2027届高三物理一轮复习讲义：2.6 力的动态分析与极值问题

该高中物理讲义聚焦力的动态分析与极值问题核心考点，涵盖矢量作图、函数增减、拉密定理等方法，按基础方法到综合应用逻辑组织，通过考点梳理、方法指导（如辅助圆技巧）、真题训练（含全国卷及地方卷例题），帮助学生构建系统解题框架。 资料以科学思维和模型建构为特色，创新运用辅助圆、拉密定理“对角垂直力最大”等策略，如例6通过动态矢量圆分析力的变化规律，培养学生科学推理能力。设置分层练习与即时反馈，确保高效突破难点，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

§2.6 力的动态分析与极值问题 （一)矢量作图法 1.平行四边形、三角形作图法 按合力法（平衡条件法）或分力法（效果分析法），作力的合成或分解的矢量平行四边形或矢量三 角形，再根据动态情况，分析力的矢量图中各边的变化情况，或结合三角函数关系及几何关系进行分析。 这是静力学中最基本最常用的动态分析方法，可以处理大部分动态问题。 【例1】如图所示，一均匀球体被挡在斜面上处于静止状态，不考虑一切摩擦， 如果把挡板缓慢由竖直位置绕O点转至水平位置，则此过程中球对挡板的压力乃和 球对斜面的压力的变化情况是( A.F先增大后减小，F2一直减小 B.F先减小后增大，F,一直减小 a 771777777777777777777 C.乃和乃，都一直减小 D.乃和F?都一直增大 【例2】如图所示，一个重为6N(含挂钩)的物块通过光滑的小挂钩静止地挂 auuusup 在柔软的细绳上，细绳长为5m,两端系在水平天花板上，O为转角，OP长为4m。 P 下列说法正确的有() M A.P、2处的细绳与天花板的夹角必相等 B.细绳内的张力大小为5N G C.若将细绳的O端沿竖直墙壁下移1m到M点，则稳定时细绳内的张力减小 D.若将细绳的O端沿水平天花板左移1m到N点，则稳定时细绳内的张力减小 【例3】F1、F合力方向竖直向下，若保持F1的大小和方向都不变，保持F的大小不变，而将F2的方向在竖直平面 内转过60°角，合力的方向仍竖直向下，下列说法正确的是() A.乃一定大于乃 B.F可能小于F C.F2的方向与水平面成30°角 D.可方向与F2的方向成60°角 2.多力动态分析技巧 (1)多力动态转化为三力动态（巧用摩擦角，将所受弹力与滑动摩擦力合并成一个方向确定的力） 问题的提出：用力的矢量图进行动态分析，作矢量三角形比较简洁（平行四边形作图麻烦，尽量用 三角形而不用平行四边形)。当超过三个力时，有时可将某些力合成，最终简化为三力平衡。 滑动摩擦力的特点：滑动摩擦力（及最大静摩擦力）与相互间弹力的比值为定值（即摩擦因数）， 则它们的合力与接触面（或其垂线）的夹角为定值。 方法：将物体所受摩擦力和对应的弹力合成为一个力，精简受力个数，且利用其方向一定进行分析。 推广：其他有些力，如果具有某些特点，也可先行合成，减小力的个数。 【例4】一物块与水平地面间的动摩擦因数为弘(0<<1)。现用一个与水平方向成8角 斜向上的拉力F使物块向右做匀速直线运动，如图所示。让8角从0逐渐增大到90°而物块的 速度保持不变，则（) A.F一直减小 W B.F一直增大 C.F先减小后增大D.F先增大后减小 (2)多边形作图法 超过三个力的动态平衡问题，有时也可直接用多边形法将多个力顺次首尾相连作矢量多边形（如作 出的为任意四边形)，然后进行分析。不过，这种分析方法往往对学生基本功要求比较高。（在此略， 在别的专题中阐述) (3)正交分解法 【例5】（多边形作图法或正交分解法）如图所示，在一绝缘斜面C上有一带正电的 小物体A处于静止状态。现将一带正电的小球B沿着以A为圆心的圆弧缓慢地从A点等 高处的P点转至A正上方的Q点处，已知P、A在同一水平线上，且在此过程中物体A 和C始终保持静止不动，A、B可视为质点。关于此过程，下列说法正确的是() B PO- A.A受到斜面的支持力先增大后减小B,A受到斜面的支持力一直增大 C.地面对斜面C的摩擦力先增大后减小D.地面对斜面C的摩擦力先减小后增大 中 1 3.旋转半径辅助圆 适用情况：适用于处理三力动态问题，其中一个力（可能是合力）大小方向都确定，另一个力大小 确定，方向可变。对于大小确定方向可变的那个力，可通过作辅助圆确定起点或终点的可能位置。 分析力的变化情况时，要特别关注所作辅助圆的切线，该切线往往是由增变减或由减变增的转折点。 【例6】用两根弹簧秤1和2互成角度拉橡皮条做力的合成实验，橡皮条 F 一端固定于A点，另一端与细绳套的结点总是被拉到O点。开始时，弹簧秤1 的拉力乃的方向垂直于橡皮条的方向AOB,且其大小小于橡皮条的拉力F。 A B 此后使可沿逆时针方向缓慢转动，且保持其大小不变，同时调整弹簧秤2的 拉力F的大小和方向，以保证结点O的位置不动，直至F转过90°角。在 F的转动过程中，下列说法正确的有( A.F的大小先变大后变小 B.F,的方向与OB的夹角先变大后变小 C.若F2<乃<F,则P与F有可能大小相等 D.只要0<乃<F,F,都有可能与F大小相等 4.等大圆周角辅助圆（适用于分析恒力对恒角类型） 数学知识：同弧（同弦）所对的圆周角相等： 适用情况：一个力（一般为重力）大小方向都不变，另两个力大小和方向都可调，但夹角不变 (即：恒力对恒角) 乃最大 注意事项：①作矢量三角形及外接圆时，注意定角到底是哪个角（是内角还 是相邻的外角)； ②分析变化时，注意从初态到末态是否越过圆的直径（最大值） G 秒杀结论：对角垂直力最大（当恒角的顶点沿辅助圆移动时，另外的两个角， F2最大 当某角为直角时，所对的力达到最大) 【例7】（全国高考I卷）如图所示，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间 某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端W。初始时，OM竖直且MN被拉直， OM与MN之间的夹角为a(a>π/2)。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角 α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中( ) A.MN上的张力逐渐增大 B.上的张力先增大后减小 C.OM上的张力逐渐增大 D.OM上的张力先增大后减小 公 N 【例8】如图所示，两根相同的轻质弹簧一端分别固定于M、W两点，另一端分别与 轻绳OP、Og连接于O点。现用手拉住OP、O2的末端，使OM、ON两弹簧长度相同 (均处于拉伸状态)，且分别保持水平、竖直。最初OP竖直向下，O2与OP成120° 夹角。现使OP、OO的夹角不变，并保持O点不动，将OP、OQ沿顺时针方向缓慢旋转 70°。已知弹簧、轻绳始终在同一竖直平面内，则在两轻绳旋转的过程中( ) 120 A.OP上的作用力一直减小 B.OQ上的作用力一直减小 C.OP上的作用力先增大后减小 D.O2转至水平位置时OQ上作用力最大 (二)函数增减法 借助于受力分析、作图、几何关系、三角函数等等，将所要分析的量或相关量，表示成长短、角度、 力的大小、运动速度等等变量的函数，再根据函数的增减性、极值等规律进行分析求解。 【例9】弹性轻绳的一端固定在O点，另一端拴一物体，物体静止在水平地面上的 匹 0 B点处，并对水平地面有压力。O点的正下方A处有一光滑水平小钉，如图，OA等于弹 性轻绳的自然长度。现用水平向右的拉力使物体沿水平地面缓慢向右运动，在这一过程中 (弹性绳始终在弹性限度内)，水平地面对物体的摩擦力的大小的变化情况是() A.变大后变小 B.先变小后变大 F C.保持不变 D.条件不够，无法确定 2 (三)拉密定理法（即正弦定理法）（秒杀技法：记住后面的结论，5得解） b 1.正弦定理：如图所示的△4BC中，a= C sinA sin B sinC A F 2.拉密定理：一物体受三个共点力作用而平衡，则各 03 R-P-R F乃← 力与对角的正弦之比相等，即： 02 sine sine,sine; F02 F 3.重要结论：在存在一对“恒力对恒角”的情况下，对于两个变力，记住口诀“对角垂直力最大” 耳=乃三→恒力(01=90°时最大)(01偏离90°越远，则F越小) s1n6sin82in03→恒角(02=90°时F2最大)(0偏离90°越远，则F2越小) ①一个力的对角能够在变化过程中（不是起、止时刻）垂直，则这个力一定是先变大后变小 ②对角趋近90°时力增大，远离90°时力变小 ▲“恒力对恒角”，如果所对的“恒角”为直角，则直接用矢量作图法比较简单 【例10】如图所示竖直平面内的圆环中，两轻绳结点O处于圆心，两绳夹角8=150°。 OA水平，拉力大小为F4;OB的拉力大小为Fa。将圆环在竖直平面内沿顺时针方向缓慢转 过75°，则在转动过程中，下列说法正确的是() A.F4逐渐增大 B.F4先增大后减小 C.F。逐渐减小 D.F先减小后增大 【例11】如图所示，固定的半球形容器内壁光滑。开始时，光滑球A和质量分布 均匀的光滑球B放在容器内处于静止状态，位置关系如图中所示，A球半径大于B球。 用推力F作用在A球上，从图示位置开始向右缓慢推动A球，直到B的球心与容器的 球心O等高，则下列判断正确的是() A.B球受到A球的弹力先增大后减小 B.B球受到A球的弹力逐渐增大 C.容器对B球的支持力逐渐增大 D.容器对B球的支持力保持不变 4.拉密定理普遍适用：不是“恒力对恒角”时，拉密定理仍可用（求大小、求极值、动态分析等） (四)图形相似法 【例12】如图所示，将一个带电小球A用绝缘杆固定于地面上的某处，在A的 O! 正上方1处有一悬点O,通过长为1的绝缘细线吊着一个与A球带同性电荷的小球B, 由于同性电荷相互排斥，悬线与竖直方向成某一角度日。现由于漏电，A、B的带电量 缓慢减少，则悬线OB对B球的拉力T的大小将() A.变大 B.变小 C.不变 D.不能确定 AO (五)连接体动态分析 【例13】轻弹簧两端连接小球a、b,用水平向左的力F推b,静止时如图所示，水平 地面和竖直墙壁均光滑。现将b向左推动一小段距离后重新静止，则相对于原来( A.推力F变大B.b对地压力变大C.a对墙压力变大D.弹簧变长 【例14】(2021年湖南卷)质量为M的凹槽静止在水平地面上，内壁为半圆柱面，截 面如图所示，A为半圆的最低点，B为半圆水平直径的端点。凹槽恰好与竖直墙面接触，内 有一质量为m的小滑块。用推力F推动小滑块由A点向B点缓慢移动，力F的方向始终沿 圆弧的切线方向，在此过程中所有摩擦均可忽略，下列说法正确的是() A.推力F先增大后减小 B。凹槽对滑块的支持力先减小后增大 TMMIIIIIIIMTTMIIIIIIIIIITiMT C.墙面对凹槽的压力先增大后减小 D.水平地面对凹槽的支持力先减小后增大 3 【作业】 班次 座次 姓名 1.如图所示，轻弹簧的一端与物块P相连，另一端固定在木板上。先将木板水平放置， 并使弹簧处于拉伸状态。缓慢抬起木板的右端，使倾角逐渐增大，直至物块P刚要沿木板 向下滑动，在这个过程中，物块P所受静摩擦力的大小变化情况是() A.保持不变 B。一直增大 C.先增大后减小D.先减小后增大 2.如图所示，一小球放在倾斜的墙面与木板之间。设小球对墙面的压力大小为F1, 木板 小球对木板的压力大小为乃。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示 墙面 位置沿顺时针缓慢转到与墙面垂直的位置。不计摩擦，在此过程中( A.F先减小后增大B.F一直增大C.F2一直减小D.F先减小后增大 3.如图所示，质量为m的小球套在竖直固定的光滑圆环上，在圆环的最高点有一个 光滑小孔，一根轻绳的下端系着小球，上端穿过小孔用力F拉住，开始时绳与竖直方向的 夹角为日，小球处于静止状态，现缓慢拉动轻绳，使小球沿光滑圆环上升一小段距离，重 力加速度大小为g,则下列说法正确的是() A.绳与竖直方向夹角为时，F=mgeos日B.小球上升过程中，轻绳拉力逐渐增大 C.小球上升过程中所受支持力逐渐增大D.小球上升过程中所受支持力大小不变 4.(函数法)(2026年云南卷)如图所示，两挂钩可沿固定水平横梁滑动到任意位置 后锁定。一挎包质量为m,其轻质包带长度约为4d,a、b为包与包带的连接点，相距为d。将挎包悬挂在两挂钩上，两 挂钩相距为x时，锁定挂钩。挎包静止时，α、b在同一水平直线上，包带的张力大小为Fz,重力加速度为g,不计包带 与挂钩之间的摩擦及两挂钩尺寸。能正确反映乃随x变化的图像是( 挂钩 g 0.6 0.6 0.6 0.6 横梁 包带 0.5 挎包 d 2d 056 0.5 d 2d B C D 5.如图所示，在倾角为30°的光滑斜面上，垂直纸面放置一根长为L,质量为m的直导体棒。导体棒中的电流恒为、 方向垂直于纸面水平向里。将导体棒置于匀强磁场中，当外加匀强磁场的方向在纸面内由竖直向上沿逆时针转至水平向左 的过程中，欲使导体棒始终静止在斜面上，下列说法正确的是( A.导体棒所受安培力大小不变，方向改变 B.导体棒所受安培力大小改变，方向不变 C.当匀强磁场方向竖直向上时，导体棒所受安培力最小 B30° C 7777777777777777777777777 D.当匀强磁场方向垂直斜面向上时，导体棒所受安培力最小 6.如图，一带电小球A固定于定滑轮的正下方，一根绕过滑轮的轻质绝缘细线一端系有 一个带同种电荷的小球B,另一端用一拉力T拉住使小球B处于静止状态，图示位置两球球心 TK 所在高度相同。设定滑轮与小球B间的细线与竖直方向的夹角为8(8>0)，两球可视为质点。 现缓慢上拉细线使小球B移动一段距离，则在B移动过程中，下列说法正确的是( ) A.小球A、B间的距离减小 B.细线与竖直方向的夹角减小 C.小球B的运动轨迹为圆弧 D.拉力T先减小再增大 7.我们把最大静摩擦力m跟正压力Fw的比值称为静摩擦因数，用表示。如图所示，有一根均匀直杆，下端支在 粗糙的水平地面上，上端靠在光滑的竖直墙壁上，当8≥45时直杆能够稳定；当日<45时，直杆下端将打滑不再稳定。 (1)求的大小： (2)现将杆的下端向墙壁移动少许，使增大后让杆重新稳定地靠在墙壁上，试讨 论地面对杆的支持力乃、摩擦力f及墙壁对杆的弹力F2的大小变化情况。 4 §2.6 力的动态分析与极值问题 （一）矢量作图法 1．平行四边形、三角形作图法 按合力法（平衡条件法）或分力法（效果分析法），作力的合成或分解的矢量平行四边形或矢量三角形，再根据动态情况，分析力的矢量图中各边的变化情况，或结合三角函数关系及几何关系进行分析。 这是静力学中最基本最常用的动态分析方法，可以处理大部分动态问题。 【例1】如图所示，一均匀球体被挡在斜面上处于静止状态，不考虑一切摩擦， 如果把挡板缓慢由竖直位置绕O点转至水平位置，则此过程中球对挡板的压力F1和 球对斜面的压力F2的变化情况是（ ） A．F1先增大后减小，F2一直减小 B．F1先减小后增大，F2一直减小 ( G O P N M )C．F1和F2都一直减小 D．F1和F2都一直增大 【例2】如图所示，一个重为6N（含挂钩）的物块通过光滑的小挂钩静止地挂 在柔软的细绳上，细绳长为5m，两端系在水平天花板上，O为转角，OP长为4m。 下列说法正确的有（ ） A．P、Q处的细绳与天花板的夹角必相等 B．细绳内的张力大小为5N C．若将细绳的O端沿竖直墙壁下移1m到M点，则稳定时细绳内的张力减小 D．若将细绳的O端沿水平天花板左移1m到N点，则稳定时细绳内的张力减小 【例3】F1、F2合力方向竖直向下，若保持F1的大小和方向都不变，保持F2的大小不变，而将F2的方向在竖直平面内转过60°角，合力的方向仍竖直向下，下列说法正确的是（ ） A．F1一定大于F2 B．F1可能小于F2 C．F2的方向与水平面成30°角 D．F1方向与F2的方向成60°角 2．多力动态分析技巧 （1）多力动态转化为三力动态（巧用摩擦角，将所受弹力与滑动摩擦力合并成一个方向确定的力） 问题的提出：用力的矢量图进行动态分析，作矢量三角形比较简洁（平行四边形作图麻烦，尽量用三角形而不用平行四边形）。当超过三个力时，有时可将某些力合成，最终简化为三力平衡。 滑动摩擦力的特点：滑动摩擦力（及最大静摩擦力）与相互间弹力的比值为定值（即摩擦因数），则它们的合力与接触面（或其垂线）的夹角为定值。 方法：将物体所受摩擦力和对应的弹力合成为一个力，精简受力个数，且利用其方向一定进行分析。 推广：其他有些力，如果具有某些特点，也可先行合成，减小力的个数。 ( F θ )【例4】一物块与水平地面间的动摩擦因数为μ（0＜μ＜1）。现用一个与水平方向成θ角 斜向上的拉力F使物块向右做匀速直线运动，如图所示。让θ角从0逐渐增大到90°而物块的 速度保持不变，则（ ） A．F一直减小 B．F一直增大 C．F先减小后增大 D．F先增大后减小 （2）多边形作图法 超过三个力的动态平衡问题，有时也可直接用多边形法将多个力顺次首尾相连作矢量多边形（如作出的为任意四边形），然后进行分析。不过，这种分析方法往往对学生基本功要求比较高。（在此略，在别的专题中阐述） （3）正交分解法 【例5】（多边形作图法或正交分解法）如图所示，在一绝缘斜面C上有一带正电的 小物体A处于静止状态。现将一带正电的小球B沿着以A为圆心的圆弧缓慢地从A点等 高处的P点转至A正上方的Q点处，已知P、A在同一水平线上，且在此过程中物体A 和C始终保持静止不动，A、B可视为质点。关于此过程，下列说法正确的是（ ） A．A受到斜面的支持力先增大后减小 B．A受到斜面的支持力一直增大 C．地面对斜面C的摩擦力先增大后减小 D．地面对斜面C的摩擦力先减小后增大 3．旋转半径辅助圆 适用情况：适用于处理三力动态问题，其中一个力（可能是合力）大小方向都确定，另一个力大小确定，方向可变。对于大小确定方向可变的那个力，可通过作辅助圆确定起点或终点的可能位置。 分析力的变化情况时，要特别关注所作辅助圆的切线，该切线往往是由增变减或由减变增的转折点。 ( B A O F 1 F 2 )【例6】用两根弹簧秤1和2互成角度拉橡皮条做力的合成实验，橡皮条 一端固定于A点，另一端与细绳套的结点总是被拉到O点。开始时，弹簧秤1 的拉力F1的方向垂直于橡皮条的方向AOB，且其大小小于橡皮条的拉力F。 此后使F1沿逆时针方向缓慢转动，且保持其大小不变，同时调整弹簧秤2的 拉力F2的大小和方向，以保证结点O的位置不动，直至F1转过90°角。在 F1的转动过程中，下列说法正确的有（ ） A．F2的大小先变大后变小 B．F2的方向与OB的夹角先变大后变小 C．若F/2＜F1＜F，则F2与F1有可能大小相等 D．只要0＜F1＜F，F2都有可能与F大小相等 4．等大圆周角辅助圆（适用于分析恒力对恒角类型） 数学知识：同弧（同弦）所对的圆周角相等； ( G F 1 2 F 2 F 2 最大 F 1 最大 )适用情况：一个力（一般为重力）大小方向都不变，另两个力大小和方向都可调，但夹角不变 （即：恒力对恒角） 注意事项：①作矢量三角形及外接圆时，注意定角到底是哪个角（是内角还 是相邻的外角）； ②分析变化时，注意从初态到末态是否越过圆的直径（最大值） 秒杀结论：对角垂直力最大（当恒角的顶点沿辅助圆移动时，另外的两个角， 当某角为直角时，所对的力达到最大） 【例7】（全国高考Ⅰ卷）如图所示，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间 某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直， OM与MN之间的夹角为α（α＞π/2）。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角 α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中（ ） A．MN上的张力逐渐增大 B．MN上的张力先增大后减小 C．OM上的张力逐渐增大 D．OM上的张力先增大后减小 【例8】如图所示，两根相同的轻质弹簧一端分别固定于M、N两点，另一端分别与 轻绳OP、OQ连接于O点。现用手拉住OP、OQ的末端，使OM、ON两弹簧长度相同 （均处于拉伸状态），且分别保持水平、竖直。最初OP竖直向下，OQ与OP成120° 夹角。现使OP、OQ的夹角不变，并保持O点不动，将OP、OQ沿顺时针方向缓慢旋转 70°。已知弹簧、轻绳始终在同一竖直平面内，则在两轻绳旋转的过程中（ ） A．OP上的作用力一直减小 B．OQ上的作用力一直减小 C．OP上的作用力先增大后减小 D．OQ转至水平位置时OQ上作用力最大 （二）函数增减法 借助于受力分析、作图、几何关系、三角函数等等，将所要分析的量或相关量，表示成长短、角度、力的大小、运动速度等等变量的函数，再根据函数的增减性、极值等规律进行分析求解。 ( O A B C F )【例9】弹性轻绳的一端固定在O点，另一端拴一物体，物体静止在水平地面上的 B点处，并对水平地面有压力。O点的正下方A处有一光滑水平小钉，如图，OA等于弹 性轻绳的自然长度。现用水平向右的拉力使物体沿水平地面缓慢向右运动，在这一过程中 （弹性绳始终在弹性限度内），水平地面对物体的摩擦力的大小的变化情况是（ ） A．变大后变小 B．先变小后变大 C．保持不变 D．条件不够，无法确定 ( A B C a b c )（三）拉密定理法（即正弦定理法）（秒杀技法：记住后面的结论，5s得解） 1．正弦定理：如图所示的△ABC中， ( F 1 F 2 F 3 θ 1 θ 2 θ 3 θ 2 θ 1 θ 3 F 1 F 2 F 3 ) 2．拉密定理：一物体受三个共点力作用而平衡，则各 力与对角的正弦之比相等，即： 3．重要结论：在存在一对“恒力对恒角”的情况下，对于两个变力，记住口诀“对角垂直力最大” ( 恒力 恒角 （ θ 1 ＝ 90 ° 时 F 1 最大）（ θ 1 偏离 90 ° 越远，则 F 1 越小） （ θ 2 ＝ 90 ° 时 F 2 最大）（ θ 2 偏离 90 ° 越远，则 F 2 越小） ) ①一个力的对角能够在变化过程中（不是起、止时刻）垂直，则这个力一定是先变大后变小 ②对角趋近90°时力增大，远离90°时力变小 ( A B O θ M )▲“恒力对恒角”，如果所对的“恒角”为直角，则直接用矢量作图法比较简单 【例10】如图所示竖直平面内的圆环中，两轻绳结点O处于圆心，两绳夹角θ＝150°。 OA水平，拉力大小为FA；OB的拉力大小为FB。将圆环在竖直平面内沿顺时针方向缓慢转 过75°，则在转动过程中，下列说法正确的是（ ） A．FA逐渐增大 B．FA先增大后减小 C．FB逐渐减小 D．FB先减小后增大 ( F A B O ) 【例11】如图所示，固定的半球形容器内壁光滑。开始时，光滑球A和质量分布 均匀的光滑球B放在容器内处于静止状态，位置关系如图中所示，A球半径大于B球。 用推力F作用在A球上，从图示位置开始向右缓慢推动A球，直到B的球心与容器的 球心O等高，则下列判断正确的是（ ） A．B球受到A球的弹力先增大后减小 B．B球受到A球的弹力逐渐增大 C．容器对B球的支持力逐渐增大 D．容器对B球的支持力保持不变 4．拉密定理普遍适用：不是“恒力对恒角”时，拉密定理仍可用（求大小、求极值、动态分析等） （四）图形相似法 ( O B A θ l l )【例12】如图所示，将一个带电小球A用绝缘杆固定于地面上的某处，在A的 正上方l处有一悬点O，通过长为l的绝缘细线吊着一个与A球带同性电荷的小球B， 由于同性电荷相互排斥，悬线与竖直方向成某一角度θ。现由于漏电，A、B的带电量 缓慢减少，则悬线OB对B球的拉力T的大小将（ ） A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定 ( a b F ) （五）连接体动态分析 【例13】轻弹簧两端连接小球a、b，用水平向左的力F推b，静止时如图所示，水平 地面和竖直墙壁均光滑。现将b向左推动一小段距离后重新静止，则相对于原来（ ） A．推力F变大 B．b对地压力变大 C．a对墙压力变大 D．弹簧变长 【例14】（2021年湖南卷）质量为M的凹槽静止在水平地面上，内壁为半圆柱面，截 面如图所示，A为半圆的最低点，B为半圆水平直径的端点。凹槽恰好与竖直墙面接触，内 有一质量为m的小滑块。用推力F推动小滑块由A点向B点缓慢移动，力F的方向始终沿 圆弧的切线方向，在此过程中所有摩擦均可忽略，下列说法正确的是（ ） A．推力F先增大后减小 B．凹槽对滑块的支持力先减小后增大 C．墙面对凹槽的压力先增大后减小 D．水平地面对凹槽的支持力先减小后增大 【作业】 班次 座次 姓名 1．如图所示，轻弹簧的一端与物块P相连，另一端固定在木板上。先将木板水平放置， 并使弹簧处于拉伸状态。缓慢抬起木板的右端，使倾角逐渐增大，直至物块P刚要沿木板 向下滑动，在这个过程中，物块P所受静摩擦力的大小变化情况是（ ） A．保持不变 B．一直增大 C．先增大后减小 D．先减小后增大 2．如图所示，一小球放在倾斜的墙面与木板之间。设小球对墙面的压力大小为F1， 小球对木板的压力大小为F2。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示 位置沿顺时针缓慢转到与墙面垂直的位置。不计摩擦，在此过程中（ ） A．F1先减小后增大 B．F1一直增大 C．F2一直减小 D．F2先减小后增大 3．如图所示，质量为m的小球套在竖直固定的光滑圆环上，在圆环的最高点有一个 光滑小孔，一根轻绳的下端系着小球，上端穿过小孔用力F拉住，开始时绳与竖直方向的 夹角为θ，小球处于静止状态，现缓慢拉动轻绳，使小球沿光滑圆环上升一小段距离，重 力加速度大小为g，则下列说法正确的是（ ） A．绳与竖直方向夹角为θ时，F＝mgcosθ B．小球上升过程中，轻绳拉力逐渐增大 C．小球上升过程中所受支持力逐渐增大 D．小球上升过程中所受支持力大小不变 ( A B C D )4．（函数法）（2026年云南卷）如图所示，两挂钩可沿固定水平横梁滑动到任意位置 后锁定。一挎包质量为m，其轻质包带长度约为4d，a、b为包与包带的连接点，相距为d。将挎包悬挂在两挂钩上，两挂钩相距为x时，锁定挂钩。挎包静止时，a、b在同一水平直线上，包带的张力大小为FT，重力加速度为g，不计包带与挂钩之间的摩擦及两挂钩尺寸。能正确反映随变化的图像是（ ） 5．如图所示，在倾角为30°的光滑斜面上，垂直纸面放置一根长为L，质量为m的直导体棒。导体棒中的电流恒为I、方向垂直于纸面水平向里。将导体棒置于匀强磁场中，当外加匀强磁场的方向在纸面内由竖直向上沿逆时针转至水平向左的过程中，欲使导体棒始终静止在斜面上，下列说法正确的是（ ） A．导体棒所受安培力大小不变，方向改变 B．导体棒所受安培力大小改变，方向不变 C．当匀强磁场方向竖直向上时，导体棒所受安培力最小 D．当匀强磁场方向垂直斜面向上时，导体棒所受安培力最小 6．如图，一带电小球A固定于定滑轮的正下方，一根绕过滑轮的轻质绝缘细线一端系有 一个带同种电荷的小球B，另一端用一拉力T拉住使小球B处于静止状态，图示位置两球球心 所在高度相同。设定滑轮与小球B间的细线与竖直方向的夹角为θ（θ＞0），两球可视为质点。 现缓慢上拉细线使小球B移动一段距离，则在B移动过程中，下列说法正确的是（ ） A．小球A、B间的距离减小 B．细线与竖直方向的夹角θ减小 C．小球B的运动轨迹为圆弧 D．拉力T先减小再增大 7．我们把最大静摩擦力fm跟正压力FN的比值称为静摩擦因数，用μ0表示。如图所示，有一根均匀直杆，下端支在粗糙的水平地面上，上端靠在光滑的竖直墙壁上，当θ≥45°时直杆能够稳定；当θ＜45°时，直杆下端将打滑不再稳定。 ( θ )（1）求μ0的大小； （2）现将杆的下端向墙壁移动少许，使θ增大后让杆重新稳定地靠在墙壁上，试讨 论地面对杆的支持力F1、摩擦力f及墙壁对杆的弹力F2的大小变化情况。 2 学科网（北京）股份有限公司 $ §2.6 力的动态分析与极值问题 （一）矢量作图法 1．平行四边形、三角形作图法 按合力法（平衡条件法）或分力法（效果分析法），作力的合成或分解的矢量平行四边形或矢量三角形，再根据动态情况，分析力的矢量图中各边的变化情况，或结合三角函数关系及几何关系进行分析。 这是静力学中最基本最常用的动态分析方法，可以处理大部分动态问题。 【例1】如图所示，一均匀球体被挡在斜面上处于静止状态，不考虑一切摩擦， 如果把挡板缓慢由竖直位置绕O点转至水平位置，则此过程中球对挡板的压力F1和 球对斜面的压力F2的变化情况是（ ） A．F1先增大后减小，F2一直减小 B．F1先减小后增大，F2一直减小 ( mg F 1 F 2 )C．F1和F2都一直减小 D．F1和F2都一直增大 【答案】B 【解析】 挡板和斜面对球的弹力，等于球对挡板和斜面的压力 作球受力平衡的矢量三角形，挡板沿逆时针方向转动，则F1也沿水平方向转动 由图可直接看出F1先减小后增大，F2一直减小，选项B正确 ( G O P N M ) 【例2】如图所示，一个重为6N（含挂钩）的物块通过光滑的小挂钩静止地挂 在柔软的细绳上，细绳长为5m，两端系在水平天花板上，O为转角，OP长为4m。 下列说法正确的有（ ） A．P、O处的细绳与天花板的夹角必相等 B．细绳内的张力大小为5N C．若将细绳的O端沿竖直墙壁下移1m到M点，则稳定时细绳内的张力减小 ( G O P N M T F = G T T 合 θ θ α β D C 3 m )D．若将细绳的O端沿水平天花板左移1m到N点，则稳定时细绳内的张力减小 【答案】ABD 【解析】 AB：光滑小挂钩静止时，两边的细绳对挂钩的拉力T等大 两绳的拉力T的合力F合竖直向上与物块对挂钩的拉力F＝G平衡 由此可得两绳与竖直方向的夹角α＝β 则P、O处的细绳与天花板的夹角相等，选项A正确 ( G O P N M G O P N M )由直角三角形知识及三角形相似，得 选项B正确 C：若将细绳的O端沿竖直墙壁下移1m到M点 由于绳子总长度不变，可知两边的绳与竖直方向的夹角大小不变 因而绳内的张力大小也不变，选项C错误 D：若将细绳的O端沿水平天花板左移1m到N点 由几何关系可知，两边的绳子与竖直方向的夹角变小 则绳子内的张力大小也变小，选项D正确 【例3】F1、F2合力方向竖直向下，若保持F1的大小和方向都不变，保持F2的大小不变，而将F2的方向在竖直平面内转过60°角，合力的方向仍竖直向下，下列说法正确的是（ ） A．F1一定大于F2 B．F1可能小于F2 C．F2的方向与水平面成30°角 D．F1方向与F2的方向成60°角 ( F 1 F 合 F 合 ′ F 2 F 2 ′ 60 ° )【答案】AC 【解析】 由于合力始终向下，可知F2转动前后水平分力相同 故F2转动前后关于水平方向对称，所以F2与水平方向成30° 如右图所示，F1与转动前后的F2合力均竖直向下，可知F1的方向与F2的方向夹角大于60° 选项A与C正确 2．多力动态分析技巧 （1）多力动态转化为三力动态（巧用摩擦角，将所受弹力与滑动摩擦力合并成一个方向确定的力） 问题的提出：用力的矢量图进行动态分析，作矢量三角形比较简洁（平行四边形作图麻烦，尽量用三角形而不用平行四边形）。当超过三个力时，有时可将某些力合成，最终简化为三力平衡。 滑动摩擦力的特点：滑动摩擦力（及最大静摩擦力）与相互间弹力的比值为定值（即摩擦因数），则它们的合力与接触面（或其垂线）的夹角为定值。 方法：将物体所受摩擦力和对应的弹力合成为一个力，精简受力个数，且利用其方向一定进行分析。 推广：其他有些力，如果具有某些特点，也可先行合成，减小力的个数。 ( F θ )【例4】一物块与水平地面间的动摩擦因数为μ（0＜μ＜1）。现用一个与水平方向成θ角 斜向上的拉力F使物块向右做匀速直线运动，如图所示。让θ角从0逐渐增大到90°而物块的 速度保持不变，则（ ） A．F一直减小 B．F一直增大 C．F先减小后增大 D．F先增大后减小 ( F 全 F N F f F θ F θ F 全 G F )【答案】C 【解析】（将四力平衡转化为三力平衡分析） 将物块所受的支持力FN与摩擦力Ff合成为一个力（称为全反力）F全 因为定值，是F全方向一定 物块相当于受重力G、全反力F全、拉力F三力平衡 作矢量三角形，当F由水平转至竖直方向的过程中，由图易知选项C正确 （2）多边形作图法 超过三个力的动态平衡问题，有时也可直接用多边形法将多个力顺次首尾相连作矢量多边形（如作出的为任意四边形），然后进行分析。不过，这种分析方法往往对学生基本功要求比较高。（在此略，在别的专题中阐述） （3）正交分解法 【例5】（多边形作图法或正交分解法）如图所示，在一绝缘斜面C上有一带正电的 小物体A处于静止状态。现将一带正电的小球B沿着以A为圆心的圆弧缓慢地从A点等 高处的P点转至A正上方的Q点处，已知P、A在同一水平线上，且在此过程中物体A 和C始终保持静止不动，A、B可视为质点。关于此过程，下列说法正确的是（ ） A．A受到斜面的支持力先增大后减小 B．A受到斜面的支持力一直增大 ( G G y F F y F 支 )C．地面对斜面C的摩擦力先增大后减小 D．地面对斜面C的摩擦力先减小后增大 【答案】A 【解析】正交分解法 AB：库仑力F垂直于斜面的分力Fy先增大后减小，重力垂直于斜面的分力Gy不变 支持力F支＝Gy+Fy，则F支先增大后减小，选项A正确B错误 CD：将小物体A与斜面体C视为一个整体 整体水平方向受力平衡，则地面对C的摩擦力大小，等于库仑力F的水平分力 F由水平向竖直方向转，其水平分力一直减小，因而地面对C的摩擦力一直减小 选项C、D均错误 3．旋转半径辅助圆 适用情况：适用于处理三力动态问题，其中一个力（可能是合力）大小方向都确定，另一个力大小确定，方向可变。对于大小确定方向可变的那个力，可通过作辅助圆确定起点或终点的可能位置。 分析力的变化情况时，要特别关注所作辅助圆的切线，该切线往往是由增变减或由减变增的转折点。 ( B A O F 1 F 2 )【例6】用两根弹簧秤1和2互成角度拉橡皮条做力的合成实验，橡皮条 一端固定于A点，另一端与细绳套的结点总是被拉到O点。开始时，弹簧秤1 的拉力F1的方向垂直于橡皮条的方向AOB，且其大小小于橡皮条的拉力F。 此后使F1沿逆时针方向缓慢转动，且保持其大小不变，同时调整弹簧秤2的 拉力F2的大小和方向，以保证结点O的位置不动，直至F1转过90°角。在 F1的转动过程中，下列说法正确的有（ ） A．F2的大小先变大后变小 B．F2的方向与OB的夹角先变大后变小 C．若F/2＜F1＜F，则F2与F1有可能大小相等 D．只要0＜F1＜F，F2都有可能与F大小相等 【答案】BCD 【解析】 AB：如（图1）所示，作O点受力平衡的矢量三角形，F1沿逆时针方向转过90°角过程中 由图可见，F2的大小一直变小，选项A错误 F2的方向与OB的夹角先变大后变小，选项B正确 ( B A O F 1 F 2 F 2 F 1 F 橡 ＝ F F 2 ＝ F 1 F 1 F 橡 ＝ F B A O F 1 F 2 F 2 ＝ F F 1 F 橡 ＝ F B A O F 1 F 2 （图1） （图2） （图3） ) C：如（图2）所示，以力F的右起点为圆心，以F1的大小为半径画圆弧 若F/2＜F1＜F，图中的两段圆弧必有交点，交点对应的情况就是F2＝F1，选项C正确 D：如（图3）所示，以力F的右起点为圆心，以F的大小为半径画圆弧 只要0＜F1＜F，图中的两段圆弧必有交点，交点对应的情况就是F2＝F，选项D正确 4．等大圆周角辅助圆（适用于分析恒力对恒角类型） 数学知识：同弧（同弦）所对的圆周角相等； ( G F 1 2 F 2 F 2 最大 F 1 最大 )适用情况：一个力（一般为重力）大小方向都不变，另两个力大小和方向都可调，但夹角不变 （即：恒力对恒角） 注意事项：①作矢量三角形及外接圆时，注意定角到底是哪个角（是内角还 是相邻的外角）； ②分析变化时，注意从初态到末态是否越过圆的直径（最大值） 秒杀结论：对角垂直力最大（当恒角的顶点沿辅助圆移动时，另外的两个角， 当某角为直角时，所对的力达到最大） 【例7】（全国高考Ⅰ卷）如图所示，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间 某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直， OM与MN之间的夹角为α（α＞π/2）。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角 α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中（ ） A．MN上的张力逐渐增大 B．MN上的张力先增大后减小 C．OM上的张力逐渐增大 D．OM上的张力先增大后减小 【答案】AD ( F OM F MN G β γ )【解析】 ( G F MN F OM )方法1：作定角辅助圆 图中G所对的角恒为180°－α，G所对的顶点沿圆周向逆时针方向 移动，FMN由0增大到圆的直径，所以一直增大；FOM由小于圆的 直径，先增大到直径，再减小。 方法2：拉密定理 ( F=G 1 2 3 4 4 3 2 1 1 2 3 4 ) β：180°→90°⇒FMN增大 γ：小于90°→大于90°（包含90°）⇒FOM先增大后减小 方法3：以简代繁（将双转转化为单转） 将两个力的转动，转化为一个力的转动。 两根绳子对重物M的拉力的合力F与重力G构成一对平衡力，本来是两根绳子沿逆 时针方向转，可设想两根绳子不转，而让F（G）沿反方向转。由两个力转动变为一个力转动， 作图分析就更为简捷了。 F（G）沿顺时针方向由竖直转到水平： OM的拉力按1→2→3→4先变大后变小；MN的拉力按1→2→3→4一直变大 方法4：特殊状态作图法 如下图所示，从左到右依次作三个特殊状态的受力图：开始OM竖直状态→MN水平状态→最后OM水平状态 ( O M N α F OM ＝ G G F MN ＝ 0 F OM ＞ G F MN ＜ G G α O M N F ＝ G O M N α G F ＝ G F OM ＜ G F MN ＞ G )由三图直接可得选项A与D正确 【例8】如图所示，两根相同的轻质弹簧一端分别固定于M、N两点，另一端分别与 轻绳OP、OQ连接于O点。现用手拉住OP、OQ的末端，使OM、ON两弹簧长度相同 （均处于拉伸状态），且分别保持水平、竖直。最初OP竖直向下，OQ与OP成120° 夹角。现使OP、OQ的夹角不变，并保持O点不动，将OP、OQ沿顺时针方向缓慢旋转 70°。已知弹簧、轻绳始终在同一竖直平面内，则在两轻绳旋转的过程中（ ） A．OP上的作用力一直减小 B．OQ上的作用力一直减小 C．OP上的作用力先增大后减小 D．OQ转至水平位置时OQ上作用力最大 【答案】A ( F 合 F P F Q 20 ° )【解析】 两弹簧弹力相等，它们的合力F合大小方向保持一定，向左偏上45°斜向左上方 因OP与OQ夹角为120°保持不变，可作定角辅助圆帮助分析 开始时FP竖直向下，FQ向右偏上30° 保持OP与OQ夹角为120°角不变沿顺时针方向转过70° 力的矢量三角形变化情况如图所示，最终FP向左偏下20° AC：由图可见，OP上的作用力FP一直减小，选项A正确C错误 B：由图可见，OQ上的作用力FQ先增大后减小，选项B错误 D：FQ为矢量圆的直径时最大，由图可知此时OQ不是水平方向，选项D错误 （二）函数增减法 借助于受力分析、作图、几何关系、三角函数等等，将所要分析的量或相关量，表示成长短、角度、力的大小、运动速度等等变量的函数，再根据函数的增减性、极值等规律进行分析求解。 ( O A B C F )【例9】弹性轻绳的一端固定在O点，另一端拴一物体，物体静止在水平地面上的 B点处，并对水平地面有压力。O点的正下方A处有一光滑水平小钉，如图，OA等于弹 性轻绳的自然长度。现用水平向右的拉力使物体沿水平地面缓慢向右运动，在这一过程中 （弹性绳始终在弹性限度内），水平地面对物体的摩擦力的大小的变化情况是（ ） A．变大后变小 B．先变小后变大 C．保持不变 D．条件不够，无法确定 【答案】C 【解析】 ( O A B C F F y F θ θ h )设A到B之间的高度为h，物体的重力为G，物体与水平地面间的动摩擦因数为μ 当拉着物体的弹性绳与水平方向成θ角时： 弹性绳的伸长量（图中从A到C之间的弹性绳的长度就是伸长量） 设弹性绳的劲度系数为k，则它对物体的拉力F的竖直分力 由此可见，Fy为定值，则水平地面对物体的支持力FN＝G―Fy也为定值 地面对物体的摩擦力保持不变，选项C正确 ( A B C a b c ) （三）拉密定理法（即正弦定理法）（秒杀技法：记住后面的结论，5s得解） 1．正弦定理：如图所示的△ABC中， ( F 1 F 2 F 3 θ 1 θ 2 θ 3 θ 2 θ 1 θ 3 F 1 F 2 F 3 ) 2．拉密定理：一物体受三个共点力作用而平衡，则各 力与对角的正弦之比相等，即： 3．重要结论：在存在一对“恒力对恒角”的情况下，对于两个变力，记住口诀“对角垂直力最大” ( 恒力 恒角 （ θ 1 ＝ 90 ° 时 F 1 最大）（ θ 1 偏离 90 ° 越远，则 F 1 越小） （ θ 2 ＝ 90 ° 时 F 2 最大）（ θ 2 偏离 90 ° 越远，则 F 2 越小） ) ①一个力的对角能够在变化过程中（不是起、止时刻）垂直，则这个力一定是先变大后变小 ②对角趋近90°时力增大，远离90°时力变小 ▲“恒力对恒角”，如果所对的“恒角”为直角，则直接用矢量作图法比较简单 ( A B O θ M )【例10】如图所示竖直平面内的圆环中，两轻绳结点O处于圆心，两绳夹角θ＝150°。 OA水平，拉力大小为FA；OB的拉力大小为FB。将圆环在竖直平面内沿顺时针方向缓慢转 过75°，则在转动过程中，下列说法正确的是（ ） A．FA逐渐增大 B．FA先增大后减小 C．FB逐渐减小 D．FB先减小后增大 【答案】BC 【解析】 ( A B O θ M α β F A F B G )与FA、FB相对的角度分别设为α、β，重力G相对的角度θ＝150°为定值 圆环沿顺时针方向转过75°过程中 α：120°→90°→45°，所以FA先变大后变小，选项B正确 β：90°→165°，所以FB逐渐变小，选项C正确 ( F A B O )【例11】如图所示，固定的半球形容器内壁光滑。开始时，光滑球A和质量分布 均匀的光滑球B放在容器内处于静止状态，位置关系如图中所示，A球半径大于B球。 用推力F作用在A球上，从图示位置开始向右缓慢推动A球，直到B的球心与容器的 球心O等高，则下列判断正确的是（ ） A．B球受到A球的弹力先增大后减小 B．B球受到A球的弹力逐渐增大 C．容器对B球的支持力逐渐增大 D．容器对B球的支持力保持不变 ( F A B O G B F A对B F N F N F A对B )【答案】B 【解析】 方法1：等大圆周角辅助圆法 A、B两球移动时，三球心的连线构成一个大小和形状确定的三角形 因而每个内角的大小都是恒定的 作出初始状态下B球受力的矢量三角形，两球移动时，B球重力的对角也是恒定的 用这个矢量三角形的外接圆 随着B球向右上方移动，矢量三角形的一个顶点按图示方式在圆周上移动 直到最后容器对B球的支持力FN变为水平，B球受A球的弹力FA对B变为直径 由图易得FA对B一直增大，FN先增大后减小，选项B正确。 ( F A B O G B F A对B F N θ α β )方法2：拉密定理法 A、B两球移动时，三球心的连线构成一个大小和形状确定的三角形 因而每个内角的大小都是恒定的 作出B球所受的三力如图所示，其中重力GB的对角θ恒定 容器对B球的支持力FN最终转到水平向左 则B球受A球的弹力FA对B的对角α由大于90°变到等于90° FN的对角β由小于90°变到大于90° 据三共点力平衡的拉密定理得： 每个比值为定值，据α、β的变化情况，易得选项B正确 4．拉密定理普遍适用：不是“恒力对恒角”时，拉密定理仍可用（求大小、求极值、动态分析等） （四）图形相似法 ( O B A θ l l )【例12】如图所示，将一个带电小球A用绝缘杆固定于地面上的某处，在A的 正上方l处有一悬点O，通过长为l的绝缘细线吊着一个与A球带同性电荷的小球B， 由于同性电荷相互排斥，悬线与竖直方向成某一角度θ。现由于漏电，A、B的带电量 缓慢减少，则悬线OB对B球的拉力T的大小将（ ） ( O B A θ l l T F 库 G )A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定 【答案】C 【解析】 如图所示，力的矢量三角形与△OAB相似，则 随着缓慢漏电，G不变，l不变，则T不变，选项C正确 ( a b F )（五）连接体动态分析 【例13】轻弹簧两端连接小球a、b，用水平向左的力F推b，静止时如图所示，水平 地面和竖直墙壁均光滑。现将b向左推动一小段距离后重新静止，则相对于原来（ ） A．推力F变大 B．b对地压力变大 C．a对墙压力变大 D．弹簧变长 【答案】D ( a b F θ G a F 弹 F y =G a F x F N )【解析】 A：隔离法：球a受弹簧弹力的竖直分力Fy＝Ga保持不变 将球b向左推动一小段距离后，弹簧与竖直方向的夹角θ变小 则弹簧的弹力F弹变小，其水平分力Fx也变小 整体法：球a与b及弹簧构成的整体水平方向平衡，则F＝FN＝Fx 所以F也变小，选项A错误 B：整体法：球a与b及弹簧构成的整体竖直方向只受重力及地面对球b的支持力 所以，球a与b及弹簧构成的整体对地面的压力，即等于球b对地面的压力，所以保持不变，选项B错误 C：前面已分析得FN＝Fx变小，据牛顿第三定律，即得球a对墙的压力变小，选项C错误 D：前面已分析得F弹变小，据胡克定律得弹簧压缩量变小，所以弹簧变长，选项D正确 【例14】（2021年湖南卷）质量为M的凹槽静止在水平地面上，内壁为半圆柱面，截 面如图所示，A为半圆的最低点，B为半圆水平直径的端点。凹槽恰好与竖直墙面接触，内 有一质量为m的小滑块。用推力F推动小滑块由A点向B点缓慢移动，力F的方向始终沿 圆弧的切线方向，在此过程中所有摩擦均可忽略，下列说法正确的是（ ） A．推力F先增大后减小 B．凹槽对滑块的支持力先减小后增大 C．墙面对凹槽的压力先增大后减小 D．水平地面对凹槽的支持力先减小后增大 【答案】C 【解析】 AB：隔离法：对滑块受力分析，由平衡条件有 ， 滑块从A缓慢移动B点时，θ由0增大到90° ( F N 墙 θ )则F增大，支持力FN减小，所以选项A与B错误 C：整体法：凹槽与滑块整体水平方向平衡，得墙面对凹槽的压力 θ由0增大到90°，则墙面对凹槽的压力先增大后减小，选项C正确 ( （ M+m ） g θ N 地 ) D：整体法：凹槽与滑块整体竖直方向平衡，得水平地面对凹槽的支持力 θ由0增大到90°，则水平地面对凹槽的支持力逐渐减小，选项D错误 【作业】 班次 座次 姓名 1．如图所示，轻弹簧的一端与物块P相连，另一端固定在木板上。先将木板水平放置， 并使弹簧处于拉伸状态。缓慢抬起木板的右端，使倾角逐渐增大，直至物块P刚要沿木板 向下滑动，在这个过程中，物块P所受静摩擦力的大小变化情况是（ ） A．保持不变 B．一直增大 C．先增大后减小 D．先减小后增大 ( F F f 1 f 2 Gx )【答案】D 【解析】特殊状态分析法 开始平放时，弹簧伸长，拉力F向右，则物块受摩擦力f1向左 抬起木板右端过程中，物块重力沿木板向下的分力Gx由0逐渐增大 当Gx＝F时，摩擦力为0 物块刚要滑动时，有下滑趋势，则摩擦力f2变为沿木板向上 由此可见，摩擦力先由f1减小到0，再由0增大到f2，选项D正确 2．如图所示，一小球放在倾斜的墙面与木板之间。设小球对墙面的压力大小为F1， 小球对木板的压力大小为F2。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示 位置沿顺时针缓慢转到与墙面垂直的位置。不计摩擦，在此过程中（ ） A．F1先减小后增大 B．F1一直增大 C．F2一直减小 D．F2先减小后增大 ( mg F 1 F 2 )【答案】C 【解析】 小球对墙面和对木板的压力，就等于墙面和木板对小球的弹力，在此分析小球受力 作小球受力的矢量三角形如图所示，木板沿顺时针方向转，则F2也沿顺时针方向转 由图直接可见，F1与F2都是一直变小，只有选项C正确 3．如图所示，质量为m的小球套在竖直固定的光滑圆环上，在圆环的最高点有一个 光滑小孔，一根轻绳的下端系着小球，上端穿过小孔用力F拉住，开始时绳与竖直方向的 夹角为θ，小球处于静止状态，现缓慢拉动轻绳，使小球沿光滑圆环上升一小段距离，重 力加速度大小为g，则下列说法正确的是（ ） A．绳与竖直方向夹角为θ时，F＝mgcosθ B．小球上升过程中，轻绳拉力逐渐增大 C．小球上升过程中所受支持力逐渐增大 D．小球上升过程中所受支持力大小不变 【答案】D ( mg F F N R L θ R )【解析】 作小环受力的矢量三角形如图所示， A：由上得，所以，选项A错误 B：，L逐渐减小，则F逐渐减小，选项B错误 CD：小球受的支持力不变，选项C错误D正确 ( A B C D )4．（函数法）（2026年云南卷）如图所示，两挂钩可沿固定水平横梁滑动到任意位置后锁定。一挎包质量为m，其轻质包带长度约为4d，a、b为包与包带的连接点，相距为d。将挎包悬挂在两挂钩上，两挂钩相距为x时，锁定挂钩。挎包静止时，a、b在同一水平直线上，包带的张力大小为FT，重力加速度为g，不计包带与挂钩之间的摩擦及两挂钩尺寸。能正确反映随变化的图像是（ ） 【答案】D 【解析】 一边包带对挎包拉力FT的竖直分力等于挎包重力的 ( F T m g /2 A )用三角形相似法得（下式在范围内都成立）： 下面用验证法判断选项： x＝0时：；x＝d时：；x＝2d时： 对照图像可得选项D正确 5．如图所示，在倾角为30°的光滑斜面上，垂直纸面放置一根长为L，质量为m的直导体棒。导体棒中的电流恒为I、方向垂直于纸面水平向里。将导体棒置于匀强磁场中，当外加匀强磁场的方向在纸面内由竖直向上沿逆时针转至水平向左的过程中，欲使导体棒始终静止在斜面上，下列说法正确的是（ ） A．导体棒所受安培力大小不变，方向改变 B．导体棒所受安培力大小改变，方向不变 C．当匀强磁场方向竖直向上时，导体棒所受安培力最小 D．当匀强磁场方向垂直斜面向上时，导体棒所受安培力最小 【答案】D ( mg F 安 F N )【解析】 矢量三角形图解法。如右图，作导体棒受三力作用而平衡的矢量三角形 开始时磁场竖直向上，F安水平向右 磁场沿逆时针方向转动，则F安也沿逆时针方向转动 磁场转到水平向左时，F安安转到竖直向上 F安垂直于FN（即平行于斜面向上）时F安最小，此时磁场垂直于斜面向上 综上可知选项D正确 6．如图，一带电小球A固定于定滑轮的正下方，一根绕过滑轮的轻质绝缘细线一端系有 一个带同种电荷的小球B，另一端用一拉力T拉住使小球B处于静止状态，图示位置两球球心 所在高度相同。设定滑轮与小球B间的细线与竖直方向的夹角为θ（θ＞0），两球可视为质点。 现缓慢上拉细线使小球B移动一段距离，则在B移动过程中，下列说法正确的是（ ） A．小球A、B间的距离减小 B．细线与竖直方向的夹角θ减小 C．小球B的运动轨迹为圆弧 D．拉力T先减小再增大 【答案】C 【解析】 设小球A、B间的距离为r，小球B到定滑轮的距离为L，小球A与滑轮间的距离为h（为一定值） 以小球B为研究对象，B球受力如图所示 根据相似三角形有，又 解得 即小球A、B间的距离r为定值，小球B沿圆周运动，A错误，C正确； 小球B沿圆周运动一段距离，细线与竖直方向的夹角θ先增大后减小，B错误； 由还可得 上拉过程中L逐渐减小，则拉力T逐渐减小，D错误。 ( θ )7．我们把最大静摩擦力fm跟正压力FN的比值称为静摩擦因数，用μ0表示。如图所示，有一根均匀直杆，下端支在粗糙的水平地面上，上端靠在光滑的竖直墙壁上，当θ≥45°时直杆能够稳定；当θ＜45°时，直杆下端将打滑不再稳定。 （1）求μ0的大小； （2）现将杆的下端向墙壁移动少许，使θ增大后让杆重新稳定地靠在墙壁上，试讨 论地面对杆的支持力F1、摩擦力f及墙壁对杆的弹力F2的大小变化情况。 【答案】（1）0.5；（2）F1不变，f变小，F2变小 ( θ G F 墙 F N f m l /2 l F 全 O A B )【解析】 （1）杆受重力G、地面支持力FN、地面摩擦力f及墙壁弹力F墙共4个力的作用 将支持力FN与摩擦力f合成为一个力F全，杆由四力平衡转化为三力平衡 据三力汇交规律，作如右所示矢量图，则有 ( f F 1 F 全 ) （2）因杆竖直方向平衡，则地面对杆的支持力F1＝G不变 杆下端向墙移动，则F全与水平方向的夹角θ变大，由此得摩擦力变小 杆在水平方向平衡，则F2＝f，所以F2也变小 2 学科网（北京）股份有限公司 $§2.6 力的动态分析与极值问题 （一)矢量作图法 1.平行四边形、三角形作图法 按合力法（平衡条件法）或分力法（效果分析法），作力的合成或分解的矢量平行四边形或矢量三 角形，再根据动态情况，分析力的矢量图中各边的变化情况，或结合三角函数关系及几何关系进行分析。 这是静力学中最基本最常用的动态分析方法，可以处理大部分动态问题。 【例1】如图所示，一均匀球体被挡在斜面上处于静止状态，不考虑一切摩擦， 如果把挡板缓慢由竖直位置绕O点转至水平位置，则此过程中球对挡板的压力和 球对斜面的压力F的变化情况是( A.F先增大后减小，F2一直减小 B.F先减小后增大，F,一直减小 a C.F和F都一直减小 D.乃和F都一直增大 777777777777777777 【答案】B 【解析】 挡板和斜面对球的弹力，等于球对挡板和斜面的压力 作球受力平衡的矢量三角形，挡板沿逆时针方向转动，则F也沿水平方向转动 79 由图可直接看出F先减小后增大，F?一直减小，选项B正确 【例2】如图所示，一个重为6N(含挂钩)的物块通过光滑的小挂钩静止地挂 在柔软的细绳上，细绳长为5m,两端系在水平天花板上，O为转角，OP长为4m。 下列说法正确的有( A.P、O处的细绳与天花板的夹角必相等 B.细绳内的张力大小为5W C.若将细绳的O端沿竖直墙壁下移1m到M点，则稳定时细绳内的张力减小 D.若将细绳的O端沿水平天花板左移1m到N点，则稳定时细绳内的张力减小 【答案】ABD 【解析】 D AB:光滑小挂钩静止时，两边的细绳对挂钩的拉力T等大 两绳的拉力T的合力F,竖直向上与物块对挂钩的拉力F=G平衡 由此可得两绳与竖直方向的夹角=阝 则P、O处的细绳与天花板的夹角相等，选项A正确 由直角三角形知识及三角形相似，得 T._5→T= 56N=5N G/23m 32 选项B正确 C:若将细绳的O端沿竖直墙壁下移1m到M点 由于绳子总长度不变，可知两边的绳与竖直方向的夹角大小不变 因而绳内的张力大小也不变，选项C错误 D:若将细绳的O端沿水平天花板左移1m到N点 由几何关系可知，两边的绳子与竖直方向的夹角变小 则绳子内的张力大小也变小，选项D正确 【例3】乃、F乃合力方向竖直向下，若保持乃的大小和方向都不变，保持乃的大小不变，而将F的方向在竖直平面 内转过60°角，合力的方向仍竖直向下，下列说法正确的是() A.F1一定大于F B.可1可能小于F C.F2的方向与水平面成30°角 D.方向与F3的方向成60°角 1 【答案】AC 【解析】 由于合力始终向下，可知F转动前后水平分力相同 故F,转动前后关于水平方向对称，所以F与水平方向成3 60 如右图所示，F与转动前后的F合力均竖直向下，可知F的方向与F的方向夹角大于60 选项A与C正确 F 2.多力动态分析技巧 (1)多力动态转化为三力动态（巧用摩擦角，将所受弹力与滑动摩擦力合并成一个方向确定的力） 问题的提出：用力的矢量图进行动态分析，作矢量三角形比较简洁（平行四边形作图麻烦，尽量用 三角形而不用平行四边形)。当超过三个力时，有时可将某些力合成，最终简化为三力平衡。 滑动摩擦力的特点：滑动摩擦力（及最大静摩擦力）与相互间弹力的比值为定值（即摩擦因数）， 则它们的合力与接触面（或其垂线）的夹角为定值。 方法：将物体所受摩擦力和对应的弹力合成为一个力，精简受力个数，且利用其方向一定进行分析。 推广：其他有些力，如果具有某些特点，也可先行合成，减小力的个数。 【例4】一物块与水平地面间的动摩擦因数为(0<4<1)。现用一个与水平方向成8角 斜向上的拉力F使物块向右做匀速直线运动，如图所示。让角从0逐渐增大到90°而物块的 速度保持不变，则( A.F一直减小 B.F一直增大 C.F先减小后增大D.F先增大后减小 【答案】C 【解析】（将四力平衡转化为三力平衡分析） 将物块所受的支持力F与摩擦力F合成为一个力（称为全反力）F全 -=U为定值，是F方向一定 物块相当于受重力G、全反力F全、拉力F三力平衡 作矢量三角形，当F由水平转至竖直方向的过程中，由图易知选项C正确 (2)多边形作图法 超过三个力的动态平衡问题，有时也可直接用多边形法将多个力顺次首尾相连作矢量多边形（如作 出的为任意四边形)，然后进行分析。不过，这种分析方法往往对学生基本功要求比较高。（在此略， 在别的专题中阐述) (3)正交分解法 【例5】（多边形作图法或正交分解法）如图所示，在一绝缘斜面C上有一带正电的 小物体A处于静止状态。现将一带正电的小球B沿着以A为圆心的圆弧缓慢地从A点等 高处的P点转至A正上方的Q点处，己知P、A在同一水平线上，且在此过程中物体A 和C始终保持静止不动，A、B可视为质点。关于此过程，下列说法正确的是( PO- A,A受到斜面的支持力先增大后减小B.A受到斜面的支持力一直增大 C.地面对斜面C的摩擦力先增大后减小D.地面对斜面C的摩擦力先减小后增大 【答案】A 【解析】正交分解法 AB:库仑力F垂直于斜面的分力F,先增大后减小，重力垂直于斜面的分力G不变 支持力F支=G+F,则F先增大后减小，选项A正确B错误 CD:将小物体A与斜面体C视为一个整体 B 整体水平方向受力平衡，则地面对C的摩擦力大小，等于库仑力F的水平分力 F由水平向竖直方向转，其水平分力一直减小，因而地面对C的摩擦力一直减小 选项C、D均错误 3.旋转半径辅助圆 适用情况：适用于处理三力动态问题，其中一个力（可能是合力）大小方向都确定，另一个力大小 确定，方向可变。对于大小确定方向可变的那个力，可通过作辅助圆确定起点或终点的可能位置。 分析力的变化情况时，要特别关注所作辅助圆的切线，该切线往往是由增变减或由减变增的转折点。 【例6】用两根弹簧秤1和2互成角度拉橡皮条做力的合成实验，橡皮条 F 一端固定于A点，另一端与细绳套的结点总是被拉到O点。开始时，弹簧秤1 的拉力乃的方向垂直于橡皮条的方向AOB,且其大小小于橡皮条的拉力F。 B 此后使可沿逆时针方向缓慢转动，且保持其大小不变，同时调整弹簧秤2的 拉力F的大小和方向，以保证结点O的位置不动，直至F转过90°角。在 F的转动过程中，下列说法正确的有( ) A.F2的大小先变大后变小 B.F,的方向与OB的夹角先变大后变小 C.若F2<乃<F,则P与F有可能大小相等 D.只要0<乃<F,F?都有可能与F大小相等 【答案】BCD 【解析】 AB:如（图1）所示，作0点受力平衡的矢量三角形，F沿逆时针方向转过90°角过程中 由图可见，F的大小一直变小，选项A错误 F的方向与OB的夹角先变大后变小，选项B正确 F F F A F=F B F=F F=F (图1) (图2) (图3) C:如（图2）所示，以力F的右起点为圆心，以F1的大小为半径画圆弧 若F2<F<F,图中的两段圆弧必有交点，交点对应的情况就是F=F,选项C正确 D:如（图3）所示，以力F的右起点为圆心，以F的大小为半径画圆弧 只要0<F<F,图中的两段圆弧必有交点，交点对应的情况就是F=F,选项D正确 4.等大圆周角辅助圆（适用于分析恒力对恒角类型） 数学知识：同弧（同弦）所对的圆周角相等： 适用情况：一个力（一般为重力）大小方向都不变，另两个力大小和方向都可调，但夹角不变 (即：恒力对恒角) F最大 注意事项：①作矢量三角形及外接圆时，注意定角到底是哪个角（是内角还 是相邻的外角)： ②分析变化时，注意从初态到末态是否越过圆的直径（最大值) G 秒杀结论：对角垂直力最大（当恒角的顶点沿辅助圆移动时，另外的两个角， F最大 当某角为直角时，所对的力达到最大) 【例7】（全国高考I卷)如图所示，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间 某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且N被拉直， OM与MN之间的夹角为a(a>π/2)。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角 a不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中() A.MN上的张力逐渐增大 B.MN上的张力先增大后减小 C.OM上的张力逐渐增大 D.OM上的张力先增大后减小 【答案】AD 3 【解析】 方法1：作定角辅助圆 FOM 图中G所对的角恒为180°一《，G所对的顶点沿圆周向逆时针方向 移动，Far由0增大到圆的直径，所以一直增大；FoM由小于圆的 OM 直径，先增大到直径，再减小。 FMN 方法2：拉密定理 FAav FouG G sin B siny sina B:180°→90°→Fa增大 片小于90°→大于90°（包含90°）→FoM先增大后减小 方法3：以简代繁（将双转转化为单转） 21 将两个力的转动，转化为一个力的转动。 3 两根绳子对重物M的拉力的合力F与重力G构成一对平衡力，本来是两根绳子沿逆 时针方向转，可设想两根绳子不转，而让F(G)沿反方向转。由两个力转动变为一个力转动， 作图分析就更为简捷了。 F(G)沿顺时针方向由竖直转到水平： 0M的拉力按1→2→3→4先变大后变小：N的拉力按1→2→3→4一直变大 方法4：特殊状态作图法 如下图所示，从左到右依次作三个特殊状态的受力图：开始OM竖直状态→MW水平状态一→最后OM水平状态 由三图直接可得选项A与D正确 0 &0 F=G F=G FOM=G FOM>G FMN>G 0 M M FMN-0 FMI<G FOM<G G G 【例8】如图所示，两根相同的轻质弹簧一端分别固定于M、N两点，另一端分别与 轻绳OP、O9连接于O点。现用手拉住OP、Og的末端，使OM、ON两弹簧长度相同 (均处于拉伸状态)，且分别保持水平、竖直。最初OP竖直向下，OQ与OP成120° 夹角。现使OP、OO的夹角不变，并保持O点不动，将OP、OQ沿顺时针方向缓慢旋转 70°。已知弹簧、轻绳始终在同一竖直平面内，则在两轻绳旋转的过程中( 120 A.OP上的作用力一直减小 B.OQ上的作用力一直减小 C.OP上的作用力先增大后减小 D.O2转至水平位置时OQ上作用力最大 【答案】A 【解析】 两弹簧弹力相等，它们的合力F大小方向保持一定，向左偏上5°斜向左上方 20 因0P与00夹角为120°保持不变，可作定角辅助圆帮助分析 开始时F竖直向下，Fe向右偏上30° 保持0P与0Q夹角为120°角不变沿顺时针方向转过70° 力的矢量三角形变化情况如图所示，最终F,向左偏下20° AC:由图可见，OP上的作用力FP一直减小，选项A正确C错误 B:由图可见，OQ上的作用力Fe先增大后减小，选项B错误 F Fo D:F为矢量圆的直径时最大，由图可知此时OQ不是水平方向，选项D错误 4 (二)函数增减法 借助于受力分析、作图、几何关系、三角函数等等，将所要分析的量或相关量，表示成长短、角度、 力的大小、运动速度等等变量的函数，再根据函数的增减性、极值等规律进行分析求解。 【例9】弹性轻绳的一端固定在O点，另一端拴一物体，物体静止在水平地面上的 么 0 B点处，并对水平地面有压力。O点的正下方A处有一光滑水平小钉，如图，OA等于弹 性轻绳的自然长度。现用水平向右的拉力使物体沿水平地面缓慢向右运动，在这一过程中 (弹性绳始终在弹性限度内)，水平地面对物体的摩擦力的大小的变化情况是( A.变大后变小 B.先变小后变大 C.保持不变 D.条件不够，无法确定 【答案】C 【解析】 设A到B之间的高度为，物体的重力为G,物体与水平地面间的动摩擦因数为 当拉着物体的弹性绳与水平方向成角时： h 弹性绳的伸长量X= (图中从A到C之间的弹性绳的长度就是伸长量) sine 设弹性绳的劲度系数为，则它对物体的拉力F的竖直分力 F=F sine=kx sine=k.h ·sin0=kh sine 由此可见，F为定值，则水平地面对物体的支持力F=G一F也为定值 地面对物体的摩擦力F,=UFy保持不变，选项C正确 (三)拉密定理法（即正弦定理法）（秒杀技法：记住后面的结论，5x得解） 1.正弦定理：如图所示的△4BC中，a=b sin A sin B sinC 2.拉密定理：一物体受三个共点力作用而平衡，则各 63 FF F 乃1← F3 力与对角的正弦之比相等，即： 03 sine sine,sine, 3.重要结论：在存在一对“恒力对恒角”的情况下，对于两个变力，记住口诀“对角垂直力最大” FF→恒力(01=90°时F1最大)(01偏离90°越远，则F1越小) sin6sin6sin03→恒角(0=90°时F最大)(02偏离90°越远，则F越小) ①一个力的对角能够在变化过程中（不是起、止时刻）垂直，则这个力一定是先变大后变小 ②对角趋近90°时力增大，远离90°时力变小 ▲“恒力对恒角”，如果所对的“恒角”为直角，则直接用矢量作图法比较简单 【例10】如图所示竖直平面内的圆环中，两轻绳结点O处于圆心，两绳夹角日=150°。 OA水平，拉力大小为F4:OB的拉力大小为F。将圆环在竖直平面内沿顺时针方向缓慢转 过75°，则在转动过程中，下列说法正确的是( A.F4A逐渐增大 B.F4先增大后减小 C.FB逐渐减小 D.F:先减小后增大 ☑ 【答案】BC E1111 【解析】 5 与Fa、F相对的角度分别设为《、B,重力G相对的角度0=150°为定值 圆环沿顺时针方向转过75°过程中 :120°+90°→45°，所以F4先变大后变小，选项B正确 P:90°→165°，所以F逐渐变小，选项C正确 G 【例11】如图所示，固定的半球形容器内壁光滑。开始时，光滑球A和质量分布 均匀的光滑球B放在容器内处于静止状态，位置关系如图中所示，A球半径大于B球。 用推力F作用在A球上，从图示位置开始向右缓慢推动A球，直到B的球心与容器的 球心O等高，则下列判断正确的是() A.B球受到A球的弹力先增大后减小B.B球受到A球的弹力逐渐增大 C.容器对B球的支持力逐渐增大 D.容器对B球的支持力保持不变 【答案】B 【解析】 方法1：等大圆周角辅助圆法 A、B两球移动时，三球心的连线构成一个大小和形状确定的三角形 因而每个内角的大小都是恒定的 作出初始状态下B球受力的矢量三角形，两球移动时，B球重力的对角也是恒定的 G 用这个矢量三角形的外接圆 随着B球向右上方移动，矢量三角形的一个顶点按图示方式在圆周上移动 直到最后容器对B球的支持力F变为水平，B球受A球的弹力FA对B变为直径 FA对B 由图易得FA对B一直增大，F先增大后减小，选项B正确。 方法2：拉密定理法 A、B两球移动时，三球心的连线构成一个大小和形状确定的三角形 因而每个内角的大小都是恒定的 作出B球所受的三力如图所示，其中重力G的对角恒定 容器对B球的支持力F,最终转到水平向左 则B球受A球的弹力FA对B的对角e由大于90°变到等于90° FA对B Fr的对角B由小于90°变到大于0° 据三共点力平衡的拉密定理得： G8=PA五=FN sinθsina sin B 每个比值为定值，据、的变化情况，易得选项B正确 4.拉密定理普遍适用：不是“恒力对恒角”时，拉密定理仍可用（求大小、求极值、动态分析等） (四)图形相似法 【例12】如图所示，将一个带电小球A用绝缘杆固定于地面上的某处，在A的 0 正上方1处有一悬点O,通过长为1的绝缘细线吊着一个与A球带同性电荷的小球B, 由于同性电荷相互排斥，悬线与竖直方向成某一角度。现由于漏电，A、B的带电量 缓慢减少，则悬线OB对B球的拉力T的大小将() A.变大 B.变小 C.不变 D.不能确定 【答案】C 【解析】 GI 如图所示，力的矢量三角形与△OAB相似，则 随着缓慢漏电，G不变，1不变，则T不变，选项C正确 6 (五)连接体动态分析 【例13】轻弹簧两端连接小球a、b,用水平向左的力F推b,静止时如图所示，水平 地面和竖直墙壁均光滑。现将b向左推动一小段距离后重新静止，则相对于原来( A.推力F变大B.b对地压力变大C.a对墙压力变大D.弹簧变长 M F 【答案】D 【解析】 A:隔离法：球：受弹簧弹力的竖直分力F,=Ga保持不变 F=G 将球向左推动一小段距离后，弹簧与竖直方向的夹角变小 则弹簧的弹力F变小，其水平分力F也变小 M F 整体法：球：与b及弹簧构成的整体水平方向平衡，则F=F=F F 所以F也变小，选项A错误 B:整体法：球：与b及弹簧构成的整体竖直方向只受重力及地面对球的支持力 所以，球：与及弹簧构成的整体对地面的压力，即等于球b对地面的压力，所以保持不变，选项B错误 C:前面已分析得F=F变小，据牛顿第三定律，即得球a对墙的压力变小，选项C错误 D:前面已分析得F变小，据胡克定律得弹簧压缩量变小，所以弹簧变长，选项D正确 【例14】(2021年湖南卷)质量为M的凹槽静止在水平地面上，内壁为半圆柱面，截 B 面如图所示，A为半圆的最低点，B为半圆水平直径的端点。凹槽恰好与竖直墙面接触，内 有一质量为m的小滑块。用推力F推动小滑块由A点向B点缓慢移动，力F的方向始终沿 圆弧的切线方向，在此过程中所有摩擦均可忽略，下列说法正确的是() A.推力F先增大后减小 B.凹槽对滑块的支持力先减小后增大 BBACBKKKKKKA6 C.墙面对凹槽的压力先增大后减小 D.水平地面对凹槽的支持力先减小后增大 【答案】C 【解析】 AB:隔离法：对滑块受力分析，由平衡条件有 F=mgsin,Fyy=mg cos0 滑块从A缓慢移动B点时，由0增大到90° mg 则F增大，支持力F减小，所以选项A与B错误 C:整体法：凹槽与滑块整体水平方向平衡，得墙面对凹槽的压力 B 1 N.=Fcosθ=gsinθcosθ=÷gsin2θ H N 由0增大到90°，则墙面对凹槽的压力先增大后减小，选项C正确 TMMMMMMO B D:整体法：凹槽与滑块整体竖直方向平衡，得水平地面对凹槽的支特力 N =(M+m)g-F sin0=(M+m)g-mg sin20 0由0增大到90°，则水平地面对凹槽的支持力逐渐减小，选项D错误 M TMMMIMIMMMMMmMMiMmMMMMMMMMIMMM (+m)g 7 【作业】 班次 座次 姓名 1.如图所示，轻弹簧的一端与物块P相连，另一端固定在木板上。先将木板水平放置， 并使弹簧处于拉伸状态。缓慢抬起木板的右端，使倾角逐渐增大，直至物块P刚要沿木板 向下滑动，在这个过程中，物块P所受静摩擦力的大小变化情况是( A.保持不变 B,一直增大 C.先增大后减小D.先减小后增大 wwwwl 【答案】D 【解析】特殊状态分析法 开始平放时，弹簧伸长，拉力F向右，则物块受摩擦力向左 抬起木板右端过程中，物块重力沿木板向下的分力G由0逐渐增大 当G=F时，摩擦力为0 分 物块刚要滑动时，有下滑趋势，则摩擦力五变为沿木板向上 由此可见，摩擦力先由f减小到0，再由0增大到，选项D正确 木板 2,如图所示，一小球放在倾斜的墙面与木板之间。设小球对墙面的压力大小为F1, 墙面 小球对木板的压力大小为乃。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示 位置沿顺时针缓慢转到与墙面垂直的位置。不计摩擦，在此过程中() A.乃先减小后增大B.乃一直增大C.乃一直减小D.乃3先减小后增大 【答案】C 木板 【解析】 小球对墙面和对木板的压力，就等于墙面和木板对小球的弹力，在此分析小球受力 墙面 作小球受力的矢量三角形如图所示，木板沿顺时针方向转，则F3也沿顺时针方向转 由图直接可见，乃与F都是一直变小，只有选项C正确 3.如图所示，质量为m的小球套在竖直固定的光滑圆环上，在圆环的最高点有一个 光滑小孔，一根轻绳的下端系着小球，上端穿过小孔用力F拉住，开始时绳与竖直方向的 夹角为8，小球处于静止状态，现缓慢拉动轻绳，使小球沿光滑圆环上升一小段距离，重 力加速度大小为g,则下列说法正确的是（） 09 A.绳与竖直方向夹角为时，F=mgcos日B.小球上升过程中，轻绳拉力逐渐增大 C.小球上升过程中所受支持力逐渐增大D.小球上升过程中所受支持力大小不变 【答案】D 【解析】 F 作小环受力的矢量三角形如图所示，g=乃=卫 RRL L A:由上得Fy=g,所以F=2gcos0,选项A错误 0 B8_》P子g,L逐渐减小，则下遥渐诚小，选项R错园 CD:小球受的支持力Fy=g不变，选项C错误D正确 8 4.(函数法)(2026年云南卷)如图所示，两挂钩可沿固定水平横梁滑动到任意位置后锁定。一挎包质量为m,其 轻质包带长度约为4d,a、b为包与包带的连接点，相距为d。将挎包悬挂在两挂钩上，两挂钩相距为x时，锁定挂钩。 挎包静止时，α、b在同一水平直线上，包带的张力大小为F,重力加速度为g,不计包带与挂钩之间的摩擦及两挂钩尺 寸。能正确反映随x变化的图像是( ) 挂钩 1L8 mg 0.6 0.6 0.6 0.6 横梁 包带 d 0.5 0.5 2d x 0.5 0.5 挎包 d 2d 2d A B D 【答案】D 【解析】 一边包带对挎包拉力F的竖直分力等于挎包重力的} x-d 用三角形相似法得（下式在0≤x<二d范围内都成立）： 2 4d-x 4d-x /2 2 2 4d-x 11g 4d-x mg 2v3d5d-2x) d 2 2 挎包 下面用验证法判断选项： 2 x=0时： ≈0.52，x=d时： F2=1=0.5x=2a时 FT 3 ≈0.577 g√15 1g2 mg 3 对照图像可得选项D正确 5.如图所示，在倾角为30°的光滑斜面上，垂直纸面放置一根长为L,质量为m的直导体棒。导体棒中的电流恒为I、 方向垂直于纸面水平向里。将导体棒置于匀强磁场中，当外加匀强磁场的方向在纸面内由竖直向上沿逆时针转至水平向左 的过程中，欲使导体棒始终静止在斜面上，下列说法正确的是( A。导体棒所受安培力大小不变，方向改变 B.导体棒所受安培力大小改变，方向不变 C.当匀强磁场方向竖直向上时，导体棒所受安培力最小 B30° D.当匀强磁场方向垂直斜面向上时，导体棒所受安培力最小 777777777777777777777777 【答案】D 【解析】 矢量三角形图解法。如右图，作导体棒受三力作用而平衡的矢量三角形 开始时磁场竖直向上，F水平向右 磁场沿逆时针方向转动，则F也沿逆时针方向转动 B T30° 磁场转到水平向左时，F安转到竖直向上 71777777777 F垂直于F:(即平行于斜面向上)时F最小，此时磁场垂直于斜面向上 综上可知选项D正确 9 6.如图，一带电小球A固定于定滑轮的正下方，一根绕过滑轮的轻质绝缘细线一端系有 一个带同种电荷的小球B,另一端用一拉力T拉住使小球B处于静止状态，图示位置两球球心 TA 所在高度相同。设定滑轮与小球B间的细线与竖直方向的夹角为日(>0)，两球可视为质点。 现缓慢上拉细线使小球B移动一段距离，则在B移动过程中，下列说法正确的是（） A.小球A、B间的距离减小 B.细线与竖直方向的夹角减小 C.小球B的运动轨迹为圆弧 D.拉力T先减小再增大 【答案】C 【解析】 设小球A、B间的距离为，小球B到定滑轮的距离为L,小球A与滑轮间的距离为h(为一定值) 以小球B为研究对象，B球受力如图所示 根据相似三角形有 rh,又P=k94g2 FG:T 解得r=9492h GB 即小球A、B间的距离为定值，小球B沿圆周运动，A错误，C正确； 小球B沿圆周运动一段距离，细线与竖直方向的夹角先增大后减小，B错误： 由P-G=T还可得T=Ga 上拉过程中L逐渐减小，则拉力T逐渐减小，D错误。 7.我们把最大静摩擦力f跟正压力F的比值称为静摩擦因数，用o表示。如图所示，有一根均匀直杆，下端支在 粗糙的水平地面上，上端靠在光滑的竖直墙壁上，当8≥45时直杆能够稳定；当9<45时，直杆下端将打滑不再稳定。 (1)求的大小； (2)现将杆的下端向墙壁移动少许，使增大后让杆重新稳定地靠在墙壁上，试讨 论地面对杆的支持力乃、摩擦力f及墙壁对杆的弹力F,的大小变化情况。 【答案】(1)05；(2)不变，f变小，F变小 【解析】 (1)杆受重力G、地面支持力Fm、地面摩擦力f及墙壁弹力F共4个力的作用 A 将支持力F与摩擦力f合成为一个力F金，杆由四力平衡转化为三力平衡 据三力汇交规律，作如右所示矢量图，则有 = 五=1/2=0.5 F 1 (2)因杆竖直方向平衡，则地面对杆的支持力F=G不变 杆下端向墙移动，则F与水平方向的夹角变大，由此得摩擦力变小 杆在水平方向平衡，则F=f,所以F也变小 10