专题03 有理数的混合运算问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版七年级上册

**基本信息** 以“通法引领-题型突破-挑战提升”为主线，系统构建有理数混合运算的方法体系，通过典例变式强化运算能力与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1通法总结|运算顺序“先乘方再乘除后加减”，运算律简化，符号与括号处理技巧|构建运算基础法则与易错点防控体系| |五类题型|5典例+15变式|乘除转化约分、简便运算凑整、乘方底数区分、错题复原验算、实际问题建模|从纯运算到纠错再到应用，层层递进| |压轴挑战|13道综合题|综合运算与新定义问题解决，融合跨学科情境|提升运算推理与数学表达能力|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题3有理数的混合运算问题的五类综合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、有理数的乘除混合运算 题型二、有理数的简便运算 题型三、 含乘方的有理数混合运算 题型四、有理数混合运算错题复原问题 题型五、有理数运算的实际应用问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 习解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：含加、减、乘、除、乘方及括号的有理数综合算式，考查运算顺序与法则。 -解题方法：遵循“先乘方，再乘除，最后加减：有括号先算括号内”；利用运算律（交换、结合、分 配)简化计算；带分数化为假分数，小数化分数。 -易错提醒：符号处理失误（特别是负数的乘方与乘法）；混淆(2)与24，去括号时漏变号：除法未化为 乘法再约分：运算顺序颠倒。 夙题型归纳一精讲典型题法，奔实解题根基 题型一、有理数的乘除混合运算 典例1(25-26七年级上全国课后作业)计算： 1/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a-引 题型模版 1特征：含乘除法及括号，需按从左到右顺序，先确定符号再计算绝对值。 2方法：先将除法转化为乘法，再统一约分：符号由负因数的个数决定（奇数个负号为负）。 变式1-1(2025七年级上全国专题练习)计算下列各题： 012×3(-22. 变式1-2(25-26七年级上新疆和田期中)计算： @r引+助 @2(引(5别 变式1-3(25-26七年级上全国课后作业)计算 0258( 号 oa 角5) 题型二、有理数的简便运算 典例2(2025七年级上·全国专题练习)用简便方法计算： 2/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 w25×子(2*+25x） 23x-9)+41x(-9)-8.1 *76x 8)16.8x7 7 16· 题型模版 1特征：利用运算律（交换、结合、分配）简化计算，减少繁琐步骤。 2方法：先观察式子结构，用加法交换律、乘法分配律等凑整或抵消，再按常规顺序计算。 变式2-1(25-26七年级上江苏南京·阶段检测)请你仔细阅读下列材料并计算： (0-后0+6到 解法：简便计算，先求其倒数 原式数：作0。引-动}目06(30=-20+9-542=-0 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算： (+引 变式2-2(25-26七年级上江西吉安·期中)阅读下列计算过程，解决问题. ,te([+r[ [-4(2+3+9+} =3+)- 上面的解题方法叫作拆项法， 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)仿照上面方法，可将12.6拆为，将-5.23拆为： 42, (2)用拆项法计算： 3 变式2-3(25-26七年级上河南郑州：期中)简便运算. 罗骨…部 512-1 回n00+nx+57x 50494039 3029 0石25后+)8石 题型上、含乘方的有理数混合运算 典例3(25-26七年级下辽宁盘锦·开学考试)计算： 2x2+(3x( e--o5x-(3y 题型模版 1特征：包含乘方、乘除、加减及括号，需按“先乘方，再乘除，后加减”顺序。 2方法：先算乘方，再算乘除，最后加减：有括号先算括号内，注意符号和底数区分。 变式3-1(25-26七年级上贵州铜仁期末)计算 wg动r 2P-(1-0.5)×3×[2-(-3] 变式3-2(26-27七年级江苏小升初衔接)计算： 4/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m39-号-6引 ②-G》-2-(91 变式3-3(25-26七年级上重庆·期中)计算题，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤. 0m3-2--}-2列 o-r+2×3-5-8(4-月 题型四、有理数混合运算错题复原问题 典例4(25-26七年级上江西鹰潭·期中)阅读下面解题过程并解答问题：计算： 分到8 解：原式-(15)(》6第步)） =(←15)(5)（第二步） =3.（第三步) (1)上面解题过程从第_步开始错误： (2)请你写出正确的解答过程. 题型模版 1特征：给出错误运算过程或结果，需找出错因并改正，培养检查习惯。 2方法：按正确顺序逐步验算，对比错误步骤，指出符号、顺序或约分错误，重新计算得正确结果。 变式41(25-26七年级上山东临沂·期中)阅读下面题目的运算过程，并解答下列问题. -12025+4×0.52+6× 115 计算： 23+6 解：原武=-1+22+6×2二6×3十6×石0. 3 5/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =-1+4+3-2+5② =9③ (1)上述运算过程，从第 步出现错误，错误的原因是 (2)写出正确解答过程。 变式42(25-26七年级上甘肃平凉期末)小明做了如下一道有理数混合运算题，在检查时发现有错误. 2号-[-42+6解：原武6号-(8+6…第步 -6×3-(2.…第二步 2 =-9+4.…第三步 =-5.…第四步 (1)小明在第 步开始出现错误； (2)请给出该题的正确解答过程. 变式43(25-26七年级上福建福州期中)下面是甲、乙两位同学计算：--(1-04)×？×(2-3）的错误 解法 甲同学 乙同学 --0-04到×兮×2-3) -r-0-04×5x2-3)=1-06xx2-) =-1-0.6×5x2-6) 3 =1-0.2×(-7） 错误解法 =-1-0.2×(-4) =1-(-14) =-1+0.8 =2.4 =-0.2 错误原因 正确解法 (①)请你分别圈出他们俩第二步出错的地方，并指出错误原因； 6/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)写出正确解法. 题型五、有理数运算的实际应用问题 典例5(25-26七年级上江苏宿迁·期中)某水泥仓库7天内进出水泥的吨数是（“+”表示进库，“-” 表示出库)：+20，-25，-13，+28，-29，-16，-10 (1)经过这7天，仓库里的水泥是增多还是减少了？增多或减少了多少吨？ (2)经过这7天，仓库管理员结算时发现仓库里还存有200吨水泥，那么7天前，仓库里存有水泥多少吨？ 题型模版 1特征：将现实情境（如盈亏、温度变化、库存）转化为有理数运算，求结果。 2方法：读懂题意，提取正负数表示变化量，按运算顺序列式，计算得实际数值并解释含义。 变式5-1(25-26六年级上山东东营期中)旭东中学附近某水果超市最近新进了一批百香果，每斤8元， 为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元 的部分记为负，超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况： 星期 一 三 四 五 六 日 每斤价格相对于标准价格（元) +1 -2 +3 -1 +5 +2 -4 售出斤数 20 35 10 30 5 15 50 (1)这一周超市售出的百香果单价最高的是星期 (2)与标准售价相比，这周卖出的百香果总售价超过或不足多少元？ (3)这一周超市出售此种百香果的收益如何？（盈利或亏损的金额） 变式5-2(25-26七年级上湖北孝感期中)某校举办了“废纸回收，变废为宝”活动，各班收集的废纸均 以5kg为标准，超过的记为“+”，不足的记为“一”，七年级六个班的废纸收集情况如表所示，统计员 小虎不小心将一个数据弄脏看不清了，但他记得三班收集废纸最少，且收集废纸最多和最少的班级的质量 差为4kg 班级 五 7/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 超过（不足） (kg) +1 +2 -1.5 0 (1)弄脏的数据应为； (②)若七年级计划总共收集废纸30kg，他们达到预期目标了吗？请说明理由. (3)若七年级六个班将本次活动收集的废纸集中卖出，30kg(包括30kg)以内的2元kg,超出30kg的部 分2.5元kg,求废纸卖出的总钱数 变式5-3(25-26七年级上山东日照·期中)外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名 外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于50单 的部分记为“-”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 三 四 五 送餐量（单位：单） -3 +4 5 +14 -8 ×> +12 ()该外卖小哥这一周送餐量最多一天比最少一天多送单： (2)求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ (3)外卖小哥每天的工资由底薪60元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过50单的 部分，每单补贴2元：超过50单的部分，每单补贴4元，求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ ◆◆ 同压轴挑战一支克高障压轴，突破思维上很 一、单选题 1.(2026吉林长春·模拟预测)计算-1-2的结果是（) A.-1 B.-3 C.3 D.2 2.(2425七年级上广东茂名期末)下列运算错误的是() A,-2+2=0 B.（-4)÷4=-1 c.3-(3)=0 D.2x(-2)=-4 3.(25-26七年级下·内蒙古包头阶段检测)下列计算正确的是（) 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0-（-1)=-1 B.（-3列+(-5)=8 。（(2)- D.23=6 4.(2026四川攀枝花·中考真题)“快乐数”是指将正整数的每一位数字平方后相加，得到的新数再重复 这一过程，最后结果为1的数.以“快乐数”70为例： 72+02=49→42+92=97→92+72=130→12+32+02=10→12+02=1，则下列数中不是“快乐数”的是 () A.3 B.7 C.13 D.31 二、填空题 5.(25-26七年级上湖北襄阳期末)计算： 6.（25-26七年级上河北沧州期未)已知4、b互为相反数，6d互为倒数、则（a+b-4-d-3到 a,b) 7.(25-26七年级下山东枣庄期未)规定两数，b之间的一种运算，记作 ,如果=b,那么 (a,b)=c 例如：2=8.(2,8)=3 根据上述规定，填空： （-2,-32)= 8.(25-26七年级上宁夏吴忠期中)把二进制数 (1011001)2 改写成十进制数，只要把它写成各位数字 与基数2的幂的乘积之和的形式，然后按通常的方法进行计算即可. (1011001)2=1×2+0×2+1×24+1×23+0×22+0×2+1×2° =64+0+16+8+0+0+1 =89, 所以二进制数 0101转换成十进制数为89.（注：规定当a≠0时，。-） 9/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 110011)2 请通过计算将二进制数 ,改写成十进制数是 三、解答题 9.(25-26七年级上：陕西西安·期中)计算： 612-3别 10.(26-27七年级江苏·小升初衔接)计算： 0-59)-(46)+(-34)-73 x(2 =(- 闭15*号(} 11.(26-27七年级江苏·小升初衔接)计算： 06(}别 ②2-35x1-(4: 〔 2引 10/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.(26-27七年级全国小升初衔接)计算题 w++dt心 1 1 a-4-61品） 1 1 1 (3)2×4×6+4×6×86×8x108x10x1210x12×14 1 4） 68× (4(45x31+31x68 ×90 13.(25-26七年级上江苏南京阶段检测)请你仔细阅读下列材料并计算： 〔0-606引 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 居6到动-60+6(0-203-52-0 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算： （68+引 11/11 专题03 有理数的混合运算问题的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、有理数的乘除混合运算 题型二、有理数的简便运算 题型三、含乘方的有理数混合运算 题型四、有理数混合运算错题复原问题 题型五、有理数运算的实际应用问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：含加、减、乘、除、乘方及括号的有理数综合算式，考查运算顺序与法则。 - 解题方法：遵循“先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内”；利用运算律（交换、结合、分配）简化计算；带分数化为假分数，小数化分数。 - 易错提醒：符号处理失误（特别是负数的乘方与乘法）；混淆(-2)4与-24；去括号时漏变号；除法未化为乘法再约分；运算顺序颠倒。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、有理数的乘除混合运算 典例1（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握有理数的乘除法的运算法则是关键． （1）先确定符号，把除法变乘法，再根据乘法运算法则计算即可； （2）把带分数化为假分数，确定符号，把除法变乘法，再根据乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型模版 1.特征：含乘除法及括号，需按从左到右顺序，先确定符号再计算绝对值。 2.方法：先将除法转化为乘法，再统一约分；符号由负因数的个数决定（奇数个负号为负）。 变式1-1（2025七年级上·全国·专题练习）计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先将带分数化为假分数，再将除法转化成乘法运算即可； （2）先将带分数化为假分数，再将除法转化成乘法运算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ． 变式1-2（25-26七年级上·新疆和田·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握分数的乘除法法则、符号规则以及带分数与假分数的相互转换是解题的关键．解题时需先将带分数转换为假分数，并将除法转换为乘法．注意符号规则：负负得正，最后通过约分简化得到结果． 【详解】（1）解： （2）解： ． 变式1-3（25-26七年级上·全国·课后作业）计算 (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先化除为乘，再由2个负因数确定结果符号为正，最后按照有理数的乘法法则计算即可； （2）先化除为乘，再由2个负因数确定结果符号为正，最后按照有理数的乘法法则计算即可； （3）先化除为乘，再由1个负因数确定结果符号为负，最后按照有理数的乘法法则计算即可； （4）先化除为乘，再由1个负因数确定结果符号为负，最后按照有理数的乘法法则计算即可； 本题主要考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ．    （2）解：原式 ．    （3）解：原式 ．    （4）解：原式 ． 题型二、有理数的简便运算 典例2（2025七年级上·全国·专题练习）用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先将式子中写成，通过观察发现可以把公因数提出来，再算出括号里的数，最后与相乘得到最终答案． （2）先把式子中转化成，再提出公因数，再运算得出结果． （3）先把式子中转化成，把公因数提出，再运算得出结果． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式 题型模版 1.特征：利用运算律（交换、结合、分配）简化计算，减少繁琐步骤。 2.方法：先观察式子结构，用加法交换律、乘法分配律等凑整或抵消，再按常规顺序计算。 变式2-1（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，乘法分配律的运用，熟练掌握有理数混合运算的法则和乘法分配律是解题的关键.计算，把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解，所得结果取倒数即为答案. 【详解】解：原式的倒数为： ， ∴． 故答案为. 变式2-2（25-26七年级上·江西吉安·期中）阅读下列计算过程，解决问题． 计算： 解：原式 ． 上面的解题方法叫作拆项法. (1)仿照上面方法，可将拆为_____，将拆为_____； (2)用拆项法计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数加减混合运算法则，准确计算． （1）根据题干信息进行解答即可； （2）利用题干提供的信息，运用有理数加减混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：拆为，拆为， 故答案为：，； （2）解： ． 变式2-3（25-26七年级上·河南郑州·期中）简便运算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）对于，，分别取，相加即可； （2）把各因数通分相乘得分子是从2开始的连续自然数的平方，分母是从1开始的相差2的两个自然数的积，再相乘并依次约分即可； （3）拆分带分数，利用乘法分配律简便计算； （4）利用乘法分配律展开，再把同分母分数相加减即可． 【详解】（1）解：当时，， 则 ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型三、含乘方的有理数混合运算 典例3（25-26七年级下·辽宁盘锦·开学考试）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 题型模版 1.特征：包含乘方、乘除、加减及括号，需按“先乘方，再乘除，后加减”顺序。 2.方法：先算乘方，再算乘除，最后加减；有括号先算括号内，注意符号和底数区分。 变式3-1（25-26七年级上·贵州铜仁·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）先计算乘方，再利用乘法分配律计算即可； （2）先计算乘方、小括号内的减法，再计算括号内的减法，然后计算乘法，最后计算减法即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 变式3-2（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式3-3（25-26七年级上·重庆·期中）计算题，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用含乘方的有理数的混合运算法则计算即可； （2）利用含乘方的有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型四、有理数混合运算错题复原问题 典例4（25-26七年级上·江西鹰潭·期中）阅读下面解题过程并解答问题：计算：． 解：原式（第一步） （第二步） =3．（第三步） (1)上面解题过程从第 步开始错误； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)二 (2) 原式 ． 【分析】本题考查了有理数乘除混合运算，熟练掌握有理数乘除混合运算的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数乘除混合运算的运算法则判断作答即可； （2）先计算括号，然后将除法变乘法，最后进行乘法运算即可． 【详解】（1）解：由题意知，上面解题过程从第二步开始错误，错误原因是没有按同级运算从左至右运算； 故答案为：二； （2）解：略． 题型模版 1.特征：给出错误运算过程或结果，需找出错因并改正，培养检查习惯。 2.方法：按正确顺序逐步验算，对比错误步骤，指出符号、顺序或约分错误，重新计算得正确结果。 变式4-1（25-26七年级上·山东临沂·期中）阅读下面题目的运算过程，并解答下列问题． 计算： 解：原式① ② ③ (1)上述运算过程，从第________步出现错误，错误的原因是________； (2)写出正确解答过程． 【答案】(1)①，误将计算为 (2) 解答过程： ． 【分析】本题考查有理数的混合运算．熟练掌握运算法则和顺序，正确的计算，是解题的关键． （1）根据运算顺序，先算乘方再算乘除可知第①步出现问题； （2）根据先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的进行计算即可． 【详解】（1）解：上述运算过程，从第①步出现错误，错误的原因是误将计算为； （2）略 变式4-2（25-26七年级上·甘肃平凉·期末）小明做了如下一道有理数混合运算题，在检查时发现有错误． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 ．…第四步 (1)小明在第______步开始出现错误； (2)请给出该题的正确解答过程． 【答案】(1)一 (2) 原式 ． 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）逐一分析各个步骤，发现小明在第一步时计算开始出现错误； （2）先计算乘方，再计算除法，最终计算出结果． 【详解】（1）解：根据有理数的乘方运算规则，表示2的立方的相反数，即，而不是，所以第一步开始出现错误， 故答案为：一． （2）略 变式4-3（25-26七年级上·福建福州·期中）下面是甲、乙两位同学计算：的错误解法 甲同学 乙同学 错误解法 错误原因 正确解法 (1)请你分别圈出他们俩第一步出错的地方，并指出错误原因； (2)写出正确解法． 【答案】(1) 解：    (2) 解： ． 【分析】（1）根据有理数的混合运算顺序和运算法则，即可进行判断； （2）根据有理数的混合运算顺序和运算法则即可进行解答． 【详解】（1）略 （2）略 题型五、有理数运算的实际应用问题 典例5（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）某水泥仓库7天内进出水泥的吨数是（“”表示进库，“”表示出库）：，，，，，，． (1)经过这7天，仓库里的水泥是增多还是减少了？增多或减少了多少吨？ (2)经过这7天，仓库管理员结算时发现仓库里还存有200吨水泥，那么7天前，仓库里存有水泥多少吨？ 【答案】(1)减少了45吨 (2)7天前，仓库里存有水泥245吨 【分析】本题考查了有理数的加减运算在实际问题中的应用，解题的关键是通过有理数的加减计算确定水泥的变化量． （1）将7天的进出水泥吨数相加，根据结果的正负判断是增多还是减少，结果的绝对值即为变化的吨数； （2）用现有水泥量减去7天的变化量（注意符号），得到7天前的存量． 【详解】（1）解：将7天的进出量相加∶ 结果为负，说明水泥减少了，减少了45吨． （2）现有水泥量是7天后的剩余量，7天前的存量 = 现有量 - 7天的变化量∶． 7天前，仓库里存有水泥245吨． 题型模版 1.特征：将现实情境（如盈亏、温度变化、库存）转化为有理数运算，求结果。 2.方法：读懂题意，提取正负数表示变化量，按运算顺序列式，计算得实际数值并解释含义。 变式5-1（25-26六年级上·山东东营·期中）旭东中学附近某水果超市最近新进了一批百香果，每斤8元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 每斤价格相对于标准价格（元） 售出斤数 20 35 10 30 5 15 50 (1)这一周超市售出的百香果单价最高的是星期________； (2)与标准售价相比，这周卖出的百香果总售价超过或不足多少元？ (3)这一周超市出售此种百香果的收益如何？（盈利或亏损的金额） 【答案】(1) 五 (2) 与标准售价相比，这周卖出的百香果总售价不足元； (3) 这一周超市出售此种百香果盈利135元． 【分析】本题考查了正负数的应用及有理数的计算．计算本题的关键是看懂图表并理解图表．盈利就是总售价大于总进价，亏损就是总售价小于总进价． （1）通过看图表的每斤价格相对于标准价格，可直接得结论； （2）根据正负数的定义结合表格数据列式计算即可解答； （3）计算总进价和总售价，比较即可． 【详解】（1）解：这一周超市售出的百香果单价最高的是星期五， 故答案为：五； （2）解：（元）， 答：与标准售价相比，这周卖出的百香果总售价不足元； （3）解：（元）， （元）； 答：这一周超市出售此种百香果盈利135元． 变式5-2（25-26七年级上·湖北孝感·期中）某校举办了“废纸回收，变废为宝”活动，各班收集的废纸均以为标准，超过的记为“”，不足的记为“”，七年级六个班的废纸收集情况如表所示，统计员小虎不小心将一个数据弄脏看不清了，但他记得三班收集废纸最少，且收集废纸最多和最少的班级的质量差为． 班级 一 二 三 四 五 六 超过（不足） 0 (1)弄脏的数据应为 ； (2)若七年级计划总共收集废纸，他们达到预期目标了吗？请说明理由． (3)若七年级六个班将本次活动收集的废纸集中卖出，（包括）以内的2元，超出的部分2.5元，求废纸卖出的总钱数． 【答案】(1) (2) 解：他们达到预期目标，理由： ， 答：他们达到预期目标； (3)废纸卖出的总钱数为元 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，根据题意列出算式，是解题的关键． （1）根据三班收集废纸最少，且收集废纸最多和最少的班级的质量差为，求出结果即可； （2）根据题意列出算式，进行计算即可； （3）根据（包括）以内的2元，超出的部分2.5元，列出算式，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵三班收集废纸最少，且收集废纸最多和最少的班级的质量差为， ∴收集废纸最多的是， ∴根据表格中的数据可知：弄脏的数据应为； （2）略 （3）解：废纸卖出的总钱数为： （元）． 答：废纸卖出的总钱数为元． 变式5-3（25-26七年级上·山东日照·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“”，低于50单的部分记为“”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） (1)该外卖小哥这一周送餐量最多一天比最少一天多送 单； (2)求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ (3)外卖小哥每天的工资由底薪60元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过50单的部分，每单补贴2元；超过50单的部分，每单补贴4元，求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 【答案】(1) 22 (2) 该外卖小哥这一周平均每天送餐53单； (3) 该外卖小哥这一周工资收入1236元． 【分析】本题考查的是正负数的实际应用，有理数的加减法与乘法的实际应用，理解题意，正确的列代数式计算是解本题的关键． （1）用周四的送餐量减去周五的送餐量即可求解； （2）由50单加上超过或不足部分数据求解即可； （3）每天的工资由底薪加上送餐部分的补贴，按题意计算和即可． 【详解】（1）解：（单） 即该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多22单； 故答案为：22； （2）解：（单）， 答：该外卖小哥这一周平均每天送餐53单； （3）解：（元）， 答：该外卖小哥这一周工资收入1236元． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（2026·吉林长春·模拟预测）计算的结果是（     ） A．1 B．3 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据有理数减法法则计算即可得到结果． 【详解】解： 2．（24-25七年级上·广东茂名·期末）下列运算错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A、B、D的运算结果均正确，不符合题意； ，选项C运算错误，符合题意． 3．（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数的加减法运算法则计算判断A，B，再根据有理数的除法计算判断C，然后根据有理数的乘方解答D． 【详解】解：因为，所以A不正确； 因为，所以B不正确； 因为，所以C正确； 因为，所以D不正确． 4．（2026·四川攀枝花·中考真题）“快乐数”是指将正整数的每一位数字平方后相加，得到的新数再重复这一过程，最后结果为1的数．以“快乐数”70为例：，则下列数中不是“快乐数”的是（     ） A．3 B．7 C．13 D．31 【答案】A 【分析】根据“快乐数”的定义，对各选项依次重复计算每一位数字的平方和，最终结果为1就是快乐数，否则不是． 【详解】解：A、∵，，，，，，，，，，，，， ∴计算进入循环，无法得到1，故3不是快乐数； B、∵， ∴最终结果为1，故7是快乐数； C、∵，， ∴最终结果为1，故13是快乐数； D、∵，， ∴最终结果为1，故31是快乐数． 二、填空题 5．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算．先计算乘除运算，将除法转化为乘法，利用有理数运算法则，负负得正，最后计算数值． 【详解】解：原式 故答案为：． 6．（25-26七年级上·河北沧州·期末）已知互为相反数，互为倒数、则___________． 【答案】 【分析】本题考查相反数，倒数，含乘方的有理数的混合运算，利用相反数和倒数的性质，得出 和，再根据有理数的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：由题意，，， ∴； 故答案为： 7．（25-26七年级下·山东枣庄·期末）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：，．根据上述规定，填空：___________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 8．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期中）把二进制数，改写成十进制数，只要把它写成各位数字与基数2的幂的乘积之和的形式，然后按通常的方法进行计算即可． ， 所以二进制数转换成十进制数为89．（注：规定当时，） 请通过计算将二进制数，改写成十进制数是__________． 【答案】51 【分析】根据题干给出的二进制转化为十进制的规则，列式计算即可． 【详解】解： ． 三、解答题 9．（25-26七年级上·陕西西安·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 10．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 11．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：原式 ． 12．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算题． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)16 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 13．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，乘法分配律的运用，熟练掌握有理数混合运算的法则和乘法分配律是解题的关键.计算，把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解，所得结果取倒数即为答案. 【详解】解：原式的倒数为： ， ∴． 故答案为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $