第1章 勾股定理 单元复习 培优讲义 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学勾股定理单元复习讲义通过知识框架图系统梳理了勾股定理及其逆定理、勾股数、验证模型和实际应用等核心知识点，用对比表格呈现赵爽弦图等验证模型的图形特征与推导思路，明确重难点如定理适用范围、立体最短路径求解及内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层题型设计，从基础边长计算到压轴垂美四边形探究，结合台风影响判断等生活工程问题和“葭生池中”传统文化情境，培养空间观念、推理意识和模型意识。每个题型配例题与变式题，易错点总结助力学生自主复习，教师可据此实施精准分层教学。

第1章 勾股定理 知识点1：勾股定理   1. 定理内容：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。若直角三角形两直角边长为，斜边长为，则公式为。其中短直角边为“勾”，长直角边为“股”，斜边为“弦”。   2. 公式变形：可灵活变形求任意边长，、，适用于已知直角三角形两边求第三边。   3. 适用范围：仅适用于直角三角形，非直角三角形不能直接使用勾股定理计算边长。 知识点2：勾股定理的验证   1. 核心思想：数形结合、面积法（算两次），通过拼接图形，用两种不同方式表示同一图形面积，化简推导勾股定理。   2. 常见验证模型 验证模型 图形特征 核心推导思路 赵爽弦图 四个全等直角三角形拼接成大正方形，内部含小正方形 大正方形面积=4个直角三角形面积+小正方形面积，化简得定理 直角梯形模型 三个直角三角形拼接为直角梯形 梯形总面积=三个直角三角形面积和，恒等变形推导公式 达芬奇剪拼模型 纸片裁剪翻转拼接，空白面积恒定 拼接前后空白面积相等，消去公共项验证定理 知识点3：勾股定理的逆定理（直角三角形判定）   1. 定理内容：若三角形三边长满足，则这个三角形为直角三角形，且对应的角为直角。   2. 判定步骤：先确定三边中最长边，再验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方，等式成立即为直角三角形。   3. 拓展判定：若，三角形为锐角三角形；若，三角形为钝角三角形（为最长边）。 知识点4：勾股数   1. 定义：满足的三个正整数，称为一组勾股数。   2. 核心特征：均为正整数、符合平方和公式；一组勾股数的正整数倍仍是勾股数。   3. 常见勾股数与规律：基础勾股数（3,4,5）、（5,12,13）、（7,24,25）；通用规律：。 知识点5：勾股定理的实际应用   1. 平面几何应用：求直角三角形边长、线段平方和（差）、图形面积、网格线段长度。   2. 立体几何应用：长方体、台阶、圆柱侧面展开，求解表面最短路径。   3. 生活跨学科应用：测量高度、距离、管道改造、光学折射、建筑工程、设备监测等实际场景建模计算。 【基础必考题型】 【题型1】勾股定理基础边长计算 1.核心知识点:   勾股定理原始公式及变形公式；直角三角形边长对应关系，区分直角边与斜边。 2.解题方法技巧:   ①审题明确已知边为直角边或斜边，精准套用对应公式计算未知边长。   ②计算结果取正数，边长为正值，避免出现负根错误。 【例题1】.（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）一直角三角形的斜边长比其中一直角边长3，另一直角边长为9，则斜边长为（    ） A．10 B．12 C．15 D．18 【答案】C 【详解】解：设斜边长为，则其中一直角边长为． 根据勾股定理可知， 解得：． 【变式题1-1】.（26-27八年级上·四川达州·开学考试）已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．则________ 【答案】 【分析】利用勾股定理列等式求解，再根据边长为正数取正根即可． 【详解】解：∵直角三角形两直角边长分别为，，斜边长为， ∴由勾股定理得， 整理得， ∵三角形边长为正数， ∴． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，，求的长． 【答案】的长为. 【详解】解：已知， 是直角三角形，为斜边． 根据勾股定理： ， ∴(边长取正数)． 【变式题1-3】.（26-27八年级上·全国·课后作业）在中，，，，求的长． 【答案】的长为 【详解】解：根据勾股定理可得，， 所以． 所以的长为． 【题型2】勾股定理逆定理判定直角三角形 1.核心知识点:   勾股定理逆定理；三角形锐角、钝角、直角分类判定方法。 2.解题方法技巧:   ①先排序确定最长边，再验证平方和关系，简化判定步骤。   ②可结合角度条件辅助验证，双重保障判定结果准确。 【例题2】.（25-26八年级下·广西南宁·期末）以下列长度的三条线段为边能组成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】如果三角形三边长满足，那么这个三角形是直角三角形，其中最长边所对的角是直角． 【详解】解：：，符合题意； ：，：，：，均不符合题意． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·广东江门·期末）以下列各组数为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【详解】解：A选项：， 不能构成直角三角形． B选项：， 能构成直角三角形． C选项：， 能构成直角三角形． D选项：， 能构成直角三角形． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·北京密云·期末）的三边长分别为，，，由下列条件能判断为直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】先确定各选项中三角形的最长边，再利用勾股定理逆定理验证两短边平方和是否等于最长边平方． 【详解】解：A选项，，，，不是直角三角形； B选项，，，，∴不是直角三角形； C选项，，，，∴不是直角三角形； D选项，，，，∴是直角三角形． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·吉林·期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)画线段且使，连接； (2)的长为____________； (3)为______三角形； (4)根据所画的图形，可以求出四边形的面积为______（平方单位）． 【答案】(1)解：如图所示，即为所求； (2)5 (3)直角 (4)10 【分析】（1）根据题意结合网格的特点作图即可； （2）利用勾股定理求解即可； （3）利用勾股定理求出对应三角形三边的长，再利用勾股定理的逆定理求解即可； （4）利用割补法求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由勾股定理和网格的特点可得； （3）解：由勾股定理和网格的特点可得，，， ∴， ∴是直角三角形； （4）解：． 【题型3】勾股数识别与规律应用 1.核心知识点:   勾股数定义与核心特征；勾股数倍数规律、通用通项公式。 2.解题方法技巧:   ①优先判断是否为正整数，非正整数直接排除，再验证平方和关系。   ②熟记基础勾股数，利用倍数规律快速推导衍生勾股数组。 【例题3】.（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据勾股数的定义，三个正整数中若两个较小数的平方和等于最大数的平方，则这三个数是勾股数，据此逐一验证选项即可． 【详解】解： A选项：，，，不符合勾股数定义，A错误； B选项：，，，不符合勾股数定义，B错误； C选项：，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，不是勾股数，C错误； D选项：，，三个数均为正整数，且满足平方和关系，符合勾股数定义． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·安徽六安·期中）（1）我们把能够成为直角三角形三条边的三个正整数，，称为勾股数．若5，13，是一组勾股数，则_____； （2）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中． 6 8 10 12 14 … 8 15 24 35 48 … 10 17 26 37 50 … 则当时，的值为_____． 【答案】 12 200 【分析】（1）根据勾股数的概念，分两种情况，列出方程，求解即可； （2）根据表中的数据可得，再根据勾股数的概念可得，，求得，即可． 【详解】解：（1）当最大时，由勾股数的概念可得，， 解得（负值舍去），不是正整数，舍去； 当13为最大边时，由勾股数的概念可得， 解得或（舍去），符合题意； （2）由表格得规律：， 根据勾股数的概念可得：，即， 将代入得， 解得， ∴， ∴． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2027次后形成的图形中所有正方形的面积和是_______． 【答案】2028 【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， ∵三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形， ∴由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， ……， ∴“生长”了2027次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2028． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·河南平顶山·期中）《周髀算经》是我国现存最早的数学典籍，书中对勾股定理和勾股数有过一定的描述（满足的三个正整数，称为勾股数）．请观察下面表格中的勾股数，并利用规律解决以下问题： a b c … … … (1)观察猜想：当时， ______， ______； (2)初探规律：当时， ______（n为正整数）； (3)归纳证明：用含n的等式归纳出这些勾股数之间的规律（n为正整数），并解释结论的合理性． 【答案】(1)60，61 (2) (3) 解： 当时， ， ； 由题意可得，，， ． 所以结论成立． 【分析】本题主要考查了勾股数、勾股定理、数字规律等知识定，熟练掌握勾股数是解题的关键． （1）根据表格中的数据即可解答； （2）根据表格中的数据找出规律即可解答； （3）根据勾股定理的逆定理即可得到答案． 【详解】（1）解：， ，． 故答案为：60，61． （2）解： 当时， ∴． （3）略 【题型4】勾股树图形面积探究 1.核心知识点:   勾股定理面积本质；正方形面积与边长平方的关系；图形迭代规律。 2.解题方法技巧:   ①利用“直角三角形两直角边正方形面积和=斜边正方形面积”推导。   ②归纳迭代规律，快速求解多次生长后的总面积。 【例题4】.（25-26八年级下·山西朔州·期末）你可能去过森林公园，看到过许许多多千姿百态的植物．可是你是否见过如图所示的树呢？它是数学家毕达哥拉斯画出的一个可以无限重复的树形图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．下列古代数学成就中，与“毕达哥拉斯树”有关的是（     ） A．天元术 B．正负术 C．勾股定理 D．杨辉三角 【答案】C 【详解】解：此图形又称为“勾股树”，利用勾股定理绘制而成． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·四川绵阳·期末）如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积为（     ） A．40 B．45 C．47 D．50 【答案】C 【详解】解：如图， 由题意得，， ． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）如图，正方形的边，向外作，，，以，，，为边向外作正方形，面积分别为6，2，，11，则的值为_______． 【答案】3 【详解】解：在中，由勾股定理得：， ∴ 同理可得：， ∴， ∴． 【变式题4-3】.（2026·西藏山南·二模）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中图（1）是正方形，图（2）是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到图（3），…，则图（6）中共有________个正方形． 【答案】 【分析】规律：增加的正方形个数是前一次正方形个数的2倍，由此即可求解． 【详解】解：图（1）正方形个数为1个； 图（2）的正方形增加2个， 图（3）的正方形增加个， 图（4）的正方形增加个， 图（5）的正方形增加个， 图（6）的正方形增加个， 则图（6）中共有正方形的个数为（个）． 【培优高频题型】 【题型5】勾股定理折叠综合计算 1.核心知识点:   折叠全等性质；对应边、对应角相等；勾股定理方程思想。 2.解题方法技巧:   ①设未知线段长为，利用折叠性质转化等线段。   ②在直角三角形中列勾股方程，解方程求解未知边长。 【例题5】.（2026·吉林长春·一模）如图，三角形纸片中，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是__________． 【答案】/ 【分析】根据折叠的性质证明，进而证明，然后利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在三角形纸片中，，，． （1）如图，在中，斜边长为_____． （2）如图，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是_____． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，解题关键是利用勾股定理计算斜边长度，结合折叠的性质找到线段等量关系，再通过勾股定理列方程求解。 （1）直接利用勾股定理计算的长度； （2）根据折叠性质得到线段和角等量关系，设未知数，利用勾股定理列方程求解的长度． 【详解】解：（1）在中，，根据勾股定理： ， 故答案为：； （2）由折叠的性质可知： ，，， 在中，， ， ， 设，则，因此， 在中，根据勾股定理：， 代入，得：， 解得，． 故答案为：． 【变式题5-2】.（26-27八年级上·浙江金华·开学考试）如图，的三边分别为，将沿折叠，使落在上，折痕的长为___________． 【答案】/ 【分析】根据勾股定理的逆定理，即，判断出是直角三角形，设折叠后点与上的点重合．在中，根据勾股定理即可得到一个关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：， ， 是直角三角形． 设折叠后点与上的点重合，如图， 设，则，，，， ， 在中，， 解得， ． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·广东佛山·阶段检测）如图，是一张纸片，，，，先将其折叠，使点与点重合，折痕是， (1)求的长； (2)求重叠部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形面积的求解，熟练掌握解决翻折图形的方法为解题关键． （1）先根据勾股定理求出的长，再有折叠性质得到：，设，再由勾股定理求出x的值，进而求出最后结果； （2）由勾股定理求出的长，再由三角形面积公式求出结果． 【详解】（1）解：，，， ， 根据翻折可得：， 设，根据图形翻折可得：， 在直角三角形中，根据勾股定理可得：， 解得：， ； （2）解：在中，， ． 【题型6】立体图形最短路径求解 1.核心知识点:   立体图形侧面展开；两点之间线段最短；勾股定理空间应用。 2.解题方法技巧:   ①将长方体、圆柱、台阶等立体图形展开为平面图形。   ②构造直角三角形，用勾股定理计算线段长度，即为最短路径。 【例题6】.（25-26八年级下·重庆潼南·期末）如图是放在水平地面上的一个长方体盒子，其中，点是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点爬到点，则爬行的最短路程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照题意，分三种情况展开蚂蚁爬过的面成平面图形，再由勾股定理求解长度，比较各个情况大小即可得到答案． 【详解】解：根据题意，分三种情况： 将右面向前面展开，如图所示： 在中，，，，则，由勾股定理可得； 将上面向前面展开，如图所示： 在中，，，，则，由勾股定理可得； 将右面向下展开，如图所示： 在中，，，，则，由勾股定理可得； ， ， 则爬行的最短路程为． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·新疆吐鲁番·期末）如图，在一张矩形纸板上放着一根长方体木块．已知，，该木块的长与平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达点需要爬行的最短路程是________． 【答案】 【分析】将木块展开，然后根据两点之间线段最短，利用勾股定理解答． 【详解】由题意可知，将木块展开，相当于是加上个正方形的边长， 展开后的矩形的长为，宽为． 最短路程为：． 【变式题6-2】.（2025·广东肇庆·三模）综合与实践 【主题】自制环保笔筒 【素材】如图1，一个直径为，高的纸筒卷，一张长，宽的包装纸，一张边长为10cm的小正方形纸板，一根装饰绳子，一把剪刀，一瓶固体胶． 【实践操作】 步骤1：在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴合的纸； 步骤2：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面； 步骤3：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面； 步骤4：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如图2所示的环保笔筒． 【实践探索】 (1)求出步骤1中裁剪出的包装纸的面积；（结果保留） (2)如图3，如果想要绳子缠绕笔筒2圈，正好从A点绕到正上方的B点，求所需绳子的最短长度．（结果保留和根号） (3)有一支用过的铅笔，剩余长度是，斜放在该空笔筒中（坡度最小时），铅笔能露出外面吗？ 【答案】(1) (2) (3)该铅笔不能露出在外面 【分析】本题主要考查了圆柱的侧面展开图、勾股定理及两点之间，线段最短，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据圆柱侧面积公式求解即可； （2）画出侧面展开图，根据勾股定理及两点之间，线段最短即可求解； （3）根据勾股定理求出斜放铅管能露出外面的最短长度，然后比较即可． 【详解】（1）解：裁剪出的包装纸的面积为圆柱的侧面积：， 答：裁剪出的包装纸的面积为； （2）解：如图，点D，点E为圆柱高的中点，连接，， 为圆柱的底面周长， 为圆柱高的，即， 由勾股定理得，， 所需绳子的最短长度为． （3）解：笔筒的直径是，高是， 斜放铅笔能露出外面的最短长度是， 而，故该铅笔不能露出在外面． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）如图1，圆形旋转楼梯是以单柱为中心螺旋上升的特色楼梯，因造型美观，空间利用率高，常用于室内外设计中． (1)如图2是抽象出来的一层圆形旋转楼梯的示意图，扶手可近似看作是圆柱侧面上的一条螺旋线，其中点为扶手的两端点．图3是该螺旋线所在圆柱面的侧面展开图，请在图3中画出该扶手在展开图中的示意图； (2)在（1）的条件下，抽象出来的这一层楼层高为，扶手所在圆柱的底面半径为，求这一层圆形旋转楼梯的扶手长度．（取3） 【答案】(1) 如图3所示，线段即为所求； (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意画出对应的展开示意图是解题的关键． （1）展开图所示的长方形的一条对角线（经过点A）即为该扶手在展开图中的位置，据此作图即可； （2）利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图3所示，根据题意可得， 在中，由勾股定理得， 答：这一层圆形旋转楼梯的扶手长度为． 【题型7】生活工程类勾股定理应用 1.核心知识点:   勾股定理实际建模；生活场景几何转化；距离、高度测量计算。 2.解题方法技巧:   ①剥离生活情境，提取直角三角形核心几何模型。   ②结合实际意义检验结果，舍去不符合题意的解。 【例题7】.（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，由于大风，山坡上的树甲从点处被拦腰折断，其树顶端恰好落在树乙的根部处．已知树甲的部分主干水平线，树乙垂直水平线，经测量，树甲的根部与点的距离米，两棵树的根部距离米，两棵树的水平距离为12米，请根据以上数据，求树甲折断前的高度． 【答案】树甲折断前的高度是19米 【分析】根据勾股定理在中先求出长度，则长度可知，再在中利用勾股定理求出长度，则树甲折断前的高度为即可求解． 【详解】解：∵， ∴和是直角三角形， ∴在中，（米）， ∴（米）， ∵在中，（米）， ∴（米）． 答：树甲折断前的高度是19米． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）今年春天学校对全校小菜园重新划分，其中八年1班和八年2班分到的两块小菜地如图所示，经测量，，，，． (1)求两班的“边界线”的长； (2)主任说两块地的其他条件基本相同，由于八年1班的人数比八年2班多，所以把分给了八年1班，请你从数学的角度分析这种做法的合理性． 【答案】(1)两班的“边界线”的长为； (2)∵，，，且， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∴这种做法合理． 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理求得是直角三角形，利用三角形面积公式分别求得和，即可判断． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴两班的“边界线”的长为； （2）解：略 【变式题7-2】.（25-26八年级下·山西吕梁·期末）项目学习 项目背景：为响应山西省“全民健身”号召，解决居民“健身去哪儿”的难题，某街道对使用多年的老旧篮球场进行升级改造，重新铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．篮球场平面图为四边形，已知运动型塑胶地板每平方米150元．综合实践小组的同学围绕“场地面积测量与费用计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 场地面积测量与费用计算 驱动问题 如何计算四边形场地的面积并估算改造费用 活动内容 利用勾股定理及其逆定理进行测量与计算 活动过程 方案说明 实地测量获取数据，通过几何计算确定场地面积，计算地板费用 数据测量 如图， 计算 … 交流展示 … 【答案】购买运动型塑胶地板的费用为元 【分析】先根据已知条件求出篮球场四边形的面积，再根据勾股定理及其逆定理判断四边形的形状，再利用相应的面积公式． 【详解】解：如图，连接． ， ． ， ， 是直角三角形，且， ，， 四边形的面积为， 购买运动型塑胶地板的费用为元． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·湖南长沙·期末）某公园是人们健身散步的好去处．小明跑步的路线如图，从点到点有两条路线，分别是和．已知，点在点的正西方120米处，点在点的正北方60米处（即）． (1)求证：； (2)请通过计算比较这两条路线中，哪一条更短？ 【答案】(1)∵在中，，，， ∴ （）， （）， ∴， ∴是直角三角形，． (2)路线更短． 【分析】（1）先明确已知的三边长度，因为要证明直角，所以用勾股定理的逆定理，验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方即可． （2）先根据已知，判断是直角，因为要求的长度，所以在中用勾股定理计算．根据（1）的结论分别计算两条路线的总长度，再比较两个总长度的大小，即可得出哪条路线更短． 【详解】（1）略 （2）解：设路线的总长度为，路线的总长度为， ． ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∴路线总长度：． ∵， ∴路线更短． 【题型8】传统文化情境勾股探究 1.核心知识点:   传统数学勾股模型；数形结合思想；勾股定理灵活推导与应用。 2.解题方法技巧:   ①读懂传统文化题干，提取边长、面积等量条件。   ②转化为标准几何问题，套用勾股定理及面积法求解。 【例题8】.（25-26八年级下·全国·课后作业）在《天工开物》这部古代科学技术著作中，描述了多种工具和机械的制作与应用，其中有一种古代工匠们使用的名为“矩尺”的测量工具．如图，这种工具的形状类似于一个直角三角形，若书中所描述的“矩尺”的一条较短的直角边长为5尺，斜边比较长的直角边多1尺，则“矩尺”的较长的直角边的长是______尺． 【答案】12 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．根据勾股定理列出方程，进行计算即可． 【详解】解：设“矩尺”比较长的直角边的长为x尺，则斜边长为尺，根据勾股定理得： ， 解得：， 即“矩尺”的较长的直角边的长为12尺． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·河南郑州·期末）《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央O处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即． (1)求水池的深度． (2)数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，给出了这类问题的一般解法．其解法可表示为：如图，将水池底面边长记作2a，O为的中点，水的深度记作b，芦苇高出水面的部分记作，则水池的深度b可通过计算得到．请说明此解法的正确性． 【答案】(1)12尺 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）由水池深度，则得芦苇高度为，由题意有：；由勾股定理即可得证． 【详解】（1）设为x尺， 则，尺． 在中，， 由勾股定理，得 ． ． 解得  ． 答：水池的深度为12尺． （2）图中，，， 则，， 在中，， 由勾股定理，得． ． 解得． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·甘肃金昌·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是的中点），它高出水面1尺（尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（），则水的深度为_____． 【答案】12尺 【分析】根据题意可得芦苇长度，设水的深度为尺，然后在中运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵水面是一个边长为10尺的正方形，点是的中点， ∴尺， 设水的深度为尺， ∵尺，， ∴尺， ∵， ∴尺， ∵在中，根据勾股定理可得：， ∴，整理得：，解得：， ∴尺． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·福建漳州·期中）在《算法统宗》中，有一道“荡秋千”的问题，其大意为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，若秋千的绳索始终处于拉直状态，求绳索的长度． 【答案】绳索的长为 【详解】解：由题意知：四边形是长方形，是直角三角形， ， 又， ， 设绳索的长为， 则，， 在中，， ， 解得：， 答：绳索的长为． 【压轴素养题型】 【题型9】垂美四边形综合探究 1.核心知识点:   垂美四边形定义；勾股定理平方关系拓展；四边形边长平方规律。 2.解题方法技巧:   ①利用对角线垂直特征，拆分四个直角三角形。   ②推导对边平方和相等结论，快速解答填空、解答题型。 【例题9】.（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O． (1)若，，，，请求出，，，的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1)，，， (2)136 【分析】（1）由“垂美”四边形的定义得到，再由勾股定理即可求解； （2）由（1）可得，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是“垂美”四边形， ， ∴， ∴在中，， 在中，， 在中，， 在中，． （2）解：由（1）有，，，． ∴ ， ，， ． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·全国·周测）对角线互相垂直的四边形叫作“垂美四边形”．现有如图所示的“垂美四边形”，对角线，交于点O．若，则________． 【答案】80 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键. 证明再由勾股定理得然后证明即可解决问题. 【详解】解： 由勾股定理得：， 故答案为：80. 【变式题9-2】.（24-25八年级上·江苏泰州·期中）（1）定义：我们把对角线互相垂直的四边形称为垂美四边形．性质：垂美四边形对边的平方和相等，即，请结合图1证明这个结论． （2）如图2，长方形中，，P是边上一点，且，，求的长． （3）如图3，点E是四边形内一点，已知，，，对角线与交于O点，与交于点F，与交于点G． ①判断：四边形是不是垂美四边形？并说明理由； ②若，，，则的长为 ． 【答案】（1）证明：∵， ∴中，， 中，， 中，， 中，， ∴； （2）； （3）①是， ∵， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形， ② 【分析】本题考查三角形全等，勾股定理，能够将题干给的定义与已学知识点结合是解题关键 ． （1）根据垂直的定义和勾股定理得出，即可得出结论； （2）连接，设，则，，根据勾股定理以及垂美四边形的性质列方程即可求解． （3）①先证明，可得，再证，由此即可求解；②根据垂美四边形性质可知，先求出，进而可求出． 【详解】 （1）略 （2）连接， ∵四边形是长方形， ∴，， 设，则，， ， ∵， ∴， ∴， 化简得， 解得或 (舍) ． ∴． （3）①略 ②解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得，（舍去），， 故答案为：． 【变式题9-3】.（2025八年级上·全国·专题练习）定义：我们把对角线互相垂直的四边形称为垂美四边形． (1)如图1，长方形中，，P是边上一点，且，，求的长； (2)如图2，点E是四边形内一点，已知，，，对角线与交于O点，与交于点F，与交于点G． ①判断：四边形是不是垂美四边形？并说明理由； ②若，，，则的长为． 【答案】(1)； (2)①是，证明如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形， ②． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，能够将题干给的定义与已学知识点结合是解题关键． （1）连接，设，则，，根据勾股定理以及垂美四边形的性质列方程即可求解； （2）①先证明，可得，再证，由此即可求解；②根据垂美四边形性质可知，先求出，进而可求出． 【详解】（1）连接，如图， ∵四边形是长方形， ∴，， 设，则，， ， ∵， ∴， ∴， 同理可求：， ∴， ∴， 化简得， 解得或（舍）． ∴； （2）①略 ②解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴，解得，（舍去），， 故答案为：． 【题型10】勾股定理验证模型计算 1.核心知识点:   面积法验证勾股定理；赵爽弦图、直角梯形、达芬奇剪拼模型面积关系。 2.解题方法技巧:   ①牢牢抓住“拼接前后面积相等”核心，列面积等式化简求解。   ②区分不同模型的边长对应关系，避免公式套用混乱。 【例题10】.（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如①），可以推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在中，是边上的高，，求的值． 【答案】(1) 证明：根据题意，设， 根据题意，得，， ∴，， 根据题意，， 故 整理，得． (2)12 【分析】（1）利用直角三角形的面积，梯形的面积等于各个三角形的面积和，列式解答即可． （2）设，则，根据勾股定理，得，即，解方程即可． 本题考查了勾股定理的证明与应用，解方程，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∵， ∴ ∴ 解得， ∴． 【变式题10-1】.（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）【问题背景】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． 【探索求证】 （1）古今中外，勾股定理有很多证明方法，请你利用图3推导勾股定理； （2）如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有_____个； 【拼图发现】 （3）学习了勾股定理的证明方法后，小明同学对拼图产生了浓厚兴趣，他用四个完全相同的长为，宽为的长方形纸片拼成如图所示正方形．若大正方形的面积为32，小正方形的面积为8，求每个小长方形纸片的对角线长． 【答案】 （1）证明：在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和． 即， 化简得：； （2）3； （3）每个小长方形纸片的对角线长为． 【分析】本题考查了勾股定理、正方形、等边三角形、圆面积计算的知识； （1）根据面积法即可证明勾股定理； （2）设面积为的正方形边长为，面积为的正方形边长为，面积为的正方形边长为；根据题意得：，再分别计算正方形、半圆形和等边三角形的面积，即可完成求解； （3）根据大正方形的面积为32，小正方形的面积为8，得到，，求得，根据勾股定理得到结论． 【详解】（1）略 （2）三个图形中面积关系满足的有3个； 设直角三角形两直角边中，较短的边长为，较长的边长为，直角三角形的斜边的边长为； 根据题意得：， 如图4： ，， ∴； 如图5： ，，， ∵， ∴； 如图6： ，，， ∵， ∴； ∴三个图形中面积关系满足的有3个； 故答案为：3； （3）解：大正方形的面积为32，小正方形的面积为8， ∴，， ∴， ， 每个小长方形纸片的对角线长． 【变式题10-2】.（25-26八年级下·全国·周测）勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一．请你从以下方法中，任选一个验证： 方法一 如图①，在中，，过点作于点，延长至点，使得，于点，连接，．已知，，．请你通过计算四边形的面积验证： 方法二 将边长分别为，，的正方形、正方形、正方形拼成如图②所示的图形，点，，，共线，点，，，共线，连接．请你通过计算五边形的面积验证勾股定理 【答案】 选择方法一． 证明：由题意，得， ， ，即． ，， ， ，． ， ， ， ． 选择方法二． 证明：∵四边形是正方形， ，， ． ， ， ． ， ， ，． ， ． （任选其一即可） 【分析】方法一：先证明，进而依据判定得，，分别表示出、、、的面积，再根据、，化简即可得到，据此即可得出结论； 方法二：先证明，进而依据判定得，，然后根据五边形的面积等于正方形的面积加上正方形的面积减去的面积，再减去的面积，由此代入数据进行化简即可得到，据此即可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了勾股定理的面积法证明，组合图形的面积拆分计算，全等三角形的判定和性质，解题的关键是将四边形、五边形面积拆分为不同基本图形（正方形、三角形）的面积和，通过面积相等建立等式推导勾股定理． 【变式题10-3】.（23-24八年级上·河南平顶山·期中）阅读下列材料，并完成相应任务． 勾股定理表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲，它神秘而美妙，证法多样，勾股定理的验证过程多数采用的方法是“用两种不同的方法和含有的式子表示同一个图形的面积”，由于同一个图形的面积相等，从而得到含，的恒等式，通过化简即可完成勾股定理的验证．数学上把这种方法称之为“双求法”． 下面是利用“双求法”验证勾股定理的一种思路： 如图，将两个全等的直角三角形与如图摆放，其中．连接，过点作延长线的垂线，垂足为．容易得出：，用含的式子表示出上面四个三角形的面积，就能完成勾股定理的验证． (1)任务一：请你根据上述材料中的思路验证勾股定理； (2)任务二：请你用“双求法”解决下列问题： 如图2，中，是边上的高，若，求的长． 【答案】(1) 由， ， ∴， 化简得：； (2)． 【分析】（）利用面积和差即可求证； （）由勾股定理的应用及等面积法即可求解； 本题考查了勾股定理的证明及应用、三角形的面积等知识，理解材料信息，掌握勾股定理的证明是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）在中，由勾股定理得： ， ， ， ∴， 由， ∴． 【题型11】设备监测最优方案探究 1.核心知识点:   勾股定理实际优化应用；几何最值问题；区间取值与方案筛选。 2.解题方法技巧:   ①结合设备监测范围、旋转角度，构建直角三角形模型。   ②通过计算对比不同方案，筛选最优布局、最短耗材方案。 【例题11】.（25-26八年级下·西藏·期中）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一个台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一处海港，且点C与A、B两点的距离分别为、，，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． (1)求监测点A与监测点B之间的距离． (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：海港C不会受到台风影响，理由如下： 在中，， ， ， 解得：， ∵ ∴海港C不会受到此次台风的影响． 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用等面积法求出，再与台风受影响区域半径比较即可． 【详解】（1）解：依题意得，在中，，，， ， 答：监测点A与监测点B之间的距离为； （2）略 【变式题11-1】.（25-26八年级上·全国·单元测试）某社区计划在一条笔直的公路（记为直线l）旁新建一个公园．公园需要同时服务位于公路同侧的两个居民小区A和B．为了方便居民出行，公园选址P应满足：从小区A到公园P的距离与从小区B到公园P的距离之和最小．已知小区A和B的位置如图所示（或描述：A点在公路l上方，B点也在公路l上方，且A、B两点位于公路的同一侧）． 问题： (1)请利用轴对称的知识，在图中（或自己画图）确定公园P的位置，使最小．要求保留作图痕迹，并简要说明作图步骤． (2)证明你确定的点P确实使最小． (3)若已知A点到公路l的距离为300米，B点到公路l的距离为400米，且A、B两点在公路上的垂足C、D之间的距离米．求此时的最小值． 【答案】(1) 如图，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于一点，即为点P，此时最小； (2) 证明：取直线l上点C，连接， 点A关于直线l的对称点， ， ∵ ∴， 、、三点共线时，最短，此时与点重合， ∴点P确实使最小． (3)米 【分析】此题考查轴对称的性质，最短路径问题，三角形三边关系，两点之间线段最短，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）作点A关于直线l的对称点，连接交直线l一点，即为点P，此时最小； （2）取直线l上点C，连接，由三角形三边关系得，即可推出，点P确实使最小． （3）过点作交延长线于点E，由此得到，根据平行线间的距离处处相等得到米，米，得到米，根据勾股定理求出米，即可得到的最小值． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，过点作交延长线于点E，由（2）可知，的最小值为， ∵， ∴， ∴米，米， ∵米， ∴米， ∴米， ∴的最小值为米 【变式题11-2】.（25-26八年级上·广西贵港·期末）综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，乐乐和冬冬合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 乐乐设计的绿化地及浇灌点方案如下： 如图，，，，，在CD上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 冬冬设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作CD的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照乐乐设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离为，就可以快速确定的度数． (1)施工人员测量的是点________与点________之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为120元，求建造绿化地的费用． (3)若，，，管道铺设费用为65元/米，请比较冬冬设计的两种铺设管道方案中，哪一种方案所需的费用最少． 【答案】(1)A，C (2) (3)铺设管道所需的最少费用为910元． 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证，再计算，，最后相加，即可作答； （3）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论． 【详解】（1）解：连接， 施工人员测量的是A，C两点之间的距离， ∵，，， ∴， 即当测量A，C两点之间的距离为， ∴满足勾股逆定理得； ∴， 故答案为：A，C； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴四边形的面积， ∴建造绿化地的费用（元）； （3）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元）， 方案二：铺设管道所花的费用（元）， ∵ ∴铺设管道所需的最少费用为910元． 【变式题11-3】.（25-26八年级下·安徽池州·期中）为测量学校旗杆的高度，某学习小组设计了多种方案，请结合下面表格的信息，完成任务问题： 测量工具 含角的直角三角板、足够长的皮尺 方案一 方案二 方案三 测量方案示意图 设计方案及测量数据 在地面确定点C，并测得 小明站在距离旗杆的点D处，眼睛距离地面，视线沿着三角板的一直角边落在旗杆顶部A处，小亮沿着直线垂直移动一高为的竹竿，直到小明视线沿着三角板的另一直角边恰好落在竹竿顶部E处，此时测得竹竿距离旗杆． 如图，旗杆顶端的绳子垂落地面后还多出，将绳子斜拉直后，使得绳子底端C刚好接触地面，此时测得． (1)在方案一中，由于是________三角形，所以要确定旗杆的高度，只需测量线段________的长度． (2)请根据方案二的测量数据，并利用八年级上册的知识，求旗杆的高度． (3)请根据方案三提供的数据，计算旗杆的高度． 【答案】(1)等腰直角， (2)旗杆的高度为12米 (3)旗杆的高度为12米 【分析】（1）根据题意及等腰直角三角形的性质解答； （2）作，根据直角三角形的性质得，再证明，然后根据全等三角形的对应边相等得出答案； （3）设米，则米，根据勾股定理列出方程，求出解即可. 【详解】（1）解：要确定旗杆的高度应测量的长度； ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴. ∴要确定旗杆的高度，只需测量线段的长度； （2）解：过点C作分别交于点M，交于点N， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 由题可知，米，米，米，米， ∴米，米 ∵，， ∴， ∴米， ∴米． 故旗杆的高度为12米． （3）解：由题可知，，，， 设米，则米， 在中，， 即， 解得：， 故旗杆的高度为12米． 【题型12】勾股定理新定义探究问题 1.核心知识点:   勾股定理及逆定理；勾股数特征；基于新定义的几何阅读理解与推理。 2.解题方法技巧:   ①精准提取题目全新定义规则，转化为边长平方关系、三角形形态判定等熟悉考点。   ②严格依据定义条件分步验证，结合分类讨论排除不符情况。   ③利用勾股公式变形、方程思想求解，最后检验结果满足新定义要求。 【例题12】.（25-26八年级上·山西运城·期中）数学课上，老师给出一个新图形“整数四边形”的定义：若一个凸四边形的边长和面积均为整数，则称这样的凸四边形为整数四边形．例如，边长为整数的正方形和边长为整数的长方形都是整数四边形．一般四边形中也存在大量的整数四边形，围绕整数四边形的定义，同学们展开数学探究． (1)如图，四边形中，，，，，．博学小组认为这个四边形是一个整数四边形，请你判断这个结论是否正确，并说明理由； (2)创新小组受博学小组的启发，认为存在周长为36的整数四边形，请你画出周长为36，且只含有一个直角的两个不同的整数四边形，在所画图形中标注出各边的长度及直角，并直接写出四边形的面积． 【答案】(1)正确，理由如下 连接，过点作于点 在中 ∵ ∴三角形为等腰三角形． 又∵∴ ∴在中 ∴四边形四边为整数，面积为整数，是整数四边形． (2)72；54； 如图，面积为72． 如图：面积为54． 【分析】本题考查了学生的探究能力，对于新的定义“整数四边形”的理解与应用，同时考查了勾股定理，三角形面积计算，图形分割，本题的关键在于对新定义的理解和对面积的分割． （1）利用直角，连接，将四边形分成一个直角三角形和一个等腰三角形，利用已知数据将两个三角形面积面积计算得出面积，判断四边为整数，面积为整数，即为整数四边形． （2）根据整数四边形满足的条件去整理思路，原整数四边形周长为18，现要求为36，不妨将边长都扩大两倍进行尝试，四边分别为，验证面积，符合题意；另外一组设计也可利用常见勾股数先构造直角三角形，另外的两边可根据周长慢慢推测，组合满足面积为整数，边长为整数，周长为36的四边形． 【详解】（1）略； （2）如图①：面积求解如下： 易证： 面积求解如下： 连接，过点作于， 设 【变式题12-1】.（2026·黑龙江哈尔滨·一模）定义：两个三角形有一组公共边，并且面积相等，这两个三角形称为共底等积三角形． (1)如图1，是和的公共边，连接交于点，．求证：与是共底等积三角形； (2)如图2，方格纸中每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，点、、在格点上，点为的共底等积三角形的顶点，若点在格点上，且点不与点、、重合，请直接写出所有满足要求的线段的长． 【答案】(1) 解：过点作，过点作， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴与是共底等积三角形． (2)所有满足要求的线段的长为，，，7 【分析】（1）作两个三角形的公共边的高，证明高相等即可； （2）根据格点的特点作平行线，构造等高三角形即可，再利用勾股定理求出线段长． 【详解】（1）略 （2）解：如图： ，， ，， ． 综上所述所有满足要求的线段的长为，，，7 【变式题12-2】.（24-25八年级下·广西百色·期末）【问题背景】定义：如图，点，把线段分割成线段，，，若以线段，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． 【知识运用】 (1)已知点，把线段分割成线段，，，若，，，则点，是线段的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点，是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长． 【答案】(1) 解：点，是线段的勾股分割点．理由如下： ，， ， 以线段，，为边的三角形是一个直角三角形， 点，是线段的勾股分割点． (2)的长为12或13 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，进行判断即可； （2）设，分为斜边和为斜边两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）略 （2）设，则． 点，是线段的勾股分割点，且为直角边， ①当为斜边时，则，即 ， 解得； ②当为斜边时，则，即 ， 解得． 综上所述，的长为12或13． 【变式题12-3】.（24-25八年级下·江西景德镇·期中）春晚已经成为中国现代化发展的文化符号，成为国家交流和对外传播的品牌和名片，成为彰显中国文化软实力的代表，从而构筑中国精神，中国价值，中国力量，在2025年中央广播电视台联欢晚会中：“巳巳如意“被用作主题，与“生生不息“相结合；表达了对未来的美好期望和祝福．我们定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做“巳巳如意三角形”． (1)根据“巳巳如意三角形”的定义，可知等腰直角三角形________（“是”或“不是”）； (2)若某三角形的三边长分别为6，，8，问该三角形是不是“巳巳如意三角形”?请作出判断并写出判断依据； (3)在中，三边长分别为a，b，c，且，，若这个三角形是“巳巳如意三角形”，请你求出b的值，并说明理由． 【答案】(1)是 (2) 该三角形是“巳巳如意三角形”，理由如下： 该三角形是“已巳如意三角形”； (3) ，理由如下： 中，三边长分别为a，b，c，且，， 或或（舍去）， 当时，， 这个三角形是“巳巳如意三角形”， 此时，（负值已舍去）； 当时，、、， 这个三角形不是“已已如意三角形”； 综上所述，的值为． 【分析】本题考查了新定义，勾股定理； （1）由勾股定理得，由新定义即可求解； （2）计算，由新定义即可求解； （3）由新定义分类讨论：①当 时，②当时，③当时，即可求解； 理解新定义，能进行分类讨论是解题的关键. 【详解】（1）解：如图，在中，， ， ， ∴等腰直角三角形是“巳巳如意三角形”， 故答案为：是； （2）略 （3）略 易错点 1. 定理适用范围混淆：未判断三角形是否为直角三角形，直接套用勾股定理计算边长，非直角三角形误用公式导致解题错误。 2. 斜边直角边区分失误：计算时误将最长边当作直角边，或直角边当作斜边，公式套用颠倒，平方计算出错。 3. 勾股数概念误解：将小数、分数当作勾股数，忽略勾股数必须是正整数的核心条件。 4. 最短路径漏情况：立体图形展开求最短路径时，未枚举所有展开方式，遗漏最优路径。 5. 折叠动点漏解：折叠、动点题型未分类讨论，忽略多解情况，答案不完整。 重点 1. 勾股定理及逆定理核心应用：熟练掌握直角三角形边长计算、直角三角形判定，掌握公式灵活变形。 2. 面积法验证勾股定理：掌握各类经典拼图模型的推导思路，理解数形结合核心思想。 3. 折叠、网格基础综合题型：熟练运用方程思想解决勾股折叠问题，掌握网格线段求解方法。 4. 立体最短路径求解：掌握立体图形平面展开方法，精准求解表面最短距离。 难点 1. 平方和差整体运算：无需求解边长，通过平方等量代换整体计算线段平方和、差，思维难度较高。 2. 动点多解分类讨论：动点位置变化引发直角三角形形态改变，需全面分类、严谨列式求解。 3. 新型情境建模：跨学科、传统文化、工程优化等创新题型，剥离情境、转化几何模型难度大。 4.几何模型综合推理：勾股定理与垂美四边形、角平分线、折叠结合的综合探究题，逻辑推理复杂。 【对应练习题】 一、单选题 1．五个正方形和两个直角三角形按如图所示的方式排列，三个正方形内的数3、8和22表示它们的面积，问含有问号的那个正方形的面积是多少？（     ） A．12 B．14 C．15 D．17 【答案】D 【分析】如图，先根据正方形面积公式和勾股定理求出，则，然后根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意，得，，，，，， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴含有问号的那个正方形的面积是17． 2．下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】勾股数需满足两个条件：三个数均为正整数，两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此验证各选项即可． 【详解】解：A选项，∵，，， ∴不是勾股数，不符合题意； B选项，∵，，， ∴不是勾股数，不符合题意； C选项，∵，且三个数均为正整数， ∴是勾股数，符合题意； D选项，∵，，， ∴不是勾股数，不符合题意． 3．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（     ） A．2，3，4 B．3，3，6 C．6，8，10 D．5，7，9 【答案】C 【分析】验证每组数中两较短边的平方和是否等于最长边的平方，判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A选项，∵，∴不能构成直角三角形； B选项，∵，∴不能构成三角形，∴不能构成直角三角形； C选项，∵，∴能构成直角三角形； D选项，∵，∴不能构成直角三角形． 二、填空题 4．如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，若，，，则的周长为_________． 【答案】 7 【分析】利用勾股定理求出 的长，根据折叠的性质得到 ，从而将 的周长转化为 求解． 【详解】 解：∵，，， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴的周长 ． 5．如图，圆柱形杯子的高为，底面周长为，在杯内壁（杯子的厚度忽略不计）离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为_____________．（假设蜂蜜不会下滑） 【答案】 20 【分析】将圆柱侧面展开为矩形，作点关于杯口上沿的对称点，连接即为最短路径，确定直角三角形的两条直角边长，利用勾股定理求解； 【详解】解：如图，将圆柱侧面展开，作点关于杯口上沿的对称点，连接， 由对称性可得， ， 线段的长即为蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离， 由题意得，，，， ， 在中，由勾股定理得． 6．教学楼的南偏东方向，距离教学楼P，90米有食堂A，它沿北偏东方向走120米到达操场B，此时操场B与教学楼P的距离为_______米． 【答案】150 【分析】如图，过点作交于，利用平行线的性质以及方位角说明，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作交于， 根据题意得，， 米，米， ， 在中，根据勾股定理得， （米），即此时与教学楼的距离为150米． 三、解答题 7．我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上，两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)海港受台风影响吗？为什么？ 【答案】(1)证明：，，， ． 是直角三角形，即； (2)解：海港受台风影响，理由如下 如图，过点作于， ， ， ， 海港受台风影响． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形； （2）过点作于，再利用三角形面积得出的长，结合题意，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 8．如图，某景区内有一个露营区，湖边上原有两个观景台和，为了方便游客观赏，现计划在湖边新建一个观景台（点、、在同一直线上），连接、、，测得，，，，求观景台与观景台之间的距离．（露营区和观景台的大小均忽略不计）    【答案】观景台与观景台之间的距离为 【分析】先根据勾股定理的逆定理证明，再用勾股定理解即可． 【详解】解：在中，，，， ， ，                             ， ∴在中，由勾股定理，得． 答：观景台与观景台之间的距离为． 9．如图，在中，，以为边在的同侧作，已知，，，，求阴影部分的面积． 【答案】26 【分析】利用勾股定理及其逆定理，结合直角三角形的面积，运用分割法求解即可； 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得：， 在中，， ， ， ， ． 10．阅读理解：美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长之间的一个重要结论：． (1)如图1，已知：．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：四个直角三角形全等，且， 正方形的边长为　　　　　， ，且（等面积法）， 　　　　　+　　　　　 ． (2)如图2，四边形是直角梯形，，其中．求证：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，求这个风车图案的面积． 【答案】(1)、、 (2) 证明：∵， ∴， ， ∴， 又∵，， ∴； (3)97 【分析】（1）依据题意得，再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）先根据角度关系，证出，随后根据“”证明即可； （3）根据题意，先得出，设，则，根据勾股定理得，代入求出的值，最终可求出风车图案的面积． 【详解】（1）证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为， ∵，且（等面积法）， ∴， ∴； （2）略 （3）解：解：由题意，如下图： ∵外围轮廓的总长度为， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 将，代入可得， ， 解得， ∴小正方形的边长为， ∴风车的面积为：． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 勾股定理 知识点1：勾股定理   1. 定理内容：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。若直角三角形两直角边长为，斜边长为，则公式为。其中短直角边为“勾”，长直角边为“股”，斜边为“弦”。   2. 公式变形：可灵活变形求任意边长，、，适用于已知直角三角形两边求第三边。   3. 适用范围：仅适用于直角三角形，非直角三角形不能直接使用勾股定理计算边长。 知识点2：勾股定理的验证   1. 核心思想：数形结合、面积法（算两次），通过拼接图形，用两种不同方式表示同一图形面积，化简推导勾股定理。   2. 常见验证模型 验证模型 图形特征 核心推导思路 赵爽弦图 四个全等直角三角形拼接成大正方形，内部含小正方形 大正方形面积=4个直角三角形面积+小正方形面积，化简得定理 直角梯形模型 三个直角三角形拼接为直角梯形 梯形总面积=三个直角三角形面积和，恒等变形推导公式 达芬奇剪拼模型 纸片裁剪翻转拼接，空白面积恒定 拼接前后空白面积相等，消去公共项验证定理 知识点3：勾股定理的逆定理（直角三角形判定）   1. 定理内容：若三角形三边长满足，则这个三角形为直角三角形，且对应的角为直角。   2. 判定步骤：先确定三边中最长边，再验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方，等式成立即为直角三角形。   3. 拓展判定：若，三角形为锐角三角形；若，三角形为钝角三角形（为最长边）。 知识点4：勾股数   1. 定义：满足的三个正整数，称为一组勾股数。   2. 核心特征：均为正整数、符合平方和公式；一组勾股数的正整数倍仍是勾股数。   3. 常见勾股数与规律：基础勾股数（3,4,5）、（5,12,13）、（7,24,25）；通用规律：。 知识点5：勾股定理的实际应用   1. 平面几何应用：求直角三角形边长、线段平方和（差）、图形面积、网格线段长度。   2. 立体几何应用：长方体、台阶、圆柱侧面展开，求解表面最短路径。   3. 生活跨学科应用：测量高度、距离、管道改造、光学折射、建筑工程、设备监测等实际场景建模计算。 【基础必考题型】 【题型1】勾股定理基础边长计算 1.核心知识点:   勾股定理原始公式及变形公式；直角三角形边长对应关系，区分直角边与斜边。 2.解题方法技巧:   ①审题明确已知边为直角边或斜边，精准套用对应公式计算未知边长。   ②计算结果取正数，边长为正值，避免出现负根错误。 【例题1】.（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）一直角三角形的斜边长比其中一直角边长3，另一直角边长为9，则斜边长为（    ） A．10 B．12 C．15 D．18 【变式题1-1】.（26-27八年级上·四川达州·开学考试）已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．则________ 【变式题1-2】.（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，，求的长． 【变式题1-3】.（26-27八年级上·全国·课后作业）在中，，，，求的长． 【题型2】勾股定理逆定理判定直角三角形 1.核心知识点:   勾股定理逆定理；三角形锐角、钝角、直角分类判定方法。 2.解题方法技巧:   ①先排序确定最长边，再验证平方和关系，简化判定步骤。   ②可结合角度条件辅助验证，双重保障判定结果准确。 【例题2】.（25-26八年级下·广西南宁·期末）以下列长度的三条线段为边能组成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式题2-1】.（25-26八年级下·广东江门·期末）以下列各组数为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式题2-2】.（25-26八年级下·北京密云·期末）的三边长分别为，，，由下列条件能判断为直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式题2-3】.（25-26八年级下·吉林·期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)画线段且使，连接； (2)的长为____________； (3)为______三角形； (4)根据所画的图形，可以求出四边形的面积为______（平方单位）． 【题型3】勾股数识别与规律应用 1.核心知识点:   勾股数定义与核心特征；勾股数倍数规律、通用通项公式。 2.解题方法技巧:   ①优先判断是否为正整数，非正整数直接排除，再验证平方和关系。   ②熟记基础勾股数，利用倍数规律快速推导衍生勾股数组。 【例题3】.（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式题3-1】.（25-26八年级下·安徽六安·期中）（1）我们把能够成为直角三角形三条边的三个正整数，，称为勾股数．若5，13，是一组勾股数，则_____； （2）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中． 6 8 10 12 14 … 8 15 24 35 48 … 10 17 26 37 50 … 则当时，的值为_____． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2027次后形成的图形中所有正方形的面积和是_______． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·河南平顶山·期中）《周髀算经》是我国现存最早的数学典籍，书中对勾股定理和勾股数有过一定的描述（满足的三个正整数，称为勾股数）．请观察下面表格中的勾股数，并利用规律解决以下问题： a b c … … … (1)观察猜想：当时， ______， ______； (2)初探规律：当时， ______（n为正整数）； (3)归纳证明：用含n的等式归纳出这些勾股数之间的规律（n为正整数），并解释结论的合理性． 【题型4】勾股树图形面积探究 1.核心知识点:   勾股定理面积本质；正方形面积与边长平方的关系；图形迭代规律。 2.解题方法技巧:   ①利用“直角三角形两直角边正方形面积和=斜边正方形面积”推导。   ②归纳迭代规律，快速求解多次生长后的总面积。 【例题4】.（25-26八年级下·山西朔州·期末）你可能去过森林公园，看到过许许多多千姿百态的植物．可是你是否见过如图所示的树呢？它是数学家毕达哥拉斯画出的一个可以无限重复的树形图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．下列古代数学成就中，与“毕达哥拉斯树”有关的是（     ） A．天元术 B．正负术 C．勾股定理 D．杨辉三角 【变式题4-1】.（25-26八年级下·四川绵阳·期末）如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积为（     ） A．40 B．45 C．47 D．50 【变式题4-2】.（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）如图，正方形的边，向外作，，，以，，，为边向外作正方形，面积分别为6，2，，11，则的值为_______． 【变式题4-3】.（2026·西藏山南·二模）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中图（1）是正方形，图（2）是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到图（3），…，则图（6）中共有________个正方形． 【培优高频题型】 【题型5】勾股定理折叠综合计算 1.核心知识点:   折叠全等性质；对应边、对应角相等；勾股定理方程思想。 2.解题方法技巧:   ①设未知线段长为，利用折叠性质转化等线段。   ②在直角三角形中列勾股方程，解方程求解未知边长。 【例题5】.（2026·吉林长春·一模）如图，三角形纸片中，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是__________． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在三角形纸片中，，，． （1）如图，在中，斜边长为_____． （2）如图，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是_____． 【变式题5-2】.（26-27八年级上·浙江金华·开学考试）如图，的三边分别为，将沿折叠，使落在上，折痕的长为___________． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·广东佛山·阶段检测）如图，是一张纸片，，，，先将其折叠，使点与点重合，折痕是， (1)求的长； (2)求重叠部分的面积． 【题型6】立体图形最短路径求解 1.核心知识点:   立体图形侧面展开；两点之间线段最短；勾股定理空间应用。 2.解题方法技巧:   ①将长方体、圆柱、台阶等立体图形展开为平面图形。   ②构造直角三角形，用勾股定理计算线段长度，即为最短路径。 【例题6】.（25-26八年级下·重庆潼南·期末）如图是放在水平地面上的一个长方体盒子，其中，点是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点爬到点，则爬行的最短路程为（     ） A． B． C． D． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·新疆吐鲁番·期末）如图，在一张矩形纸板上放着一根长方体木块．已知，，该木块的长与平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达点需要爬行的最短路程是________． 【变式题6-2】.（2025·广东肇庆·三模）综合与实践 【主题】自制环保笔筒 【素材】如图1，一个直径为，高的纸筒卷，一张长，宽的包装纸，一张边长为10cm的小正方形纸板，一根装饰绳子，一把剪刀，一瓶固体胶． 【实践操作】 步骤1：在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴合的纸； 步骤2：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面； 步骤3：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面； 步骤4：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如图2所示的环保笔筒． 【实践探索】 (1)求出步骤1中裁剪出的包装纸的面积；（结果保留） (2)如图3，如果想要绳子缠绕笔筒2圈，正好从A点绕到正上方的B点，求所需绳子的最短长度．（结果保留和根号） (3)有一支用过的铅笔，剩余长度是，斜放在该空笔筒中（坡度最小时），铅笔能露出外面吗？ 【变式题6-3】.（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）如图1，圆形旋转楼梯是以单柱为中心螺旋上升的特色楼梯，因造型美观，空间利用率高，常用于室内外设计中． (1)如图2是抽象出来的一层圆形旋转楼梯的示意图，扶手可近似看作是圆柱侧面上的一条螺旋线，其中点为扶手的两端点．图3是该螺旋线所在圆柱面的侧面展开图，请在图3中画出该扶手在展开图中的示意图； (2)在（1）的条件下，抽象出来的这一层楼层高为，扶手所在圆柱的底面半径为，求这一层圆形旋转楼梯的扶手长度．（取3） 【题型7】生活工程类勾股定理应用 1.核心知识点:   勾股定理实际建模；生活场景几何转化；距离、高度测量计算。 2.解题方法技巧:   ①剥离生活情境，提取直角三角形核心几何模型。   ②结合实际意义检验结果，舍去不符合题意的解。 【例题7】.（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，由于大风，山坡上的树甲从点处被拦腰折断，其树顶端恰好落在树乙的根部处．已知树甲的部分主干水平线，树乙垂直水平线，经测量，树甲的根部与点的距离米，两棵树的根部距离米，两棵树的水平距离为12米，请根据以上数据，求树甲折断前的高度． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）今年春天学校对全校小菜园重新划分，其中八年1班和八年2班分到的两块小菜地如图所示，经测量，，，，． (1)求两班的“边界线”的长； (2)主任说两块地的其他条件基本相同，由于八年1班的人数比八年2班多，所以把分给了八年1班，请你从数学的角度分析这种做法的合理性． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·山西吕梁·期末）项目学习 项目背景：为响应山西省“全民健身”号召，解决居民“健身去哪儿”的难题，某街道对使用多年的老旧篮球场进行升级改造，重新铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．篮球场平面图为四边形，已知运动型塑胶地板每平方米150元．综合实践小组的同学围绕“场地面积测量与费用计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 场地面积测量与费用计算 驱动问题 如何计算四边形场地的面积并估算改造费用 活动内容 利用勾股定理及其逆定理进行测量与计算 活动过程 方案说明 实地测量获取数据，通过几何计算确定场地面积，计算地板费用 数据测量 如图， 计算 … 交流展示 … 【变式题7-3】.（25-26八年级下·湖南长沙·期末）某公园是人们健身散步的好去处．小明跑步的路线如图，从点到点有两条路线，分别是和．已知，点在点的正西方120米处，点在点的正北方60米处（即）． (1)求证：； (2)请通过计算比较这两条路线中，哪一条更短？ 【题型8】传统文化情境勾股探究 1.核心知识点:   传统数学勾股模型；数形结合思想；勾股定理灵活推导与应用。 2.解题方法技巧:   ①读懂传统文化题干，提取边长、面积等量条件。   ②转化为标准几何问题，套用勾股定理及面积法求解。 【例题8】.（25-26八年级下·全国·课后作业）在《天工开物》这部古代科学技术著作中，描述了多种工具和机械的制作与应用，其中有一种古代工匠们使用的名为“矩尺”的测量工具．如图，这种工具的形状类似于一个直角三角形，若书中所描述的“矩尺”的一条较短的直角边长为5尺，斜边比较长的直角边多1尺，则“矩尺”的较长的直角边的长是______尺． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·河南郑州·期末）《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央O处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即． (1)求水池的深度． (2)数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，给出了这类问题的一般解法．其解法可表示为：如图，将水池底面边长记作2a，O为的中点，水的深度记作b，芦苇高出水面的部分记作，则水池的深度b可通过计算得到．请说明此解法的正确性． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·甘肃金昌·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是的中点），它高出水面1尺（尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（），则水的深度为_____． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·福建漳州·期中）在《算法统宗》中，有一道“荡秋千”的问题，其大意为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，若秋千的绳索始终处于拉直状态，求绳索的长度． 【压轴素养题型】 【题型9】垂美四边形综合探究 1.核心知识点:   垂美四边形定义；勾股定理平方关系拓展；四边形边长平方规律。 2.解题方法技巧:   ①利用对角线垂直特征，拆分四个直角三角形。   ②推导对边平方和相等结论，快速解答填空、解答题型。 【例题9】.（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O． (1)若，，，，请求出，，，的值； (2)若，，求的值． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·全国·周测）对角线互相垂直的四边形叫作“垂美四边形”．现有如图所示的“垂美四边形”，对角线，交于点O．若，则________． 【变式题9-2】.（24-25八年级上·江苏泰州·期中）（1）定义：我们把对角线互相垂直的四边形称为垂美四边形．性质：垂美四边形对边的平方和相等，即，请结合图1证明这个结论． （2）如图2，长方形中，，P是边上一点，且，，求的长． （3）如图3，点E是四边形内一点，已知，，，对角线与交于O点，与交于点F，与交于点G． ①判断：四边形是不是垂美四边形？并说明理由； ②若，，，则的长为 ． ∵四边形是长方形， ∴，， 设，则，， ， ∵， ∴， ∴， 化简得， 解得或 (舍) ． ∴． 【变式题9-3】.（2025八年级上·全国·专题练习）定义：我们把对角线互相垂直的四边形称为垂美四边形． (1)如图1，长方形中，，P是边上一点，且，，求的长； (2)如图2，点E是四边形内一点，已知，，，对角线与交于O点，与交于点F，与交于点G． ①判断：四边形是不是垂美四边形？并说明理由； ②若，，，则的长为． 【题型10】勾股定理验证模型计算 1.核心知识点:   面积法验证勾股定理；赵爽弦图、直角梯形、达芬奇剪拼模型面积关系。 2.解题方法技巧:   ①牢牢抓住“拼接前后面积相等”核心，列面积等式化简求解。   ②区分不同模型的边长对应关系，避免公式套用混乱。 【例题10】.（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如①），可以推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在中，是边上的高，，求的值． 【变式题10-1】.（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）【问题背景】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． 【探索求证】 （1）古今中外，勾股定理有很多证明方法，请你利用图3推导勾股定理； （2）如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有_____个； 【拼图发现】 （3）学习了勾股定理的证明方法后，小明同学对拼图产生了浓厚兴趣，他用四个完全相同的长为，宽为的长方形纸片拼成如图所示正方形．若大正方形的面积为32，小正方形的面积为8，求每个小长方形纸片的对角线长． 【变式题10-2】.（25-26八年级下·全国·周测）勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一．请你从以下方法中，任选一个验证： 方法一 如图①，在中，，过点作于点，延长至点，使得，于点，连接，．已知，，．请你通过计算四边形的面积验证： 方法二 将边长分别为，，的正方形、正方形、正方形拼成如图②所示的图形，点，，，共线，点，，，共线，连接．请你通过计算五边形的面积验证勾股定理 【变式题10-3】.（23-24八年级上·河南平顶山·期中）阅读下列材料，并完成相应任务． 勾股定理表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲，它神秘而美妙，证法多样，勾股定理的验证过程多数采用的方法是“用两种不同的方法和含有的式子表示同一个图形的面积”，由于同一个图形的面积相等，从而得到含，的恒等式，通过化简即可完成勾股定理的验证．数学上把这种方法称之为“双求法”． 下面是利用“双求法”验证勾股定理的一种思路： 如图，将两个全等的直角三角形与如图摆放，其中．连接，过点作延长线的垂线，垂足为．容易得出：，用含的式子表示出上面四个三角形的面积，就能完成勾股定理的验证． (1)任务一：请你根据上述材料中的思路验证勾股定理； (2)任务二：请你用“双求法”解决下列问题： 如图2，中，是边上的高，若，求的长． 【题型11】设备监测最优方案探究 1.核心知识点:   勾股定理实际优化应用；几何最值问题；区间取值与方案筛选。 2.解题方法技巧:   ①结合设备监测范围、旋转角度，构建直角三角形模型。   ②通过计算对比不同方案，筛选最优布局、最短耗材方案。 【例题11】.（25-26八年级下·西藏·期中）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一个台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一处海港，且点C与A、B两点的距离分别为、，，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． (1)求监测点A与监测点B之间的距离． (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由． 【变式题11-1】.（25-26八年级上·全国·单元测试）某社区计划在一条笔直的公路（记为直线l）旁新建一个公园．公园需要同时服务位于公路同侧的两个居民小区A和B．为了方便居民出行，公园选址P应满足：从小区A到公园P的距离与从小区B到公园P的距离之和最小．已知小区A和B的位置如图所示（或描述：A点在公路l上方，B点也在公路l上方，且A、B两点位于公路的同一侧）． 问题： (1)请利用轴对称的知识，在图中（或自己画图）确定公园P的位置，使最小．要求保留作图痕迹，并简要说明作图步骤． (2)证明你确定的点P确实使最小． (3)若已知A点到公路l的距离为300米，B点到公路l的距离为400米，且A、B两点在公路上的垂足C、D之间的距离米．求此时的最小值． 【变式题11-2】.（25-26八年级上·广西贵港·期末）综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，乐乐和冬冬合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 乐乐设计的绿化地及浇灌点方案如下： 如图，，，，，在CD上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 冬冬设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作CD的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照乐乐设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离为，就可以快速确定的度数． (1)施工人员测量的是点________与点________之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为120元，求建造绿化地的费用． (3)若，，，管道铺设费用为65元/米，请比较冬冬设计的两种铺设管道方案中，哪一种方案所需的费用最少． 【变式题11-3】.（25-26八年级下·安徽池州·期中）为测量学校旗杆的高度，某学习小组设计了多种方案，请结合下面表格的信息，完成任务问题： 测量工具 含角的直角三角板、足够长的皮尺 方案一 方案二 方案三 测量方案示意图 设计方案及测量数据 在地面确定点C，并测得 小明站在距离旗杆的点D处，眼睛距离地面，视线沿着三角板的一直角边落在旗杆顶部A处，小亮沿着直线垂直移动一高为的竹竿，直到小明视线沿着三角板的另一直角边恰好落在竹竿顶部E处，此时测得竹竿距离旗杆． 如图，旗杆顶端的绳子垂落地面后还多出，将绳子斜拉直后，使得绳子底端C刚好接触地面，此时测得． (1)在方案一中，由于是________三角形，所以要确定旗杆的高度，只需测量线段________的长度． (2)请根据方案二的测量数据，并利用八年级上册的知识，求旗杆的高度． (3)请根据方案三提供的数据，计算旗杆的高度． 【题型12】勾股定理新定义探究问题 1.核心知识点:   勾股定理及逆定理；勾股数特征；基于新定义的几何阅读理解与推理。 2.解题方法技巧:   ①精准提取题目全新定义规则，转化为边长平方关系、三角形形态判定等熟悉考点。   ②严格依据定义条件分步验证，结合分类讨论排除不符情况。   ③利用勾股公式变形、方程思想求解，最后检验结果满足新定义要求。 【例题12】.（25-26八年级上·山西运城·期中）数学课上，老师给出一个新图形“整数四边形”的定义：若一个凸四边形的边长和面积均为整数，则称这样的凸四边形为整数四边形．例如，边长为整数的正方形和边长为整数的长方形都是整数四边形．一般四边形中也存在大量的整数四边形，围绕整数四边形的定义，同学们展开数学探究． (1)如图，四边形中，，，，，．博学小组认为这个四边形是一个整数四边形，请你判断这个结论是否正确，并说明理由； (2)创新小组受博学小组的启发，认为存在周长为36的整数四边形，请你画出周长为36，且只含有一个直角的两个不同的整数四边形，在所画图形中标注出各边的长度及直角，并直接写出四边形的面积． 【变式题12-1】.（2026·黑龙江哈尔滨·一模）定义：两个三角形有一组公共边，并且面积相等，这两个三角形称为共底等积三角形． (1)如图1，是和的公共边，连接交于点，．求证：与是共底等积三角形； (2)如图2，方格纸中每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，点、、在格点上，点为的共底等积三角形的顶点，若点在格点上，且点不与点、、重合，请直接写出所有满足要求的线段的长． 【变式题12-2】.（24-25八年级下·广西百色·期末）【问题背景】定义：如图，点，把线段分割成线段，，，若以线段，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． 【知识运用】 (1)已知点，把线段分割成线段，，，若，，，则点，是线段的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点，是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长． 【变式题12-3】.（24-25八年级下·江西景德镇·期中）春晚已经成为中国现代化发展的文化符号，成为国家交流和对外传播的品牌和名片，成为彰显中国文化软实力的代表，从而构筑中国精神，中国价值，中国力量，在2025年中央广播电视台联欢晚会中：“巳巳如意“被用作主题，与“生生不息“相结合；表达了对未来的美好期望和祝福．我们定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做“巳巳如意三角形”． (1)根据“巳巳如意三角形”的定义，可知等腰直角三角形________（“是”或“不是”）； (2)若某三角形的三边长分别为6，，8，问该三角形是不是“巳巳如意三角形”?请作出判断并写出判断依据； (3)在中，三边长分别为a，b，c，且，，若这个三角形是“巳巳如意三角形”，请你求出b的值，并说明理由． 易错点 1. 定理适用范围混淆：未判断三角形是否为直角三角形，直接套用勾股定理计算边长，非直角三角形误用公式导致解题错误。 2. 斜边直角边区分失误：计算时误将最长边当作直角边，或直角边当作斜边，公式套用颠倒，平方计算出错。 3. 勾股数概念误解：将小数、分数当作勾股数，忽略勾股数必须是正整数的核心条件。 4. 最短路径漏情况：立体图形展开求最短路径时，未枚举所有展开方式，遗漏最优路径。 5. 折叠动点漏解：折叠、动点题型未分类讨论，忽略多解情况，答案不完整。 重点 1. 勾股定理及逆定理核心应用：熟练掌握直角三角形边长计算、直角三角形判定，掌握公式灵活变形。 2. 面积法验证勾股定理：掌握各类经典拼图模型的推导思路，理解数形结合核心思想。 3. 折叠、网格基础综合题型：熟练运用方程思想解决勾股折叠问题，掌握网格线段求解方法。 4. 立体最短路径求解：掌握立体图形平面展开方法，精准求解表面最短距离。 难点 1. 平方和差整体运算：无需求解边长，通过平方等量代换整体计算线段平方和、差，思维难度较高。 2. 动点多解分类讨论：动点位置变化引发直角三角形形态改变，需全面分类、严谨列式求解。 3. 新型情境建模：跨学科、传统文化、工程优化等创新题型，剥离情境、转化几何模型难度大。 4.几何模型综合推理：勾股定理与垂美四边形、角平分线、折叠结合的综合探究题，逻辑推理复杂。 【对应练习题】 一、单选题 1．五个正方形和两个直角三角形按如图所示的方式排列，三个正方形内的数3、8和22表示它们的面积，问含有问号的那个正方形的面积是多少？（     ） A．12 B．14 C．15 D．17 2．下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（     ） A．2，3，4 B．3，3，6 C．6，8，10 D．5，7，9 二、填空题 4．如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，若，，，则的周长为_________． 5．如图，圆柱形杯子的高为，底面周长为，在杯内壁（杯子的厚度忽略不计）离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为_____________．（假设蜂蜜不会下滑） 6．教学楼的南偏东方向，距离教学楼P，90米有食堂A，它沿北偏东方向走120米到达操场B，此时操场B与教学楼P的距离为_______米． 三、解答题 7．我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上，两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)海港受台风影响吗？为什么？ 8．如图，某景区内有一个露营区，湖边上原有两个观景台和，为了方便游客观赏，现计划在湖边新建一个观景台（点、、在同一直线上），连接、、，测得，，，，求观景台与观景台之间的距离．（露营区和观景台的大小均忽略不计）    9．如图，在中，，以为边在的同侧作，已知，，，，求阴影部分的面积． 10．阅读理解：美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长之间的一个重要结论：． (1)如图1，已知：．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：四个直角三角形全等，且， 正方形的边长为　　　　　， ，且（等面积法）， 　　　　　+　　　　　 ． (2)如图2，四边形是直角梯形，，其中．求证：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，求这个风车图案的面积． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $