2.3 有理数的乘除运算 课时作业 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 初中数学北师大版七年级上册“有理数的乘除运算”同步练，分层设计清晰，从基础概念到综合应用，强化运算能力与应用意识，适配新授课巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|有理数乘除法则、倒数、符号规律|口算热身+选择填空，夯实概念理解与基础运算| |技能层|运算律应用、混合运算|分步计算+简算题，提升符号确定与简便运算能力| |应用层|实际问题解决|温度、行程、盈亏等情境题，培养用数学思维解决现实问题的能力| |拓展层|新定义运算、分类讨论|选做探究题，发展创新意识与逻辑推理能力|

北师大版七年级上册 第二章 3 有理数的乘除运算 课时作业 第二章 有理数及其运算 北师大版 七年级上册 3 有理数的乘除运算 课时作业 班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　学号：＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿ （满分 100 分　建议用时 45 分钟） 一、知识点梳理 知识点 1　有理数的乘法法则 两个有理数相乘，同样是 “先定符号，再算绝对值”。 情　形 法　则 举　例 同号两数相乘 得正，并把绝对值相乘 (-3) × (-4) = +(3 × 4) = 12 异号两数相乘 得负，并把绝对值相乘 (-3) × 4 = -(3 × 4) = -12 任何数与 0 相乘 都得 0 (-7) × 0 = 0 　 一句话口诀：同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 知识点 2　多个有理数相乘的符号规律 几个都不等于 0 的数相乘： ① 负因数的个数是偶数个时，积为正数； ② 负因数的个数是奇数个时，积为负数； ③ 几个数相乘，只要有一个因数为 0，积就等于 0。 例如：(-2) × (-3) × (-4) 中有 3 个负因数，积为负，等于 -24； (-2) × 3 × (-4) 中有 2 个负因数，积为正，等于 24。 知识点 3　倒　数 定义：乘积是 1 的两个数互为倒数。若 a ≠ 0，则 a 的倒数是 。 数的类型 求倒数的方法 举　例 分　数 把分子与分母交换位置，符号不变 - 的倒数是 - 整　数 整数 a（a ≠ 0）的倒数是 -4 的倒数是 - 带分数 先化成假分数，再颠倒分子分母 2 = ，倒数是 小　数 先化成分数，再颠倒分子分母 -0.25 = -，倒数是 -4 　 注意：0 没有倒数；互为倒数的两个数符号一定相同；1 的倒数是 1，-1 的倒数是 -1。 知识点 4　有理数的乘法运算律 名　称 式　子 主要用途 乘法交换律 ab = ba 调整因数的顺序，便于凑整 乘法结合律 (ab)c = a(bc) 把互为倒数或能约分的因数先乘 乘法分配律 a(b + c) = ab + ac 一个数乘几个数的和，可以分别相乘再相加 　 分配律的逆用也很重要：ab + ac = a(b + c)。例如 (-) × + (-) × = (-) × ( + ) = -。 知识点 5　有理数的除法法则 法　则 内　容 举　例 法则一（转化） 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数：a ÷ b = a × （b ≠ 0） (-6) ÷ = (-6) × = -9 法则二（直接） 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除 (-12) ÷ (-3) = +(12 ÷ 3) = 4 特　例 0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0 0 ÷ (-5) = 0 　 选择方法的技巧：能整除时用法则二直接算；出现分数时用法则一化为乘法算。 知识点 6　乘除混合运算的步骤 第一步　化除为乘：把所有除法都改写成乘以除数的倒数； 第二步　确定符号：数一数负因数的个数，偶数个为正，奇数个为负； 第三步　计算绝对值：把所有因数的绝对值相乘（能约分的先约分）。 例如：(-12) ÷ (-) × (-) = (-12) × (-) × (-)，共 3 个负因数，积为负， 绝对值为 12 × × = ，所以原式 = -。 易错提醒：① 0 不能作除数，5 ÷ 0 没有意义；② 使用分配律时不能漏乘，(-24) × ( - ) 中 -24 要与括号内每一项都相乘；③ 除法没有分配律，( + ) ÷ 6 可以，而 6 ÷ ( + ) 不能拆开；④ 带分数参与乘除时必须先化成假分数。 二、典例精析 例 1　计算：(-5) × (-6) × (-2) × 分析：先数负因数的个数确定符号，再算绝对值，能约分的先约分。 解：原式中有 3 个负因数，个数为奇数，所以积为负。 原式 = -(5 × 6 × 2 × ) = -(5 × 2 × 6 × ) = -(10 × 2) = -20。 例 2　计算：(- + - ) × (-36) 分析：括号内的分母 2、6、12 都是 36 的约数，用分配律最简便。 解：原式 = (-) × (-36) + × (-36) + (-) × (-36) = 18 + (-30) + 21 = 9。 注意：括号内每一项都要乘 -36，符号也要一起参与运算。 例 3　计算：(-12) ÷ (-) × (-) 分析：先把除法化为乘法，再统一确定符号。 解：原式 = (-12) × (-) × (-) 负因数共 3 个，积为负， 原式 = -(12 × × ) = -(16 × ) = -。 例 4　某地气温随高度升高而下降，每升高 1000 m，气温下降 6 ℃。已知山脚的气温是 10 ℃，山顶比山脚高 2500 m，求山顶的气温。 分析：下降用负数表示，先求出上升的 “千米数”，再乘每千米的变化量。 解：2500 ÷ 1000 = 2.5， 山顶气温 = 10 + (-6) × 2.5 = 10 + (-15) = -5（℃）。 答：山顶的气温是 -5 ℃。 解题思路提炼：乘除运算 “三定”——定形（化除为乘）、定号（数负因数个数）、定值（约分后算绝对值）。带括号的乘法优先考虑分配律，含相同因数的加法优先考虑分配律的逆用。 三、基础巩固 （〇）课前口算热身（不计分，直接写出结果） ① (-3) × 5 = ＿＿＿　　② (-3) × (-5) = ＿＿＿　　③ (-12) ÷ 3 = ＿＿＿ ④ (-12) ÷ (-3) = ＿＿＿　⑤ 0 × (-9) = ＿＿＿　　　⑥ (-1) × (-1) × (-1) = ＿＿＿ ⑦ -4 的倒数是 ＿＿＿　　⑧ (-) × (-2) = ＿＿＿　⑨ (-0.6) ÷ 0.2 = ＿＿＿ （一）选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．计算 (-3) × 4 的结果是（　　） A．12　　　　　B．-12　　　　C．-7　　　　　D．7 2．计算 (-6) ÷ (-2) 的结果是（　　） A．3　　　　　　B．-3　　　　　C．12　　　　　D．-12 3．- 的倒数是（　　） A．　　　　　B．-　　　　C．　　　　D．- 4．下列各式中，运算结果为负数的是（　　） A．(-2) × (-3) × (-4)　　　　　B．(-2) × 3 × (-4) C．2 × (-3) × (-4)　　　　　　 D．(-1) × (-1) × (-1) × (-1) 5．若 ab > 0，且 a + b < 0，则（　　） A．a > 0，b > 0　　　　　B．a < 0，b < 0 C．a、b 异号　　　　　　　D．无法确定 6．计算 (-) × (-) 的结果是（　　） A．　　　　　B．-　　　　C．　　　　D．- 7．如果 a ÷ b < 0，那么（　　） A．a > 0，b > 0　　B．a < 0，b < 0　　C．a、b 异号　　D．a = 0 8．用乘法分配律计算 (- + - ) × (-24)，结果是（　　） A．-2　　　　　B．2　　　　　　C．-14　　　　 D．14 9．已知 a 是最小的正整数，b 是最大的负整数，c 是绝对值最小的有理数，则 (a + c) × b 的值是（　　） A．1　　　　　　B．-1　　　　　C．0　　　　　　D．2 10．已知 |a| = 2，|b| = 3，且 ab < 0，则 a ÷ b 的值是（　　） A．　　　　　B．-　　　　C．±　　　D．- （二）填空题（每小题 3 分，共 24 分） 11．计算：(-5) × (-8) = ＿＿＿＿＿＿。 12．计算：0 ÷ (-7) = ＿＿＿＿＿＿。 13．计算：(-2.5) × 4 = ＿＿＿＿＿＿。 14．- 的倒数是 ＿＿＿＿＿＿。 15．若 x 与 - 互为倒数，则 x = ＿＿＿＿＿＿。 16．计算：(-) ÷ = ＿＿＿＿＿＿。 17．已知 a、b 互为相反数（a ≠ 0），c、d 互为倒数，m 的绝对值是 2，则 (a + b) + cd - |m| = ＿＿＿＿＿＿。 18．若 ab < 0，a + b > 0，且 |a| > |b|，则 a ＿＿＿ 0（填 “>” 或 “<”）。 四、计算过关（每小题 4 分，共 32 分） 要求：写出必要的运算步骤，能用运算律的要用运算律进行简便计算。 19．(-8) × (-) × (-) 20．(-36) × ( - + - ) 21．(- + ) × (-24) 22．(-7) ÷ (-) × (-) 23．(-) ÷ (-) ÷ (-) 24．(-0.25) × (-8) ÷ (-) 25．(-) × + (-) × 26．99 × (-18) 五、实际应用（第 27～31 题，共 14 分） 27．（3 分）某冷库的温度原为 -2 ℃，现在打开制冷设备，温度每小时下降 3 ℃。 （1）5 小时后，冷库的温度是多少摄氏度？ （2）从 -2 ℃ 开始，经过多少小时冷库的温度可以降到 -20 ℃？ 28．（3 分）某次数学竞赛共 20 道题，答对一题得 5 分，答错一题扣 2 分，不答得 0 分。 （1）小明答对 15 题，答错 3 题，有 2 题未答，他得了多少分？ （2）小红答对 12 题，答错 8 题，她得了多少分？ 29．（3 分）一辆汽车在东西方向的公路上行驶，规定向东为正。它先以 60 km/h 的速度向西行驶 2 h，然后以 50 km/h 的速度向东行驶 3 h，行驶情况如图所示。 图 1　汽车两段行驶的示意图 （1）分别用有理数表示这两段行程； （2）此时汽车在出发地 A 的哪一侧？与 A 地相距多少千米？ （3）这辆汽车共行驶了多少千米？ 30．（3 分）如图，有理数 a、b 在数轴上对应的点的位置如图所示。 图 2　数轴上的 a、b 两点 请判断下列各式的符号（填 “正” 或 “负”），并简述理由： （1）ab；　（2）a ÷ b；　（3）a + b；　（4）a - b。 31．（2 分）某种商品每件进价 40 元，售价 55 元。某天商店卖出这种商品 20 件，另有 3 件因包装破损降价处理，每件亏损 12 元。这一天经营这种商品共盈利多少元？ 六、易错辨析 下面是小华的五组解答，请判断正误。若有错误，请指出错在哪里并改正。 ① (-3) × (-4) = -12　　　　　　　　　　（　　） ② (-2) × 0 = -2　　　　　　　　　　　　（　　） ③ 5 ÷ 0 = 0　　　　　　　　　　　　　　（　　） ④ - 的倒数是 　　　　　　　　　（　　） ⑤ (-24) × ( - ) = (-24) × - = -4 - 　（　　） 七、拓展探究（选做，共 5 小题） 32．定义一种新运算 “※”：对于任意有理数 a、b，规定 a ※ b = ab - a - b + 1。 （1）求 (-3) ※ 4 的值；　（2）求 [(-2) ※ 3] ※ (-1) 的值。 33．已知 a、b、c 都是不等于 0 的有理数，求 + + 的所有可能的值。 34．阅读理解：观察下列等式 = 1 - ，　 = - ，　 = - ，…… 请你利用上面的规律计算： + + + … + 。 35．已知 |a| = 3，|b| = ，且 ab < 0，求 a ÷ b 的值。 36．已知 a、b 互为倒数，c、d 互为相反数且 c ≠ 0，m 的绝对值是 3，求 2ab - 3(c + d) + 的值。 参考答案与解析 课前口算热身 ① -15　② 15　③ -4　④ 4　⑤ 0　⑥ -1　⑦ -　⑧ 1　⑨ -3 一、选择题 答案速查：1．B　2．A　3．B　4．A　5．B　6．A　7．C　8．A　9．B　10．B 1．B　异号两数相乘得负：(-3) × 4 = -(3 × 4) = -12。 2．A　同号两数相除得正：(-6) ÷ (-2) = +(6 ÷ 2) = 3。 3．B　互为倒数的两数乘积为 1，且符号相同。把分子分母交换位置得 -，验证 (-) × (-) = 1。 4．A　A 中有 3 个负因数（奇数个），积为负；B 中有 2 个负因数，积为正；C 中有 2 个负因数，积为正；D 中有 4 个负因数，积为正。故选 A。 5．B　由 ab > 0 知 a、b 同号；又 a + b < 0，同号两数之和为负，只能都是负数。故选 B。 6．A　同号得正：(-) × (-) = × = （约分：3 与 9 约去 3，4 与 8 约去 4）。 7．C　两数相除，异号得负。a ÷ b < 0 说明 a、b 异号（同时 b ≠ 0，a ≠ 0）。故选 C。 8．A　原式 = (-) × (-24) + × (-24) + (-) × (-24) = 4 + (-18) + 12 = -2。 9．B　最小的正整数 a = 1，最大的负整数 b = -1，绝对值最小的有理数 c = 0， 所以 (a + c) × b = (1 + 0) × (-1) = -1。 10．B　由 ab < 0 知 a、b 异号，所以 a ÷ b < 0；又 |a| ÷ |b| = 2 ÷ 3 = ，故 a ÷ b = -。 二、填空题 11．40　同号两数相乘得正：(-5) × (-8) = +(5 × 8) = 40。 12．0　0 除以任何一个不等于 0 的数都得 0。 13．-10　异号相乘得负：-(2.5 × 4) = -10。 14．-　分子分母交换位置，符号不变，验证 (-) × (-) = 1。 15．-　互为倒数即乘积为 1，故 x = -。 16．-　化除为乘：(-) ÷ = (-) × = -。 17．-1　a、b 互为相反数，故 a + b = 0；c、d 互为倒数，故 cd = 1；|m| = 2。 所以原式 = 0 + 1 - 2 = -1。 18．>　由 ab < 0 知 a、b 异号；两个异号数相加，和的符号与绝对值较大的那个数相同。 因为 a + b > 0 且 |a| > |b|，所以和的符号由 a 决定，故 a > 0。 三、计算过关 19．负因数共 3 个，积为负。 原式 = -(8 × × ) = -(6 × ) = -3。 20．用乘法分配律： 原式 = (-36) × + (-36) × (-) + (-36) × + (-36) × (-) = (-20) + 21 + (-24) + 9 = -14。 21．原式 = (-) × (-24) + × (-24) = 20 + (-9) = 11。 22．化除为乘：原式 = (-7) × (-) × (-)。 负因数共 3 个，积为负，原式 = -(7 × × ) = -(3 × ) = -。 23．化除为乘：原式 = (-) × (-) × (-)。 负因数共 3 个，积为负，原式 = -( × × ) = -( × ) = -1。 24．原式 = (-0.25) × (-8) × (-2) = -(0.25 × 8 × 2) = -4。 （其中 ÷(-) 化为 ×(-2)，共有 3 个负因数，积为负。） 25．逆用乘法分配律： 原式 = (-) × ( + ) = (-) × 1 = -。 26．把带分数拆成 “整数 - 分数” 的形式再用分配律： 99 = 100 - ， 原式 = (100 - ) × (-18) = 100 × (-18) - × (-18) = -1800 + 1 = -1799。 四、实际应用 27．（1）下降 3 ℃ 记作 -3 ℃，5 小时共变化 (-3) × 5 = -15（℃）， 5 小时后的温度为 -2 + (-15) = -17（℃）。 （2）从 -2 ℃ 降到 -20 ℃，温度变化量为 (-20) - (-2) = -18（℃）， 所需时间为 (-18) ÷ (-3) = 6（小时）。 28．（1）答对得分 15 × 5 = 75（分），答错扣分 3 × (-2) = -6（分），未答得 0 分， 小明的总分为 75 + (-6) + 0 = 69（分）。 （2）小红的总分为 12 × 5 + 8 × (-2) = 60 + (-16) = 44（分）。 29．（1）向西行驶记为负：(-60) × 2 = -120（km）；向东行驶记为正：50 × 3 = 150（km）。 （2）(-120) + 150 = 30（km），结果为正，所以汽车在 A 地东侧，与 A 地相距 30 km。 （3）总路程是两段路程长度之和：|-120| + |150| = 120 + 150 = 270（km）。 说明：位移用有理数的和表示，可以为负；路程是实际走过的长度，用绝对值的和表示，一定为正。 30．由图可知 a < -1 < 0 < b < 1，即 a 为负数、b 为正数，且 |a| > |b|。 （1）ab：异号两数相乘得负，符号为负。 （2）a ÷ b：异号两数相除得负，符号为负。 （3）a + b：异号相加，取绝对值较大的加数的符号，因 |a| > |b| 且 a < 0，符号为负。 （4）a - b = a + (-b)：a < 0，-b < 0，同号相加得负，符号为负。 31．每件正常销售的利润为 55 - 40 = 15（元），20 件共盈利 15 × 20 = 300（元）； 3 件破损商品共亏损 3 × (-12) = -36（元）。 这一天共盈利 300 + (-36) = 264（元）。 五、易错辨析 ① 错误。同号两数相乘得正，正确结果是 (-3) × (-4) = +(3 × 4) = 12。错因是把 “负负” 当成了 “异号”。 ② 错误。任何数与 0 相乘都得 0，正确结果是 (-2) × 0 = 0。错因是把 “乘 0” 与 “加 0” 混淆。 ③ 错误。0 不能作除数，5 ÷ 0 没有意义。注意区分：0 ÷ 5 = 0 是正确的。 ④ 错误。互为倒数的两数符号相同，- 的倒数是 -2，因为 (-) × (-2) = 1。 ⑤ 错误。使用分配律时括号内每一项都要与 -24 相乘，正确解法是 (-24) × ( - ) = (-24) × + (-24) × (-) = -4 + 3 = -1。错因是漏乘。 六、拓展探究 32．（1）按定义把 a = -3，b = 4 代入： (-3) ※ 4 = (-3) × 4 - (-3) - 4 + 1 = -12 + 3 - 4 + 1 = -12。 （2）先算中括号内的：(-2) ※ 3 = (-2) × 3 - (-2) - 3 + 1 = -6 + 2 - 3 + 1 = -6。 再算 (-6) ※ (-1) = (-6) × (-1) - (-6) - (-1) + 1 = 6 + 6 + 1 + 1 = 14。 33．对任意非零有理数 x，当 x > 0 时 = 1；当 x < 0 时 = -1。 因此三项中每一项都只能取 1 或 -1，需按 a、b、c 中正数的个数分类讨论： ① 三个都是正数：1 + 1 + 1 = 3； ② 两正一负：1 + 1 + (-1) = 1； ③ 一正两负：1 + (-1) + (-1) = -1； ④ 三个都是负数：(-1) + (-1) + (-1) = -3。 所以所有可能的值为 3、1、-1、-3。 34．按照给出的规律，把每一项都拆成两个分数的差： 原式 = (1 - ) + ( - ) + ( - ) + … + ( - )。 去括号后，中间的 - 与 +、- 与 +、……都两两抵消， 只剩下首项 1 与末项 -， 所以原式 = 1 - = 。 35．由 |a| = 3 得 a = ±3，由 |b| = 得 b = ±。 因为 ab < 0，所以 a、b 异号，从而 a ÷ b < 0。 又 |a| ÷ |b| = 3 ÷ = 3 × 3 = 9， 所以 a ÷ b = -9。 36．a、b 互为倒数，故 ab = 1；c、d 互为相反数，故 c + d = 0；|m| = 3，故 m = 3 或 m = -3。 当 m = 3 时， = 1，原式 = 2 × 1 - 3 × 0 + 1 = 3； 当 m = -3 时， = -1，原式 = 2 × 1 - 3 × 0 + (-1) = 1。 所以原式的值为 3 或 1。 七、学习反思 完成本次作业后，请对照下表进行自我评价（在相应等级后打 “√”）。 评价内容 优秀 良好 待加强 能准确运用乘法法则确定积的符号 能正确求出各类数的倒数 能把除法转化为乘法进行计算 能灵活运用分配律及其逆用进行简算 能用乘除运算解决温度、行程、盈亏等实际问题 　 本次作业中我出错最多的题号是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 出错的主要原因是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 我的改进措施是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 方法小结：乘除运算的核心是 “符号先行”。乘法看负因数的个数定符号，除法先化为乘法再定符号；简算时紧盯分配律和倒数这两把钥匙，遇到分数与整数相乘，先想 “能不能约分、能不能拆项”。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $