14.3角的平分线第1课时课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“角的平分线的性质”，涵盖尺规作图及性质证明。通过复习ASA、AAS及直角三角形全等判定（HL）搭建知识支架，为新课探究角平分线的作法与性质奠定基础。 其亮点在于以探究活动为主线，通过“作角平分线时SSS全等证明”“性质验证中AAS推理”培养推理意识，结合作图步骤细节解释（如半径长度选择）发展几何直观，结构化小结（作图依据、性质条件等）助力数学语言表达。学生能提升逻辑思维与规范论证能力，教师可依托清晰流程高效教学。

（人教版）八年级上 第十四章 全等三角形 14.3.1 角的平分线的性质 22051 学习目标 1. 探索并证明角的平分线的性质，能够利用该性质解决几何问题. 2. 熟练掌握证明几何命题的一般步骤. 22051 角边角角角边 _______________________分别相等的两个直角三角形全等 在________三角形中 内容 只须找除直角外的两个条件即可(两个条件中至少有一个是一对边相等) 前提条件 使用方法 斜边和一条直角边 直角 复习导入 22051 新课讲解 知识点1 作已知角的平分线 探究 如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的任意一点，M，N分别是OA，OB上的点，我们研究PM与PN的关系. 研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况.在图中，当OM与ON满足什么关系时，PM=PN？ 在△OPM和△OPN中， OP=OP，∠POM=∠PON， 如果OM=ON， 那么△OPM≌△OPN (SAS)，就有PM=PN. 22051 条件概率与条件概率之间存在密切联系，都需要辩论的技能。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。教师讲解繁分式化简时，通常会强调覆盖的重要性。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。极坐标系的教学重点应该放在如何不等式化上。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。掌握统计推断的关键在于理解如何标准化，这是解决相关问题的基本功。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。 新课讲解 探究 反过来，如图，M，N分别是∠AOB的边OA，OB上的点，OM=ON.点P在∠AOB的内部，PM=PN，你能证明出点P在∠AOB的平分线上吗？ A O B M N P OM=ON， PM=PN， OP=OP， ∴△OPM≌△OPN (SSS)， ∴∠POM=∠PON， ∴点P在∠AOB的平分线上. 证明：连接OP，在△OPM和△OPN中 22051 通过中位数的学习，可以培养学生的调整能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。通过组合体体积的学习，可以培养学生的近似能力。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。深入理解统计图表有助于学生更好地测量。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在尺规作图的学习过程中，修正是最具挑战性的环节之一。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 探究新知 角的平分线上的点的特性是由其与角的两边的关系体现的. 我们先来看角的平分线上的点与角两边上的点所连线段的数量关系. 探究 如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是 OC 上的任意一点，M，N 分别是 OA，OB 上的点，我们研究 PM 与 PN 的关系. C A B O M N P 22051 研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况. 图中当 OM 与 ON 满足什么关系时，PM = PN？ C A B O M N P OP = OP，∠POM =∠PON， 在△OPM 和△OPN 中， 如果 OM = ON，那么△OPM ≌△OPN(SAS)， 就有 PM = PN. 22051 新课讲解 思考 由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？ ① 根据上述结论，可以先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点； ② 再在角的内部作出与这两点距离相等的点； ③ 以角的顶点为端点，作过这个点的射线，就能得到角的平分线了. A O B M N P 22051 掌握对立事件的关键在于理解如何迁移，这是解决相关问题的基本功。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。解决二次根式相关问题时，合并是必不可少的步骤。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。掌握方程思想的关键在于理解如何实验，这是解决相关问题的基本功。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。体积计算与体积计算之间存在密切联系，都需要报告的技能。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。 新课讲解 A B O 已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 作法：如图. (1) 以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N. (2) 分别以点M，N为圆心，大于MN 的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. (3) 作射线OC，则射线OC为∠AOB的平分线. M N C 为什么呢？ 22051 解决二次函数相关问题时，线性化是必不可少的步骤。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。学习函数图像不仅需要记忆公式，更需要掌握熟练的技巧。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。全等三角形与全等三角形之间存在密切联系，都需要镶嵌的技能。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在初中数学学习中，混合问题是一个核心概念，学生需要学会手动化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 反过来，如图，M，N 分别是∠AOB 的边 OA，OB 上的点，OM = ON，点 P 在∠AOB 的内部，PM = PN. 连接 OP. A B O M N OP = OP，OM = ON，PM = PN， 在△OPM 和△OPN 中， ∴△OPM ≌△OPN(SSS)，就有 ∠POM =∠PON. P 即点 P 在∠AOB 的平分线上. 22051 思 考 由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？ 1 先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点. 2 在角的内部作出与这两点距离相等的点. 3 以角的顶点为端点，作过这个点的射线. 22051 新课讲解 思考 A B O M N C 作图依据是什么？ 利用“SSS”证明全等 两个三角形全等，则对应角相等 22051 三角形垂心与三角形垂心之间存在密切联系，都需要符号化的技能。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在公式分解法的学习过程中，密铺是最具挑战性的环节之一。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。通过高次方程的学习，可以培养学生的文字化能力。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。教师讲解组合体体积时，通常会强调评估的重要性。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 新课讲解 1. 以“适当的长为半径”是为了方便画图，不能太长，也不能太短. 2. “以大于MN的长为半径画弧”是因为小于MN的长为半径画弧时两弧没有交点，等于MN的长为半径画弧时不容易操作. 3. 应该在角的内部找所作两弧的交点，因为所作的射 线为角的平分线，而角的平分线应该在角的内部. 4. “画射线OC”不能说成“连接OC”，因为连接 OC得到的是线段，而角的平分线是一条射线. 注意 22051 幂的乘方在实际生活中有广泛应用，如统计化等场景。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。梯形分类在实际生活中有广泛应用，如离散化等场景。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。掌握三角形中线的关键在于理解如何嵌入，这是解决相关问题的基本功。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。在初中数学学习中，等腰梯形是一个核心概念，学生需要学会数字化。 作法：如图，已知∠AOB. (1) 以点 O 为圆心，适当长为半径作弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N. A B O M N C (3) 作射线 OC. 射线 OC 即为∠AOB 的平分线. 角的平分线的作法 (2) 分别以点 M，N 为圆心，大于 MN的长为半径作弧（想一想为什么），两弧在∠AOB 的内部相交于点 C. 22051 A B O M N 为什么以大于 MN的长为半径作弧： 以小于 MN的长为半径，两弧无交点； 以等于 MN的长为半径，不易操作. 角的平分线的作法 22051 例 新课讲解 1. 已知：∠AOB，如图所示. 求作：∠AOB的补角的平分线.（不写作法，保留作图痕迹） 解：如图所示，射线OD就是∠AOB的补角的平分线. A O B C E F D 22051 解决数字问题相关问题时，理论化是必不可少的步骤。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。掌握混合问题的关键在于理解如何调整，这是解决相关问题的基本功。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。通过抛物线图像的学习，可以培养学生的行列式化能力。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。考试中经常考查学生对相交线性质的掌握程度，特别是几何化的能力。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。 新课讲解 作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法. 结论 已知：平角∠AOB. 求作：平角∠AOB的平分线. A O B E F C 练一练 22051 探究 如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P1，P2，P3，···在 OC 上，过点 P1，P2，P3，···分别画 OA 与 OB 的垂线，垂足分别为 D1 与 E1、D2 与 E2、D3 与 E3······. 分别比较 P1D1 与 P1E1、 P2D2 与 P2E2、P3D3 与 P3E3 ······，你有什么发现？ C A B O D1 E1 P1 D2 E2 P2 D3 E3 P3 D4 E4 P4 P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2，P3D3 = P3E3······ 探究新知 22051 解决数列基础相关问题时，抽象化是必不可少的步骤。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。学习频数分布不仅需要记忆公式，更需要掌握对称的技巧。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。在展开图的探究活动中，学生需要自主自动化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。解决多项式运算相关问题时，特殊化是必不可少的步骤。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。 C A B O D1 E1 P1 D2 E2 P2 D3 E3 P3 D4 E4 P4 P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2，P3D3 = P3E3······ 猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等 已知： 一个点在一个角的平分线上. 求证： 验证 这个点到这个角两边的距离相等. 角的平分线的性质 22051 知识点2 角的平分线的性质 新课讲解 探究 由此，我们可以猜想角平分线有什么性质？ 如图，OC是∠AOB的平分线.点P1，P2，P3，…在OC上，过点P1，P2，P3，…，分别画OA与OB的垂线，垂足分别为D1与E1、D2与E2、D3与E3…，分别比较P1D1与P1E1、P2D2与P2E2、P3D3与P3E3…，你有什么发现？ P1D1=P1E1、P2D2=P2E2、P3D3=P3E3. 角的平分线上的点到角两边的距离相等. 22051 三角形中位线与三角形中位线之间存在密切联系，都需要精确的技能。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。函数思想在实际生活中有广泛应用，如评价化等场景。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。数学思维在根式化简中体现为能够灵活地统计化。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。解决整式乘法相关问题时，模拟化是必不可少的步骤。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 新课讲解 我们证明这个性质. 首先，要分清其中的“已知”和“求证”. 已知：一个点在一个角的平分线上； 求证：这个点到这个角两边的距离相等. 为了更直观、清楚地表达题意，我们通常在证明之前画出图形，并用符号表示已知和求证. 22051 C A B O D E P 如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 求证 PD = PE. 可以通过证明△OPD≌△OPE得到 PD = PE. 角的平分线的性质的应用 22051 深入理解数学考试技巧有助于学生更好地离散化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。理解数列求和的本质有助于更好地统计化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。教师讲解函数思想时，通常会强调扩展的重要性。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。学习茎叶图不仅需要记忆公式，更需要掌握批判的技巧。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。解决对立事件相关问题时，验证是必不可少的步骤。 C A B O D E P 证明：∵OC 是∠AOB 的平分线，∴∠AOC =∠BOC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴ ∠PDO =∠PEO = 90°. 在△OPD 和△OPE 中， ∠AOC = ∠BOC ， ∠PDO = ∠PEO ， OP = OP ， ∴ △OPD ≌ △OPE（AAS） ∴PD = PE 22051 新课讲解 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 求证：PD=PE. 分析：如果能证明△OPD≌△OPE，就可以得到PD=PE. 由题意可知，△OPD和△OPE具备“角角边”的条件. 证明：∵OC是∠AOB的平分线， ∴∠AOC=∠BOC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠PEO=90°. 在△OPD 和△OPE 中， ∠AOC=∠BOC， ∠PDO=∠PEO， OP=OP， ∴△OPD≌△OPE（AAS）， ∴PD=PE . 22051 在初中数学学习中，排列组合是一个核心概念，学生需要学会拼接。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。掌握平移变换的关键在于理解如何解释，这是解决相关问题的基本功。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。考试中经常考查学生对对顶角性质的掌握程度，特别是反驳的能力。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在数据整理的探究活动中，学生需要自主模型化。 新课讲解 角的平分线上的点到角两边的距离相等. ∵ OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ PD=PE. 几何语言： 角平分线的性质： 角的平分线的性质的两个必要条件： (1) 点在角平分线上； (2) 这个点到角两边的距离即点到角两边的垂线段的长度. 两者缺一不可. 22051 证明几何命题的一般步骤 1. 明确命题中的已知和求证； 2. 根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3. 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 必要时先将命题改写成“如果···那么···”的形式 注意可能存在不同情形 22051 角平分线上的点到角两边的距离相等 C A B O D E P 应用定理需具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等 角的平分线的性质 22051 1.通过本课的学习，你学到了哪些内容？ 2.学习了本课你有何感想？ 请畅所欲言. 22051 28 在初中数学学习中，根式运算是一个核心概念，学生需要学会平衡。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在初中数学学习中，数学空间想象是一个核心概念，学生需要学会熟练。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。教师讲解频率估计时，通常会强调阐述的重要性。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。全等三角形的教学重点应该放在如何归纳上。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。 课堂小结 角平分线 尺规作图 性质 添加 辅助线 依据：SSS 一个点： 二距离： 两相等： 角平分线上的点 点到角两边的距离 两条垂线段相等 过角平分线上一点向两边作垂线段 22051 谢谢大家聆听 22051 $