2.3有理数的乘除运算 分层训练 2026--2027学年北师大版七年级数学上册

**基本信息** 本同步练通过“基础-提优-拓展”三层设计，以有理数乘除运算为核心，从概念理解到综合应用再到规律探究，梯度递进培养运算能力与推理意识，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯实基础|单一运算、倒数概念、符号法则|选择填空聚焦基础考点，计算题强化分步运算能力| |能力提优|绝对值与乘除综合、实际应用（潜水问题）|解答题结合简便运算与情境分析，提升推理意识| |拓展探究|符号规律探究、数值加工机模型|综合题引导规律概括与模型构建，发展创新意识|

北师大版 · 七年级数学 · 2.3 有理数的乘除运算 · 分层训练 2.3有理数的乘除运算 分层训练 北师大版 · 七年级上册 第一部分（夯实基础·必做） 一、选择题（共 8 题） 1．计算 的结果是（　　） A．−42 B．42 C．−13 D．13 2．计算 的结果是（　　） A． B． C． D． 3．下列各组数中，互为倒数的是（　　） A．−2 与 B． 与 C．0 与 1 D． 与 4．计算 的结果是（　　） A．−18 B．18 C．−12 D．12 5．下列说法正确的是（　　） A．0 的倒数是 0 B．两个非 0 有理数相除，商一定小于被除数 C．0 乘任何有理数都得 0 D．除以一个非 0 有理数等于乘这个数本身 6．算式 的结果是（　　） A．正数 B．负数 C．0 D．无法确定 7．如图，数轴上点 A，B，C 分别表示有理数 a，b，c，则 的符号是（　　） A．正 B．负 C．0 D．无法确定 8．下列变形正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（共 5 题） 9．________。 10．________。 11．有理数 的倒数是________。 12．若 ，则 ________。 13．若 a，b 均为非 0 有理数，且 ，则 a，b________号。 三、计算题（共 1 题） 14．计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）用简便方法计算：。 第二部分（能力提优·必做） 四、选择题（共 7 题） 15．若 ，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 16．若 a，b 均不为 0，且 ，则（　　） A． B． C． D．a，b 互为倒数 17．已知 ，则 a 的值为（　　） A．−6 B．6 C． D． 18．若非 0 有理数 a 与 b 互为相反数，则 的值为（　　） A．1 B．−1 C．0 D．无法确定 19．若 |a|＝3，|b|＝2，ab＜0，则 的值为（　　） A． B． C． D． 20．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 21．潜水器在海面下匀速下潜，规定向上为正。若它的速度为每分钟 ，连续下潜 6 min，则位置变化量为（　　） A．−21 m B．21 m C．−9.5 m D．9.5 m 五、填空题（共 5 题） 22．若 a，b，c 均为非 0 有理数，且 ，则 ________0（填“＞”或“＜”）。 23．若 ，则 ________。 24．计算：________。 25．若 m，n 互为倒数，则 ________。 26．5 个非 0 有理数的乘积为正，其中前 4 个数里有 1 个负数，则第 5 个数一定是________数。 六、解答题（共 3 题） 27．小明计算 时，写出了下面的过程： 原式＝。 （1）小明的计算是否正确？说明理由。 （2）写出正确的计算过程。 28．利用运算律简便计算： （1）； （2）。 29．潜水员从海面开始下潜，规定海面高度为 0 m、向上为正。他以每分钟 的速度匀速运动 8 min。 （1）8 min 后潜水员所在位置相对海面的高度是多少米？ （2）若此后以每分钟 的速度匀速上浮，回到海面需要多少分钟？ 第三部分（拓展探究·选做） 七、综合题（共 2 题） 30．为探究有理数乘法、除法的符号规律，小组同学设计了下表。 a b a×b a÷b −6 2 −3 −4 5 −10 8 4 （1）完成表格中 与 两列。 （2）观察表格，分别概括“两数同号”和“两数异号”时乘积、商的符号规律。 （3）若 a，b 均不为 0，且 ，判断 的符号，并说明理由。 31．如图是一台“数值加工机”的运算程序：输入一个有理数 x，先乘 ，再除以 ，得到输出值 y。 （1）若输入 ，求输出值 y； （2）若输出 ，求输入值 x； （3）若输出值与输入值互为相反数，求 x。 详细答案与解析 第一部分（夯实基础·必做） 1．答案：A 解析：原式＝。 异号两数相乘，积为负；绝对值相乘得 ，所以结果为 −42，故选 A。 2．答案：B 解析：原式＝ 　　　＝ 　　　＝。 两个负数相乘得正，因此结果为 ，故选 B。 3．答案：B 解析：互为倒数的两个数乘积为 1。B 项中 原式＝，所以这两个数互为倒数。 另外，0 没有倒数，故选 B。 4．答案：B 解析：原式＝ 　　　＝ 　　　＝。 除以一个非 0 有理数，等于乘这个数的倒数，故选 B。 5．答案：C 解析：0 乘任何有理数都得 0，所以 C 正确。 A 错误：0 没有倒数；B 错误：商与被除数的大小不能仅由“相除”判断；D 错误：除以一个非 0 有理数，应改为乘这个数的倒数。 6．答案：B 解析：算式中共有 3 个负因数。多个非 0 有理数相乘，负因数的个数为奇数时，积为负数，因此结果为负数，故选 B。 7．答案：B 解析：由数轴可知 。 因为 ，再用负数除以正数，商仍为负数，所以 （a×b）÷c＜0，故选 B。 8．答案：B 解析：除以一个非 0 的数，等于乘这个数的倒数。 原式＝ 　　　＝，故 B 项变形正确。 9．答案：0 解析：原式＝。 因为 0 乘任何有理数都得 0，所以填 0。 10．答案： 解析：原式＝ 　　　＝ 　　　＝。 所以填 。 11．答案： 解析：先把带分数化成假分数：。 因为一个非 0 数的倒数是把分子、分母交换位置，所以 的倒数是 。 12．答案： 解析：由 ，可得 x＝ 　＝ 　＝。 13．答案：异 解析：两个非 0 有理数相除，异号得负。已知 ，所以 a，b 异号。 14．答案：见解析 解析： （1）原式＝ 　　　　　＝ 　　　　　＝。 （2）原式＝ 　　　　　＝ 　　　　　＝。 （3）原式＝ 　　　　　＝ 　　　　　＝ 　　　　　＝。 （4）原式＝ 　　　　　＝ 　　　　　＝。 （5）原式＝ 　　　　　＝ 　　　　　＝ 　　　　　＝。 第二部分（能力提优·必做） 15．答案：C 解析：因为 ，所以正数除以负数，商为负，即 。其余三项均不符合有理数乘除法的符号法则，故选 C。 16．答案：A 解析：由 ，两边同乘 b，得 ，故选 A。 17．答案：B 解析：由 ，得 。 当 时， a＝，故选 B。 18．答案：B 解析：a 与 b 互为相反数且均不为 0，所以 。 因此 ，故选 B。 19．答案：B 解析：由 |a|＝3，|b|＝2，得 |a÷b|＝。 又因为 ，所以 a，b 异号，商为负，因此 ，故选 B。 20．答案：B 解析：逐项判断： A：原式＝，A 错误； B：原式＝，B 正确； C：原式＝，C 错误； D：0 不能作除数，所以 无意义，D 错误。故选 B。 21．答案：A 解析：位置变化量＝速度×时间。 原式＝。 负号表示位置向下变化，因此位置变化量为 −21 m，故选 A。 22．答案：＜ 解析：由 可知 b，c 同号；由 可知 a，b 异号。 所以 a，c 异号，从而 ，故填“＜”。 23．答案： 解析：由 ，得 x＝ 　＝ 　＝。 24．答案： 解析：原式＝ 　　　＝ 　　　＝。 25．答案： 解析：因为 m，n 互为倒数，所以 。 原式＝ 　　　＝ 　　　＝。 26．答案：负 解析：前 4 个数中只有 1 个负数，负因数的个数为奇数，所以前 4 个数的乘积为负数。 要使 5 个数的总乘积为正，第 5 个数必须为负数，因此填“负”。 27．答案：见解析 解： （1）小明的计算不正确。除法没有“对括号内的和逐项相除”的分配律，即不能把 写成 。 （2）原式＝ 　　　　　＝ 　　　　　＝ 　　　　　＝。 28．答案：见解析 解： （1）原式＝ 　　　　　＝ 　　　　　＝ 　　　　　＝。 （2）原式＝ 　　　　　＝ 　　　　　＝ 　　　　　＝。 29．答案：见解析 解： （1）8 min 后潜水员相对海面的高度为： （−4.5）×8＝−36（m） 答：8 min 后潜水员所在位置相对海面的高度是 −36 m，即位于海面下 36 m。 （2）从 −36 m 回到海面，需要上浮 36 m。 所需时间＝。 答：回到海面需要 6 min。 第三部分（拓展探究·选做） 30．答案：见解析 解： （1）分别计算各行的积和商： 第 1 行：； 第 2 行：； 第 3 行：； 第 4 行：。 所以表格中依次填写：−12，−3；12，；−50，；32，2。 （2）两数同号时，乘积为正、商为正；两数异号时，乘积为负、商为负。 （3）因为 ，所以 a，b 异号。异号两数相除得负，因此 。 31．答案：见解析 解： 根据运算程序，输出值 y 与输入值 x 的关系为： y＝ 　＝ 　＝。 （1）当 时， y＝。 答：输出值 y 为 −8。 （2）当 时， −2x＝ x＝。 答：输入值 x 为 −5。 （3）输出值与输入值互为相反数，所以 。 又因为 ，所以 −2x＝ x＝。 答：x＝0。 汪老师编写 · 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $