云南省昆明市云南师范大学附属中学2026-2027学年高三上学期第二次学科体验活动数学试题

第二次学科体验活动 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.0+02 1-i A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 2.在等比数列{an}中，a2=8,a=-1,则a,=() A日 D.} 3.已知函数f(x)=e+ae为奇函数，则a=() A.1 B.0 C.-1 D 4.已知 sin(a+B) sin(a-B) =3,则ma-（) tanB 1 A.3 B.Z C.2 D.3 5.设表面积相等的正方体、正四面体和球的体积分别为V、和？，则() A.V<2< B.<<g C.V3<V<V D.y3<v<Y 6.一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间T=klog2N(单位：)，其 中k为常数.在此条件下，已知训练数据量N从10个单位增加到1.024×10个单位时，训练时间增加20h: 当训练数据量N从1.024×10个单位增加到4.096×10°个单位时，训练时间增加（) A.2h B.4h C.20h D.40h 7.中心极限定理是概率论中的一个重要结论.根据该定理，若随机变量5~B(n,P),则当p>5且 n(1-p)>5时，5可以由服从正态分布的随机变量刀近似替代，且5的期望与方差分别与刀的均值与方差近 似相等.现投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于 1300的概率为() 附：若：7~N(4,o2),则P(4-o<n<4+σ)≈0.6827，P(4-2o<n<μ+2o)≈0.9545， P(4-3o<7<4+3o)≈0.9973」 A.0.0027 B.0.5 C.0.8414 D.0.9773 8已知双曲线C:号茶=>0b>0的左右焦点分别为R,月，O为坐标原点，P为C上一点，右顶 1 点A到直线OP的距离为4(d≠O),点P到x轴的距离为4，若4=24，且P,PO,P成等比数 列，则双曲线C的离心率为() 试卷第1页（共4页) A.5 B.2 C.5 D.2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 9.已知函数/闭=2smx+到引eas+引 则() A.f(x,)的最大值为1 B.f(x)的最小正周期为π c.f在(0，写到上单调递增 D.f)的图象关于x=兀对称 10.设动直线1：x-y-2m+3=0(m∈R)交圆C:(x-4)2+(y-5)2=12于A,B两点（点C为圆心)，则下 列说法正确的有() A.直线1过定点(2,3) B.当AB取得最小值时，m=1 C当∠4C0最小时，共余弦值为 D.AB·AC的最大值为24 11.已知连续函数f(x)满足x,y∈R,f(x+y)=f(x)+fy)+xy-1,f(I)=2,则（) A.f(-1)=1 B.f(x)最小值为1 C.x∈Z,f(x-1)=f(-x) D.VOER,f(2cos20)2f(cos20) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a、6满足=4，且a在6方向上的数量投影为-2，则2a-6的最小值为 13.5个零件中有3个次品，从中每次抽检1个，检验后放回，连续抽检3次，则抽检的3个零件中恰有2个 是次品的概率为 14.已知©为自然对数的底数，不等式20二 -xe+a≥0对xeR恒成立，则实数a的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.某种植户对一块地的n(n∈N)个坑进行播种，每个坑播种3粒种子，每粒种子发芽的概率均为二，且 2 每粒种子是否发芽相互独立，对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要 补播种。 (1)当n=3时，用X表示要补播种的坑的个数，求X的分布列与数学期望， (2)当”取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ 试卷第2页（共4页） 16.已知正项等比数列{a,}满足a8L=4”（n∈N). 2 (1)求数列{an}的通项公式： (2)设{b}满足bn= 1og2an,n为奇数 an,n为偶数 ，求{，}的前n项和为S 17.如图，已知在斜三棱柱ABC-A'BC中，4'B⊥B'C,ABB'A是边长为2的菱形，且∠ABB=T,B'C=BC, 3 (I)求证：平面ABB'A⊥平面ABC: (2)若AC=AB,E是AC的中点，2EA=5EP,求AP与平面ABE所成线面角的正弦值 B B 试卷第3页（共4页) 18。已知抛物线=8x与椭圆下：。+片1有相同的焦点，点A是椭圆的右顶点。 (1)求椭圆离心率： (2)己知点M(O,m),m>0,若椭圆T上存在一点P,满足PA=M正，求m的值： (3)若直线1与Γ交于B、C两点，且∠BAC为直角，求证：直线I恒过定点. 19.已知函数∫(x)=e-”,n∈N (I)证明：∫(x)有唯一零点： (2)记f(x)的零点为an. (1)数列{a}中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列，并说明理由： ()证明：2V+1-s22s+1+ a, 2 《第二次学科体验活动》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C c c C B B 0 0 AB ACD 题号 11 12 13 14 答案 ACD 8 54 125 5.B【详解】设正方体棱长为a,正四面体棱长为b,球的半径为R,面积为s.正方体表面积为S=6a2, 所以。-名所以，=广-g=6:如图，正因面体P-A8c,D为4C的中 点，O为△ABC的中心，则PO是P-ABC底面ABC上的高.则BD⊥AC,AD=b,所 以D=B-AD-5,所以5c=×4CxD=xbx56=5,所以，正 -b= 2 2 4 四面体P-BC的表面积为S=4.c=5,所以B-5又O为△BC的中心，所 以B0=名BD=5.又根据正四面体的性质，可知P01B0,所以 o-m-o-所以g-（m×oj小-9x,京r-方停可j-温 球的表面积为S=®，所以R=表所以，片-（台R小产G因为 64>空2d,以，吵>，所以，<<敌选：D 216 648 8,D详解设点P,%h%≠0，则直线oP方程为x-y=0,而《a,又d=女，则了 alyol1 好+好 于是1OPv后+y=2a,PF,PO,PF引成等比数列，得1PR‖PF HOPP=-4d, 而PE-|PF作2a,则|PFP+|PEP=12a2,令双曲线半焦距为c, 由PE-PF=FE,P丽+P丽=2PG,得20P灭P+|P瓦)F瓦P+4POP, 因此24a2=4c2+16a2,解得c=√2a,所以双曲线C的离心率为V2. X=2 10.ACD【详解】对于A:由mx-y-2m+3=0有m(x-2)-y+3=0,令x-2=0有-y+3=0,所以 所以直线1过定点(2,3)，故A正确；对于B:点(2,3)在圆C内，圆C的圆心为C(4,5), 当48例取得最小值时，直线与过点C(4,5)和(2,3)的直线垂直，所以m5-3 42山，解 得m=-l,故B错误；对于C:当∠ACB最小时，此时AB最小，则 答案第1页（共6页） hB=212-4-2-5-3=4,由余弦定理有o∠AC8.8C+4C-48_2+12-16,故C 2BC·AC 2×12 3 正确：对于D:而元-国G(孤和四-24：即丽.花的最大值为2，故D正 确故选：ACD 11.ACD【详解】A选项，f(+y)=f(x)+fUy)+y-1中，令x=y=0得f(0)=2fO)-1,解得f0)=1, 令x=1y=-1得f(0)=f0)+f(-1)-2,又f0)=2,故2+f(-1)-2=1,解得f(-1)=1,A正确： B选项，f(x+y)=f(x)+fy)+y-1中，令y=-x得f0)=f(x)+f(-x)-x2-1,又f0)=1,故 c=1 f(x)+f(-x)=2+x2,不妨设fx)=ar2+bx+c,又f(0)=1,f()=2,f(-1)=1,故{a+b+c=2, a-b+c=1 c=1 解得口=克，放f回-产+宁+1，经检验，=2+宁1满是c+刃-闭+f0)+g-1且为 6-2 连装函数.则四女++1-（骨故的最小值为B借展：C逃或。 fx+y)=f(x)+fy)+y-1中，令y=1得f(x+)=fx)+f)+x-1,故f(x+1)-f(x)=f)+x-1=x+1, 则f(x-1)-f(x-2)=x-1,f(x-2)-fx-3)=x-2.,f0)-f0)=1,f(0)-f(-1)=0, f(-1)-f(-2)=-1,,f(-x+2)-f(-x+)=-x+2,f(-x+1)-f(-x)=-x+1,以上式子累加得 f(x-l)-f(-x)=x-1+x-2++1+0+(-1)+(-x+1)=0,故x∈Zfx-1)=f-x),C正确： D选项，f(x+y)=f(x)+fy)+xy-1中，令x=2u,y=-1,则f(2u-1)=f(20)+f(-1)-2u-1=f(2w)-2, 则f(2)-f(2-1)=2u,其中cos28=2cos20-1,令cos20=u,则 f(2cos20)=f(2叫，f八cos20=八2u-y,故f(2cos20)-(cos20)=fufu-1上2=2cos020, 即V0∈R,f(2cos20)≥f(cos20),D正确，故选：ACD 4,c【详解】若a=0,则2口无意义，若a<0,当→+时，2→∞且-证→m,不满足题 意，因此a>0,则2e2-axe+a2≥0(reR),令f(x)=2e2-axe+a2,问题转化为求a>0的最大值， 使得f(x)20原函数求导得，(x)=4e“-a(e+xe)）=e'[4e-a(1+x小，由于c>0恒成立，'(x)的 符号由g()=4e-a1+x)决定，对g()求导，g()=4e-a,令g'()=0,得x=血，当a≤4时，此 答案第2页（共6页） 时h异≤0，&()的最小值为n号到=4号-a+h引-n导20，因此8()20恒成立，了(e20, f(x)在R上单调递增，当x→-o时，e2→0，xe→0，故f(x)-→a2>0,因此f(x)2a2>0恒成立， 满足条件，当a>4时，h号>0,8()在(0，h号)上单调递减，在n号+树上单调递增，且最小值 8n)引-a加号<0.又因为x→0时()→+0，x→时g()→e,放g()有两个零点 名<h号<，此时f()的单调性为，x<时，8()>0→()>0，()单调递增：<x<名时， 8(x)<0→∫"(x)<0,f(x)单调递减：x>名时，g(x)>0→∫"(x)>0,f(x)单调递增，因此f(x)在x=名 处取得级小值7儿)震满足儿)上0，商于名是8)=0的限，放=40+小.则一答>0叭， a-号4e小0,2÷0，-o 则3=1-1，代入原式，2-4-+16≥0，则22-4-)+16≥0-22+4+16≥0→2-21-8≤0， 解特-+2列<0，结合1>1得1<is4,即1+名54→名≤3，由a=,令h侧)=E（m=名≤3. 1+x2 1+m 求导得，e)子≥0≥0，因此侧在Q列止单调运瑞，城大做为s)-备-心，此时=， 代入验证f(3)=2e-e3.3e+(e)-0,满足f()≥0恒成立，故实数a的最大值为c. 15.省a=时.X的可能取值为012，那么X-》利到X--C[目-号k-0L23, 分布列物下：故E(X)=娜-多 0 2 3 1-8 3-8 3-8 18 0…6分 2油1)可知.用表示要补帮种的城的个数.则K-,,当≥3时，P(K=)=C(厂-号， C3 设f0网=g,则a+.2兴 n+1 2 f(n)） 22◆1，得35s:◆1，得25. f(n) f() 2 答案第3页（共6页） =,5+=l,故了⑥=6，所以当n<5时，f()单调递增：当n>5时，f网单调递减。 f(5)2(5-2) 故当m=5或6时，概率最大，最大概率为=三.…13分 2516 16.【详解】(1)设正项等比数列{a,}的公比为9，则q>0,由已知a,a1=2:4”,故a1a+2=2:4, 两式相除得82=g2=4,结合q>0,解得q=2,又0=4，故4(ag)=8,代入9=2可得2a=8, 所以a2=4,又a1>0,得a1=2,所以an=2";…7分 「n,n为奇数 (2)由(1)得bn= 2”,n为偶数’n为偶数时， 8=0+3+m-g7++2刘20-l2公2号2. 2 4 3 n为奇数时，3=S4-0=a+2-42a+,24 4 3 4 3 [2+22-4 4 3,伪偶数 综上，Sn= …15分 a少，2防数 17.(I)如图，连接AB,取BB的中点Q,连接AQ,CQ,由ABBA为菱形，所以AB⊥AB'.又由AB⊥BC, 且AB'OB'C=B',AB'C平面BAC,B'CC平面BAC, 所以ABL平面B4C,故而AB14C①又由∠A88-骨所以△AB8为等边三角形，所以A0L8B,由 B'C=BC,所以CQ⊥BB,且AQ∩CQ=2,AQc平面ACQ,CQc平面ACQ,所以BB⊥平面ACQ, 所以AC⊥BB②，由①②BBOA'B=B,BBC平面ABBA,'BC平面ABBN,所以AC⊥平面 ABBA,ACC平面ABC,故而平面ABBA⊥平面ABC·6分 (2)如图，取AB的中点F,连接AF,由(1)知：AB⊥AC,AC⊥AF,由F为AB的中点，则AF⊥A'B, 即AF⊥AB,由平面ABB⊥平面ABC,平面ABB'A'O平面ABC=AB,AFc平面ABBA, 所以AF⊥平面ABC,所以AB,AC,AF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，由AB=AC=2, 所以A(0,0,0),B(20,0),4-1,03,(01,9,所以丽=(2，-1,0)，8=3,0，-5) 设P(%,),由2E=5乎，得：2(-1，-，5=5(0%-1，)， 设平面BE的法向量为元=(，，)，则 7.E8=0m[2x-4=0, 即 i.AB=03x-V3z=0, 令x=1,则y=2,=5,所以i=山2,5)，令0为4P与平面A'BE所成线面角，所以 答案第4页（共6页） 元.AP sine=cos 冠 8X石兰，所以AP与平面AB5所成线面角的正弦值为 2 .…15分 18.(1)抛物线y2=8x的焦点为(2,0)，因为抛物线与椭圆Γ有相同的焦点，所以椭圆Γ的半焦距c=2. 又a=3,所以b2=a2-c2=9-4=5.所以椭圆的离心率e=9= a 3 …3分 (2)因为P=M亚，所以A+M=2P,即P为线段AM的中点又A(3,0),M(O,m),所以P 由点P在精医r上，且， 3 即 +m=1,解得m2=15. 420 9 5 又m>0,所以m=√5.… …9分 (3)由(1)知A(3,0).设B(:,片)，C(x2,乃2)，因为∠BAC为直角，所以A.AC=0,即 (,-3)(x2-3)+y2=0,其中B、C均与A不重合若1与x轴平行，设1：y=c,则B、C关于y轴对称， 设←x,9.C(d小，由7西C=0得9-云+d=0,结合c2-51-亭 解得x=3,c=0, 此时C与4里合，不合恩盒，放不与：轴平行，可设：x=+代入椭圆方程号+号-1，整星得 (5r+9）y2+10my+5n2-45=0.因为直线1与椭圆Γ交于B、C两个不同的点，所以判别式 B △=(10m)2-4(5r2+9)(5m2-45)=180(5+9-m2)>0,即n2<5r2+9. -10tm 3 所似y+29》459,且=州+n,为=%+” 于是(-3-3+y%=2+14+1h-3)6+%m-3)2=14m2-54n+360, 512+9 即7m-27a+18=0,因式分解得(a-训7m-)=0,解得m=3或n=号 当n=3时，直线l:x=y+3恒过点A(3,O),而A在椭圆Γ上，所以B、C中恰有一点与A重合，∠BAC不 存在，不符合怒意，舍去：当-身时，一治<9≤5+9，判别式△>0恒成立。 直线1：x=+与椭圆Γ恒有两个不同的交点，且直线不经过点A,符合题意。 所以直线1恒过定点（停0…17分 19.(当x<0时，f()>0,所以f(在(-m,0)上无零点，因为()=e+行>0，所以f(倒在(0，+) 上单调递增，所以f(x)在(0，+∞)上至多一个零点，当n=1时，f(x)有唯一零点1.当n≥2时，因为 f(I)=1-n<0,f(n)=e-1≥e-1>0,所以函数f(x)有唯一零点，得证。…5分 答案第5页（共6页） (②)(i)不存在，理由如下：由(1)知，=” =。,且a>0,两边取自然对数，得a,+ha,=n+1,() 所以a1+lna,=血(n+)+l,两式相减，得an1-a,+na,1-lna,=h+>0, n 所以anl+血a+1>an+nan、因为函数y=x+nx在(0，+oo)上单调递增，所以a>an,所以数列{an}单调 递增.假设数列{an}中存在am,am1,am+2成等比数列，则a品1=anam+2,所以2nam1=lham+lnam+2, 由(*)式得，nam=lnm+1-am,代入上式，得2l血(m+1)-2am1=lnm-am+lh(m+2)-amt2, 24-a.+4=血+.（两因为a>0,所以2a4-a.+an520n-2.a=0, m(m+2) 又n+=hm+2m+1>nl=0,所以方程（*)无解，所以数列a,}中不存在连续三项按某顺序 m(m+2）m2+2m 构成等比数列：…11分 (i)先证明：x>0时，x-1≥x,(*)设g(x)=x-1-x,则g(x)=X-,所以当x∈(0,1)时，g(x)<0, g(x)单调递减：当x∈(1，+o)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，所以g(x)≥g(1)=0,当且仅当x=1时，等 号成立.由(*)式知，ln=a,+a,-1≥2na,所以a,5万<历+h+,所以 a+a=2m-同，所以2站>2-+6-h可4+-1月-2T1)片 1> 2 a 在(**)式中，令x=,得-l≥n马=lna,-lnn,当且仅当a,=n,即n=1时等号成立， 所以0-4+--5a+各-2，所以a之行+》 当且仅当n=1时等号成立， 当22时在*式冲，令x得n-na-所以n22时，儿+5<止3 kak位ak 学2-4-aa-小-当=1时站成立 所以2小n中1-小<上≤+1+hm,得证.…17分 答案第6页（共6页）