微突破2 动态平衡和临界、极值问题（复习讲义）（浙江专用）2027年高考物理一轮复习讲练测

该高中物理高考复习讲义聚焦动态平衡和临界极值核心考点，按“命题透视-思维建模-考点精讲-真题溯源”逻辑架构，系统梳理图解法、相似三角形法等解题方法及活结死结、动杆定杆模型，通过考点拆解、方法归纳、真题训练帮助学生突破高考难点。 讲义突出科学思维与模型建构，如对比“活结”“死结”模型差异，结合“晾衣架”情境训练动态平衡分析，设置易错辨析和分层变式题，培养学生科学推理能力，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生应考能力。

null微突破3 动态平衡和临界、极值问题（浙江专用）（解析版） 内容导航 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 命题透视·浙里特色 2 思维建模·脉络梳理 3 考点精讲·靶向突破 4 考点一 动态平衡问题 4 核心知识·解构 4 一、动态平衡问题 4 二、动态平衡问题的解题方法 4 三、“活结”和“死结”模型对比 5 四、“动杆”和“定杆”模型对比 6 易错辨析·AI命题 6 热点考向·破译 7 考向1 图解法解决动态平衡问题 7 【思维建模】 “一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题 8 考向2 解析法解决动态平衡问题 8 考向3 相似三角形法解决动态平衡问题 9 考向4 矢量圆法(正弦定理法)解决动态平衡问题 10 考向5 “活结”、“死结”、“动杆”、“定杆”模型 12 【思维建模】“晾衣架”中的“活结”问题 17 考向6 跨章节综合的动态平衡问题 18 考点二 平衡中的临界与极值问题 19 核心知识·解构 19 一、平衡中的临界与极值问题 19 二、临界问题与极值问题的解题方法 19 高分强基·提能 19 易错辨析·AI命题 20 热点考向·破译 21 考向1 物理分析法求临界和极值问题 21 考向2 数学分析法求临界和极值问题 23 考向3 摩擦角与自锁* 28 真题溯源·考向感知 31 命题透视·浙里特色 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 2023年 2022年 动态平衡问题 —— —— —— —— —— 平衡中的临界与极值问题 —— —— —— —— 2022.1·T5 考情分析 题型与考向：本讲在浙江高考物理中属于区分度较高的重要考点，常作为选择题或计算题中的难点出现。在考向上，一是动态平衡分析，二是临界问题分析，三是极值问题分析。在命题趋势上，近年来该考点呈现情境复杂化、与多过程模型深度融合、边界条件精细分析的趋势。早期题目多以单一物体的动态平衡为主，近年则更多地设计多物体系统或包含摩擦、碰撞等复杂因素的动态平衡与临界问题，且常与牛顿第二定律、功能关系、动量守恒深度融合，要求学生能够根据系统各部分运动状态的变化，精确分析临界条件（如共速、刚好不脱离、恰好到达等）并建立方程求解。 情境与立意： 1. 生活情境：2022年1月卷第5题的“石墩拖动”情境与浙江城乡常见的道路维护场景相契合。 2. 生产生活与工程应用：起重机吊臂、晾衣架、椅子撑地、汽车千斤顶 3. 经典力学模型（绳、杆、球、斜面）：缓慢拉绳、缓慢转板、光滑碗内上移、斜面上加力、弹簧连接体 4. 圆周运动、叠加题、传送带的临界问题 复习目标 1.学会运用解析法、图解法等分析处理动态平衡问题。 2.会分析平衡中的临界与极值问题，并会相关计算。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 考点精讲·靶向突破 ——拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 动态平衡问题 核心知识·解构 一、动态平衡问题 动态平衡是指研究对象的某些参量在变化，如速度、受力状态等，但是非常缓慢，可以看成平衡状态，因此题目中有关键词“缓慢”、“轻轻地”等 二、动态平衡问题的解题方法 1.图解法的适用情况：适用于“一力恒定，另一力方向不变” 用图解法分析物体动态平衡问题时,一般物体只受三个力作用,且有两个不变量,即其中一个力大小、方向均不变,另一个力的方向不变或另两个力的夹角不变. 由三角形中边长的变化知力的大小的变化，还可判断出极值。 图解法的一般步骤 ①对研究的对象进行受力分析 ②画出受力分析的平行四边形或者头尾相连的三角形 ③找出一个大小方向都不变的力，找出一个方向不变的力，结合平行四边形各边或者角度的变化确定力的大小及方向的变化情况 🤖️AI互动课件： 1. 动态平衡问题之矢量三角形法：https://lab.physicalw.com/expt/1/15/24 2.解析法：如果物体受到多个力的作用，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图，可进行正交分解，利用解析法，根据物体的平衡条件列方程，得到因变量与自变量的函数表达式(通常为三角函数关系)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化，还可由数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值。 3. 相似三角形法: 适用于“一力恒定，另两力方向均变化” 物体受三个力平衡，一个力恒定，另外两个力的方向同时变化，当所作“力的矢量三角形”与空间的某个“结构三角形”总相似时，可利用相似三角形对应边成比例进行计算。 相似三角形法的一般步骤 1）对物体受力分析 2）若处于平衡状态且受三个力，构成首尾相接的力学三角形 3）寻找与力学三角形相似的几何三角形，如图三力构成的矢量三角形与△ACO相似，则对应边比值相等。基本矢量图，如图所示。基本关系式：。 4）根据几何三角形长度及夹角的变化判断力的大小和方向的变化 6. 矢量圆法(正弦定理法):适用于“一力恒定，另外两力方向均变化，但两力方向夹角保持不变” ①矢量圆:如图所示，物体受三个共点力作用而平衡，其中一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变，作出不同状态的矢量三角形，利用两力夹角不变，可以作出动态圆(也可以由正弦定理列式求解)，恒力为圆的一条弦，根据不同位置判断各力的大小变化。 ②正弦定理:如图所示，物体受三个共点力作用而处于平衡状态，则三个力中任意一个力的大小与另外两个力的夹角的正弦成正比，即。 三、“活结”和“死结”模型对比 模型结构 模型解读 模型特点 “活结”模型 “活结”把绳子分为两段，且可沿绳移动，“活结”一般由绳跨过滑轮或绳上挂一光滑挂钩而形成，绳子因“活结”而弯曲，但实际为同一根绳 “活结”两侧的绳子上的张力大小处处相等，即滑轮只改变力的方向，不改变力的大小. “死结”模型 “死结”把绳子分为两段，且不可沿绳移动，“死结”两侧的绳因结而变成两根独立的绳 “死结”两侧的绳子上张力不一定相等 四、“动杆”和“定杆”模型对比 模型结构 模型解读 模型特点 “动杆”模型 轻杆用光滑的转轴或铰链连接，轻杆可围绕转轴或铰链自由转动，当杆平衡时，杆所受到的弹力方向一定沿着杆，否则杆会转动 当杆处于平衡状态时，杆所受的弹力方向一定沿杆 “定杆”模型 轻杆被固定在接触面上，不能发生转动 杆所受的弹力方向不一定沿杆，可沿任意方向 易错辨析·AI命题 1. 在动态平衡问题中，物体始终处于平衡状态，所以物体所受的合力一直为零。 ( √ ) 2. 在动态平衡问题中，物体受到的力一定都是恒力，不会发生变化。 ( × ) 3. 解析动态平衡问题时，如果物体受到三个力，且其中一个力大小、方向都不变，另一个力方向不变，那么第三个力的变化情况可以用图解法（矢量三角形法）直观判断。 ( √ ) 4. 在动态平衡问题中，用图解法分析时，通常是将不变的力作为平行四边形的对角线。 ( × ) 5. 用绳悬挂一个重物，保持悬点不变，使绳的另一端在竖直平面内缓慢移动，绳的拉力大小一定不变。 ( × ) 6. 当物体受多个共点力作用处于动态平衡时，可以运用正交分解法列方程，通过分析三角函数的变化来判断力的变化。 ( √ ) 7. 解析动态平衡问题时，通常认为物体运动的速度非常缓慢，这样可以将每一时刻都近似看作平衡状态。 ( √ ) 【易错点总结表】 易混易错概念 对应题目 关键辨析点 “动态平衡”的本质 1, 7 动态平衡是指物体在运动过程中，每一时刻都处于平衡状态（合力为零）。通常表现为缓慢运动，可以忽略加速度带来的影响，每一时刻都近似静止或匀速。 力的变化情况 2, 4, 6 动态平衡中，力可以发生大小、方向的变化。常见的题型中是几个力不断变化，但物体的合力始终为零。 图解法的适用条件 3, 5 图解法（矢量三角形法）常用于物体受三个力作用的情形，且其中一个力是恒力（大小、方向均不变），另一个力方向不变（或大小不变），判断第三个力的变化。 图解法中恒力的处理 4 图解法中，通常将大小、方向都不变的恒力作为矢量三角形的底边或一个固定边，而不是将不变力作为对角线。 综合法与图解法结合 6 对于不能直接使用图解法的动态平衡问题（如力较多、方向都在变），通常使用正交分解法，建立方程，通过分析三角函数的变化来求解。 热点考向·破译 考向1 图解法解决动态平衡问题 例1（2026·浙江杭州·模拟预测）消毒碗柜的金属碗架可以将碗放置于两条金属杆之间，如图甲所示。假设碗竖直放置，取某个碗的正视图如图乙所示，其中a、b分别为两光滑水平金属杆，下列说法正确的是（     ） A．若将质量相同、半径更大的碗竖直放置于a、b杆之间，该碗受到杆的作用力小于质量相同、半径更小的碗受到杆的作用力 B．若将质量相同、半径更大的碗竖直放置于a、b杆之间，该碗受到杆的作用力等于质量相同、半径更小的碗受到杆的作用力 C．若减小a、b间距，碗仍保持竖直静止，碗的合力减小 D．若减小a、b间距，碗仍保持竖直静止，a杆受到的弹力不变 【答案】B 【详解】C．若减小a、b间距，碗仍保持竖直静止，碗所受的合力仍为0，故C错误； D．对碗受力分析如图所示 设b杆对碗的弹力与竖直方向的夹角为，碗的重力为G，则， 若减小a、b间距，则减小，减小，根据牛顿第三定律可知a杆受到的弹力减小，故D错误； AB．a、b杆对碗的作用力的合力与碗的重力等大反向，则将质量相同、半径更大的碗竖直放置于a、b杆之间，该碗受到杆的作用力等于质量相同、半径更小的碗受到杆的作用力，故A错误，B正确。 故选B。 【思维建模】 “一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题 （1）一个力(F1)恒定，另一个力(F2)方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化。 （2）若F1与F2不垂直，当F3⊥F2时，F3有最小值，F3min=F1sin θ，如图乙。 考向2 解析法解决动态平衡问题 例2（2026·浙江衢州·二模）如图所示，甲、乙两同学在课外活动中做游戏，用手分别握住两长度相等的轻绳一端A、B，轻绳的另一端系在铁块上点，两端点A、B始终在同一水平面以相同速率相向运动，保持铁块沿竖直方向匀速下落，则下列说法正确的（　　） A．一直减小 B．一直增大 C．绳子的拉力逐渐增大 D．甲同学对地面的压力逐渐减小 【答案】B 【详解】AB．设绳子与水平方向的夹角为，铁块匀速下落的速度为（恒定不变）。 将A端的水平速度分解为沿绳分量和垂直绳分量，沿绳分量为；铁块竖直速度沿绳方向的分量为，由于绳子不可伸长，沿绳方向速度大小相等，因此有： 整理得： 铁块下落过程中，逐渐增大，逐渐增大，因此一直增大，故A错误、B正确； C．对铁块受力分析，匀速下落受力平衡，竖直方向合力为零： 整理得拉力： 增大时，增大，因此拉力逐渐减小，故C错误； D．对甲受力分析，竖直方向受力平衡，地面对甲的支持力满足： 结合 可得 因此 支持力保持不变；根据牛顿第三定律，甲对地面的压力也不变，故D错误。 故选B。 考向3 相似三角形法解决动态平衡问题 例3（2025·浙江·模拟预测）如图所示，质量为m的物体由两根轻绳吊起悬在空中处于静止状态，右侧绳子的另一端固定在高墙处的A点且与竖直方向的夹角为α，左侧绳子由人拉着且与竖直方向的夹角为β，现人站立不动而把手中的长绳缓慢释放，对于在物体接触墙前的过程，下列说法正确的是（　　） A．两根绳子对物体拉力的合力变大 B．两绳子的拉力都变大 C．地面对人的摩擦力变小 D．地面对人的支持力变小 【答案】C 【详解】A．人站立不动而把手中的长绳缓慢释放，物体处于平衡状态，两根绳子对物体拉力的合力始终与物体重力等大反向，不变，故A错误； B．对物体受力分析，由相似三角形得 当人站立不动而缓慢释放绳子，则增大，不变，减小，可知T减小，F减小，故B错误； C．对整体有 T减小，减小，则f减小，故C正确； D．对人，由平衡条件得 F减小，增大，则N增大，故D错误。 故选C。 考向4 矢量圆法(正弦定理法)解决动态平衡问题 例4（2025·浙江·模拟预测）如图所示为一架杆线摆，由一根轻杆、一条轻绳和一个钢球安装在铁架台的立柱上构成，用几本同样厚度的物理课本将铁架台的底座右端垫高。杆与立柱之间的连接机构可以沿水平和竖直方向自由转动，初状态下杆与立柱垂直，钢球静止。现给钢球以垂直于杆的微小水平冲量，杆线摆做一定周期的摆动。忽略各种能量耗散。下列说法正确的是（　　） A．杆线摆的周期与钢球的质量成正比 B．书本较少时，周期的平方与书的本数成反比 C．减少书的本数，静止时杆对钢球的作用力更小 D．静止时若突然剪断绳，剪断后瞬间钢球的加速度沿着剪断前绳收缩的方向 【答案】B 【详解】A．此杆线摆等效为在倾角为的光滑斜面上的单摆，其周期为，与钢球的质量无关，故A错误； B．书本数越少，倾角越小；倾角较小时，正比于书本数； 杆线摆的周期为，所以正比于正比于，故书本较少时，周期的平方与书的本数成反比，故B正确； C．钢球受重力、沿着绳方向的拉力和沿着杆的弹力平衡，三个力构成封闭三角形，其中绳拉力和杆弹力夹角不变，利用动态平衡知识构建圆周角如图 减少书的本数，弹力方向向上摆动，所以杆对钢球的作用力变大，故C错误； D．静止时若突然剪断绳，剪断后瞬间杆的弹力会突变，钢球的加速度不会沿着剪断前绳收缩的方向，故D错误。 故选B。 【变式训练1】如图所示，用不可伸长的轻绳将质量为m的小球固定在光滑的木板MN上，将木板以底边为轴缓慢顺时针转动至水平，在转动过程中保持轻绳与木板之间的夹角不变，则在转动过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球对木板压力逐渐增大 B．小球对木板压力先增大后减小 C．绳上的拉力先增大后减小 D．绳上的拉力逐渐增大 【答案】B 【详解】小球在转动过程中某一位置的受力分析如图所示，由平行四边形可得 设轻绳与木板MN的夹角为，可知 不变，逐渐减小到0，先增大到90°后为钝角﹐因此，绳子的拉力T逐渐减小，小球受到的支持力先增大后减小。由牛顿第三定律，小球对木板压力先增大后减小。 故选B。 考向5 “活结”、“死结”、“动杆”、“定杆”模型 例5蹦床可简化为如图所示的完全相同的网绳构成的正方形，点O、a、b、c等为网绳的结点。当网水平张紧时，若质量为m的运动员从高处竖直落下，并恰好落在O点，当该处下凹至最低点时，网绳aOe、cOg均成120°向上的张角，此时O点受到的向下的冲击力为F，则这时O点周围每根网绳的拉力的大水为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对O点进行受力分析        因为网绳完全相同，并且构成的是正方形，O点到最低是aoe，goc所成的角度是120度，所以 Fa=Fe=Fc=Fg 且Fa与Fe的合力 同理Fg与Fc的合力也是 故B正确，ACD错误。 故选B。 【变式训练2】（多选）图甲中轻杆的端固定在竖直墙壁上，另一端光滑，一端固定在竖直墙壁点的细线跨过端系一质量为的重物，水平；图乙中轻杆可绕点自由转动，另一端光滑；一端固定在竖直墙壁点的细线跨过端系一质量也为的重物。已知图甲中，重力加速度为g，以下说法正确的是（    ） A．图甲轻杆中弹力大小为 B．图乙轻杆中弹力大小为 C．图甲中轻杆中弹力与细线中拉力的合力方向一定沿竖直方向 D．图乙中绳子对轻杆弹力可能不沿杆 【答案】AC 【详解】A．由于图甲轻杆为“定杆”，其O端光滑，可以视为活结，两侧细线中拉力大小相等，都等于，由力的平衡条件可知，图甲轻杆中弹力大小为 故A正确； BD．图乙中轻杆可绕点自由转动，为“动杆”，另一端光滑，可以视为活结，两侧细线中拉力相等，“动杆”中弹力方向一定沿“动杆”方向，“动杆”中弹力大小等于两侧细线中拉力的合力大小，两细线夹角不确定，则轻杆中弹力大小无法确定，故BD错误； C．根据共点力平衡条件，图甲中轻杆弹力与细线OB中拉力的合力方向一定与竖直细绳的拉力方向相反，即竖直向上，故C正确。 故选AC。 【变式训练3】（2026·河南三门峡·三模）为了晾晒大件物品，某同学在阳台两侧的墙壁之间安装了一根可调节长短的晾衣绳，将绳的两端、固定于同一水平线上，且、间距为，如图所示。当在绳上悬挂一件湿羽绒服后，测得此时衣服两侧的绳与水平方向的夹角均为，且晾衣绳刚好不断。不计一切摩擦和绳的形变量，下列有关说法错误的是（     ） A．保持绳长和不变，羽绒服晾干后，绳中张力减小 B．保持绳长和不变，若只将绳的端竖直向上移动一小段距离，绳中张力不变 C．保持不变，若只将绳长调长一些，则晾衣绳一定不会断 D．若想挂更重的物品，该同学需将绳的长度调短一些 【答案】D 【详解】A．设晾衣绳总长为，A、B水平间距为，由几何关系得 即 对衣服受力分析，由竖直方向受力平衡得 整理得绳中张力 绳长和不变，故不变；羽绒服晾干后重力减小，由得张力减小，故A正确，不符合题意； B．B端竖直上移，A、B水平间距不变、绳长不变，故不变，不变，不变，因此张力不变，故B正确，不符合题意； C．不变，绳长调长后，减小，增大，增大，由得张力减小；原来绳刚好不断，现在张力变小，因此一定不会断，故C正确，不符合题意； D．挂更重的物品，变大，要让张力不超过绳的最大承受力，需要减小；由可知，增大时需要增大，即需要增大，由得需要增大绳长L，因此应将绳调长，而非调短，故D错误，符合题意。 故选D。 【变式训练4】如图为特种兵过山谷的简化示意图，山谷的左侧为竖直陡崖，右侧是坡面为tan θ＝10的斜坡。将一根不可神长的细绳两端固定在相距d为20 m的A、B两等高点。绳上挂一小滑轮P，战士们相互配合，沿着绳子滑到对面。如图所示，战士甲(图中未画出)水平拉住滑轮，质量为50 kg的战士乙吊在滑轮上，脚离地处于静止状态，此时AP竖直，∠APB＝53°，然后战士甲将滑轮由静止释放，战士乙即可滑到对面某处。不计滑轮大小、摩擦及空气阻力，也不计绳与滑轮的质量，重力加速度g取10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6 (1)求战士甲释放滑轮前对滑轮的水平拉力F (2)当战士乙运动到曲线的最低点附近时，可看作半径的圆的一部分，求战士乙在最低点时绳的拉力 【答案】（1）250N （2） 347N 【详解】(1)受力分析如下图 根据共点力平衡条件得到 同一条绳子拉力相等,故 联立解得F＝250 N。 (2)已知 当战士乙运动到曲线的最低点附近时，所以 所以△ABP是正三角形，Pʹ在AB水平线下方m处，以Pʹ为零势能面 根据机械能守恒定律 由牛顿第二定律和圆周运动规律得到 联立解得。 【思维建模】“晾衣架”中的“活结”问题 （1）模型结构示例 （2）模型解读：如图所示，晾晒衣服的绳子轻且光滑，悬挂衣服的衣架的挂钩也是轻质光滑的，轻绳两端分别固定在两根竖直杆上的A、B两点，衣服处于静止状态。如果保持绳子A端位置不变，将B端分别移动到不同的位置。结点为O。 由于绳子拐弯处是平滑连接，故FOA=FOB=F 水平方向：Fsin θ1=Fsin θ2，结合几何关系知θ1=θ2=θ 竖直方向：Fcos θ+Fcos θ=mg 故F=，可知F只与θ有关。 由几何关系：sin θ=(L为绳的总长)。 可知θ只与两杆之间的水平距离d有关。 （3）模型特点：若d不变，上、下移动绳子B端，θ不变，F不变；两杆之间水平距离越远，θ越大，F越大。 考向6 跨章节综合的动态平衡问题 例6（2025·浙江·模拟预测）如图所示，蹄形磁铁水平放置（N极在上），质量为的导体棒用两根轻质细导线悬挂，通入恒定电流，稳定时细导线与竖直方向的夹角为。两磁极间的磁场可看成匀强磁场，导体棒始终在两磁极之间，重力加速度为，则（　　） A．导体棒中的电流方向为 B．单根导线上的拉力大小为 C．若电流大小加倍，再次稳定后角也加倍 D．若导体棒处磁场方向在竖直面内逆时针缓慢转过角，导线上拉力变小 【答案】D 【详解】A．导体棒所受安培力水平向右，根据左手定则可知，导体棒中的电流方向为，A错误； B．由力的平衡可得，每根细导线上的拉力大小，B错误； C．导体棒所受安培力大小，若导体棒中的电流大小加倍，则平衡时的值加倍，C错误； D．作出导体棒的受力分析图，如图所示，其所受重力大小、方向均不变，安培力的大小不变，磁场方向沿逆时针方向转动，根据余弦定理可得，细导线上的拉力变小，D正确。 故选D。 考点二 平衡中的临界与极值问题 核心知识·解构 一、平衡中的临界与极值问题 1.临界问题 当某物理量变化时,会引起其他几个物理量的变化,从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”,在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述. 临界问题常见的种类： ①由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力． ②绳子恰好绷紧，拉力F＝0. ③刚好离开接触面，支持力FN＝0. 2.极值问题 平衡物体的极值,一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。 二、临界问题与极值问题的解题方法 1.物理分析法:根据物体的平衡条件,作出力的矢量图,通过对物理过程的分析,利用平行四边形定则进行动态分析,确定最大值与最小值. 2.数学分析法:通过对问题的分析,依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(画出函数图像),用数学方法求极值(如求二次函数极值、三角函数极值). 3.极限法:首先要正确地进行受力分析和变化过程分析,找出平衡的临界点和极值点;临界条件必须在变化中去寻找,不能停留在一个状态来研究临界问题,而要把某个物理量推向极端,即极大和极小. 高分强基·提能 1.利用“摩擦角”将四力平衡转化为三力平衡，从而求拉力的最小值: 如图所示，物体在拉力F作用下做匀速直线运动，改变θ大小，求拉力的最小值时，可以用支持力与摩擦力的合力F'代替支持力与摩擦力，FN与Ff的合力F'方向一定，即“摩擦角”α满足tan α==μ，则Fmin=mgsin α，此时θ=α。 易错辨析·AI命题 1. 所谓“临界状态”，是指物体恰好处于平衡状态与即将发生运动的状态之间的特殊状态。 ( √ ) 2. 在临界问题中，物体所受的最大静摩擦力一定等于滑动摩擦力。 ( × ) 3. 处理平衡中的临界问题，通常需要假设物体已经达到临界状态，然后列方程求解。 ( √ ) 4. 求解平衡问题的极值时，通常需要利用三角函数、二次函数或不等式等数学工具。 ( √ ) 5. 在平衡问题中，物体受到的静摩擦力可以无限增大，直到物体开始运动。 ( × ) 6. 解决临界问题的关键是找出“刚好发生”或“恰好不发生”的临界条件。 ( √ ) 7. 如图，在斜面上静止的物体，当斜面倾角增大到某一值时，物体开始下滑，这个角度的大小与物体的质量有关。 ( × ) 8. 用水平力推静止在粗糙水平面上的物体，推力增大到某一值时物体开始运动，这个最大推力的大小等于物体所受的最大静摩擦力。 ( √ ) 9. 在平衡问题中，极值与临界值通常是同一个值，只是从不同角度描述。 ( × ) 【易错点总结表】 易混易错概念 对应题目 关键辨析点 临界状态的定义与特征 1, 3 临界状态是物体从一种状态（如静止）变为另一种状态（如运动）的转折点。解题时通常假设物体恰好处于临界状态，然后利用平衡条件列方程求解。 最大静摩擦力的取值 2, 5 最大静摩擦力是物体即将开始运动时的摩擦力，通常略大于相同压力下的滑动摩擦力。在高中阶段，有时近似认为二者相等，但严格来说并不相等。静摩擦力在零到最大静摩擦力之间变化，不能无限增大。 数学方法的应用 4 求解极值问题时，常常用到三角函数（如正弦、余弦）、二次函数（配方法、判别式法）、以及不等式（如均值不等式）等数学知识。 临界条件的核心 6, 8 找到“刚好…”或“恰好…”的临界条件是解题关键。例如，物体刚要滑动时，推力等于最大静摩擦力。 自锁现象与临界角的关系 7 物体在斜面上开始下滑的临界角（即自然休止角）满足 tanα = μ，这个临界角只与动摩擦因数μ有关，与物体的质量无关。 临界值与极值的区别 9 临界值是状态发生改变的转折点（如最大静摩擦力），而极值是某个物理量（如拉力）可能达到的最大值或最小值。在某些问题中，临界状态对应极值，但并非总是如此。例如，求最小拉力时，最小值可能在非临界状态出现。 热点考向·破译 考向1 物理分析法求临界和极值问题 例7如图所示，用两根轻绳、悬挂一形状固定且不规则的物体，物体处于静止状态，、两悬点在同一竖直线上，与不规则物体交于点。已知两根轻绳、与竖直方向夹角分别为、，则（     ） A．两根轻绳、的拉力大小之比 B．该不规则物体的重心在点 C．若用轻绳连接，撤去轻绳，则的拉力增大 D．若用轻绳连接，撤去轻绳，则的拉力增大 【答案】ACD 【详解】A．根据物体平衡条件，可知水平方向 整理得，故A正确； B．根据三力平衡汇交原理，物体所受三个力的作用线必交于一点。与的作用线交于连线上的某点（设为），因此重力的作用线也必须过点。由于重力竖直向下，且点在所在的竖直线上，所以物体的重心必在所在的竖直线上。虽然点也在该竖直线上，但重心不一定恰好在点，故B错误； CD．图示位置，两绳拉力方向垂直时，在保持方向不变的情况下，绳的拉力达到最小值 根据以上图示可知，用轻绳连接，撤去轻绳，或者用轻绳连接，撤去轻绳，绳的拉力均增大，故CD正确。 故选ACD。 【变式训练5】如图所示，半圆形框架竖直放置在粗糙的水平地面上，光滑的小球P在水平外力F的作用下处于静止状态，P与圆心O的连线与水平面的夹角为，现将力F在竖直面内沿顺时针方向缓慢地转过90°，框架与小球始终保持静止状态。在此过程中下列说法正确的是（　　） A．拉力F的最小值为mgcos B．框架对小球的支持力先减小后增大 C．地面对框架的摩擦力一直减小 D．框架对地面的压力先减小后增大 【答案】AC 【详解】AB．以小球为研究对象，分析受力情况，作出受力示意力图，如图所示： 根据几何关系可知，用F顺时针转动至竖直向上之前，支持力逐渐减小，F先减小后增大，当F的方向沿圆的切线方向向上时，F最小，此时F=mgcosθ，故A正确，B错误； CD．以框架与小球组成的整体为研究对象，整体受到重力、地面的支持力、地面的摩擦力以及力F的作用；由图可知，F在顺时针方向转动的过程中，F沿水平方向的分力逐渐减小，所以地面对框架的摩擦力始终在减小。F沿竖直方向的分力逐渐增大，所以地面对框架的支持力始终在减小，故C正确，D错误。 故选AC。 考向2 数学分析法求临界和极值问题 例8（2025·浙江湖州·三模）如图所示，一足够长的细线一端连接穿过水平细杆的滑块A，另一端通过光滑滑轮连接重物B，此时两边细线竖直。某时刻，水平拉力F作用在滑块A上，使A向右移动。已知A、B的质量分别为m和2m，滑块A与细杆间的动摩擦因数为。则（　　） A．若A做匀速运动，则B也做匀速运动 B．若B做匀速运动，则A做加速运动 C．若A缓慢向右运动，当细线与细杆间的夹角为时，拉力F有最小值 D．若A缓慢向右运动到细线与细杆间的夹角为时，拉力F一直在增大 【答案】D 【详解】AB．对AB两滑块速度关系如图所示 由几何关系有 若A做匀速运动，逐渐减小，逐渐增大，则B的速度逐渐增大；若B做匀速运动，逐渐减小，逐渐增大，则A的速度逐渐减小，故AB错误； CD ．对滑块B有 对滑块A有进行受力分析如图所示 由于滑块A从图示（最初是竖直的）位置开始缓慢向右移动至过程中 可知 则在竖直方向上有 则在水平方向有 联立解得 假设， 解得 则可求得 滑块A从图示虚线位置开始缓慢向右移动过程中，减小，可知F逐渐增大，当时 解得拉力F有最大值 故C错误，D正确。 故选D。 ▶新情境◀【变式训练6·生活实际与学科知识结合】（2026·浙江嘉兴·二模）如图所示，一工人将质量分布均匀的直梯斜靠在光滑墙壁上，下端放在粗糙地面上。当直梯与水平方向成60°时恰好静止。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则（　　） A．直梯共受到3个力的作用 B．地面与直梯之间的动摩擦因数 C．工人沿直梯向上爬时梯对地面作用力变大 D．工人可以一直爬到直梯顶部且直梯不滑倒 【答案】C 【详解】A．墙壁光滑，对直梯无摩擦力。直梯受重力、墙壁的水平支持力、地面的竖直支持力、地面的静摩擦力，共4个力，故A错误； B．设直梯质量为，长度为，与水平夹角，以直梯下端为转轴，由力矩平衡 得墙壁弹力 水平平衡，静摩擦力 竖直平衡，地面支持力 恰好静止时 代入 得 故B错误； C．将工人和直梯视为整体，竖直方向始终满足（为工人质量） 大小不变；对下端转轴力矩平衡，工人向上爬时，工人的力臂增大，所需墙壁弹力增大，因此地面静摩擦力增大。 直梯对地面的作用力是压力与摩擦力的合力，大小为，增大则合力变大，因此梯对地面作用力变大，故C正确； D．设工人重力为，工人爬到顶端时，力矩平衡得所需摩擦力 最大静摩擦力 对比得 直梯会滑倒，故D错误。 故选C。 【变式训练7】（2026·浙江·二模）倾角、长 的固定斜面上放置一质量的物块，物块与斜面间的动摩擦因数。用一方向、大小可调的力作用于物块上。已知重力加速度，。 (1)若，求物块运动的加速度大小； (2)若方向水平向右，则取多少的时候，物块由静止开始从斜面顶端沿斜面到达底端时的速度最大，并求出最大速度； (3)若物块沿斜面向上做匀速运动，求所需施加力的最小值以及与斜面夹角的正弦值。 【答案】(1) (2), (3), 【详解】（1）物块受到的力                    根据牛顿第二定律 解得                            （2）沿斜面运动，当摩擦力为零时速度最大，则有   得                             根据动能定理                    解得 （3）沿斜面正交分解有                垂直斜面正交分解有                 摩擦力为 解得                                设 可得 时，最小，最小值为   方向：             或直接受力分析，夹角为定值，重力恒定，故外力垂直于支持力与摩擦力的合力时，最小，则有 ▶新方法◀【变式训练8·变方法】如图所示，质量m=5.2 kg的金属块放在水平地面上，在斜向右上的拉力F作用下，向右以v0的速度做匀速直线运动。已知金属块与地面间的动摩擦因数μ=0.2，g取10 m/s2。求所需拉力F的最小值。 【答案】　2 N 【解析】 方法一　三角函数法 设拉力与水平方向夹角为θ，根据平衡条件有 Fcos θ=μ(mg-Fsin θ)，整理得F=(其中sin β=)，当θ=-β时F最小，故所需拉力F的最小值Fmin==2 N。 方法二　利用“摩擦角”法 设FN与Ff的合力与FN方向的夹角为α，则tan α==μ ① 再设FN与Ff的合力为F'。 如图所示，当拉力F与F'垂直时有最小值 即Fmin=mgsin α ② 联立①②得Fmin=2 N。 考向3 摩擦角与自锁* 例9（2026·北京西城·二模）将物块置于粗糙斜面上，当斜面的倾角小于某一值时，物块不会沿斜面下滑，该现象称为斜面自锁现象。普通螺旋千斤顶靠螺纹自锁作用支持重物，其原理与斜面自锁现象相同。如图所示为一个螺旋千斤顶的结构示意图。螺套是一个内部带有螺纹的套筒，固定在底座里。螺旋杆像一根长螺丝，表面有一圈圈连续的螺纹。转动绞杠，带动螺旋杆旋转，螺旋杆就会沿着螺套的螺纹向上或向下直线运动，从而实现顶起或降下重物的功能。若此千斤顶螺套内部横截面的直径为，螺套与螺旋杆之间的螺纹接触面动摩擦因数为（最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力），则为了实现自锁功能，相邻螺纹的间距（　　） A．不能大于 B．不能大于 C．不能大于 D．不能小于 【答案】A 【详解】设螺纹的倾角为，相邻螺纹的间距为，根据几何关系有 为了实现自锁功能，需满足 其中 联立可得 故选A。 ▶新情境◀【变式训练9·生活生产与学科知识结合】（2025·云南昆明·模拟预测）某建筑工地中的圆锥状沙堆如图甲所示，可将其理想化为图乙所示的圆锥体。沙粒可视为质点，沙粒间的动摩擦因数为，沙粒之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不考虑沙粒的滚动。当把沙粒轻放在圆锥形沙堆的侧面上，该沙粒恰好能静止时，沙堆的高度达到最大，此时，沙堆的底面圆半径为，体积，则要堆放体积为的沙堆，沙堆的底面直径至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】沙粒静止时，重力沿斜面的分力与最大静摩擦力平衡。设圆锥面与底面的夹角为θ，则有 可得 由几何关系可知 沙堆体积 当体积为V0时，底面半径 沙堆的底面直径为 故选B。 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2022·浙江·高考真题）如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石墩，石墩与水平地面间的动摩擦因数为，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为，则下列说法正确的是（　　） A．轻绳的合拉力大小为 B．轻绳的合拉力大小为 C．减小夹角，轻绳的合拉力一定减小 D．轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小 【答案】B 【详解】AB．对石墩受力分析，由平衡条件可知 联立解得 故A错误，B正确； C．拉力的大小为 其中，可知当时，拉力有最小值，即减小夹角，轻绳的合拉力不一定减小，故C错误； D．摩擦力大小为 可知增大夹角，摩擦力一直减小，当趋近于90°时，摩擦力最小，故轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力不是最小，故D错误； 故选B。 $null微突破3 动态平衡和临界、极值问题（浙江专用）（原卷版） 内容导航 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 命题透视·浙里特色 2 思维建模·脉络梳理 3 考点精讲·靶向突破 4 考点一 动态平衡问题 4 核心知识·解构 4 一、动态平衡问题 4 二、动态平衡问题的解题方法 4 三、“活结”和“死结”模型对比 5 四、“动杆”和“定杆”模型对比 6 易错辨析·AI命题 6 热点考向·破译 7 考向1 图解法解决动态平衡问题 7 【思维建模】 “一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题 8 考向2 解析法解决动态平衡问题 8 考向3 相似三角形法解决动态平衡问题 8 考向4 矢量圆法(正弦定理法)解决动态平衡问题 9 考向5 “活结”、“死结”、“动杆”、“定杆”模型 10 【思维建模】“晾衣架”中的“活结”问题 14 考向6 跨章节综合的动态平衡问题 14 考点二 平衡中的临界与极值问题 15 核心知识·解构 15 一、平衡中的临界与极值问题 15 二、临界问题与极值问题的解题方法 15 高分强基·提能 16 易错辨析·AI命题 16 热点考向·破译 17 考向1 物理分析法求临界和极值问题 17 考向2 数学分析法求临界和极值问题 18 考向3 摩擦角与自锁* 20 真题溯源·考向感知 22 命题透视·浙里特色 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 2023年 2022年 动态平衡问题 —— —— —— —— —— 平衡中的临界与极值问题 —— —— —— —— 2022.1·T5 考情分析 题型与考向：本讲在浙江高考物理中属于区分度较高的重要考点，常作为选择题或计算题中的难点出现。在考向上，一是动态平衡分析，二是临界问题分析，三是极值问题分析。在命题趋势上，近年来该考点呈现情境复杂化、与多过程模型深度融合、边界条件精细分析的趋势。早期题目多以单一物体的动态平衡为主，近年则更多地设计多物体系统或包含摩擦、碰撞等复杂因素的动态平衡与临界问题，且常与牛顿第二定律、功能关系、动量守恒深度融合，要求学生能够根据系统各部分运动状态的变化，精确分析临界条件（如共速、刚好不脱离、恰好到达等）并建立方程求解。 情境与立意： 1. 生活情境：2022年1月卷第5题的“石墩拖动”情境与浙江城乡常见的道路维护场景相契合。 2. 生产生活与工程应用：起重机吊臂、晾衣架、椅子撑地、汽车千斤顶 3. 经典力学模型（绳、杆、球、斜面）：缓慢拉绳、缓慢转板、光滑碗内上移、斜面上加力、弹簧连接体 4. 圆周运动、叠加题、传送带的临界问题 复习目标 1.学会运用解析法、图解法等分析处理动态平衡问题。 2.会分析平衡中的临界与极值问题，并会相关计算。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 考点精讲·靶向突破 ——拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 动态平衡问题 核心知识·解构 一、动态平衡问题 动态平衡是指研究对象的某些参量在变化，如速度、受力状态等，但是非常缓慢，_______________，因此题目中有关键词“缓慢”、“轻轻地”等 二、动态平衡问题的解题方法 1.图解法的适用情况：适用于“一力恒定，另一力方向不变” 用图解法分析物体动态平衡问题时,一般物体_______________,且____________,即_____________ ___________________________________________________________________________. 由三角形中边长的变化知力的大小的变化，还可判断出极值。 图解法的一般步骤 ①对研究的对象进行受力分析 ②画出受力分析的平行四边形或者头尾相连的三角形 ③找出一个大小方向都不变的力，找出一个方向不变的力，结合平行四边形各边或者角度的变化确定力的大小及方向的变化情况 🤖️AI互动课件： 1. 动态平衡问题之矢量三角形法：https://lab.physicalw.com/expt/1/15/24 2.解析法：如果物体受到_______________，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图，可进行正交分解，利用解析法，根据_______________，得到_____________________________________________，最后根据自变量的变化确定因变量的变化，还可由数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值。 3. 相似三角形法: 适用于“一力恒定，另两力方向均变化” 物体受三个力平衡，一个力恒定，另外两个力的方向同时变化，当所作_______________与空间的某个_______________总相似时，可利用相似三角形对应边成比例进行计算。 相似三角形法的一般步骤 1）对物体受力分析 2）若处于平衡状态且受三个力，构成首尾相接的力学三角形 3）寻找与力学三角形相似的几何三角形，如图三力构成的矢量三角形与△ACO相似，则对应边比值相等。基本矢量图，如图所示。基本关系式：。 4）根据几何三角形长度及夹角的变化判断力的大小和方向的变化 6. 矢量圆法(正弦定理法):适用于“一力恒定，另外两力方向均变化，但两力方向夹角保持不变” ①矢量圆:如图所示，物体受_______________，其中_______________，另外_______________________，但_______________，作出不同状态的矢量三角形，利用两力夹角不变，可以作出动态圆(也可以由正弦定理列式求解)，恒力为圆的一条弦，根据不同位置判断各力的大小变化。 ②正弦定理:如图所示，物体受三个共点力作用而处于平衡状态，则三个力中任意一个力的大小与另外两个力的夹角的正弦成正比，即。 三、“活结”和“死结”模型对比 模型结构 模型解读 模型特点 “活结”模型 “活结”把绳子分为两段，且可沿绳移动，“活结”一般由绳跨过滑轮或绳上挂一光滑挂钩而形成，绳子因“活结”而弯曲，但实际为同一根绳 “活结”两侧的绳子上的张力大小_______________，即滑轮只改变力的方向，不改变力的大小. “死结”模型 “死结”把绳子分为两段，且不可沿绳移动，“死结”两侧的绳因结而变成两根独立的绳 “死结”两侧的绳子上张力_______________ 四、“动杆”和“定杆”模型对比 模型结构 模型解读 模型特点 “动杆”模型 轻杆用光滑的转轴或铰链连接，轻杆可围绕转轴或铰链自由转动，当杆平衡时，杆所受到的弹力方向一定沿着杆，否则杆会转动 当杆处于平衡状态时，杆所受的弹力方向_______________ “定杆”模型 轻杆被固定在接触面上，不能发生转动 杆所受的弹力方向___________，可沿_______________ 易错辨析·AI命题 1. 在动态平衡问题中，物体始终处于平衡状态，所以物体所受的合力一直为零。 ( ) 2. 在动态平衡问题中，物体受到的力一定都是恒力，不会发生变化。 ( ) 3. 解析动态平衡问题时，如果物体受到三个力，且其中一个力大小、方向都不变，另一个力方向不变，那么第三个力的变化情况可以用图解法（矢量三角形法）直观判断。 ( ) 4. 在动态平衡问题中，用图解法分析时，通常是将不变的力作为平行四边形的对角线。 ( ) 5. 用绳悬挂一个重物，保持悬点不变，使绳的另一端在竖直平面内缓慢移动，绳的拉力大小一定不变。 ( ) 6. 当物体受多个共点力作用处于动态平衡时，可以运用正交分解法列方程，通过分析三角函数的变化来判断力的变化。 ( ) 7. 解析动态平衡问题时，通常认为物体运动的速度非常缓慢，这样可以将每一时刻都近似看作平衡状态。 ( ) 【易错点总结表】 易混易错概念 对应题目 关键辨析点 “动态平衡”的本质 1, 7 动态平衡是指物体在运动过程中，每一时刻都处于平衡状态（合力为零）。通常表现为缓慢运动，可以忽略加速度带来的影响，每一时刻都近似静止或匀速。 力的变化情况 2, 4, 6 动态平衡中，力可以发生大小、方向的变化。常见的题型中是几个力不断变化，但物体的合力始终为零。 图解法的适用条件 3, 5 图解法（矢量三角形法）常用于物体受三个力作用的情形，且其中一个力是恒力（大小、方向均不变），另一个力方向不变（或大小不变），判断第三个力的变化。 图解法中恒力的处理 4 图解法中，通常将大小、方向都不变的恒力作为矢量三角形的底边或一个固定边，而不是将不变力作为对角线。 综合法与图解法结合 6 对于不能直接使用图解法的动态平衡问题（如力较多、方向都在变），通常使用正交分解法，建立方程，通过分析三角函数的变化来求解。 热点考向·破译 考向1 图解法解决动态平衡问题 例1（2026·浙江杭州·模拟预测）消毒碗柜的金属碗架可以将碗放置于两条金属杆之间，如图甲所示。假设碗竖直放置，取某个碗的正视图如图乙所示，其中a、b分别为两光滑水平金属杆，下列说法正确的是（     ） A．若将质量相同、半径更大的碗竖直放置于a、b杆之间，该碗受到杆的作用力小于质量相同、半径更小的碗受到杆的作用力 B．若将质量相同、半径更大的碗竖直放置于a、b杆之间，该碗受到杆的作用力等于质量相同、半径更小的碗受到杆的作用力 C．若减小a、b间距，碗仍保持竖直静止，碗的合力减小 D．若减小a、b间距，碗仍保持竖直静止，a杆受到的弹力不变 【思维建模】 “一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题 （1）一个力(F1)恒定，另一个力(F2)方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化。 （2）若F1与F2不垂直，当F3⊥F2时，F3有最小值，F3min=F1sin θ，如图乙。 考向2 解析法解决动态平衡问题 例2（2026·浙江衢州·二模）如图所示，甲、乙两同学在课外活动中做游戏，用手分别握住两长度相等的轻绳一端A、B，轻绳的另一端系在铁块上点，两端点A、B始终在同一水平面以相同速率相向运动，保持铁块沿竖直方向匀速下落，则下列说法正确的（　　） A．一直减小 B．一直增大 C．绳子的拉力逐渐增大 D．甲同学对地面的压力逐渐减小 考向3 相似三角形法解决动态平衡问题 例3（2025·浙江·模拟预测）如图所示，质量为m的物体由两根轻绳吊起悬在空中处于静止状态，右侧绳子的另一端固定在高墙处的A点且与竖直方向的夹角为α，左侧绳子由人拉着且与竖直方向的夹角为β，现人站立不动而把手中的长绳缓慢释放，对于在物体接触墙前的过程，下列说法正确的是（　　） A．两根绳子对物体拉力的合力变大 B．两绳子的拉力都变大 C．地面对人的摩擦力变小 D．地面对人的支持力变小 考向4 矢量圆法(正弦定理法)解决动态平衡问题 例4（2025·浙江·模拟预测）如图所示为一架杆线摆，由一根轻杆、一条轻绳和一个钢球安装在铁架台的立柱上构成，用几本同样厚度的物理课本将铁架台的底座右端垫高。杆与立柱之间的连接机构可以沿水平和竖直方向自由转动，初状态下杆与立柱垂直，钢球静止。现给钢球以垂直于杆的微小水平冲量，杆线摆做一定周期的摆动。忽略各种能量耗散。下列说法正确的是（　　） A．杆线摆的周期与钢球的质量成正比 B．书本较少时，周期的平方与书的本数成反比 C．减少书的本数，静止时杆对钢球的作用力更小 D．静止时若突然剪断绳，剪断后瞬间钢球的加速度沿着剪断前绳收缩的方向 【变式训练1】如图所示，用不可伸长的轻绳将质量为m的小球固定在光滑的木板MN上，将木板以底边为轴缓慢顺时针转动至水平，在转动过程中保持轻绳与木板之间的夹角不变，则在转动过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球对木板压力逐渐增大 B．小球对木板压力先增大后减小 C．绳上的拉力先增大后减小 D．绳上的拉力逐渐增大 考向5 “活结”、“死结”、“动杆”、“定杆”模型 例5蹦床可简化为如图所示的完全相同的网绳构成的正方形，点O、a、b、c等为网绳的结点。当网水平张紧时，若质量为m的运动员从高处竖直落下，并恰好落在O点，当该处下凹至最低点时，网绳aOe、cOg均成120°向上的张角，此时O点受到的向下的冲击力为F，则这时O点周围每根网绳的拉力的大水为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（多选）图甲中轻杆的端固定在竖直墙壁上，另一端光滑，一端固定在竖直墙壁点的细线跨过端系一质量为的重物，水平；图乙中轻杆可绕点自由转动，另一端光滑；一端固定在竖直墙壁点的细线跨过端系一质量也为的重物。已知图甲中，重力加速度为g，以下说法正确的是（    ） A．图甲轻杆中弹力大小为 B．图乙轻杆中弹力大小为 C．图甲中轻杆中弹力与细线中拉力的合力方向一定沿竖直方向 D．图乙中绳子对轻杆弹力可能不沿杆 【变式训练3】（2026·河南三门峡·三模）为了晾晒大件物品，某同学在阳台两侧的墙壁之间安装了一根可调节长短的晾衣绳，将绳的两端、固定于同一水平线上，且、间距为，如图所示。当在绳上悬挂一件湿羽绒服后，测得此时衣服两侧的绳与水平方向的夹角均为，且晾衣绳刚好不断。不计一切摩擦和绳的形变量，下列有关说法错误的是（     ） A．保持绳长和不变，羽绒服晾干后，绳中张力减小 B．保持绳长和不变，若只将绳的端竖直向上移动一小段距离，绳中张力不变 C．保持不变，若只将绳长调长一些，则晾衣绳一定不会断 D．若想挂更重的物品，该同学需将绳的长度调短一些 【变式训练4】如图为特种兵过山谷的简化示意图，山谷的左侧为竖直陡崖，右侧是坡面为tan θ＝10的斜坡。将一根不可神长的细绳两端固定在相距d为20 m的A、B两等高点。绳上挂一小滑轮P，战士们相互配合，沿着绳子滑到对面。如图所示，战士甲(图中未画出)水平拉住滑轮，质量为50 kg的战士乙吊在滑轮上，脚离地处于静止状态，此时AP竖直，∠APB＝53°，然后战士甲将滑轮由静止释放，战士乙即可滑到对面某处。不计滑轮大小、摩擦及空气阻力，也不计绳与滑轮的质量，重力加速度g取10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6 (1)求战士甲释放滑轮前对滑轮的水平拉力F (2)当战士乙运动到曲线的最低点附近时，可看作半径的圆的一部分，求战士乙在最低点时绳的拉力 【思维建模】“晾衣架”中的“活结”问题 （1）模型结构示例 （2）模型解读：如图所示，晾晒衣服的绳子轻且光滑，悬挂衣服的衣架的挂钩也是轻质光滑的，轻绳两端分别固定在两根竖直杆上的A、B两点，衣服处于静止状态。如果保持绳子A端位置不变，将B端分别移动到不同的位置。结点为O。 由于绳子拐弯处是平滑连接，故FOA=FOB=F 水平方向：Fsin θ1=Fsin θ2，结合几何关系知θ1=θ2=θ 竖直方向：Fcos θ+Fcos θ=mg 故F=，可知F只与θ有关。 由几何关系：sin θ=(L为绳的总长)。 可知θ只与两杆之间的水平距离d有关。 （3）模型特点：若d不变，上、下移动绳子B端，θ不变，F不变；两杆之间水平距离越远，θ越大，F越大。 考向6 跨章节综合的动态平衡问题 例6（2025·浙江·模拟预测）如图所示，蹄形磁铁水平放置（N极在上），质量为的导体棒用两根轻质细导线悬挂，通入恒定电流，稳定时细导线与竖直方向的夹角为。两磁极间的磁场可看成匀强磁场，导体棒始终在两磁极之间，重力加速度为，则（　　） A．导体棒中的电流方向为 B．单根导线上的拉力大小为 C．若电流大小加倍，再次稳定后角也加倍 D．若导体棒处磁场方向在竖直面内逆时针缓慢转过角，导线上拉力变小 考点二 平衡中的临界与极值问题 核心知识·解构 一、平衡中的临界与极值问题 1.临界问题 当某物理量变化时,会引起其他几个物理量的变化,从而使物体所处的平衡状态___________________ _______________,在问题的描述中常用______________________________等语言叙述. 临界问题常见的种类： ①由静止到运动，摩擦力达到_______________． ②绳子恰好绷紧，_______________. ③刚好离开接触面，支持力_______________. 2.极值问题 平衡物体的极值,一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。 二、临界问题与极值问题的解题方法 1.物理分析法:根据物体的平衡条件, _______________,通过对物理过程的分析,利用平行四边形定则进行_______________,确定最大值与最小值. 2.数学分析法:通过对问题的分析,依据物体的平衡条件写出物理量之间的_______________ (画出函数图像),用数学方法_______________ (如求二次函数极值、三角函数极值). 3.极限法:首先要正确地进行受力分析和变化过程分析, ______________________________;临界条件必须在变化中去寻找,不能停留在一个状态来研究临界问题,而要把某个物理量_______________________. 高分强基·提能 1.利用“摩擦角”将四力平衡转化为三力平衡，从而求拉力的最小值: 如图所示，物体在拉力F作用下做匀速直线运动，改变θ大小，求拉力的最小值时，可以用_______________ _______________代替支持力与摩擦力，FN与Ff的合力F'方向一定，即“摩擦角”α满足tan α==μ，则Fmin=mgsin α，此时θ=α。 易错辨析·AI命题 1. 所谓“临界状态”，是指物体恰好处于平衡状态与即将发生运动的状态之间的特殊状态。 ( ) 2. 在临界问题中，物体所受的最大静摩擦力一定等于滑动摩擦力。 ( ) 3. 处理平衡中的临界问题，通常需要假设物体已经达到临界状态，然后列方程求解。 ( ) 4. 求解平衡问题的极值时，通常需要利用三角函数、二次函数或不等式等数学工具。 ( ) 5. 在平衡问题中，物体受到的静摩擦力可以无限增大，直到物体开始运动。 ( ) 6. 解决临界问题的关键是找出“刚好发生”或“恰好不发生”的临界条件。 ( ) 7. 如图，在斜面上静止的物体，当斜面倾角增大到某一值时，物体开始下滑，这个角度的大小与物体的质量有关。 ( ) 8. 用水平力推静止在粗糙水平面上的物体，推力增大到某一值时物体开始运动，这个最大推力的大小等于物体所受的最大静摩擦力。 ( ) 9. 在平衡问题中，极值与临界值通常是同一个值，只是从不同角度描述。 ( ) 【易错点总结表】 易混易错概念 对应题目 关键辨析点 临界状态的定义与特征 1, 3 临界状态是物体从一种状态（如静止）变为另一种状态（如运动）的转折点。解题时通常假设物体恰好处于临界状态，然后利用平衡条件列方程求解。 最大静摩擦力的取值 2, 5 最大静摩擦力是物体即将开始运动时的摩擦力，通常略大于相同压力下的滑动摩擦力。在高中阶段，有时近似认为二者相等，但严格来说并不相等。静摩擦力在零到最大静摩擦力之间变化，不能无限增大。 数学方法的应用 4 求解极值问题时，常常用到三角函数（如正弦、余弦）、二次函数（配方法、判别式法）、以及不等式（如均值不等式）等数学知识。 临界条件的核心 6, 8 找到“刚好…”或“恰好…”的临界条件是解题关键。例如，物体刚要滑动时，推力等于最大静摩擦力。 自锁现象与临界角的关系 7 物体在斜面上开始下滑的临界角（即自然休止角）满足 tanα = μ，这个临界角只与动摩擦因数μ有关，与物体的质量无关。 临界值与极值的区别 9 临界值是状态发生改变的转折点（如最大静摩擦力），而极值是某个物理量（如拉力）可能达到的最大值或最小值。在某些问题中，临界状态对应极值，但并非总是如此。例如，求最小拉力时，最小值可能在非临界状态出现。 热点考向·破译 考向1 物理分析法求临界和极值问题 例7如图所示，用两根轻绳、悬挂一形状固定且不规则的物体，物体处于静止状态，、两悬点在同一竖直线上，与不规则物体交于点。已知两根轻绳、与竖直方向夹角分别为、，则（     ） A．两根轻绳、的拉力大小之比 B．该不规则物体的重心在点 C．若用轻绳连接，撤去轻绳，则的拉力增大 D．若用轻绳连接，撤去轻绳，则的拉力增大 【变式训练5】如图所示，半圆形框架竖直放置在粗糙的水平地面上，光滑的小球P在水平外力F的作用下处于静止状态，P与圆心O的连线与水平面的夹角为，现将力F在竖直面内沿顺时针方向缓慢地转过90°，框架与小球始终保持静止状态。在此过程中下列说法正确的是（　　） A．拉力F的最小值为mgcos B．框架对小球的支持力先减小后增大 C．地面对框架的摩擦力一直减小 D．框架对地面的压力先减小后增大 考向2 数学分析法求临界和极值问题 例8（2025·浙江湖州·三模）如图所示，一足够长的细线一端连接穿过水平细杆的滑块A，另一端通过光滑滑轮连接重物B，此时两边细线竖直。某时刻，水平拉力F作用在滑块A上，使A向右移动。已知A、B的质量分别为m和2m，滑块A与细杆间的动摩擦因数为。则（　　） A．若A做匀速运动，则B也做匀速运动 B．若B做匀速运动，则A做加速运动 C．若A缓慢向右运动，当细线与细杆间的夹角为时，拉力F有最小值 D．若A缓慢向右运动到细线与细杆间的夹角为时，拉力F一直在增大 ▶新情境◀【变式训练6·生活实际与学科知识结合】（2026·浙江嘉兴·二模）如图所示，一工人将质量分布均匀的直梯斜靠在光滑墙壁上，下端放在粗糙地面上。当直梯与水平方向成60°时恰好静止。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则（　　） A．直梯共受到3个力的作用 B．地面与直梯之间的动摩擦因数 C．工人沿直梯向上爬时梯对地面作用力变大 D．工人可以一直爬到直梯顶部且直梯不滑倒 【变式训练7】（2026·浙江·二模）倾角、长 的固定斜面上放置一质量的物块，物块与斜面间的动摩擦因数。用一方向、大小可调的力作用于物块上。已知重力加速度，。 (1)若，求物块运动的加速度大小； (2)若方向水平向右，则取多少的时候，物块由静止开始从斜面顶端沿斜面到达底端时的速度最大，并求出最大速度； (3)若物块沿斜面向上做匀速运动，求所需施加力的最小值以及与斜面夹角的正弦值。 ▶新方法◀【变式训练8·变方法】如图所示，质量m=5.2 kg的金属块放在水平地面上，在斜向右上的拉力F作用下，向右以v0的速度做匀速直线运动。已知金属块与地面间的动摩擦因数μ=0.2，g取10 m/s2。求所需拉力F的最小值。 考向3 摩擦角与自锁* 例9（2026·北京西城·二模）将物块置于粗糙斜面上，当斜面的倾角小于某一值时，物块不会沿斜面下滑，该现象称为斜面自锁现象。普通螺旋千斤顶靠螺纹自锁作用支持重物，其原理与斜面自锁现象相同。如图所示为一个螺旋千斤顶的结构示意图。螺套是一个内部带有螺纹的套筒，固定在底座里。螺旋杆像一根长螺丝，表面有一圈圈连续的螺纹。转动绞杠，带动螺旋杆旋转，螺旋杆就会沿着螺套的螺纹向上或向下直线运动，从而实现顶起或降下重物的功能。若此千斤顶螺套内部横截面的直径为，螺套与螺旋杆之间的螺纹接触面动摩擦因数为（最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力），则为了实现自锁功能，相邻螺纹的间距（　　） A．不能大于 B．不能大于 C．不能大于 D．不能小于 ▶新情境◀【变式训练9·生活生产与学科知识结合】（2025·云南昆明·模拟预测）某建筑工地中的圆锥状沙堆如图甲所示，可将其理想化为图乙所示的圆锥体。沙粒可视为质点，沙粒间的动摩擦因数为，沙粒之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不考虑沙粒的滚动。当把沙粒轻放在圆锥形沙堆的侧面上，该沙粒恰好能静止时，沙堆的高度达到最大，此时，沙堆的底面圆半径为，体积，则要堆放体积为的沙堆，沙堆的底面直径至少为（    ） A． B． C． D． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2022·浙江·高考真题）如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石墩，石墩与水平地面间的动摩擦因数为，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为，则下列说法正确的是（　　） A．轻绳的合拉力大小为 B．轻绳的合拉力大小为 C．减小夹角，轻绳的合拉力一定减小 D．轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小 $ 微突破3 动态平衡和临界、极值问题（浙江专用）（答案版） 考点精讲·靶向突破 ——拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 动态平衡问题 易错辨析·AI命题 1. √ 2. × 3. √ 4. × 5. × 6. √ 7. √ 热点考向·破译 考向1 图解法解决动态平衡问题 例1【答案】B 考向2 解析法解决动态平衡问题 例2【答案】B 考向3 相似三角形法解决动态平衡问题 例3【答案】C 考向4 矢量圆法(正弦定理法)解决动态平衡问题 例4【答案】B 【变式训练1】【答案】B 考向5 “活结”、“死结”、“动杆”、“定杆”模型 例5【答案】B 【变式训练2】【答案】AC 【变式训练3】【答案】D 【变式训练4】【答案】（1）250N （2） 347N 【详解】(1)受力分析如下图 根据共点力平衡条件得到 同一条绳子拉力相等,故 联立解得F＝250 N。 (2)已知 当战士乙运动到曲线的最低点附近时，所以 所以△ABP是正三角形，Pʹ在AB水平线下方m处，以Pʹ为零势能面 根据机械能守恒定律 由牛顿第二定律和圆周运动规律得到 联立解得。 考向6 跨章节综合的动态平衡问题 例6【答案】D 考点二 平衡中的临界与极值问题 核心知识·解构 一、平衡中的临界与极值问题 1.临界问题 当某物理量变化时,会引起其他几个物理量的变化,从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”,在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述. 临界问题常见的种类： ①由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力． ②绳子恰好绷紧，拉力F＝0. ③刚好离开接触面，支持力FN＝0. 2.极值问题 平衡物体的极值,一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。 二、临界问题与极值问题的解题方法 1.物理分析法:根据物体的平衡条件,作出力的矢量图,通过对物理过程的分析,利用平行四边形定则进行动态分析,确定最大值与最小值. 2.数学分析法:通过对问题的分析,依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(画出函数图像),用数学方法求极值(如求二次函数极值、三角函数极值). 3.极限法:首先要正确地进行受力分析和变化过程分析,找出平衡的临界点和极值点;临界条件必须在变化中去寻找,不能停留在一个状态来研究临界问题,而要把某个物理量推向极端,即极大和极小. 高分强基·提能 1.利用“摩擦角”将四力平衡转化为三力平衡，从而求拉力的最小值: 如图所示，物体在拉力F作用下做匀速直线运动，改变θ大小，求拉力的最小值时，可以用支持力与摩擦力的合力F'代替支持力与摩擦力，FN与Ff的合力F'方向一定，即“摩擦角”α满足tan α==μ，则Fmin=mgsin α，此时θ=α。 易错辨析·AI命题 1. 所谓“临界状态”，是指物体恰好处于平衡状态与即将发生运动的状态之间的特殊状态。 ( √ ) 2. 在临界问题中，物体所受的最大静摩擦力一定等于滑动摩擦力。 ( × ) 3. 处理平衡中的临界问题，通常需要假设物体已经达到临界状态，然后列方程求解。 ( √ ) 4. 求解平衡问题的极值时，通常需要利用三角函数、二次函数或不等式等数学工具。 ( √ ) 5. 在平衡问题中，物体受到的静摩擦力可以无限增大，直到物体开始运动。 ( × ) 6. 解决临界问题的关键是找出“刚好发生”或“恰好不发生”的临界条件。 ( √ ) 7. 如图，在斜面上静止的物体，当斜面倾角增大到某一值时，物体开始下滑，这个角度的大小与物体的质量有关。 ( × ) 8. 用水平力推静止在粗糙水平面上的物体，推力增大到某一值时物体开始运动，这个最大推力的大小等于物体所受的最大静摩擦力。 ( √ ) 9. 在平衡问题中，极值与临界值通常是同一个值，只是从不同角度描述。 ( × ) 【易错点总结表】 易混易错概念 对应题目 关键辨析点 临界状态的定义与特征 1, 3 临界状态是物体从一种状态（如静止）变为另一种状态（如运动）的转折点。解题时通常假设物体恰好处于临界状态，然后利用平衡条件列方程求解。 最大静摩擦力的取值 2, 5 最大静摩擦力是物体即将开始运动时的摩擦力，通常略大于相同压力下的滑动摩擦力。在高中阶段，有时近似认为二者相等，但严格来说并不相等。静摩擦力在零到最大静摩擦力之间变化，不能无限增大。 数学方法的应用 4 求解极值问题时，常常用到三角函数（如正弦、余弦）、二次函数（配方法、判别式法）、以及不等式（如均值不等式）等数学知识。 临界条件的核心 6, 8 找到“刚好…”或“恰好…”的临界条件是解题关键。例如，物体刚要滑动时，推力等于最大静摩擦力。 自锁现象与临界角的关系 7 物体在斜面上开始下滑的临界角（即自然休止角）满足 tanα = μ，这个临界角只与动摩擦因数μ有关，与物体的质量无关。 临界值与极值的区别 9 临界值是状态发生改变的转折点（如最大静摩擦力），而极值是某个物理量（如拉力）可能达到的最大值或最小值。在某些问题中，临界状态对应极值，但并非总是如此。例如，求最小拉力时，最小值可能在非临界状态出现。 热点考向·破译 考向1 物理分析法求临界和极值问题 例7【答案】ACD 【变式训练5】【答案】AC 考向2 数学分析法求临界和极值问题 例8【答案】D ▶新情境◀【变式训练6·生活实际与学科知识结合】【答案】C 【变式训练7】【答案】(1)(2),(3), 【详解】（1）物块受到的力                    根据牛顿第二定律 解得                            （2）沿斜面运动，当摩擦力为零时速度最大，则有   得                             根据动能定理                    解得 （3）沿斜面正交分解有                垂直斜面正交分解有                 摩擦力为 解得                                设 可得 时，最小，最小值为   方向：             或直接受力分析，夹角为定值，重力恒定，故外力垂直于支持力与摩擦力的合力时，最小，则有 ▶新方法◀【变式训练8·变方法】【答案】　2 N 【解析】 方法一　三角函数法 设拉力与水平方向夹角为θ，根据平衡条件有 Fcos θ=μ(mg-Fsin θ)，整理得F=(其中sin β=)，当θ=-β时F最小，故所需拉力F的最小值Fmin==2 N。 方法二　利用“摩擦角”法 设FN与Ff的合力与FN方向的夹角为α，则tan α==μ ① 再设FN与Ff的合力为F'。 如图所示，当拉力F与F'垂直时有最小值 即Fmin=mgsin α ② 联立①②得Fmin=2 N。 考向3 摩擦角与自锁* 例9【答案】A ▶新情境◀【变式训练9·生活生产与学科知识结合】【答案】B 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．【答案】B 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $