周练03 错题巩固与压轴训练 2.6～2.7 有理数的乘方 有理数的混合运算 2026--2027学年苏科版七年级数学上册

**基本信息** 七年级上册数学有理数周练，分层设计A/B/C三级，题量7:2:1，覆盖概念、运算、应用到拓展探究，构建从基础巩固到创新思维的完整路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A|相反数、科学记数法、基础运算|基础题型为主，如科学记数法表示（0.0006米）、有理数混合运算，巩固概念与运算能力| |B|综合应用（工序优化、新定义运算）|情境化问题，如理发店工序统筹、F(a,b)新定义运算，培养推理意识与应用能力| |C|拓展探究（进位制证明、逻辑推理）|跨学科探究，如三进制数整除证明、LED灯带切换逻辑，发展创新意识与数学思维|

初中数学同步周练　|　苏科版（2024）　|　一周错题巩固+压轴训练 七年级上册数学周练 第2章 有理数（2.6～2.7） 班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　得分：__________　　　　时间：60分钟　　满分：100分 一．选择题（共6小题） 1．（2026秋•同步）·【A】下列各选项中互为相反数的是（　　） A．﹣（+6）和+（﹣6） B．﹣（﹣1）和﹣12 C． D．﹣23和（﹣2）3 2．（2026•沈阳三模）·【A】如图所示是番茄果肉细胞结构图，番茄果肉细胞的直径约为0.0006米，将数据0.0006米用科学记数法表示为（　　） A．6×10﹣4米 B．6×10﹣3米 C．6×104米 D．6×10﹣5米 3．（2026春•南岗区校级同步）·【A】中国信息通信研究院测算，2020～2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元．其中数据10.6万亿用科学记数法表示为（　　） A．10.6×104 B．1.06×1013 C．10.6×1013 D．1.06×108 4．（2026•邯郸开学）·【A】一根钢管长15米，截去全长的，根据算式15所求的问题是（　　） A．截去多少米 B．剩下多少米 C．截去的比剩下的多多少米 D．剩下的比截去的多多少米 5．（2026•锡林郭勒盟一模）·【A】日常生活中，我们用十进制来表示数，如3516＝3×103+5×102+1×101+6×1．计算机中采用的是二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数．如二进制中的1010＝1×23+0×22+1×21+0×1，可以表示十进制中的10．那么，二进制中的110101表示的是十进制中的（　　） A．25 B．23 C．55 D．53 6．（2026春•宿城区期末）·【A】计算32×2026+42×2026+72×2026的结果为（　　） A．2026 B．20260 C．202600 D．2026000 二．填空题（共6小题） 7．（2026•铜山区模拟）·【A】某种生物细胞的直径约为0.000000076米，用科学记数法表示为 　 米． 8．（2026春•广陵区期末）·【A】某种病毒的直径是0.000002m，将0.000002用科学记数法表示为 　 　 ． 9．（2026•恩施市模拟）·【A】“全民行动，共同节约”，我国14亿人口如果都响应国家号召每人每年节约1度电，一年可节约1400000000度，这个数用科学记数法表示为 　 　 ． 10．（2025秋•大祥区期末）·【A】如图所示的是一个按某种规律排列的数阵，根据规律，自然数2024应该排在从上向下数的第m行，是该行中的从左向右数的第n个数，那么m+n的值是 　 　 ． 11．（2025秋•新乡期末）·【A】在日常生活中，我们用十进制来表示数，如3516＝3×103+5×102+1×101+6×1．计算机中采用的二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数，如二进制中的1010＝1×23+0×22+1×21+0×1，可以表示十进制中的10，那么二进制中的110101表示十进制中的 　 　 ． 12．（2026•海淀区一模）·【B】陈老师计划带父母一起去理发店理发，并提前预约了一位理发师为他们服务．根据三人的不同需求，理发师需按相应流程完成A，B，C，D，R五种工序，其中A，B，C，D为人工工序，R为静置工序．他们一家三口所需的理发工序流程如表： 顾客 爸爸 妈妈 陈老师 所需工序流程 D C→R→D A→R→B→R→D 各工序完成的要求如下： ①人工工序，必须由理发师操作才能完成，且这位理发师同一时间只能服务一位顾客，各工序所需时间如表： 工序 A B C D 所需时间/min 10 20 25 20 ②静置工序，不需要理发师操作，顾客只需静置等待，时长不少于30min即可．在此期间这位理发师可去服务其他顾客． （1）若只有爸爸和妈妈理发，则这位理发师最短需要　 　 min可以完成为他们俩的服务； （2）若他们一家三口都理发，则这位理发师最短需要　 　 min可以完成为他们三人的服务． 三．解答题（共8小题） 13．（2025秋•中江县期中）·【A】 （1）已知|a|＝3，b＝2，且a+b＞0，求ab的值； （2）如果|a|＝5，|b|＝7，且|a﹣b|＝a﹣b，求ab的值． 14．（2025春•同步）·【A】用科学记数法表示下列各数： 0.000 000 009，0.00057，0.000 001 09． 15．（2025秋•秦淮区期末）·【A】计算： （1）﹣32+27÷（﹣3）2； （2）． 16． （2025秋•同步）·【B】 （1）一个正数的平方等于196，求这个数． （2）一个负数的平方等于，求这个数． （3）一个数的平方等于1.44．求这个数． 17．（2026•银川三模）·【B】阅读材料：对实数a，b，定义F（a，b）的含义为：当a≤b时，F（a，b）＝a+b；当a＞b时，F（a，b）＝a﹣b．例如：F（1，3）＝1+3＝4；F（2，﹣1）＝2﹣（﹣1）＝3． 解决问题： （1）F（﹣1，3）＝　 　 ；F（2，﹣3）＝　 　 ； （2）已知x+y＝20，且x＞y，求F（6，x）﹣F（10，y）的值； （3）对于有理数a，满足关系式F（﹣a2+1，1）＝﹣2时，求a的值． 18．（2025秋•新抚区期末）·【B】综合实践：根据背景素材，探索解决问题． 爷爷的生日快到了，小丽打算先去几家店铺购买一些生日礼物，然后到饭店为爷爷庆生． 素材1 准备计划路线图：家→礼品店→蛋糕店→水果店→饮料店→饭店； 素材2 这条路线近似看成东西走向．如果规定向东为正，向西为负，她这天行车里程（单位：km）如下：﹣3，+6，+2.5，﹣4，﹣10． 素材3 出租车价目表： 起步价（不超过3km时）车费8元，超过3km时，超过部分每千米收费2元． 问题解决 任务1 问饭店在小丽家的哪个方向，并求出与家的距离； 任务2 计算打车从礼品店到蛋糕店所用的车费； 任务3 现在打车有优惠，实际付费满10元即将获赠一张8折优惠券和一张7折优惠券（每种优惠券只能在以后打车时每次只能使用一张）．说说小丽在该路线如何正确使用优惠券，使总车费最低，并求出最低总车费． 19．（2026•龙岩模拟）·【C】综合与实践：进位制的认识与探究 背景材料 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．例如，二进制的基数为2，各数位上的数字为0或1；四进制的基数为4，各数位上的数字为0～3．我们熟知的十进制的基数为10，各数位上的数字为0～9． 说明：为了区分不同进位制，常在数的右下角标明基数，例如，（235）6就是六进制数235的简单写法．十进制数一般不标注基数． 素材1 各进制数之间可以进行互相转换．可把其他进制数转换为十进制数，例如，三进制数转换为十进制数：（1022）3＝1×33+0×32+2×31+2×30＝35；六进制数转换为十进制数：（253）6＝2×62+5×61+3×60＝105．可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，即． 素材2 若要将十进制数转换为其他进制数，则可逆用素材1中的等式． 例如，十进制数27转换为二进制数：因为24＜27＜25，所以，27＝1×24+1×23+0×22+1×21+1×20＝（11011）2；将十进制数75转换为六进制数：因为62＜75＜63，所以，75＝2×62+0×61+3×60＝（203）6． 任务1 （1）把二进制数（1101）2转换为十进制数为　 　 ； （2）把十进制数22转换为三进制数为　 　 ． 任务2 若与转换为十进制数的和能被5整除，且与转换为十进制数的和能被6整除（其中0＜a≤2，0＜b≤4，且a，b为整数），求a+b的值． 任务3 若一个三进制数的所有数位上的数字之和能被2整除，求证：这个三进制数转换为十进制数能被2整除． 20．（2024秋•泉州月考）·【C】 LED灯带设计 素材 LED灯带可以通过控制器实现灯光颜色变幻效果，被广泛应用于各类场景装饰．如图1是一段由9颗LED灯（从左到右分别记为A，B，C，D，E，F，G，H，I）组成的灯带，将其拉直后，如图2所示，已知每两颗灯之间的距离相等，且每颗灯都能独立的切换为红光或黄光． 素材 已知9颗灯都亮红光，现每次同时切换m颗灯的颜色（即由红光切换为黄光，或由黄光切换为红光），多次操作后，能否使所有的灯都亮黄光？ 小明探究如下：用“+1”和“﹣1”分别表示一颗灯“亮红光”和“亮黄光”，计算这9颗灯分别表示的数的乘积，则上述问题的目标是将乘积从（+1）9变为（﹣1）9． 问题解决 任务1 如图2，将拉直后的灯带视为数轴，若点A表示的数为﹣2，点G表示的数为4，则点D表示的数为 　 　 ； 任务2 当m＝4时，经过多次操作后，能否使所有的灯都亮黄光？若能，最少需要几次操作？若不能，请简要说明理由； 任务3 小明发现，当m＝5时，经过多次操作后，可以使所有的灯都亮黄光．请你帮助小明写出完整的操作步骤． 要求： ①注意操作步骤的书写格式，例如“第一次：切换A，B，C，D，E的颜色”； ②无需切换颜色的灯，不要写在操作步骤里； ③本题将考虑“操作次数”给分，次数最少的才能得满分． 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B A B B D C 一．选择题（共6小题） 1．（2026秋•同步）·【A】下列各选项中互为相反数的是（　　） A．﹣（+6）和+（﹣6） B．﹣（﹣1）和﹣12 C． D．﹣23和（﹣2）3 【答案】B B．去括号、根据有理数的乘方运算法则计算即可； C．去绝对值判断即可； D．根据有理数的乘方运算法则计算即可． 【解答】解：﹣（+6）＝﹣6，+（﹣6）＝﹣6， ∴A不符合题意； ﹣（﹣1）＝1，﹣12＝﹣1， ∴B符合题意； ﹣|﹣0.01|， ∴C不符合题意； ﹣23＝﹣8，（﹣2）3＝﹣8， ∴D不符合题意． 故选：B． 2．（2026•沈阳三模）·【A】如图所示是番茄果肉细胞结构图，番茄果肉细胞的直径约为0.0006米，将数据0.0006米用科学记数法表示为（　　） A．6×10﹣4米 B．6×10﹣3米 C．6×104米 D．6×10﹣5米 【答案】A 【解答】解：0.0006＝6×10﹣4， 故选：A． 3．（2026春•南岗区校级同步）·【A】中国信息通信研究院测算，2020～2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元．其中数据10.6万亿用科学记数法表示为（　　） A．10.6×104 B．1.06×1013 C．10.6×1013 D．1.06×108 【答案】B 【解答】解：10.6万亿＝106000 0000 0000＝1.06×1013． 故选：B． 4．（2026•邯郸开学）·【A】一根钢管长15米，截去全长的，根据算式15所求的问题是（　　） A．截去多少米 B．剩下多少米 C．截去的比剩下的多多少米 D．剩下的比截去的多多少米 【答案】B 【解答】解：算式15所求的问题是剩下多少米， 故选：B． 5．（2026•锡林郭勒盟一模）·【A】日常生活中，我们用十进制来表示数，如3516＝3×103+5×102+1×101+6×1．计算机中采用的是二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数．如二进制中的1010＝1×23+0×22+1×21+0×1，可以表示十进制中的10．那么，二进制中的110101表示的是十进制中的（　　） A．25 B．23 C．55 D．53 【答案】D 【解答】解：110101＝1×25+1×24+0×23+1×22+0×2+1×1＝53． ∴二进制中的数110101表示的是十进制中的53． 故选：D． 6．（2026春•宿城区期末）·【A】计算32×2026+42×2026+72×2026的结果为（　　） A．2026 B．20260 C．202600 D．2026000 【答案】C 【解答】解：原式＝2026×（32+42+72） ＝2026×（3+7）2 ＝2026×100 ＝202600 故选：C． 二．填空题（共6小题） 7．（2026•铜山区模拟）·【A】某种生物细胞的直径约为0.000000076米，用科学记数法表示为 　7.6×10﹣8 米． 【答案】7.6×10﹣8． 【解答】解：0.000000076米＝7.6×10﹣8米， 故答案为：7.6×10﹣8． 8．（2026春•广陵区期末）·【A】某种病毒的直径是0.000002m，将0.000002用科学记数法表示为 　2×10﹣6 ． 【答案】2×10﹣6 【解答】解：0.000002＝2×10﹣6， 故答案为：2×10﹣6． 9．（2026•恩施市模拟）·【A】“全民行动，共同节约”，我国14亿人口如果都响应国家号召每人每年节约1度电，一年可节约1400000000度，这个数用科学记数法表示为 　1.4×109 ． 【答案】1.4×109． 【解答】解：14亿＝1400000000＝1.4×109． 故答案为：1.4×109． 10．（2025秋•大祥区期末）·【A】如图所示的是一个按某种规律排列的数阵，根据规律，自然数2024应该排在从上向下数的第m行，是该行中的从左向右数的第n个数，那么m+n的值是 　133　 ． 【答案】133． 【解答】解：由题意得， 第1行数字个数为：2×1﹣1＝1， 第2行数字个数为：2×2﹣1＝3， 第3行数字个数为：2×3﹣1＝5， …， ∴第m行数字个数为：2m﹣1； 且第1行最后数字为：1＝12， 第2行最后数字为：4＝22， 第3行最后数字为：9＝32， …， ∴第m行最后数字为m2， ∵442＝1936，452＝2025， ∴442＜2024＜452， ∴2024在第45行， ∵第45行最后一个数字是2025，共有2×45﹣1＝89个数字， ∴2024是第45行第88个数， ∴m＝45，n＝88， ∴m+n＝45+88＝133． 故答案为：133． 11．（2025秋•新乡期末）·【A】在日常生活中，我们用十进制来表示数，如3516＝3×103+5×102+1×101+6×1．计算机中采用的二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数，如二进制中的1010＝1×23+0×22+1×21+0×1，可以表示十进制中的10，那么二进制中的110101表示十进制中的 　53　 ． 【答案】53 【解答】解：110101＝1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×1＝32+16+0+4+0+1＝53， 故答案为：53． 12．（2026•海淀区一模）·【B】陈老师计划带父母一起去理发店理发，并提前预约了一位理发师为他们服务．根据三人的不同需求，理发师需按相应流程完成A，B，C，D，R五种工序，其中A，B，C，D为人工工序，R为静置工序．他们一家三口所需的理发工序流程如表： 顾客 爸爸 妈妈 陈老师 所需工序流程 D C→R→D A→R→B→R→D 各工序完成的要求如下： ①人工工序，必须由理发师操作才能完成，且这位理发师同一时间只能服务一位顾客，各工序所需时间如表： 工序 A B C D 所需时间/min 10 20 25 20 ②静置工序，不需要理发师操作，顾客只需静置等待，时长不少于30min即可．在此期间这位理发师可去服务其他顾客． （1）若只有爸爸和妈妈理发，则这位理发师最短需要　75　 min可以完成为他们俩的服务； （2）若他们一家三口都理发，则这位理发师最短需要　120　 min可以完成为他们三人的服务． 【答案】（1）75； （2）120． 【解答】解：（1）拆解两人的工序与耗时 爸爸：仅D工序，20min（无静置）， 妈妈：C（25）→R（≥30）→D（20）， 理论串行总耗时：25+30+20＝75 min； （2）一家三口理发，最优工序安排如下（按理发师操作顺序）： ①0～10min：完成陈老师的工序A，耗时10min，结束后陈老师开始第一次静置，最早40min可以做B， ②10～35min：完成妈妈的工序C，耗时25min，结束后妈妈开始静置，最早为65min可以做D， ③35～40min：短暂空闲5min，等待陈老师第一次静置完成， ④40～60min：完成陈老师的工序B，耗时20min，结束后陈老师开始第二次静置，最早90min可做D， ⑤60～80min：完成爸爸的工序D，耗时20min，爸爸理发完成， ⑥80～100min：完成妈妈的工序D，耗时20min，妈妈理发完成， ⑦100～120min：完成陈老师的工序D，耗时20min，陈老师理发完成， 总时间为120min，该安排为最优安排，故最短时间为120 min． 故答案为：（1）75；（2）120． 三．解答题（共8小题） 13．（2025秋•中江县期中）·【A】（1）已知|a|＝3，b＝2，且a+b＞0，求ab的值； （2）如果|a|＝5，|b|＝7，且|a﹣b|＝a﹣b，求ab的值． 【答案】（1）ab的值是9； （2）ab的值是35或﹣35． （2）先运用绝对值和有理数的减法法知识求得a，b的值，再代入ab进行计算、求解． 【解答】解：（1）∵|a|＝3，b＝2， ∴a＝3，b＝2或a＝﹣3，b＝2， 当a＝3，b＝2时，a+b＝3+2＝5＞0； 当a＝﹣3，b＝2时，a+b＝﹣3+2＝﹣1＜0（不合题意）， ∴a＝3，b＝2， ∴ab＝32＝9， ∴ab的值是9； （2）∵|a|＝5，|b|＝7， ∴a＝±5，b＝±7， ∵|a﹣b|＝a﹣b， ∴a﹣b≥0， ∴a＝5，b＝﹣7或a＝﹣5，b＝﹣7， 当a＝5，b＝﹣7时， ab＝5×（﹣7）＝﹣35； 当a＝﹣5，b＝﹣7时， ab＝（﹣5）×（﹣7）＝35， ∴ab的值是35或﹣35． 14．（2025春•同步）·【A】用科学记数法表示下列各数： 0.000 000 009，0.00057，0.000 001 09． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：0.000 000 009＝9×10﹣9； 0.00057＝5.7×10﹣4； 0.000 001 09＝1.09×10﹣6． 15．（2025秋•秦淮区期末）·【A】计算： （1）﹣32+27÷（﹣3）2； （2）． 【答案】（1）﹣6； （2）﹣4． （2）先把有理数的除法转化为乘法，然后再利用乘法分配律进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）﹣32+27÷（﹣3）2 ＝﹣9+27÷9 ＝﹣9+3 ＝﹣6； （2） ＝（）×（﹣12） 121212 ＝﹣6﹣8+10 ＝﹣4． 16．（2025秋•同步）·【B】（1）一个正数的平方等于196，求这个数． （2）一个负数的平方等于，求这个数． （3）一个数的平方等于1.44．求这个数． 【答案】（1）14；（2）；（3）±1.2． （2）计算的算术平方根的相反数即可； （3）计算1.44的算术平方根及其相反数． 【解答】解：（1）14； （2）， （3）±±1.2． 17．（2026•银川三模）·【B】阅读材料：对实数a，b，定义F（a，b）的含义为：当a≤b时，F（a，b）＝a+b；当a＞b时，F（a，b）＝a﹣b．例如：F（1，3）＝1+3＝4；F（2，﹣1）＝2﹣（﹣1）＝3． 解决问题： （1）F（﹣1，3）＝　2　 ；F（2，﹣3）＝　5　 ； （2）已知x+y＝20，且x＞y，求F（6，x）﹣F（10，y）的值； （3）对于有理数a，满足关系式F（﹣a2+1，1）＝﹣2时，求a的值． 【答案】（1）2，5； （2）16； （3）±2． （2）根据x+y＝20，且x＞y，可得x＞10，y＜10，再根据当a≤b时，F（a，b）＝a+b；当a＞b时，F（a，b）＝a﹣b，即可求解； （3）由于﹣a2+1≤1，由F（﹣a2+1，1）＝﹣2，可得a2＝4，进而计算可以得解． 【解答】解：（1）F（﹣1，3）＝﹣1+3＝2； F（2，﹣3）＝2﹣（﹣3）＝5； 故答案为：2，5； （2）∵x+y＝20，且 x＞y， ∴x＞10，y＜10， ∴F（6，x）﹣F（10，y） ＝6+x﹣（10﹣y） ＝x+y﹣4 ＝20﹣4 ＝16， 故F（6，x）﹣F（10，y）的值为16； （3）∵a为有理数， ∴a2≥0，﹣a2≤0， ∴1﹣a2≤1， ∴F（﹣a2+1，1）＝﹣a2+1+1＝﹣2， ∴a2＝4，则a＝±2． 18．（2025秋•新抚区期末）·【B】综合实践：根据背景素材，探索解决问题． 爷爷的生日快到了，小丽打算先去几家店铺购买一些生日礼物，然后到饭店为爷爷庆生． 素材1 准备计划路线图：家→礼品店→蛋糕店→水果店→饮料店→饭店； 素材2 这条路线近似看成东西走向．如果规定向东为正，向西为负，她这天行车里程（单位：km）如下：﹣3，+6，+2.5，﹣4，﹣10． 素材3 出租车价目表： 起步价（不超过3km时）车费8元，超过3km时，超过部分每千米收费2元． 问题解决 任务1 问饭店在小丽家的哪个方向，并求出与家的距离； 任务2 计算打车从礼品店到蛋糕店所用的车费； 任务3 现在打车有优惠，实际付费满10元即将获赠一张8折优惠券和一张7折优惠券（每种优惠券只能在以后打车时每次只能使用一张）．说说小丽在该路线如何正确使用优惠券，使总车费最低，并求出最低总车费． 【答案】任务1：饭店在小丽家的西边8.5m处； 任务2：礼品店到蛋糕店所需费用14元； 任务3：礼品店到蛋糕店用8折券，饮料店到饭店用7折券，最低总车费为53.4元． 任务2：根据正数和负数的实际意义列式计算即可； 任务3：根据题意列式计算即可． 【解答】解：任务1：由题意可得：﹣3+6+2.5﹣4﹣10＝﹣8.5（km）， ∴饭店在小丽家的西边8.5m处． 任务2：由题意可得：8+（6﹣3）×2＝14（元）， 答：礼品店到蛋糕店所需费用14元； 任务3：由题意可得：水果店到饮料店费用：8+（4﹣3）×2＝10（元）； 饮料店到饭店费用：8+（10﹣3）×2＝22（元）， ∴总车费：8+14+8+10×0.8+22×0.7＝53.4（元）． 答：礼品店到蛋糕店用8折券，饮料店到饭店用7折券，最低总车费为53.4元． 19．（2026•龙岩模拟）·【C】综合与实践：进位制的认识与探究 背景材料 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．例如，二进制的基数为2，各数位上的数字为0或1；四进制的基数为4，各数位上的数字为0～3．我们熟知的十进制的基数为10，各数位上的数字为0～9． 说明：为了区分不同进位制，常在数的右下角标明基数，例如，（235）6就是六进制数235的简单写法．十进制数一般不标注基数． 素材1 各进制数之间可以进行互相转换．可把其他进制数转换为十进制数，例如，三进制数转换为十进制数：（1022）3＝1×33+0×32+2×31+2×30＝35；六进制数转换为十进制数：（253）6＝2×62+5×61+3×60＝105．可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，即． 素材2 若要将十进制数转换为其他进制数，则可逆用素材1中的等式． 例如，十进制数27转换为二进制数：因为24＜27＜25，所以，27＝1×24+1×23+0×22+1×21+1×20＝（11011）2；将十进制数75转换为六进制数：因为62＜75＜63，所以，75＝2×62+0×61+3×60＝（203）6． 任务1 （1）把二进制数（1101）2转换为十进制数为　13　 ； （2）把十进制数22转换为三进制数为　（211）3 ． 任务2 若与转换为十进制数的和能被5整除，且与转换为十进制数的和能被6整除（其中0＜a≤2，0＜b≤4，且a，b为整数），求a+b的值． 任务3 若一个三进制数的所有数位上的数字之和能被2整除，求证：这个三进制数转换为十进制数能被2整除． 【答案】（1）①13；②（211）3； （2）a+b＝3； （3）设三进制数为：（n为正整数）， 则 ， ∵（3n﹣1﹣1），（3n﹣2﹣1），…，（32﹣1），（3﹣1），都是偶数，能被2整除， 又∵三进制数的所有数位上的数字之和能被2整除， 即an+an﹣1+…+a2+a1能被2整除， ∴ 能被2整除． ∴这个三进制数转换为十进制数能被2整除． （2）先把各数转换为十进制，结合整除计算可得a＝1，b＝2，再求和即可； （3）设三进制数为：，则进而判断即可． 【解答】解：（1）①； 故答案为：13； ②22＝2×32+1×3+1×30＝（211）3； 故答案为：（211）3； （2）若与转换为十进制数的和能被5整除，且与转换为十进制数的和能被6整除（其中0＜a≤2，0＜b≤4，且a，b为整数），则： ∵，， ∴它们的和12a+2+30b+1＝12a+30b+3能被5整除， ∴， ∵0＜a≤2，a是整数， ∴当且仅当a＝1时，12a+30b+3是5的倍数， ∵，， ∴它们的和（49a+7b+5）+（81b+9a+7）＝58a+88b+12能被6整除， ∴， 代入a＝1，得， ∵0＜b≤4，b是整数， ∴当且仅当b＝2时，58a+88b+12是6的倍数， ∴a＝1，b＝2， ∴a+b＝1+2＝3； （3）设三进制数为：（n为正整数）， 则 ， ∵（3n﹣1﹣1），（3n﹣2﹣1），…，（32﹣1），（3﹣1），都是偶数，能被2整除， ∵an+an﹣1+…+a2+a1能被2整除， ∴ 能被2整除． ∴这个三进制数转换为十进制数能被2整除． 20．（2024秋•泉州月考）·【C】 LED灯带设计 素材 LED灯带可以通过控制器实现灯光颜色变幻效果，被广泛应用于各类场景装饰．如图1是一段由9颗LED灯（从左到右分别记为A，B，C，D，E，F，G，H，I）组成的灯带，将其拉直后，如图2所示，已知每两颗灯之间的距离相等，且每颗灯都能独立的切换为红光或黄光． 素材 已知9颗灯都亮红光，现每次同时切换m颗灯的颜色（即由红光切换为黄光，或由黄光切换为红光），多次操作后，能否使所有的灯都亮黄光？ 小明探究如下：用“+1”和“﹣1”分别表示一颗灯“亮红光”和“亮黄光”，计算这9颗灯分别表示的数的乘积，则上述问题的目标是将乘积从（+1）9变为（﹣1）9． 问题解决 任务1 如图2，将拉直后的灯带视为数轴，若点A表示的数为﹣2，点G表示的数为4，则点D表示的数为 　1　 ； 任务2 当m＝4时，经过多次操作后，能否使所有的灯都亮黄光？若能，最少需要几次操作？若不能，请简要说明理由； 任务3 小明发现，当m＝5时，经过多次操作后，可以使所有的灯都亮黄光．请你帮助小明写出完整的操作步骤． 要求： ①注意操作步骤的书写格式，例如“第一次：切换A，B，C，D，E的颜色”； ②无需切换颜色的灯，不要写在操作步骤里； ③本题将考虑“操作次数”给分，次数最少的才能得满分． 【答案】（1）1； （2）当m＝4时，经过多次操作后，不能使所有的灯都亮黄光；理由见解析； （3）当 m＝5时，经过3次操作后，可以使所有的灯都亮黄光；见解析． （2）先判断出当m＝4时，经过多次操作后，不能使所有的灯都亮黄光，通过用+1”和“﹣1”分别表示一颗灯“亮红光”和“亮黄光”，即可得出问题的目标是将乘积从（+1）9变为（﹣1）9，当 m＝4时，每次操作的变化是（﹣1）4，无论操作多少次，结果都是（+1）9×[（﹣1）4]n＝+1≠﹣1，即可判断出结论成立； （3）先判断出当m＝5时，经过3次操作后，可以使所有的灯都亮黄光，列出三次切换的步骤，即可得到答案． 【解答】解：（1）每两颗灯之间的距离相等，点A表示的数为﹣2，点G表示的数为4， ∴点D表示的数为：； 故答案为：1； （2）当m＝4时，经过多次操作后，不能使所有的灯都亮黄光； 理由：用“+1”和“﹣1”分别表示一颗灯“亮红光”和“亮黄光”， 若这9颗灯都由“亮红光”变为“亮黄光”，则问题的目标是将乘积从（+1）9变为（﹣1）9， 当m＝4时，每次操作的变化是（﹣1）4，无论操作多少次，结果都是（+1）9×[（﹣1）4]n＝+1≠﹣1， ∴当m＝4时，经过多次操作后，不能使所有的灯都亮黄光； （3）当m＝5时，经过3次操作后，可以使所有的灯都亮黄光具体步骤为： 第一次：切换A，B，C，D，E的颜色； 第二次：切换C，D，E，F，G的颜色； 第三次：切换C，D，E，H，I的颜色． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $