根据反比例函数的定义求参数 根据反比例函数的定义求参数，核心仍要抓住定义中的两个必要条件：解析式可以化成 y=k/x 或 y=kx⁻¹ 的等价形式，且比例系数 k 不为零。由于解析式中含有待定字母，不能直接判断，需要先将其整理为 x 的幂的乘积形式，再根据定义列出关于参数的条件。常见的一类是根据“该函数为反比例函数”求参数值，此时一般令 x 的指数等于 -1，解出参数后，再代回比例系数，确认其不为零，两者缺一不可。另一类是根据一组对应值或图像上一点的坐标求解析式中的待定系数，此时可直接代入 y=k/x 或 xy=k 中求出 k 的值。 【典例2】若函数是反比例函数，则的值为(　　) A．4 B． C．4或 D．0 【变式2-1】函数是反比例函数，则k=（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2-2】若为关于的反比例函数，则的值是（    ） A．0 B． C． D．1 【变式2-3】若函数是反比例函数，则为（  ） A．±2 B．2 C．-2 D．以上都不对 【模块三】求反比例函数中自变量的取值范围 求这类问题的关键是抓住分母不为零这一根本条件。在纯数学问题中，反比例函数 y=k/x（k≠0）的自变量 x 只要保证分母不为零即可，因此其取值范围为所有非零实数。但在实际问题中，自变量往往还受到实际意义的约束，例如路程、时间、面积、价格等量通常取正值，有时还需考虑变量只能取某些特定数值，不能只写 x≠0。 求自变量的取值范围时，通常可按以下步骤进行：先观察解析式的形式，如果除分母外还有其他限制条件，如根式中的被开方数必须非负，需要同时满足这些条件；再结合题目给出的实际背景，判断自变量是否只能取正数、非负整数或某一区间内的值；最后把纯数学条件与实际限制条件综合起来，写出最终取值范围。 【典例3】下列函数中，哪些是反比例函数？是反比例函数的，指出其比例系数和自变量的取值范围． (1)． (2)． (3)． (4)． 【变式3-1】．函数中，自变量的取值范围是（　　） A．x≠0 B．x≠1 C．x>1 D．x≥1 【变式3-2】．函数中，自变量的取值范围是（　　） A．＞2 B．≥2 C．≤2 D．＜2 【变式3-3】已知函数，当函数值为3时，自变量x的值为（　　） A．﹣2 B．﹣ C．﹣2或﹣ D．﹣2或﹣ 【模块四】求反比例函数的解析式 求反比例函数的解析式，通常采用待定系数法。因为反比例函数的一般形式为 y=k/x（k≠0），其中只有一个待定系数 k，所以只要根据题目给出的一个独立条件求出 k 的值，解析式即可确定。具体操作时，先设出反比例函数的解析式 y=k/x，并注明 k≠0；再将已知的一组 x 与 y 的对应值代入，或将图像经过的某一点坐标代入，得到关于 k 的方程；解方程求得 k 的值后，代回所设解析式，检验 k 是否确实不为零，最后写出完整解析式。 在实际问题中，有些条件并不直接给出 x 与 y 的对应值，而是给出两个变量之间的乘积关系。这时可以利用反比例函数的等价形式 xy=k，直接将已知的两个量相乘得到 k，再根据实际意义判断 k 的正负及其是否符合题意。若题目中的两个变量成反比例关系，但给出的是一些变化过程中的对应数据，也需要先判断它们是否满足乘积不变这一特征，再建立解析式。 【典例4】已知y与成反比例函数关系，且当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当时，求y的值． 【变式4-1】．y与x成反比例，当时，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知反比例函数的图像经过点，则下列各点中也在该函数图像上的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知点、点都在反比例函数的图像上，则k的值为 ____． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】列反比例函数关系式-几何图形类 在几何图形类问题中，列反比例函数关系式时，通常没有直接给出的两组对应值，而是把关系隐含在图形的面积、线段比或动点位置中。基本思路是先根据图形结构设出关键点的坐标，把相关线段用含 x 或 y 的式子表示出来；再抓住反比例函数图像上任意一点都满足 xy=k 这一本质，结合矩形、三角形面积公式或相似三角形对应边成比例建立关于 k 的等式；解出 k 后，再根据图像所在象限确定其正负，最后写出关系式。 【典例5】在面积为定值的一组矩形中，当矩形的一边长为时，它的另一边长为． (1)设矩形相邻的两边长分别为，求y关于x的函数表达式．这个函数是反比例函数吗？如果是，指出比例系数． (2)若其中一个矩形的一条边长为，求这个矩形与之相邻的另一边长． 【变式5-1】设面积为的三角形的一条边长为，这条边上的高线长为． (1)求h关于a的函数表达式和自变量a的取值范围． (2)h关于a的函数是不是反化例函数？如果是，说出它的比例系数． (3)求当边长时，这条边上的高线长． 【变式5-2】用函数解析式表示下列问题中变量间的对应关系： （1）一个游泳池的容积为，游泳池注满水所用时间t（单位：h）随注水速度v（单位：）的变化而变化； （2）某长方体的体积为，长方体的高h（单位：）随底面积S（单位：）的变化而变化； （3）一个物体重，物体对地面的压强p（单位：）随物体与地面的接触面积S（单位：）的变化而变化． 【变式5-3】如图，在中，，．动点分别在直线上运动，且始终保持．设，，则与之间的函数关系可以表示为________． 【微专题二】列反比例函数关系式-物理公式类 在物理公式类问题中，列反比例函数关系式通常不需要通过图形面积或相似关系寻找等量，而是直接依托物理学中的基本公式。这类题目的关键是先明确哪些物理量在给定条件下保持不变，再把原公式变形成“一个变量等于常量除以另一个变量”的形式，使反比例关系显现出来。例如，当压力 F 一定时，压强 p 与受力面积 S 之间满足 p=F/S，其中 F 为常量；当电压 U 一定时，电流 I 与电阻 R 之间满足 I=U/R，其中 U 为常量。变形成 y=k/x 后，k 就是题目中保持不变的那个物理量，它的物理意义往往比单纯的数值更重要。 【典例6】如图，阻力为，阻力臂长为．设动力为，动力臂长为（图中杠杆本身所受重力略去不计．杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂）． (1)求y关于x的函数表达式这个函数是反比例函数吗？如果是，说出比例系数． (2)求当时，函数y的值，并说明这个值的实际意义． (3)利用y关于x的函数表达式，说明当动臂长扩大到原来的倍时，所需动力将怎样变化？ 【变式6-1】一辆汽车前灯电路上的电压保持不变，通过灯泡的电流越大，灯就越亮．设选用灯泡的电阻为，通过的电流强度为． (1)若电阻为，通过的电流强度为，求I关于R的函数表达式，并说明比例系数的实际意义． (2)如果电阻大于，那么与原来的相比，汽车前灯的亮度将发生什么变化？ 【变式6-2】如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当时，． (1)求y关于x的函数解析式． (2)变化蜡烛和小孔之前的距离，某一时刻像高为3cm，请回答蜡烛是怎样移动的？ 【变式6-3】在探究欧姆定律时，小明发现小灯泡电路上的电压保持不变，通过小灯泡的电流越大，灯就越亮．设选用小灯泡的电阻为，通过的电流强度为．欧姆定律公式： (1)若电阻为，通过的电流强度为，求关于的函数表达式； (2)如果电阻小于，那么与原来的相比，小灯泡的亮度将发生什么变化？并说明理由． 【微专题三】列反比例函数关系式-生活经济类 在生活经济类问题中，列反比例函数关系式通常依托常见的总量不变的数量关系。比如总价一定时，单价与购买数量成反比；工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比；路程一定时，速度与时间成反比；总费用一定时，每人分摊费用与人数成反比。列关系式时，先确定题目中哪个总量始终保持不变，把它作为 k，再根据基本数量关系把目标量写成 y=k/x 的形式。例如，设总价为 k，则单价=总价÷数量，即 y=k/x，其中 x 表示数量，y 表示单价，这样就能直接反映两个变量之间的反比例特征。 常见问题的处理主要有两类。一类是题目中已明确某个总量为定值，或通过“总”“共”“一定”等词语暗示总量不变，此时直接把该总量作为 k 写入解析式即可。另一类是题目中没有给出具体总量，但可以结合生活实际把总量看作单位“1”，例如工程问题中工作总量视为“1”，则工作效率=1÷工作时间，同样能转化为反比例关系。无论哪类情况，都不能仅凭“一个量随另一个量增大而减小”就判定为反比例关系，必须看两个变量的乘积是否保持不变。 【典例7】华润苏果超市计划购进甲、乙两种商品，已知甲的进价比乙多20元/件，用2000元购进甲种商品的件数与用1600元购进乙种商品的件数相同． （1）求甲、乙两种商品的进价各是多少元？ （2）小丽用960元只购买乙种商品，她购买乙种商品件，该商品的销售单价为元，列出与函数关系式？若超市销售乙种商品，至少要获得20%的利润，那么小丽最多可以购买多少件乙种商品？ 【变式7-1】某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂每月生产只（取正整数），这个月的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】华润苏果超市计划购进甲、乙两种商品，已知甲的进价比乙多20元/件，用2000元购进甲种商品的件数与用1600元购进乙种商品的件数相同． （1）求甲、乙两种商品的进价各是多少元？ （2）小丽用960元只购买乙种商品，她购买乙种商品件，该商品的销售单价为元，列出与函数关系式？若超市销售乙种商品，至少要获得20%的利润，那么小丽最多可以购买多少件乙种商品？ 【变式7-3】某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装一批空调，计划是每天组装的数量y（台/天）与组装的时间x（天）之间的关系如下表： 组装的时间x（天） 30 45 60 每天组装的数量y（台/天） 300 200 150 (1)求y关于x的关系式； (2)某商场以进货价为每台2500元购进这批空调．调查发现，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；当销售价每降低100元时，平均每天就能多售出4台．商场要想这批空调的销售利润平均每天达到3500元，且让顾客得到最大优惠，每台空调的定价为多少元？ 【微专题四】列反比例函数关系式-图表信息类 图表信息类问题重在从表格、图像或统计图中读取两个变量的对应值，并判断它们是否成反比例。与生活经济类直接给出总量不同，图表中的总量往往隐含在数据关系里，需要先通过数据特征或图像形状识别关系类型。分析表格时，可选取若干组对应值，分别计算两个变量的乘积，若乘积在允许误差范围内保持恒定，就可把这个恒定的积作为 k，进而写出 y=k/x；如果各组乘积明显不等，则不能贸然认定为反比例关系。对于函数图象，若呈现为以坐标轴为渐近线的双曲线，且两支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，可初步判断符合反比例函数特征，再任取图象上一个已知坐标的点代入 xy=k，求出 k 并验证其他点是否满足。需要注意的是，图表中的图象也可能是双曲线的一部分，例如只保留第一象限的一支，或受实际背景限制只显示某一段，此时不能随意补出不存在的一支。 【典例8】某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作．已知该品牌运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如表所示： 第1天 第2天 第3天 第4天 售价(元/双) 150 200 250 300 销售量(双) 40 30 24 20 (1)观察表中数据，x，y满足什么关系式？并写出用表示的函数表达式； (2)若商场计划每天的销售利润为元，则每双运动鞋的售价应定为多少元？ 【变式8-1】已知y是x的反比例函数，下表列出了x与y的一些对应值． x … -4 -3 -2 -1 2 3 … y … 6 -18 … (1)写出这个反比例函数的表达式； (2)根据表达式完成上表． 【变式8-2】在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如下表： 体积x(mL) 100 80 60 40 20 压强y(kPa) 60 75 100 150 300 则可以反映y与x之间的关系的式子是(　　) A．y＝3000x B．y＝6000x C．y＝ D．y= 【变式8-3】测量质量都是的金、铜、铁、铝四种金属块的体积，获得数据如表所示．表中表示金属块的密度．已知锌的密度是，金的密度是，请完成表．V与有什么数量关系？能用一个函数表达式表示吗？ 金属种类相关量 金 铜 铁 锌 铝 5.18 11.21 12.82 35.84 19.30 7.14 压轴拓展·素养提升 【压轴一】 反比例函数定义背景下的规律探索 在利用反比例函数定义进行规律探索时，通常需要从形如 (为常数，)的解析式结构出发，先判断变量之间是否满足“乘积为定值”这一核心特征，再从具体数据或图形中归纳出一般规律。探索过程中，可先计算各组对应值的乘积，观察乘积是否保持不变，进而确认变化关系；同时要注意自变量的取值范围，一般要求自变量不能为零，且实际问题中还需结合具体情境排除不合题意的取值。在归纳规律时，应避免仅凭少量数据就轻易下结论，需结合函数定义进行验证。此外，还要注意区分反比例函数与一次函数、正比例函数等其他关系，尤其要关注解析式中系数的实际意义，防止将非反比例关系误判为反比例函数。 【典例9】两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P1，P2，P3，…，P2021在反比例函数的图象上，它们的纵坐标分别为y1，y2，y3，…，y2021，横坐标分别为2，4，6，…，共2021个偶数，过点P1，P2，P3…，P2021分别作y轴的垂线，与的图象交点依次为Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），Q3（x3，y3），…，Q2021（x2021，y2021），则x2021=________． 【变式9-1】．平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：，称点为点的“可控变点”．例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点 根据定义，解答下列问题： (1)点的“可控变点”为点________． (2)点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点，…，以此类推，若点的坐标为，则点的坐标为________． (3)若点是函数图象上点的“可控变点”，求点的坐标． 【变式9-2】将x1=代入反比例函数y=﹣中，所得的函数值记为y1，将x2=y1+1代入反比例函数y=﹣中，所得的函数值记为y2，再将x3=y2+1代入函数y=﹣中，所得的函数值记为y3…，将xn=y（n﹣1）+1 代入反比例函数y=﹣中，所得的函数值记为yn（其中n≥2，且n是整数） 如此继续下去，则在2006个函数值y1．y2，…，y2006中，值为2的情况共出现了 次？ 【变式9-3】如图，点，，，…，在反比例函数的图象上，点，，，…，在y轴上，且，直线与双曲线交于点，，，，则（n为正整数）的坐标是（    ） A． B． C． D． 【压轴二】反比例函数定义背景下的新定义问题 解决这类问题时，应先把新定义给的条件转化为熟悉的等量关系，尤其要关注两个变量之间能否整理成乘积为常数的形式，或能否化为 y=k/x（k为常数且k不等于0）的标准结构。如果新定义涉及点的坐标，可以先设出坐标并用含未知数的式子表示定义中的关系，再观察化简后是否满足反比例函数的一般形式。变形过程中要保持等价性，不能随意约去可能为零的因式，否则会漏掉或增加无意义的点。确认满足定义后，再通过待定系数法由已知对应值求出比例系数 k，最后把求出的解析式代回新定义条件中检验。 【典例10】已知是关于的函数，若存在时，函数值，则称函数是关于的倩影函数，此时点叫该倩影函数的影像点． （1）判断函数是否为倩影函数．如果是，请求出影像点．如果不是，请说明理由； （2）已知函数（）． ①求证：该函数总有两个不同的影像点； ②是否存在一个值，使得函数（）的影像点的横坐标，都为整数，如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由． 【变式10-1】定义:[a,b]为反比例函数y=(ab≠0,a,b为实数)的“关联数”.反比例函数y=的“关联数”为[m,m+2],反比例函数y=的“关联数”为[m+1,m+3],若m>0,则 (     ) A．k1=k2 B．k1>k2 C．k1<k2 D．无法比较 【变式10-2】在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若两垂线与坐标轴围成矩形的周长C数值和面积S数值相等，则称这个点为“等值点”，例如：点，因为，，所以A是“等值点”． (1)在点，，中，是“等值点”的有：_____； (2)若点E为双曲线，上任意一点，将点E向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到点F，求证：点F为“等值点”； (3)若一次函数的图象在第一象限内有两个“等值点”，求b的取值范围． 【变式10-3】平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：，称点为点的“可控变点”．例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点 根据定义，解答下列问题： (1)点的“可控变点”为点________． (2)点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点，…，以此类推，若点的坐标为，则点的坐标为________． (3)若点是函数图象上点的“可控变点”，求点的坐标． 通关检测·实战演练 一 选择题 1.下列函数中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知点、是反比例函数图象上的一点，则b的值为（    ） A． B．2 C． D． 3.下列哪个点在反比例函数的图像上？（    ） A． B． C． D． 4.如图，反比例函数的图象经过点，当时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 5.在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点P(x，y)，我们把P'(，)称为点P的“倒影点”．直线y=﹣2x+1上有两点A、B，它们的倒影点A'、B'均在反比例函数y的图象上，若AB，则k的值为(　　) A． B． C．5 D．10 二 填空题 6.给出的六个关系式：①x（y+1）；②y＝；③y＝；④y＝﹣；⑤；⑥ ，其中y是x的反比例函数是_____． 7.已知函数是反比例函数，则m的值为___________． 8.函数y＝-的自变量的取值范围是_____． 9.观察反比例函数的图象，当时，x的取值范围是____________． 10.将x= 代入反比例函数y=－中，所得函数值记为y1，又将x=y1+1代入原反比例函数中，所得函数值记为y2，再将x=y2+1代入原反比例函数中，所得函数值记为y3，……，如此继续下去，则y2012 = __________． 三解答题 11.下列关系式中的y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？ (1) (2) (3) (4)xy=1 (5) 12已知，与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． （1）求与之间的函数关系式； （2）当时，求的值． 13北京到杭州铁路线长为．一列火车从北京开往杭州，记火车全程的行驶时间为，火车行驶的平均速度为，你能完成表吗？y与x有什么数量关系？能用一个函数表达式表示吗？ 12 15 17 22 87.4 .14.如图，某养鸡场利用一面长为11m的墙，其他三面用栅栏围成矩形，面积为，设与墙垂直的边长为xm，与墙平行的边长为ym． (1)直接写出y与x的函数关系式为______； (2)现有两种方案或，试选择合理的设计方案，并求此栅栏总长． 15一辆汽车前灯电路上的电压保持不变，通过灯泡的电流越大，灯就越亮．设选用灯泡的电阻为，通过的电流强度为． (1)若电阻为，通过的电流强度为，求I关于R的函数表达式，并说明比例系数的实际意义． (2)如果电阻大于，那么与原来的相比，汽车前灯的亮度将发生什么变化？ 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $