阶段检测1-集合与常用逻辑用语单元检测-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 高中数学集合与常用逻辑用语一轮复习基础巩固卷，通过基础题、能力提升题及创新情境题，培养数学抽象、逻辑推理与数学表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合子集、交集运算、命题否定|基础巩固，如子集个数计算（第1题）| |多选|4/20|充分条件判断、集合元素特征|能力提升，如高斯函数性质（第12题）| |填空|4/20|集合关系、充要条件|易错点警示，如含参集合运算（第15题）| |解答|1/10|集合综合应用|三选一条件设计，考察分类讨论（第17题）|

第一单元　集合与常用逻辑用语 考点基础巩固卷 一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的。 1. 已知集合 ,则 的子集个数为 ( ) A. 16 B. 8 C. 7 D. 4 2. 设集合 . 若 ,则 ( ) A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 3. 下列各命题的否定为真命题的是 ( ) A. B. C. D. 4. “ ” 是 “函数 的定义域为 ” 的( ) A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若 ,则使 成立的一个充分不必要条件是 ( ) A. B. C. D. 6. 若命题 “ ” 为假命题,则实数 的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 7. 设集合 ,且 ,则 ( ) A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 8. 设集合 是实数集 的子集,如果点 满足: 对任意 ,都存在 ,使得 ,称 为集合 的聚点. 则在下列集合中: ① ② ③ ; ④ ,以 0 为聚点的集合有 ( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 0 个 二、选择题:本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分。 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得 0 分。 9. 已知 ,则 “ ” 的充分不必要条件可以是 ( ) A. B. C. D. 10. 已知集合 ,若集合 有且仅有 2 个子集,则 的值可以是 ( ) A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 11. 下列说法错误的是 ( ) A. 命题 “ ” 的否定是 “ ” B. “函数 的最小正周期为 ”是“ ”的必要不充分条件 C. “ 在 时有解” 等价于 “ 在 时成立” D. “平面向量 与 的夹角是钝角” 的充要条件是 “ ” 12. 高斯和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为:设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数,也称为取整函数,如 , . 以下关于 “高斯函数” 的性质、应用的说法，正确的有 ( ) A. B. ,则 C. D. 若 的定义域为 ,值域为 的定义域为 ,则 三、填空题:本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分。 13. 已知 ，则 “ ” 是 “ ” 的_________ 条件. 14. 已知集合 . 若 ,则 _____. 15. 已知集合 . 若 ，则实数 _________. 16. 已知 ,则 是 的 ___________条件. (在 “充分不必要” “必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个正确的填入) 四、解答题:本题共 1 小题, 共 10 分。解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (10 分) 在 ① ; ② “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件；③ 这三个条件中任选一个，补充到本题第( 2 )问的横线处，求解下列问题. 问题: 已知集合 (1)当 时,求 ； (2)若___，求实数 的取值范围. 参考答案与解析 1. B 【深度解析】由题知 ,所以 ,共 3 个元素,所以 的子集个数为 . 故选 B. 方法速记 若集合 中有 个元素,则其子集个数为 ,真子集个数为 . 2. B 【深度解析】 ,解得 或 . ,故选 B. 3. 【深度解析】对于 为真命题,故其否定为假命题; 对于 ,因为当 时, ,所以 为真命题,故其否定为假命题; 对于 ,因为当 时, ,所以 为真命题,故其否定为假命题; 对于 ,因为当 时, ,所以 为假命题, 故其否定为真命题. 故选 D. 4. B 【深度解析】因为函数 的定义域为 ,所以 对任意 恒成立. 当 时, 对任意 恒成立; 当 时,只需 ,解得 ,综上, . 所以 “ ” 是 “函数 的定义域为 ” 的充分不必要条件. 故选 . 易错警示 解决 对任意 恒成立时,容易忽略 的情况. 5. D 必刷考点 充分不必要条件的概念、分式不等式的解法 【深度解析】因为 ,所以 ,即 ,所以 解得 或 . 结合选项可知,使 成立的一个充分不必要条件是 ,故选 D. 6. A 【深度解析】因为命题 “ , ” 为假命题,所以命题“ ” 为真命题,所以 在 上恒成立. 又因为当 时, ,所以 ,解得 . 故实数 的取值范围为 . 故选 A. 7. C 必刷考点、集合的交集运算、含参一元二次不等式的解法 【深度解析】 ,即 (关键: 讨论两根 和 2 的大小). 当 ,即 时, ,此时 ,不符合题意; 当 ,即 时, . 因为 ,所以 ,解得 . 故选 C. 一题多解 (代入法) 当 时, ,则 ,不符合题意; 当 时, ,则 ,不符合题意; 当 时， ，则 ,符合题意; 当 时, ,则 ,不符合题意. 故选 C. 8. B 【深度解析】对 ①:集合 ，对任意的 ，都存在 (提示: 实际上任意比 小的数都可以),使得 ,所以 0 是集合 的聚点; 对②: 集合 ,对于某个实数 ,例如 ,此时对任意的 ,都有 ,即 不可能成立,从而 0 不是集合 的聚点; 对 ③: 集合 ,对任意的 ,都存在 ,即 ,使 ,所以 0 是集合 的聚点; 对④: 集合 ,故 随着 的增大而增大,故 的最小值为 (关键: 求出 的最小值) ,故当 时,不存在 ,使得 ,故 0 不是集合 的聚点. 综上,以 0 为聚点的集合有 2 个,故选 B. 9. CD 【深度解析】对于选项 ,若 ,不一定有 ,如 ,故“ ”不是“ ”的充分条件,故 错误; 对于选项 B,当 时, ,但 不成立,故“ ” 不是 “ ” 的充分条件，故 B 错误；对于选项 C，若 ，必有 ，反之若 ，则 ，故 “ ” 是 “ ” 的充分 不必要条件,故 正确; 对于选项 ,若 ,又 ,则必有 ,反之若 ,不一定有 ,故 “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件, 故 D 正确. 故选 CD. 10. BCD 【深度解析】因为集合 有且仅有 2 个子集,所以集合 中只有一个元素. 当 时, ,满足要求; 当 时,因为集合 中只有一个元素,所以 ,解得 ,此时 或 ,满足要求. 综上, 或 . 故选 BCD. 一题多解 (代入法) 因为集合 有且仅有 2 个子集,所以集合 中只有一个元素. 当 时, ,不符合题意; 当 时, ,符合题意; 当 时, ,符合题意; 当 时, ,符合题意. 故选 BCD. 易错警示 不要忽略当 时的情况,当 时,方程 为一元一次方程. 11. ACD 【深度解析】对于选项 ,命题“ ” 的否定是 “ ”,故 错误; 对于选项 ,由函数 ,则最小正周期 ,解得 ,故 正确; 对于选项 ，“ 在 时有解” 等价于 “ ”,故 错误; 对于选项 ,当 时,平面向量 与 的夹角是钝角或 ,故 “平面向量 与 的夹角是钝角” 的必要不充分条件是 “ ”,故 错误. 故选 ACD. 易错警示 对于 ,由函数 的最小正周期为 ,可得 ; 对于 ,当 时,平面向量 与 的夹角是钝角或平角. 12. AB 【深度解析】对于选项 ,当 时, (提示:判断存在量词命题为真命题,找到符合题意的一个特例即可),故 正确; 对于选项 ,设 ,则 ,所以 ,故 正确; 对于选项 ,当 时,有 ,但 (提示: 判断全称量词命题为假命题,举出反例即可),故 错误; 对于选项 ,因为 的定义域为 ,所以值域 ,由 得 ,即 ,所以 , 故 D 错误. 故选 AB. 13. 【深度解析】当 时, ,解得 或 ,故“ ” 是 “ ” 的充分不必要条件. 14. 【深度解析】 . 因为 ,所以 或 . 当 ,即 时, ,与题意不符,舍去. 当 ,即 时,经检验知 均符合题意. 综上, . 15. 0 或 1 【深度解析】因为集合 ,所以 表示直线 上除 外的所有点构成的集合. 表示直线 上的所有点构成的集合. 要使 ,有以下两种情况: ① 当两条直线平行时,两条直线无公共点,则 ; ② 当两条直线不平行,即 时,要使两集合无公共元素,则直线 恰好过点 ,故 ,解得 . 综上, 或 . 易错警示 ①集合 表示直线 上除 (2,3) 外的所有点的集合； ② 容易忽略直线 恰好过点 (2,3) 的情况. 16. 【深度解析】 . 当 时, ,其解集不是 ,不符合题意; 当 时,须使 且 ,解得 . 综上, . 因为 ,所以 是 的必要不充分条件. 一题多解 先求 为真时,实数 的取值范围. 当 时, ,即 ,符合题意; 当 时,二次函数 的图象开口向下,必存在 ,使得 ; 当 时, ,即 . 综上,若 为真,则 ,所以 . 所以 是 的必要不充分条件. 17. 【解】(1) 当 时, , 因为 , 所以 . (2)选①，因为 ，所以 . 若 (易错:容易忽略 的情况),则 ,解得 ,符合题意. 若 ,则由 可得 (易错: 注意条件 和 中的等号不能漏掉) 即 解得 . 综上所述，实数 的取值范围为 . 选②，因为 “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件，所以 是 的真子集. 若 ,则 ,解得 ,符合题意. 若 ,则由题意可得 即 解得 . 当 时, ,符合题意; 当 时, ,符合题意. (因为 是 的真子集,所以 和 的情况需要验证) 综上所述，实数 的取值范围为 . 选③， . 若 (易错: 容易忽略 的情况),则 ,解得 ,满足题意. 若 ,则由 可得 或 (注意条件 和 ,不能有等号) 整理可得 (舍去) 或 解得 . 综上所述，实数 的取值范围为 或 . 学科网（北京）股份有限公司 $