精品解析：云南省昆明市第一中学等校2027届高三上学期新高考自主命题冲刺金卷（一）数学试题

云南省新高考自主命题冲刺金卷（一） 数学 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 即； 所以； 所以. 2. 已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算，求得，由此可确定答案. 【详解】由题意可得， 则复数在复平面内对应的点位于第三象限, 故选：C. 3. 已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】因为双曲线C的一条渐近线方程为， 所以， 所以离心率. 4. 若向量，满足：，，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以， 而，因此，故. 5. 甲、乙等5人排成一列，要求甲在乙的前面，且甲、乙不相邻，则不同的排法有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 72种 【答案】B 【解析】 【详解】若乙排在第一位，则可知不符合题意； 若乙排在第二位，则甲在乙前，甲乙必相邻，因此不符合题意； 若乙排在第三位，则甲在乙前，甲乙不相邻，甲应在第一位，此时有种排列方法； 若乙排在第四位，同理，甲应在第一位或第二位，此时有种排列方法； 乙排在第五位，同理，甲应在第一位、第二位或第三位，此时有种排列方法； 故共有种排列方法. 6. 若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用化弦为切的方法，，分子分母同时除以即可求解. 【详解】， 即，解得. 7. 已知正三棱台，，侧棱，则正三棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】如图，将正三棱台补成正三棱锥， 作平面分别交平面、平面于、， 作平面交于，则、分别为、的中心. 因为，所以，， 所以， 设该正三棱台的高为， 因为，所以， 故，故选C. 8. 已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由和是定义在上的奇函数，得到，且，由在上单调递减得到在上单调递减，由得到或，分别按照这两种情况结合单调性和奇函数讨论求解. 【详解】因为，是定义在上的奇函数， 所以，且， 因为在上单调递减， 所以在上单调递减， 因为， 所以或， 当时， 因为，， 所以， 因为，且在单调递减， 所以，即， 又，则. 当时， 因为，所以两部分讨论： 当时，即当时， 因为在单调递减，， 所以，即， 当时，即当时， 因为在单调递减，， 所以，即，与矛盾，舍去， 当时，即当时， ，不满足，所以. 综上，解集为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知点，圆C：，则下列结论正确的是（ ） A. 过点P的直线与圆C都相交 B. 点P与圆C上的点之间距离的最大值为5 C. 若圆C关于过点P的直线l对称，则直线l的斜率为 D. 若过点P的直线l截圆C的弦长最小，则l的方程为 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A项，将点代入圆方程得到，故点在圆内部，所以过点的直线与圆都相交，故A正确； 对于B项，点 到圆心的距离：， 圆内一点到圆上点的最大距离为，故B错误； 对于C项，圆关于直线对称，说明直线是圆的一条直径所在直线，直线必须经过圆心，则直线的斜率为，故C错误； 对于D项，过圆内一点，截得弦长最小的直线满足， 因为，两条垂直直线斜率乘积为，所以直线l斜率， 由点斜式，直线过点得到， 化简得到，故D正确. 10. 已知数列的前项和为，，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 数列是等差数列 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，利用赋值法得到；B选项，验证，即可证明不是等差数列；C选项，，然后利用赋值法并项求和即可；D选项，，利用转化为等差数列求和即可. 【详解】A选项，令，则， 令，则，于是解得，A正确. B选项，令，则，解得， 因为，所以不是等差数列，B错误. C选项， ，C正确. D选项， ，D正确. 11. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（）的焦点为，准线为，过的直线与交于两点，连接并延长与准线交于点，与轴交于点，准线与轴交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由抛物线性质得到点，准线，点，联立抛物线与直线方程，利用韦达定理得到，.A选项中，由直线方程计算点坐标即可；B选项中，利用直线方程计算点坐标即可；选项C中，利用即可；选项D中，利用向量求，即可. 【详解】由抛物线得到焦点，准线，准线与轴交点. 设过的直线方程为，联立抛物线方程消去得. 设，则，则. 对于选项A，直线方程为，将点横坐标代入得. 又因为，所以，所以点. 又因为，所以轴.又因为轴，所以，故A正确； 对于选项B，因为，，所以直线方程为. 令，得，则. 又，中点为，即，所以，故B正确； 对于选项C，，所以. 所以与不垂直，故C错误； 对于选项D，， 所以， . 由得，所以. 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列的前n项和，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用数列前n项和与数列通项之间的关系求解即可. 【详解】 13. 在三棱锥中，平面，，，，，若S，A，B，C均在球O的表面上，则球O的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由，，得到是直角三角形，由平面得到三棱锥可以补成一个长方体，其外接球与三棱锥的外接球相同，通过求这个长方体的外接球的直径得到此球的半径，利用球的表面积公式得解. 【详解】因为，，， 所以， 所以是直角三角形，且， 又因为平面， 所以三棱锥可以补成一个长方体，其外接球与三棱锥的外接球相同， 长方体的体对角线就是外接球的直径， ， 解得， 则外接球的表面积为. 14. 已知函数（），若有两个零点，则a的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用分离常数法，构造函数法，结合导数求得a的取值范围，进而求得正确答案. 【详解】由题意得，的定义域为； 有两个零点可转化为有两个不同的实数根； 令，则； ，即，解得； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，； 当时，；当时，； 因为有两个零点可转化为有两个不同的实数根； 即转化为直线与的图象有两个不同的交点； 所以，，即的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某市场调研小组为了解某款手机软件在社会上各年龄段人群使用情况，从某社区使用过该软件的人群中随机抽取了名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的上四分位数； （2）为了解年龄在的居民的使用情况，按比例分层随机抽样的方式从，年龄段中随机共抽取名参加调研会．若从选定的这名居民中随机再抽取名，记人中在年龄段的人数为，求的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2） 期望为1 【解析】 【分析】（1）根据直方图大致感知到上四分位数位于内，再进行求解即可； （2）按照分层随机抽样，计算出年龄在，分别应抽取的人数，然后按照超几何分布计算即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，上四分位数位于内，设其为， 则，解， 所以估计年龄样本数据的上四分位数为． 【小问2详解】 被调查的居民年龄在，比例为，按照分层随机抽样， 应抽取人，应抽取人， 设随机抽取的名居民中年龄在的人数为，的可能取值为，，． ；；． 所以，随机变量X的分布列如下表所示： 所以数学期望为． 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）证明：为钝角三角形； （2）若的面积为，求的周长． 【答案】（1）证明：在中，由正弦定理得， 即， 则，又，， 又，由正弦定理得，，所以， 由余弦定理得，即A为钝角， 所以为钝角三角形． （2）9 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理结合两角和的正弦公式，对已知条件进行边角互化，可得，，再利用余弦定理即可判断，从而得出证明；（2）根据（1）中所求，可得，再利用面积公式建立等量关系，即可求出，从而求出，即可求出三角形周长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，由（1）知，则， 由，得，所以，则， 所以，因此，所以的周长为9． 17. 如图，在四棱锥中，，，平面平面，，，分别是，的中点． （1）证明：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）因为，是的中点，所以， 取的中点，，且，，所以四边形是矩形， 所以，又，因此是正三角形，而是的中点，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，利用平面几何的基本性质得到是正三角形，从而结合线面垂直的判定定理可得到平面，进而可得； （2）通过面面垂直的性质定理可得到平面，则通过空间直角坐标系求出平面与平面的法向量，进而可求解它们夹角的余弦值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为平面平面，平面平面，， 平面，所以平面， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 因为，所以，，． 则，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量， 则，即，令，则， 所以为平面的一个法向量． 设平面的法向量， 则，即，令，则，， 故为平面的一个法向量． 设平面与平面的夹角为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 18. 已知函数（）． （1）若函数在处的切线与直线平行，求的值； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，证明：． 【答案】（1） （2）若，在内单调递增， 若，在内单调递减，在内单调递增． （3）证明：当时，， 设，则（）， 设（），， 则在内单调递增，因为，， 所以存在，使得，即， 当时，，在内单调递减， 当时，，在内单调递增， 所以，而在单调递减， 所以， 所以． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，建立等量关系，即可求出的值；（2）先求导并因式分解，结合定义域，对进行分类讨论即可判断导数的符号，从而得出函数的单调区间；（3）代入，构造新的函数，利用导数求新函数的最小值，证明最小值大于即可. 【小问1详解】 因为，又函数在处的切线与直线平行， 所以，即； 【小问2详解】 由题可得（）， 因为，则， 所以，若，则，在内单调递增， 若，当时，，所以在内单调递减， 当时，，所以在内单调递增； 【小问3详解】 略 19. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，椭圆的短轴长为，的最大值为． （1）求椭圆的方程； （2）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发向点的光线，经过椭圆上的点处的椭圆切线反射，反射光线必然经过椭圆的另一个焦点．设过点的椭圆的切线为直线，过作的垂线交于，求点的轨迹方程； （3）点的轨迹交轴于，（在左侧）两点，过点作直线交于，两点，证明：直线，的交点在一条定直线上． 【答案】（1） （2） （3）由题意，，设，， 由题意与不重合， 设：，联立可得， 由于过圆内定点，所以一定有两个交点，则， 则直线：，直线：， 联立直线，则， 由韦达定理可得，所以 ， 解得，所以直线，的交点在定直线上． 【解析】 【分析】（1）当位于上下顶点时可取得最大值，从而建立起，，的关系； （2）作关于的对称点，利用题目给定的光学性质可得，，共线，结合椭圆的定义，进而得到，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆； （3）设出直线与直线的方程，计算，结合韦达定理即可化简得到其为一定值，从而得证. 【小问1详解】 当位于上下顶点时，取得最大值，故， 从而解得，所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 作关于的对称点，则为的中点，， 由椭圆的光学性质可得，，共线， 则， 连接，由于，分别为，的中点， 则， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，轨迹方程为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省新高考自主命题冲刺金卷（一） 数学 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 4. 若向量，满足：，，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 5. 甲、乙等5人排成一列，要求甲在乙的前面，且甲、乙不相邻，则不同的排法有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 72种 6. 若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 已知正三棱台，，侧棱，则正三棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知点，圆C：，则下列结论正确的是（ ） A. 过点P的直线与圆C都相交 B. 点P与圆C上的点之间距离的最大值为5 C. 若圆C关于过点P的直线l对称，则直线l的斜率为 D. 若过点P的直线l截圆C的弦长最小，则l的方程为 10. 已知数列的前项和为，，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 数列是等差数列 C. D. 11. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（）的焦点为，准线为，过的直线与交于两点，连接并延长与准线交于点，与轴交于点，准线与轴交于点，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列的前n项和，则__________． 13. 在三棱锥中，平面，，，，，若S，A，B，C均在球O的表面上，则球O的表面积为__________． 14. 已知函数（），若有两个零点，则a的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某市场调研小组为了解某款手机软件在社会上各年龄段人群使用情况，从某社区使用过该软件的人群中随机抽取了名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的上四分位数； （2）为了解年龄在的居民的使用情况，按比例分层随机抽样的方式从，年龄段中随机共抽取名参加调研会．若从选定的这名居民中随机再抽取名，记人中在年龄段的人数为，求的分布列及数学期望． 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）证明：为钝角三角形； （2）若的面积为，求的周长． 17. 如图，在四棱锥中，，，平面平面，，，分别是，的中点． （1）证明：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 18. 已知函数（）． （1）若函数在处的切线与直线平行，求的值； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，证明：． 19. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，椭圆的短轴长为，的最大值为． （1）求椭圆的方程； （2）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发向点的光线，经过椭圆上的点处的椭圆切线反射，反射光线必然经过椭圆的另一个焦点．设过点的椭圆的切线为直线，过作的垂线交于，求点的轨迹方程； （3）点的轨迹交轴于，（在左侧）两点，过点作直线交于，两点，证明：直线，的交点在一条定直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $