学易金卷：高一数学上学期第一次月考01（北京专用，范围：人教A版必修第一册第1～2章）

**基本信息** 聚焦集合与基本不等式，通过加油经济、灾区助学等真实情境题，考查数学抽象、运算推理及模型构建能力，适配高一月考学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|集合（1,2,4,5）、基本不等式（3,8）、充分条件（6）|第8题以加油经济情境考查不等式应用，体现数学眼光| |填空题|5/25|命题否定（11）、不等式组（12）、集合关系（13,15）|第12题结合灾区助学热点，培养数学语言表达现实问题能力| |解答题|6/85|集合运算（16,17）、不等式最值（18）、充分条件（19）、创新定义（21）|第21题定义集合新运算，分层考查推理与创新意识，契合高考命题趋势|

2026-2027学年高一数学上学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第一册第一章~第二章基本不等式。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．集合，B=，则（    ） A． B． C． D． 2．集合用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 3．已知正数满足，则的最小值为（    ） A．5 B．8 C．9 D．11 4．集合，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 5．设集合，集合，则（     ） A．⫋ B． C．⫋ D． 6．“”是的（    ） A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7．下面关于集合的表示正确的个数是（    ） ①；②； ③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 8．甲、乙同去加油站加油两次，两次汽油单价分别为，元/升（）．甲每次加固定金额的油，乙每次加固定体积的油．哪种方式更经济实惠呢？（     ） A．加固定金额的方式 B．加固定体积的方式 C．两种方案一样 D．要视具体价格而定 9．已知集合，，若，则实数a的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 10．若集合，则集合的元素个数为（     ） A．4052 B．4054 C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知命题 “”，则的否定为______． 12．某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区学生小李家中经济发生困难，为帮助小李解决开学费用问题，小李所在班级学生（除小李外）决定承担这笔费用．若每人承担12元人民币，则多余84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上．设该班（除小李外）共有x人，这笔开学费用共y元，则x，y应满足的不等式组为______. 13．设集合，集合，且，则的值组成的集合是________. 14．已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是______． 15．已知集合M，N的关系如图所示，则下列结论中正确的有 ①． ②．“”是真命题 ③．“，使得”是真命题 ④． 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．已知全集，集合，集合 (1)求. (2)求. (3)求 17．已知全集，集合或. (1)求； (2)求. 18．（1）若，求函数的最小值，并求此时的值； （2）设，求函数的最大值； （3）已知，求的最小值． 19．已知 (1)求； (2)若，求的范围； (3)若“”是“”的充分条件，求的范围. 20．已知集合. (1)若，定义集合且，求； (2)给出以下两个条件：①；②“”是“”的充分不必要条件.在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若__________，求实数的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 21．对任意正整数，定义集合. 设，定义：，. (1)（填“”或“”）；（填“”或“⊈”）； (2)设，证明：； (3)设，，，，求； (4)证明：对任意，存在，满足：. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学上学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第一册第一章~第二章基本不等式。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．集合，B=，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由交集的定义可得. 2．集合用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】得，故集合为 故选：C 3．已知正数满足，则的最小值为（    ） A．5 B．8 C．9 D．11 【答案】C 【详解】， 当且仅当时，取等号， 即的最小值为9. 4．集合，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【详解】因为集合， 所以方程有相等实根2， 根据根与系数的关系可知，， 所以， 故选：B 5．设集合，集合，则（     ） A．⫋ B． C．⫋ D． 【答案】B 【详解】因为，，所以是任意奇数，所以集合是所有奇数构成的集合. 同理，当，时，表示的是所有比4的整数倍多1的数，即①， 当时，表示的是所有比4的整数倍少1的数，即②， 所以①②合起来也是全部奇数，所以集合也是所有奇数构成的集合， 所以，故A，C错误，B正确； 因为集合是所有奇数构成的集合，所以是所有偶数构成的集合， 所以，故D错误. 6．“”是的（    ） A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】充分性：若，取，，则不满足，所以充分性不成立； 必要性：若，则，，， 原不等式两边同时乘得，，则必要性成立，所以仅C选项正确. 7．下面关于集合的表示正确的个数是（    ） ①；②； ③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】根据元素的无序性可知①正确，表示点集，表示数集，故②错误， 表示大于等于的整数，也表示大于等于2的整数，故③正确， ，所以，故④错误 8．甲、乙同去加油站加油两次，两次汽油单价分别为，元/升（）．甲每次加固定金额的油，乙每次加固定体积的油．哪种方式更经济实惠呢？（     ） A．加固定金额的方式 B．加固定体积的方式 C．两种方案一样 D．要视具体价格而定 【答案】A 【详解】设两次加油的油价分别为，（，且）， 乙方案每次加油的量为；甲方案每次加油的钱数为， 则乙方案的平均油价为，甲方案的平均油价为， 因为，所以，即甲方案更经济． 9．已知集合，，若，则实数a的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵集合， ∴集合， ∵，∴， ∴，解得且，则实数a的取值范围是． 10．若集合，则集合的元素个数为（     ） A．4052 B．4054 C． D． 【答案】B 【详解】由题可得，变形为，得， 令，则，， 因为，所以为偶数，则为奇数，与一奇一偶， 由得， 可得， 当为奇数，则，，此时为偶数，有2027种情况； 当为偶数，则，，此时为奇数，有2027种情况； 所以共有4054种情况，即集合的元素个数为4054. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知命题 “”，则的否定为______． 【答案】 【详解】由命题否定的性质得. 12．某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区学生小李家中经济发生困难，为帮助小李解决开学费用问题，小李所在班级学生（除小李外）决定承担这笔费用．若每人承担12元人民币，则多余84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上．设该班（除小李外）共有x人，这笔开学费用共y元，则x，y应满足的不等式组为______. 【答案】 【详解】由该班共有人，这笔开学费用共元，根据题意得. 13．设集合，集合，且，则的值组成的集合是________. 【答案】 【详解】由，得，， 当时，，满足题意， 当时，，所以或，所以或， 故所求集合为. 14．已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为p是q的充分不必要条件， 所以是的真子集， 则，且两个等号不同时成立，得， 故实数m的取值范围是. 15．已知集合M，N的关系如图所示，则下列结论中正确的有 ①． ②．“”是真命题 ③．“，使得”是真命题 ④． 【答案】①②④ 【详解】选项①：由图可知，集合 与集合 有重叠部分，即公共元素，所以 ，故选项①正确； 选项②： 表示集合 在全集 中的补集，即图中 圆圈外部的区域. 由图可知，集合 中有一部分元素在 的外部（即 独有的部分）， 这部分元素属于 但也属于 ，因此“”意味着 中没有元素在 外，即 ， 这与图形不符，故选项②错误； 选项③：命题“，使得”等价于 . 由图可知两集合有交集，故存在这样的元素，选项③正确； 选项④：根据集合运算的德·摩根定律， 恒成立， 表示既不在 中也不在 中的元素集合等于不在 与 并集中的元素集合，故选项④正确. 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．(13分）已知全集，集合，集合 (1)求. (2)求. (3)求 【详解】（1）解：因为，集合， 所以； （2）解：因为，集合， 所以； （3）解：因为全集，集合， 所以，集合， 所以. 17．（13分）已知全集，集合或. (1)求； (2)求. 【详解】（1）∵集合或， ∴或. （2）∵全集，集合， ∴或， 又或， ∴或. 18．（14分）（1）若，求函数的最小值，并求此时的值； （2）设，求函数的最大值； （3）已知，求的最小值． 【详解】（1）因为，所以，当且仅当，即时等号成立. 所以函数在时取得最小值4. （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 因为，所以函数的最大值为. （3）因为，所以. 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为. 19．（15分）已知 (1)求； (2)若，求的范围； (3)若“”是“”的充分条件，求的范围. 【详解】（1）由可得，. （2）当时，，可得， 即的范围为. （3）当“”是“”的充分条件时，可知， 即，可得，即的范围为. 20．（15分）已知集合. (1)若，定义集合且，求； (2)给出以下两个条件：①；②“”是“”的充分不必要条件.在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若__________，求实数的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【详解】（1）当时，，又， . （2）若选①，由，得， 当时，即，解得，此时满足，符合题意； 当时，有，解得； 综上，实数的取值范围为； 若选②，由“”是“”的充分不必要条件，则， 当时，即，解得，此时满足，符合题意； 当时，有，解得，经验证， 综上，实数的取值范围为. 21．（15分）对任意正整数，定义集合. 设，定义：，. (1)（填“”或“”）；（填“”或“⊈”）； (2)设，证明：； (3)设，，，，求； (4)证明：对任意，存在，满足：. 【详解】（1）. （2）设，则有： ，，，， ，，， 所以． （3）设，则有： ，. ， 所以必为偶数，因此. 当时，，但，不可能； 当时，，但，不可能； 所以，. 又因为，所以同理得，． 所以，. （4）设，有： ，． 任取，令，则 ，； 所以； 同理，； 而中有个元素，， 所以必存在中的两个不同元素，使得：． 令，则，且，． 结论得证． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学上学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C C B B C B A C B 第二部分（非选择题 110分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11. 12. 13. 14. 15.①②④ 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．(13分） 【详解】（1）解：因为，集合， 所以；(4分） （2）解：因为，集合， 所以；(8分） （3）解：因为全集，集合， 所以，集合， 所以.(13分） 17．（13分） 【详解】（1）∵集合或， ∴或.(5分） （2）∵全集，集合， ∴或， 又或， ∴或.(13分） 18．（14分） 【详解】（1）因为，所以，当且仅当，即时等号成立. 所以函数在时取得最小值4.(6分） （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 因为，所以函数的最大值为. （3）因为，所以. 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为.(14分） 19．（15分） 【详解】（1）由可得，.(4分） （2）当时，，可得， 即的范围为.(8分） （3）当“”是“”的充分条件时，可知， 即，可得，即的范围为.(15分） 20．（15分） 【详解】（1）当时，，又， .(6分） （2）若选①，由，得， 当时，即，解得，此时满足，符合题意； 当时，有，解得； 综上，实数的取值范围为； 若选②，由“”是“”的充分不必要条件，则， 当时，即，解得，此时满足，符合题意； 当时，有，解得，经验证， 综上，实数的取值范围为.(15分） 21．（15分） 【详解】（1）.(2分） （2）设，则有： ，，，， ，，， 所以．(6分） （3）设，则有： ，. ， 所以必为偶数，因此. 当时，，但，不可能； 当时，，但，不可能； 所以，. 又因为，所以同理得，． 所以，.(10分） （4）设，有： ，． 任取，令，则 ，； 所以； 同理，； 而中有个元素，， 所以必存在中的两个不同元素，使得：． 令，则，且，． 结论得证．(15分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■ 2026-2027学年高一数学上学期第一次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5 [A][B][C][D] 9[A][B][C]D] 2[AB][C][D] 6[A[B][C][D] 10[A][B][C][D] 4 3[A][B][C][D] 7[A]B][C][D] 南 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、填空题（每小题5分，共15分) 11 12. 妇 13 14 15. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(13分) 17.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026-2027学年高一数学上学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10[A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共15分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（13分） 17．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第一册第一章~第二章基本不等式。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．集合，B=，则（    ） A． B． C． D． 2．集合用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 3．已知正数满足，则的最小值为（    ） A．5 B．8 C．9 D．11 4．集合，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 5．设集合，集合，则（     ） A．⫋ B． C．⫋ D． 6．“”是的（    ） A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7．下面关于集合的表示正确的个数是（    ） ①；②； ③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 8．甲、乙同去加油站加油两次，两次汽油单价分别为，元/升（）．甲每次加固定金额的油，乙每次加固定体积的油．哪种方式更经济实惠呢？（     ） A．加固定金额的方式 B．加固定体积的方式 C．两种方案一样 D．要视具体价格而定 9．已知集合，，若，则实数a的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 10．若集合，则集合的元素个数为（     ） A．4052 B．4054 C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知命题 “”，则的否定为______． 12．某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区学生小李家中经济发生困难，为帮助小李解决开学费用问题，小李所在班级学生（除小李外）决定承担这笔费用．若每人承担12元人民币，则多余84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上．设该班（除小李外）共有x人，这笔开学费用共y元，则x，y应满足的不等式组为______. 13．设集合，集合，且，则的值组成的集合是________. 14．已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是______． 15．已知集合M，N的关系如图所示，则下列结论中正确的有 ①． ②．“”是真命题 ③．“，使得”是真命题 ④． 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．已知全集，集合，集合 (1)求. (2)求. (3)求 17．已知全集，集合或. (1)求； (2)求. 18．（1）若，求函数的最小值，并求此时的值； （2）设，求函数的最大值； （3）已知，求的最小值． 19．已知 (1)求； (2)若，求的范围； (3)若“”是“”的充分条件，求的范围. 20．已知集合. (1)若，定义集合且，求； (2)给出以下两个条件：①；②“”是“”的充分不必要条件.在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若__________，求实数的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 21．对任意正整数，定义集合. 设，定义：，. (1)（填“”或“”）；（填“”或“⊈”）； (2)设，证明：； (3)设，，，，求； (4)证明：对任意，存在，满足：. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $