专题04 勾股定理 常考几何模型专训（含将军饮马问题）（7大题型+15道拓展培优题） 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学讲义围绕勾股定理常考几何模型，通过7大题型框架图系统构建知识体系，涵盖圆柱与长方体最短路径、将军饮马、翻折、旋转等模型，清晰呈现各模型的转化方法与内在联系，突出空间转化、对称性质等重难点。 讲义亮点在于“模型专项+分层练习”设计，如圆柱最短路径模型通过展开侧面转化为平面问题，培养几何直观与空间观念，将军饮马问题结合对称思想提升推理能力。经典例题与拓展培优题分层设置，基础学生可掌握模型应用，优秀学生能深化思维，助力教师实施精准分层教学。

专题04 勾股定理常考几何模型专训（含将军饮马问题）（7大题型+15道拓展培优题） 题型一 圆柱中的最短路径模型 题型二 长方体中的最短路径模型 题型三 将军饮马型最短路径问题 题型四 勾股定理中的翻折模型（三角形） 题型五 勾股定理中的翻折模型（长方形） 题型六 勾股定理中的线段的平方和模型 题型七 勾股定理中的旋转模型 【经典例题一 圆柱中的最短路径模型】 1．（25-26八年级上·内蒙古包头·自主招生）圆柱的高为，底面半径为，点B离地面，一只蜘蛛以的速度从底面上的点A处绕曲面到达点B捕食被网到的昆虫，蜘蛛到昆虫所在点B所用最短时间是多少？（π取3）    2．（25-26八年级下·四川德阳·阶段检测）如图，圆柱高为，底面周长为，蚂蚁在圆柱表面爬行，求从点爬到点的最短路程．（作出展开图再求） 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成长方体去掉一个“半圆柱”，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点E在上，．一名滑板爱好者从点A滑到点E，求他滑行的最短距离（边缘部分的厚度忽略不计） 4．（25-26八年级下·河南安阳·阶段检测）如图①，一个圆柱的底面周长为，高为，用一根绳子从点A出发绕侧面一周到点B，则绳长至少为多少？ 解：圆柱①的侧面沿剪开，展开图如图②所示． 在中，______，______，_______，则运用“________”可求_______． 由“_______”可知，绳子的最短长度就是线段______的长，即绳长至少为________． 5．（25-26八年级下·山东滨州·期末）勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法很多，如图1是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对图形的切割、拼接，巧妙的利用面积关系证明了勾股定理． (1)定理证明：图1是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（阴影）．如果直角三角形较小的直角边长为a，较大的直角边长为b，斜边长为c，请你根据图1证明勾股定理； (2)问题解决：如图2，圆柱的高为，底面半径为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路径是多少厘米？（结果可保留） 6．（25-26八年级上·江西九江·阶段检测）课本再现 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？     方法探究 （1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是______． 方法应用 （2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．求彩条的最短长度． （3）如图4，圆柱形玻璃杯底面周长为，高为，杯底厚．在玻璃杯外壁距杯口的点A处有一只蚂蚁，蚂蚁相对面的内壁底部B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路径长．（玻璃杯的壁厚忽略不计） 【经典例题二 长方体中的最短路径模型】 7．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）如图，长方体木箱，一只蚂蚁在A处想吃到E处的食物，沿外表面爬过去，求最短路径的长． 8．（25-26八年级上·江西鹰潭·阶段检测）如图，有一个长方体盒子，它的长和宽都是，高是． (1)小明在长方体盒子里插入一根细木棒，细木棒经过，两点，求该长方体盒子中放入细木棒（）的长度； (2)在长方体盒子外表面的点处有一只蚂蚁，若它想吃到点处的食物，那么它沿盒子表面爬行的最短路程是多少？ 9．（24-25八年级上·辽宁沈阳·单元测试）有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高，水深，在水面线上紧贴内壁处有一粒食物，且，一只小虫想从水缸外的处沿水缸壁爬到水缸内的处吃掉食物． (1)小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的路程最短？请你画出最短路线，并用箭头标注． (2)求小虫爬行的最短路程长（不计缸壁厚度）． 作点关于所在直线的对称点， 连接，与交于点， 则为最短路线； 10．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角处． (1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能途径； (2)当，求蚂蚁爬过的最短路径的长． 11．（24-25八年级下·河北邢台·期中）如图1，在棱长为的立方体纸盒的顶点处有一只蚂蚁，在另一顶点处有一粒糖． (1)现甲、乙、丙三人分别为这只蚂蚁设计了一条爬行路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行到点处，如图所示．请通过计算分析，甲、乙、丙中谁设计的爬行路线最长？谁设计的爬行路线最短？ (2)将题干中的立方体纸盒改为长、宽、高分别为，，的长方体纸盒（如图3），其他条件不变，试通过分析求蚂蚁经过的最短路程． 12．（24-25八年级上·山西太原·阶段检测）综合与实践 问题情境： “转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．例如，如图1，一个正方体的棱长为1，有一只蚂蚁从点出发，沿着正方体的表面爬行到点．沿怎样的路线爬行路程最短？要解决这个问题，我们可以把正方体展开（如图2，图3，图4），把空间两个面上的两点，之间的最短路径问题转化为同一个面上两点之间的距离问题．根据“两点之间，线段最短”，可知蚂蚁沿线段爬行的路程最短，利用勾股定理易证最短路程为．    问题解决： (1)如图5，一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为、、，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的表面爬到盒顶的点，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？ (2)如图6，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点在棱上，．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是多少？ 【经典例题三 将军饮马型最短路径问题】 13．（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在一条笔直的马路同侧有，两个小区，小区到马路的垂直距离为千米，小区到马路的垂直距离为千米，的长度为千米． (1)求，小区之间的距离； (2)现要在线段上修建一个车站，使得车站到，两小区的距离相等，此时车站应修建在离点多远处？ 14．（25-26八年级下·广西河池·阶段检测）在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点A、，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，测得米，米，米． (1)问是否为从村庄到河边最近的路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 15．（25-26八年级上·河北承德·期末）如图，小明家在一条东西走向的公路北侧米的点处，小红家位于小明家北米（米）、东米（米）点处． （1）求小明家离小红家的距离； （2）现要在公路上的点处建一个快递驿站，使最小，请确定点的位置，并求的最小值． 16．（25-26八年级下·湖北咸宁·期中）如图甲，笔直的公路上，两点相距20，，为两村庄，于点，于点，已知，，现在计划在公路的段上建一个土特产品收购站． (1)若规划，两村到收购站的距离相等，则收购站应建在离点多远处？ (2)若规划，两村到收购站的距离的和最短，请在图乙中通过作图画出收购站的位置，计算得到距离的和最短值为 ． 17．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，小彭同学每天乘坐地铁上学，他观察发现，地铁D出口和学校O在南北方向的街道的同一边，相距80米，地铁A出口在学校的正东方向60米处，地铁B出口离D出口100米，离A出口米． (1)求的度数； (2)地铁B出口离学校O的距离为_________米． 18．（25-26八年级上·山东青岛·期中） “三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，现在要在公路上建一个土特产品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等． (1)求市场E应建在距A多少千米处？ (2)此时的形状是 三角形，请直接写出答案，无需证明． 【经典例题四 勾股定理中的翻折模型（三角形）】 19．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，将长方形沿折叠，使落在的位置，且与相交于点F． (1)求证：； (2)若，，求． 20．（25-26八年级上·广东梅州·阶段检测）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使恰好落在斜边上，且点C与点E重合． (1)求的长， (2)求的长． 21．（24-25八年级下·河南商丘·阶段检测）如图，在中，，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若（）中所作的角平分线交于，将沿折叠，点落在边上的点处，求的长度． 22．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，在中，，D为边上的点，将沿折叠，得到，恰好，连接，． (1)设，，求的长； (2)若，，试判断的形状，并说明理由． 23．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图所示，在中，，，，把沿折叠，使落在直线上．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)求阴影部分的面积． 24．（25-26八年级上·山东威海·期中）如图，在四边形中， ，E为 上一点．将四边形沿折叠，使点重合，求折痕的长． 【经典例题五 勾股定理中的翻折模型（长方形）】 25．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）把一张长方形的纸片沿对角线折叠，折叠后，边的对应边交于． (1)求证：长方形各内角均为； (2)若，，求的长． 26．（25-26八年级下·贵州黔西南·期末）综合与实践：学习完矩形后，数学兴趣小组的同学们在一起共同研究矩形的折叠．如图，为矩形的对角线，E，F分别是边，上的点，将边沿折叠，使点B恰好落在上的点M处，将边沿折叠，使点D恰好落在上的点N处． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 27．（24-25八年级上·辽宁沈阳·单元测试）如图，把长方形纸片沿折叠，使得点与点重合，点落在点的位置上． (1)试说明； (2)若，，求的面积． 28．（25-26八年级上·广东佛山·阶段检测）【综合探究】如图，在长方形中，，，在边上取一点，将折叠后点恰好落在边上的点，点是线段上的一个动点． (1)求的长； (2)当是直角三角形时，求的长． 29．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与点重合，点与点重合．若长方形的长为8，宽为4． (1)求的长； (2)求的值； (3)求阴影部分的面积． 30．（24-25八年级上·四川成都·阶段检测）如图，将长方形对折，使得边、边重合，折痕与边、边交于点、点，，，点是边上一点，将沿着折叠得到，线段、线段分别交边于点、点． (1)当重合时，线段的长是多少？ (2)当点与点重合时，点是边上一点，将沿着线段折叠，使得点落在边上的点，线段的长是多少？ 【经典例题六 勾股定理中的线段的平方和模型】 31．（25-26八年级下·福建龙岩·期末）一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6米．当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE为多少米时，有．（提示：连接DC）． 32．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图，在中，，，点在边上，连接，在的右侧作，，连接，． (1)猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由： (2)若，．求的长． 33．（25-26八年级上·全国·期中）如图，和都是等腰三角形，其中，且． (1)如图1，连接，求证：． (2)如图2，若，且C点恰好落在上，试探究和之间的数量关系，并加以说明． 34．（25-26八年级上·四川成都·期末）在中，，，．如图1，若时，根据勾股定理有． （1）如图2，当为锐角三角形时，类比勾股定理，判断与的大小关系，并证明； （2）如图3，当为钝角三角形时，类比勾股定理，判断与的大小关系，并证明； （3）如图4，一块四边形的试验田，已知，米，米，米，米，求这块试验田的面积． 35．（25-26八年级上·黑龙江鸡西·期末）已知Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB＝90°，F为AB边的中点，且DF=EF，∠DFE＝90°，D是BC上一个动点．如图1，当D与C重合时，易证：CD2＋DB2＝2DF2； （1）当D不与C、B重合时，如图2，CD、DB、DF有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明． （2）当D在BC的延长线上时，如图3，CD、DB、DF有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明． 36．（25-26八年级上·山西太原·阶段检测）认识新知：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知OB＝OD，AB＝AD，判断：四边形ABCD____垂美四边形（填“是”或“否”）； (2)性质探究：如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD． ①若OA＝1，OB＝5，OC＝7，OD＝2，则AB2+CD2＝____；AD2+BC2＝____． ②猜想AB、BC、CD、AD这四条边的数量关系，并给出证明． (3)解决问题：如图3，△ACB中，∠ACB＝90°，AC⊥AG且AC＝AG＝4，AB⊥AE且AE＝AB＝5，连结CE、BG、GE，则GE＝____． 【经典例题七 勾股定理中的旋转模型】 37．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点C旋转后的对应点为点，连接，求的长． 38．（25-26八年级上·重庆忠县·期中）如图，点是等边内一点，连接、、，将绕点按顺时针方向旋转得，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，，试判断的形状，并说明理由． 39．（25-26八年级下·河北廊坊·期末）如图1，娜娜家的窗户是双扇对开型，早晨她推开窗户，两扇窗户从点处分别旋转到点，当两扇窗户之间的距离为时，点和点到窗框的距离（厘米），如图2所示．求该窗框的宽的长． 40．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）某游乐场部分平面图如图所示，点在同一直线上，点在同一直线上，，测得． (1)求入口到大摆锤的距离； (2)现要在距离大摆锤的处修建游乐项目旋转木马（即），点在同一直线上，且使旋转木马到过山车的距离最近．求过山车到旋转木马的距离． 41．（25-26八年级下·山西大同·阶段检测）综合与实践 如图，在等腰中，，，分别是中，上的点，且．    (1)问题探究：固定图1中不变，将绕点旋转至如图2所示位置时，连接，则与的数量关系是______，位置关系是______． (2)猜想说明：固定图1中不变，将旋转至如图3所示位置，使得点落在的延长线上，连接，与的数量关系和位置关系是否与（1）相同，请说明理由． (3)实践运用：在（2）的前提下，直接写出，，之间的数量关系． 42．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°，连接EF． （1）思路梳理：将ABE绕点A逆时针旋转至ADG，如图1，使AB与AD重合，易证∠GAF＝∠EAF＝45°，可证AFG≌AFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为 ； （2）类比引申：如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到正方形ABCD的边CB，DC的延长线上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想EF，BE，DF之间的数量关系为 ，并给出证明； （3）联想拓展：如图3，等腰RtABC，∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，把∠MAN绕点A旋转，在整个旋转过程中AM、AN分别与直线BC交于点D、E，若BD＝2，EC＝4，则BE的长为 ． 1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，小蓓要赶上去实践活动基地的校车，她从点知道校车自点处沿轴向原点方向匀速驶来，去截汽车．若点的坐标为，点的坐标为，则小蓓最快截住汽车的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·广东江门·期末）公园里一根长方体石柱如图所示，若一只蚂蚁以的速度从点爬到点，最快需要多长时间（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·河北廊坊·阶段检测）如图，在中，分别以BD，OD，BO为直径向外作三个半圆，其面积分别为，若，则（    ） A．18 B．20 C．22 D．24． 4．（2026·山东德州·一模）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再将较小的两个正方形分别绕直角三角形斜边上的两顶点旋转得到图2．则图2中阴影部分面积等于（    ） A．直角三角形的面积 B．最大正方形的面积 C．最大正方形与直角三角形的面积和 D．较小两个正方形重叠部分的面积 5．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图所示，在一次折纸活动中，张老师把一张纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点与点恰好重合，此时与的比是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·福建宁德·阶段检测）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O．若，，则________． 7．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为，已知，，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走______的路程．（取） 8．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使C、A两点重合，点D落在点G处．已知，．则线段的长是_______． 9．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（）为，在公路上有一车站（点N），车站距商场（）为，公交公司拟在公路l上建一个公交车停靠站（点P），要求停靠站（点P）到商场（点M）与到车站（点N）的距离相等，则停靠站到车站的距离（）为__________ ． 10．（24-25八年级上·甘肃酒泉·阶段检测）如图，现有一长方体的实心木块，有一蚂蚁从处出发沿长方体表面爬行到处，若长方体的长，宽，高，则蚂蚁爬行的最短路径长是______． 11．（25-26八年级上·甘肃酒泉·阶段检测）如图，一圆柱高，底面半径为，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，求蚂蚁要爬行的最短路程．（） 12．（24-25八年级上·四川成都·期中）在矩形纸片中，，． (1)如图①，将矩形纸片沿折叠，点落在对角线上的点处，求的长： (2)如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，求的长： (3)如图③，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 13．（25-26八年级上·福建福州·期末）（1）【阅读材料】 如图1，在边长为a的正方形边上挖去一个边长为b的正方形，再将剩余部分中长方形①剪下，与其它部分拼成图2所示的长方形．由面积的不同算法可得乘法公式：________； （2）【类比探究】 如图3，的三条边长分别记为a，b，c，，点C，A，E在同一条直线上，连接．请推导出a，b，c之间的等量关系． （3）【应用结论】 如图4，的两条直角边及斜边上的高分别记为a，b，h．应用上面结论求证． 14．（25-26八年级下·河南许昌·期中）【模型建立】“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和很容易让人联想到利用勾股定理求直角三角形第三边的情形，可以用“”表示直角边分别是x、3的直角三角形的斜边的长，用“”表示直角边分别是、2的直角三角形的斜边的长，基于以上联想，我们构造两个这样的直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时,，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”     (1)根据：两点之间__________，得到：线段AD就是的最小值，如图3连接AD，延长至，使，连接，可证：四边形是矩形，__________，__________，在中，由勾股定理可求得的长，的最小值是__________． 【模型应用】 (2)代数式的最小值是__________． 【模型拓展】 (3) 根据以上学习，结合备用图解决问题：已知正数满足，求的值． 15．（24-25八年级上·山东济南·期中）我国是历史上较早发现并运用“勾股定理”的国家之一、古人将直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”，“勾股定理”因此而得名．勾股定理：若直角三角形两直角边长分别为a、b，斜边长为c，则有，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 请运用“勾股定理”解决下列问题． (1)如图1，直角三角形的两条直角边分别是9厘米和12厘米，则这个直角三角形的斜边长___________厘米． (2)如图2，分别以直角三角形的边为边长作正方形，则___________，___________．根据勾股定理可知，，所以___________=___________． (3)如图3，圆柱的高为4厘米、底面半径为1厘米．在圆柱底面A点有一只蚂蚁，它想吃到与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少厘米？（取3） 下面是小林的思考过程，请你帮他补充完整． ①将该圆柱的侧面展开后得到一个长方形，如图4所示（A点的位置已经给出），请在图中标出B点的位置并连接． ②小林认为线段的长度是蚂蚁爬行的最短路程，那么蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 勾股定理常考几何模型专训（含将军饮马问题）（7大题型+15道拓展培优题） 题型一 圆柱中的最短路径模型 题型二 长方体中的最短路径模型 题型三 将军饮马型最短路径问题 题型四 勾股定理中的翻折模型（三角形） 题型五 勾股定理中的翻折模型（长方形） 题型六 勾股定理中的线段的平方和模型 题型七 勾股定理中的旋转模型 【经典例题一 圆柱中的最短路径模型】 1．（25-26八年级上·内蒙古包头·自主招生）圆柱的高为，底面半径为，点B离地面，一只蜘蛛以的速度从底面上的点A处绕曲面到达点B捕食被网到的昆虫，蜘蛛到昆虫所在点B所用最短时间是多少？（π取3）    【答案】蜘蛛到昆虫所在点B所用最短时间是2秒 【分析】将圆柱的侧面展开，先求出，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，将圆柱的侧面展开， ∵底面半径为， ∴， 由题意得， ∴， ∴， ∴蜘蛛到昆虫所在点B所用最短时间为：， 答：蜘蛛到昆虫所在点B所用最短时间是2秒．    【点睛】本题考查了常见几何体的展开图，勾股定理的应用，此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形，再确定两点之间的最短路径；一般情况是利用的两点之间线段最短，在平面图形中构造直角三角形，用勾股定理求解． 2．（25-26八年级下·四川德阳·阶段检测）如图，圆柱高为，底面周长为，蚂蚁在圆柱表面爬行，求从点爬到点的最短路程．（作出展开图再求） 【答案】从点爬到点的最短路程为 【分析】本题考查了平面展开——最短路线问题，勾股定理，解题的关键是明确的长就是蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程． 沿过点和过点的母线剪开，展成平面，连接，则的长是蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程，求出和的长，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出斜边即可． 【详解】解：如图所示：沿过点和过点的母线剪开，展成平面，连接， 则的长是蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程， 则，，， 由勾股定理得：， 故从点爬到点的最短路程为． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成长方体去掉一个“半圆柱”，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点E在上，．一名滑板爱好者从点A滑到点E，求他滑行的最短距离（边缘部分的厚度忽略不计） 【答案】 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：如图所示的是滑行部分的平面展开图． 由题意，得， 所以． 在中，， 所以． 故他滑行的最短距离为． 4．（25-26八年级下·河南安阳·阶段检测）如图①，一个圆柱的底面周长为，高为，用一根绳子从点A出发绕侧面一周到点B，则绳长至少为多少？ 解：圆柱①的侧面沿剪开，展开图如图②所示． 在中，______，______，_______，则运用“________”可求_______． 由“_______”可知，绳子的最短长度就是线段______的长，即绳长至少为________． 【答案】90；12；16；勾股定理；20；两点之间，线段最短；；20 【分析】根据题干图结合勾股定理和“两点之间，线段最短”作答即可． 【详解】解：圆柱①的侧面沿剪开，展开图如图②所示． 在中，，，，则运用“勾股定理”可求． 由“两点之间，线段最短”可知，绳子的最短长度就是线段的长，即绳长至少为20． 5．（25-26八年级下·山东滨州·期末）勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法很多，如图1是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对图形的切割、拼接，巧妙的利用面积关系证明了勾股定理． (1)定理证明：图1是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（阴影）．如果直角三角形较小的直角边长为a，较大的直角边长为b，斜边长为c，请你根据图1证明勾股定理； (2)问题解决：如图2，圆柱的高为，底面半径为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路径是多少厘米？（结果可保留） 【答案】(1) 证明：∵阴影部分的面积=大正方形面积－4个直角三角形面积， ∴ ∴ ∴ (2)从点A爬到点B的最短路径是厘米 【分析】（1）利用阴影部分的面积=大正方形面积-4直角三角形面积额即可得答案； （2）画出圆柱侧面展开图矩形，利用勾股定理即可得答案． 本题考查勾股定理证明和求最短路径； 【详解】（1）略 （2）画出圆柱侧面展开图： 根据底面半径为，得出 ∵圆柱的高为， ∴ ∴从点A爬到点B的最短路径是厘米 6．（25-26八年级上·江西九江·阶段检测）课本再现 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？     方法探究 （1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是______． 方法应用 （2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．求彩条的最短长度． （3）如图4，圆柱形玻璃杯底面周长为，高为，杯底厚．在玻璃杯外壁距杯口的点A处有一只蚂蚁，蚂蚁相对面的内壁底部B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路径长．（玻璃杯的壁厚忽略不计） 【答案】（1）15；（2）（3） 【分析】本题考查勾股定理、几何体的展开图． （1）根据题意得出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，求出，，根据勾股定理求出即可． （2）根据绕两圈到B，则展开后相当于求出的斜边长，并且，根据勾股定理求出即可． （3）将杯子侧面展开，建立A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：（1）根据题意得出：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长， 由题意得：. 在中，由勾股定理得：， 所以，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是 故答案为：15． （2）如图所示， ∵从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B， ∴展开后 由勾股定理得：， 所以彩条的最短长度是． （3）展开玻璃杯的侧面，如图， 作点A关于的对称点，连接，作于点C，则 ，，，． 在中，， 所以蚂蚁爬行的最短路径长为． 【经典例题二 长方体中的最短路径模型】 7．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）如图，长方体木箱，一只蚂蚁在A处想吃到E处的食物，沿外表面爬过去，求最短路径的长． 【答案】 【分析】本题考查最短路径的求法，考查勾股定理运用等基础知识，考查运算求解能力，是基础题； 由题意展开长方体，能求出结果； 【详解】如图1， 如图2， 如图3， ∴的最小值为． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·江西鹰潭·阶段检测）如图，有一个长方体盒子，它的长和宽都是，高是． (1)小明在长方体盒子里插入一根细木棒，细木棒经过，两点，求该长方体盒子中放入细木棒（）的长度； (2)在长方体盒子外表面的点处有一只蚂蚁，若它想吃到点处的食物，那么它沿盒子表面爬行的最短路程是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理直接求出木棒的最大长度即可； （2）将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案． 【详解】（1）解：由题意得该长方体盒子中放入细木棒（）的长度是： ． （2）解：将长方体的正面和右侧面展开，如图，， 将长方体的上底面和右侧面展开，如图，； 将长方体的正面和下底面展开，如图，． ∵， ∴它沿盒子表面爬行的最短路程为． 9．（24-25八年级上·辽宁沈阳·单元测试）有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高，水深，在水面线上紧贴内壁处有一粒食物，且，一只小虫想从水缸外的处沿水缸壁爬到水缸内的处吃掉食物． (1)小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的路程最短？请你画出最短路线，并用箭头标注． (2)求小虫爬行的最短路程长（不计缸壁厚度）． 【答案】(1) 如图， 作点关于所在直线的对称点， 连接，与交于点， 则为最短路线； (2)小虫爬行的最短路线长为． 【分析】本题考查最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径求出解． （1）作关于的对称点，连接，与交于点，此时最短； （2）为的斜边，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：因为，， 所以． 在中，，，， 所以． 由对称性可知， 所以：． 所以：小虫爬行的最短路线长为． 10．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角处． (1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能途径； (2)当，求蚂蚁爬过的最短路径的长． 【答案】(1)见解析 (2)蚂蚁爬过的最短路径的长是5 【分析】（1）先在备用图中画出柜子的展开图，再找出最快到达目的地的可能路径； （2）根据已知结合勾股定理求出蚂蚁爬过的最短路径长． 【详解】（1）解：木柜的表面展开图是两个矩形和，蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的和，如图所示： （2）解：蚂蚁沿着木柜表面经线段到，爬过的路径的长是： ， 蚂蚁沿着木柜表面经线段到，爬过的路径的长是， ∵， ∴最短路径的长是5． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，根据题意画出长方体的展开图，找出蚂蚁可能爬行的最短路径，是解题的关键． 11．（24-25八年级下·河北邢台·期中）如图1，在棱长为的立方体纸盒的顶点处有一只蚂蚁，在另一顶点处有一粒糖． (1)现甲、乙、丙三人分别为这只蚂蚁设计了一条爬行路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行到点处，如图所示．请通过计算分析，甲、乙、丙中谁设计的爬行路线最长？谁设计的爬行路线最短？ (2)将题干中的立方体纸盒改为长、宽、高分别为，，的长方体纸盒（如图3），其他条件不变，试通过分析求蚂蚁经过的最短路程． 【答案】(1)甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短； (2)蚂蚁经过的路程最短路程为． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，最短路径，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）分别计算每个人设计的路线的长度，对结果进行比较即可； （2）把纸盒分别沿着长、宽、高所在的棱展开，根据勾股定理计算每种情况对应的线段长度，对结果进行比较即可． 【详解】（1）解：∵纸盒是棱长为的立方体， ∴甲设计的爬行路线长为， 乙设计的爬行路线长为， 丙设计的爬行路线长为， ∵， ∴甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短， 答：甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短． （2）解：∵两点之间线段最短， ∴不考虑沿着棱爬行的情况， 如图所示， 蚂蚁沿爬行，经过的路程长为， 蚂蚁沿爬行，经过的路程长为， 蚂蚁沿爬行，经过的路程长为， ∵， ∴蚂蚁沿爬行，经过的路程最短，最短路程为， 答：蚂蚁经过的路程最短路程为． 12．（24-25八年级上·山西太原·阶段检测）综合与实践 问题情境： “转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．例如，如图1，一个正方体的棱长为1，有一只蚂蚁从点出发，沿着正方体的表面爬行到点．沿怎样的路线爬行路程最短？要解决这个问题，我们可以把正方体展开（如图2，图3，图4），把空间两个面上的两点，之间的最短路径问题转化为同一个面上两点之间的距离问题．根据“两点之间，线段最短”，可知蚂蚁沿线段爬行的路程最短，利用勾股定理易证最短路程为．    问题解决： (1)如图5，一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为、、，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的表面爬到盒顶的点，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？ (2)如图6，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点在棱上，．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是多少？ 【答案】(1)蚂蚁爬行的最短路线为（P为的中点），最短路程是 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）分两种情况画出图形，求出最短路径长度，然后再进行比较即可； （2）将长方体按三种方案展开，画出图形，求出结果，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：如图1，． 如图2，． 因为， 故蚂蚁爬行的最短路线为（P为的中点），最短路程是． （2）解：将长方体按下列三种方案展开： 如图3，一直角边为，另外一条直角边为， 根据勾股定理得． 如图4，一直角边为20cm，另外一条直角边为， 根据勾股定理得． 如图5，，， 根据勾股定理得． 因为， 所以一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是． 【经典例题三 将军饮马型最短路径问题】 13．（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在一条笔直的马路同侧有，两个小区，小区到马路的垂直距离为千米，小区到马路的垂直距离为千米，的长度为千米． (1)求，小区之间的距离； (2)现要在线段上修建一个车站，使得车站到，两小区的距离相等，此时车站应修建在离点多远处？ 【答案】(1)千米 (2)千米 【分析】（）过点作于，可得四边形是长方形，得到千米，千米，即得千米，再利用勾股定理即可求解； （）设千米，则千米，由利用勾股定理解答即可求解； 本题考查了勾股定理的应用，长方形，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点作于，则， ∵， ∴四边形是长方形， ∴千米，千米， ∴千米， ∴千米， 答：，小区之间的距离为千米； （2）解：如图，设千米，则千米， 由题意得，， ∴由勾股定理得，， 整理得，， 解得， 答：车站应修建在离点千米处． 14．（25-26八年级下·广西河池·阶段检测）在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点A、，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，测得米，米，米． (1)问是否为从村庄到河边最近的路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1) 解：为从村庄到河边最近的路． 证明：∵米，米，米， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴为从村庄到河边最近的路； (2)169米 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理逆定理的应用等知识． （1）根据勾股定理逆定理证明，得解，即可得到为从村庄到河边最近的路； （2）设米，得到米，米，根据勾股定理列出方程，，解方程即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设米， ∵， ∴米， ∵米， ∴米， ∵， ∴在中，， 解得， ∴的长为169米． 15．（25-26八年级上·河北承德·期末）如图，小明家在一条东西走向的公路北侧米的点处，小红家位于小明家北米（米）、东米（米）点处． （1）求小明家离小红家的距离； （2）现要在公路上的点处建一个快递驿站，使最小，请确定点的位置，并求的最小值． 【答案】（1）米； （2）如图点的位置如图所示，最小值为米 【分析】（1）如图，连接AB，根据勾股定理即可得到结论； （2）如图，作点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P．驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A'B，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）如图，连接AB， 由题意知AC=500，BC=1200，∠ACB=90°， 在Rt△ABC中， ∵∠ACB=90°， ∴AB2=AC2+BC2=5002+12002=1690000， ∵AB＞0 ∴AB=1300米； （2）如图，作点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P． 驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A'B， 由题意知AD=200米，A'C⊥MN， ∴A'C=AC+AD+A'D=500+200+200=900米， 在Rt△A'BC中， ∵∠ACB=90°， ∴A'B2=A'C2+BC2=9002+12002=2250000， ∵A'B＞0， ∴A'B=1500米， 即从驿站到小明家和到小红家距离和的最小值为1500米． 【点睛】本题考查轴对称-最短问题，勾股定理，题的关键是学会利用轴对称解决最短问题． 16．（25-26八年级下·湖北咸宁·期中）如图甲，笔直的公路上，两点相距20，，为两村庄，于点，于点，已知，，现在计划在公路的段上建一个土特产品收购站． (1)若规划，两村到收购站的距离相等，则收购站应建在离点多远处？ (2)若规划，两村到收购站的距离的和最短，请在图乙中通过作图画出收购站的位置，计算得到距离的和最短值为 ． 【答案】(1) (2)如图，则点即为所求， 25 【分析】本题考查了作图—应用设计作图、勾股定理、轴对称—最短路线问题，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． （1）设，则，在与中，由勾股定理结合得出方程，求出的值即可求解； （2）作点关于的对称点，连接交于点，则点即为所求，长即为距离的和最短值，过点作交的延长线于点，在中由勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：（1）设，则， 在与中，由勾股定理得， ，， ∵， ∴， ∴， 解得， 即收购站应建在离点处； （2）作点关于的对称点，连接交于点，则点即为所求，长即为距离的和最短值， 过点作交的延长线于点， 则． 故答案为：25． 17．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，小彭同学每天乘坐地铁上学，他观察发现，地铁D出口和学校O在南北方向的街道的同一边，相距80米，地铁A出口在学校的正东方向60米处，地铁B出口离D出口100米，离A出口米． (1)求的度数； (2)地铁B出口离学校O的距离为_________米． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）先由勾股定理求出米，再由勾股定理的逆定理判定出是等腰直角三角形，即可求解； （2）过点B作交延长线于E，先证明得出米，米，从而求得米，然后在中，由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴ 由勾股定理得：(米)， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∵(米) ∴． （2）解：如图，过点B作交延长线于E， 由（1）知：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∴(米)，(米)， ∴(米)， 在中，由勾股定理得： (米)． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 18．（25-26八年级上·山东青岛·期中） “三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，现在要在公路上建一个土特产品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等． (1)求市场E应建在距A多少千米处？ (2)此时的形状是 三角形，请直接写出答案，无需证明． 【答案】(1)20 (2)等腰直角 【分析】本题考查了勾股定理的运用； （1）由得C、D两村庄到市场E的距离相等，可得，根据勾股定理列方程计算即可； （2）证明即可判断为等腰直角三角形． 【详解】（1）设，则， ∵于A，于B，已知， ∴，， ∵C、D两村庄到市场E的距离相等， ∴， ∴， 解得，即 ∴市场应建在距千米处； （2）∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角． 【经典例题四 勾股定理中的翻折模型（三角形）】 19．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，将长方形沿折叠，使落在的位置，且与相交于点F． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1) 证明：长方形沿对角线对折，使落在的位置， ，， 又四边形为长方形， ， ， 而， 在与中： ； (2) 【分析】（1）根据折叠的性质得到，，易证，即可得到结论； （2）根据（1）易得，设，则，，在中利用勾股定理得到关于的方程，解方程求出，即可作答． 本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等，也考查了长方形的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理；利用长方形的性质、三角形全等的性质以及勾股定理进行正确计算是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形为长方形， ，， ， ， 设， 则，， 在中，， 即， 解得． 20．（25-26八年级上·广东梅州·阶段检测）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使恰好落在斜边上，且点C与点E重合． (1)求的长， (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用；熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理求得的长即可； （2）由翻折的性质求得，得，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴； （2）解：由折叠的性质得：， ∴； 设，则，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：， ∴． 21．（24-25八年级下·河南商丘·阶段检测）如图，在中，，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若（）中所作的角平分线交于，将沿折叠，点落在边上的点处，求的长度． 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求； (2) 【分析】（）根据角平分线的作法作图即可； （）由折叠的性质得，由勾股定理得，进而即可求解； 本题考查了角平分线的画法，折叠的性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：由折叠可得，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 22．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，在中，，D为边上的点，将沿折叠，得到，恰好，连接，． (1)设，，求的长； (2)若，，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)6 (2) 解：是直角三角形，理由如下： 由翻折可知：， ， ，， ， ， 是直角三角形． 【分析】本题考查了翻折变换，三角形的面积，勾股定理及逆定理等知识． （1）由翻折性质可得，根据勾股定理得，然后根据，得，再整体代入计算即可解决问题； （2）根据勾股定理逆定理即可判断是直角三角形． 【详解】（1）解：由翻折可知：， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）略 23．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图所示，在中，，，，把沿折叠，使落在直线上．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1) 解：是直角三角形 理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，； (2)阴影部分的面积为． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理求解即可； （2）首先根据对称的性质得到，然后求出的长度，在中根据勾股定理列方程求出的长度，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）∵把折叠，使落在直线上， ∴，， ∴， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：，即， ∴， ∴阴影部分的面积为． 【点睛】此题考查了三角形折叠的性质，勾股定理及勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握三角形折叠的性质，勾股定理的逆定理． 24．（25-26八年级上·山东威海·期中）如图，在四边形中， ，E为 上一点．将四边形沿折叠，使点重合，求折痕的长． 【答案】 【分析】利用勾股定理在中可求得，在中再次利用勾股定理即可得出的长． 【详解】解：设，则． ∵ ， ∴． ∵， ∴． 解得，即． ∵ ， ∴． 在中 ∵，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查的是翻折的性质以及勾股定理的应用，解得是解题的关键． 【经典例题五 勾股定理中的翻折模型（长方形）】 25．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）把一张长方形的纸片沿对角线折叠，折叠后，边的对应边交于． (1)求证：长方形各内角均为； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：由折叠的性质知，，． 四边形是长方形， ∴， 在和中， ， ， ； (2) 【分析】本题考查了折叠问题，全等三角形的性质与判定，勾股定理； （1）由折叠的性质知，，，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）勾股定理求得，由（）知，根据得出，即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：四边形是长方形， ，， ， 由（）知， ， ， ， ∴． 26．（25-26八年级下·贵州黔西南·期末）综合与实践：学习完矩形后，数学兴趣小组的同学们在一起共同研究矩形的折叠．如图，为矩形的对角线，E，F分别是边，上的点，将边沿折叠，使点B恰好落在上的点M处，将边沿折叠，使点D恰好落在上的点N处． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)30 【分析】（1）依据矩形的性质和折叠的性质，可以证明，即可得到，因此用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明结论即可； （2）根据折叠的性质可以得到，设，则，利用勾股定理建立方程，解出答案即可求出的长，利用平行四边形的面积公式即可求出四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴，，， ∴， ∵将边沿折叠，使点B恰好落在上的点M处，将边沿折叠，使点D恰好落在上的点N处， ∴，，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由折叠可知， ，， ∴， ∴， 设，则， 在Rt中， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了折叠问题以及矩形的性质的运用，熟练掌握折叠的性质以及勾股定理的应用，平行四边形的判定方法是本题的关键． 27．（24-25八年级上·辽宁沈阳·单元测试）如图，把长方形纸片沿折叠，使得点与点重合，点落在点的位置上． (1)试说明； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) ∵四边形是长方形， ∵把长方形纸片沿折叠， ， 在和△中 (2)10 【分析】本题考查折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理： （1）根据折叠的性质，长方形的性质，利用证明即可； （2）设，则：，在中，利用勾股定理求出的值，进而求出的值，全等三角形的性质，得到，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）设， 根据翻折不变性，得： 在中，由勾股定理，得： 解得， ∴，则 ∴． 28．（25-26八年级上·广东佛山·阶段检测）【综合探究】如图，在长方形中，，，在边上取一点，将折叠后点恰好落在边上的点，点是线段上的一个动点． (1)求的长； (2)当是直角三角形时，求的长． 【答案】(1)； (2)长为或． 【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由题意得，，通过勾股定理求出，则，设，则，，再通过勾股定理得，求出的值即可； （）分当时，即与重合，当时，即，两种情况分即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 在中，， ∴， 设，则，， 在中，， ∴，解得， ∴； （2）解：如图，当时，即与重合， ∵， ∴， ∴； 如图，当时，即， ∵， ∴， 在中，， 综上所述，长为或． 29．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与点重合，点与点重合．若长方形的长为8，宽为4． (1)求的长； (2)求的值； (3)求阴影部分的面积． 【答案】(1)3 (2)20 (3) 【分析】（1）由折叠可知，设，则，在中，根据，求出的长即可； （2）过点作于点，在 中，由勾股定理求出的长，即可得的长，在中，由勾股定理即可得出答案； （3）过点作于点，根据三角形面积不变性，，求出的长，根据三角形面积求出结果即可． 本题主要考查了折叠的性质、勾股定理以及三角形面积不变性，灵活运用折叠的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理是解题的关键． 【详解】（1）解：由折叠可知 ，． 设，则，． 在中，， ∴， 解得， ∴． （2）解：如图，过点作于点，则． 在中， ∵， ∴由勾股定理，得， 即， ∴． ∵， ∴， ∴． （3）解：如图，过点作于点． 在中，，，． 由， 得， ∴． 30．（24-25八年级上·四川成都·阶段检测）如图，将长方形对折，使得边、边重合，折痕与边、边交于点、点，，，点是边上一点，将沿着折叠得到，线段、线段分别交边于点、点． (1)当重合时，线段的长是多少？ (2)当点与点重合时，点是边上一点，将沿着线段折叠，使得点落在边上的点，线段的长是多少？ 【答案】(1)的长为； (2)． 【分析】（）由折叠可知，，由勾股定理得，则，设，则，最后由勾股定理即可求解； （）由折叠可知，，，结合，可判定，设设，则，由勾股定理有得解得，在中，由勾股定理可得，最后 即可； 本题考查了勾股定理，轴对称的性质，掌握知识点的应用及结合题意，画出正确的图形是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， 由折叠可知：，， 由勾股定理可得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理有：， ∴， 解得：， ∴， ∴当重合时，的长为； （2）解：如图， ∵将沿着线段折叠，使得点落在边上的点， ∴， ∵， ∴， 由折叠可得：，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中, 由勾股定理有：， ∴， 解得：， 在中，由勾股定理可得， ∴． 【经典例题六 勾股定理中的线段的平方和模型】 31．（25-26八年级下·福建龙岩·期末）一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6米．当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE为多少米时，有．（提示：连接DC）． 【答案】为米 【分析】连接CD，在中应用勾股定理得到，再联立即可求解． 【详解】解：连接CD， ∵∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6米， ∴AC＝12米， 在中，， 即， ∵， ∴， 解得． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理的内容是解题的关键． 32．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图，在中，，，点在边上，连接，在的右侧作，，连接，． (1)猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由： (2)若，．求的长． 【答案】(1) ， 理由如下，， ， ， 又，， 在和中，， ， ，， ， ， 中，， ； (2) 【分析】（1）利用可证，根据全等三角形的性质可证，，从而可得，利用勾股定理可得； （2）利用勾股定理可以求出，根据全等三角形的性质可知，利用勾股定理可以求出的长度． 【详解】（1）略 （2）解：中，， ， ， ， ． 33．（25-26八年级上·全国·期中）如图，和都是等腰三角形，其中，且． (1)如图1，连接，求证：． (2)如图2，若，且C点恰好落在上，试探究和之间的数量关系，并加以说明． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，即． 又∵， ∴， ∴． (2) 证明：如图，连接． ∵． ∴． 同（1）法可得：． ∴． ∴，即． 在中，由勾股定理可知：． ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）同（1）法得到，进而推出，勾股定理求出，进而推出即可． 【详解】（1）略 （2）略 34．（25-26八年级上·四川成都·期末）在中，，，．如图1，若时，根据勾股定理有． （1）如图2，当为锐角三角形时，类比勾股定理，判断与的大小关系，并证明； （2）如图3，当为钝角三角形时，类比勾股定理，判断与的大小关系，并证明； （3）如图4，一块四边形的试验田，已知，米，米，米，米，求这块试验田的面积． 【答案】 （1）猜想： ， 证明：如图2，过点作于点，设，则， 在Rt中，有,     在Rt中，有 ， ∴    ，         解之：， ∵均为正数，∴ ； （2）猜想： 证明：如图3，过点作，交的延长线于点，设，则， 在Rt中，有， 在Rt中，有 ， ∴， 解之：， ∵均为正数，∴ ； （3）四边形ABCD的面积是米2． 【分析】（1）先作高线如图2，过点作于点，构造两个直角三角形，设，则，由勾股定理和AD构造等式 ，利用放缩法可得    （2）先作高线如图3，过点作，交的延长线于点，构造两个直角三角形设，则，利用勾股定得，整理得，利用放缩法 （3）如图4，连接．过点作于点E，由勾股定理求出 设，则EC=100-x，由勾股定理构造方程，解方程的，再求出DE，利用分割法求面即可 【详解】解：（1）略． （2）略． （3）如图4，连接． 在Rt中，有， ∴， ∵，∴ ， 过点作于点E， 设，则EC=100-x， 在Rt中，有，即， 在Rt中，有，即 ， ∴， 解之：， 在Rt中，有， ∴DE=（取正）， ∴DE=， ∴， =， =（米2）， ∴四边形ABCD的面积是米2． 【点睛】本题考查作高线，勾股定理，利用勾股定理推出锐角三角形，钝角三角形结论，用分割法求四边形面积，掌握高线最烦，利用勾股定理构造方程，判读锐角三角形与钝角三角形，利用分割法四边形求面是解题关键． 35．（25-26八年级上·黑龙江鸡西·期末）已知Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB＝90°，F为AB边的中点，且DF=EF，∠DFE＝90°，D是BC上一个动点．如图1，当D与C重合时，易证：CD2＋DB2＝2DF2； （1）当D不与C、B重合时，如图2，CD、DB、DF有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明． （2）当D在BC的延长线上时，如图3，CD、DB、DF有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明． 【答案】（1）CD2+DB2=2DF2 ； （2）CD2+DB2=2DF2 证明：连接CF、BE ∵CF=BF，DF=EF 又∵∠DFC+∠CFE=∠EFB+∠CFB=90° ∴∠DFC=∠EFB ∴△DFC≌△EFB        ∴CD=BE，∠DCF=∠EBF=135°   ∵∠EBD=∠EBF－∠FBD=135°－45°=90° 在Rt△DBE中，BE2+DB2=DE2 ∵ DE2=2DF2 ∴ CD2+DB2=2DF2 【分析】（1）由已知得，连接CF，BE，证明得CD=BE，再证明为直角三角形，由勾股定理可得结论； （2）连接CF，BE，证明得CD=BE，再证明为直角三角形，由勾股定理可得结论． 【详解】解：（1）CD2+DB2=2DF2 证明：∵DF=EF，∠DFE＝90°， ∴ ∴ 连接CF，BE，如图 ∵△ABC是等腰直角三角形，F为斜边AB的中点 ∴ ，即 ∴， 又 ∴ 在和中 ∴ ∴， ∴ ∴ ∵， ∴CD2+DB2=2DF2 ； （2）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、证明三角形全等是解决问题的关键，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 36．（25-26八年级上·山西太原·阶段检测）认识新知：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知OB＝OD，AB＝AD，判断：四边形ABCD____垂美四边形（填“是”或“否”）； (2)性质探究：如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD． ①若OA＝1，OB＝5，OC＝7，OD＝2，则AB2+CD2＝____；AD2+BC2＝____． ②猜想AB、BC、CD、AD这四条边的数量关系，并给出证明． (3)解决问题：如图3，△ACB中，∠ACB＝90°，AC⊥AG且AC＝AG＝4，AB⊥AE且AE＝AB＝5，连结CE、BG、GE，则GE＝____． 【答案】(1)是 (2)①79，79； ②． 理由：∵， ∴， ， ∴； (3) 【分析】（1）连接AC、BD，根据垂直平分线的判定定理证明即可； （2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可； （3）证△GAB≌△CAE（SAS），得∠ABG＝∠AEC，再证四边形CGEB是垂直四边形，然后由垂直四边形的性质，勾股定理，结合（2）的结论计算即可． 【详解】（1）解：结论：四边形ABCD是垂美四边形． 理由：如图，连接AC和BD， ∵AD＝AB， ∴A在BD的垂直平分线上， ∵CD＝CB， ∴C在BD的垂直平分线上， ∴AC垂直平分BD， ∴四边形ABCD为垂美四边形； 故答案为：是； （2）①解：∵AC⊥BD， ∴＝1+25+49+4＝79， ＝1+25+49+4＝79， 故答案为：79，79； ②略 （3）如图，设AC与BG的交点为N，AB与CE的交点为M， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形CGEB是垂美四边形， ∵， ∴， 由（2）得，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 【经典例题七 勾股定理中的旋转模型】 37．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点C旋转后的对应点为点，连接，求的长． 【答案】 【分析】本题考查的是旋转的性质，勾股定理的应用，解题的关键是掌握旋转的性质，熟练应用勾股定理． 利用旋转的性质证明，再根据勾股定理解答即可． 【详解】解：∵，将绕点逆时针旋转得到， ， ． 38．（25-26八年级上·重庆忠县·期中）如图，点是等边内一点，连接、、，将绕点按顺时针方向旋转得，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) 证明：绕点按顺时针方向旋转得， ，， 是等边三角形． (2) 是直角三角形，理由如下： 绕点按顺时针方向旋转得， ， 是等边三角形， ， 在中， ，，， ， 是直角三角形． 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，掌握对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质，得到，，利用等边三角形的判定与性质，判断是等边三角形． （2）根据旋转的性质，得到，再利用等边三角形的判定与性质，得到，再利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形． 【详解】（1）略 （2）略 39．（25-26八年级下·河北廊坊·期末）如图1，娜娜家的窗户是双扇对开型，早晨她推开窗户，两扇窗户从点处分别旋转到点，当两扇窗户之间的距离为时，点和点到窗框的距离（厘米），如图2所示．求该窗框的宽的长． 【答案】 【分析】根据窗户可得，再在中利用勾股定理列方程计算即可． 【详解】由题意，得， 设，则， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，解题的关键是理解题意，把实际问题转换成我们熟悉的几何图形，属于中考常考题型． 40．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）某游乐场部分平面图如图所示，点在同一直线上，点在同一直线上，，测得． (1)求入口到大摆锤的距离； (2)现要在距离大摆锤的处修建游乐项目旋转木马（即），点在同一直线上，且使旋转木马到过山车的距离最近．求过山车到旋转木马的距离． 【答案】(1)入口到大摆锤的距离为． (2)过山车到旋转木马的距离为． 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，垂线段最短，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）在中，根据勾股定理，即可求解的值． （2）根据垂线段最短，可得，再根据勾股定理，即可求解的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 答：入口到大摆锤的距离为． （2）解：∵使旋转木马到过山车的距离最近， ∴， ∵，， ∴， 答：过山车到旋转木马的距离为． 41．（25-26八年级下·山西大同·阶段检测）综合与实践 如图，在等腰中，，，分别是中，上的点，且．    (1)问题探究：固定图1中不变，将绕点旋转至如图2所示位置时，连接，则与的数量关系是______，位置关系是______． (2)猜想说明：固定图1中不变，将旋转至如图3所示位置，使得点落在的延长线上，连接，与的数量关系和位置关系是否与（1）相同，请说明理由． (3)实践运用：在（2）的前提下，直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)； (2) 与的数量关系和位置关系与（1）相同，理由如下： 如图3，∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质解答； （2）证明，得到，同理根据全等三角形的性质解答即可； （3）如图3，由，利用勾股定理可得结论． 【详解】（1）解：如图2，在中，， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）略 （3），理由是： 由（2）已得，， ，为直角三角形． 在中，有，且， ． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，勾股定理，以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 42．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°，连接EF． （1）思路梳理：将ABE绕点A逆时针旋转至ADG，如图1，使AB与AD重合，易证∠GAF＝∠EAF＝45°，可证AFG≌AFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为 ； （2）类比引申：如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到正方形ABCD的边CB，DC的延长线上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想EF，BE，DF之间的数量关系为 ，并给出证明； （3）联想拓展：如图3，等腰RtABC，∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，把∠MAN绕点A旋转，在整个旋转过程中AM、AN分别与直线BC交于点D、E，若BD＝2，EC＝4，则BE的长为 ． 【答案】（1）BE+FD=EF；（2）DF=EF+BE；（3） 【分析】（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案； （2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFE≌△AFG，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案； （3）把△ACE旋转到ABF的位置，连接DF，证明△AFE≌△AFG（SAS），则EF=FG，∠C=∠ABF=45°，△BDF是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断． 【详解】解：（1）如图1所示： ∵AB=AD， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合， ∵∠ADC=∠B=90°， ∴∠FDG=180°，点F、D、G共线， ∴∠DAG=∠BAE，AE=AG， ∴∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°-45°=45°=∠EAF，即∠EAF=∠FAG． 在△EAF和△GAF中， ， ∴△AFG≌△AFE（SAS）． ∴EF=FG． ∴EF=DF+DG=DF+BE，即EF=BE+DF． 故答案为：BE+FD=EF； （2）DF=EF+BE． 证明：如图2所示． ∵AB=AD， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合， ∵∠ADC=∠ABE=90°， ∴点C、D、G在一条直线上． ∴EB=DG，AE=AG，∠EAB=∠GAD． 又∵∠BAG+∠GAD=90°， ∴∠EAG=∠BAD=90°． ∵∠EAF=45°， ∴∠FAG=∠EAG-∠EAF=90°-45°=45°． ∴∠EAF=∠GAF． 在△EAF和△GAF中， ， ∴△EAF≌△GAF（SAS）． ∴EF=FG． ∵FD=FG+DG， ∴DF=EF+BE， 故答案为：DF=EF+BE； （3）把△ACE旋转到ABF的位置，连接DF，则∠FAB=∠CAE． ∵∠BAC=90°，∠DAE=45°， ∴∠BAD+∠CAE=45°， 又∵∠FAB=∠CAE， ∴∠FAD=∠DAE=45°， 则在△ADF和△ADE中， ， ∴△ADF≌△ADE（SAS）． ∴DF=DE，∠C=∠ABF=45°． ∴∠BDF=90°． ∴△BDF是直角三角形． ∴BD2+BF2=DF2． ∴BD2+CE2=DE2． ∴DE=， ∴BE=BD+DE=， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，解此题的关键是根据旋转的启发正确作出辅助线得出全等三角形，综合性比较强，有一定的难度． 1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，小蓓要赶上去实践活动基地的校车，她从点知道校车自点处沿轴向原点方向匀速驶来，去截汽车．若点的坐标为，点的坐标为，则小蓓最快截住汽车的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理在实际生活中的运用，根据题意画出图形的能力．在点小蓓与汽车相遇，则小蓓的行进路线为，设，在中，为斜边，已知，，即可求，且，根据的等量关系可以求得，即可求相遇点的坐标．找到并且根据其求点坐标是解题的关键． 【详解】解：如图，设在点小蓓与汽车相遇，且设，过点轴， ∴，， ∵的坐标为，点的坐标为， ∴，，，， ，在中， ∴， 解得：， ∴点坐标为． 故选：C． 2．（25-26八年级下·广东江门·期末）公园里一根长方体石柱如图所示，若一只蚂蚁以的速度从点爬到点，最快需要多长时间（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分两种情况：①当把长方体沿正面和上面（或后面和下面）进行展开时，②当沿长方体的正面和右面（或后面和左面）进行展开时，利用勾股定理求出最短路径，进而可求出最快爬行的时间． 【详解】解：①当把长方体沿正面和上面（或后面和下面）进行展开时： 蚂蚁以的速度从点爬到点需要； ②当沿长方体的正面和右面（或后面和左面）进行展开时： ， 蚂蚁以的速度从点爬到点需要； ∵， ∴最快需要． 3．（25-26八年级下·河北廊坊·阶段检测）如图，在中，分别以BD，OD，BO为直径向外作三个半圆，其面积分别为，若，则（    ） A．18 B．20 C．22 D．24． 【答案】C 【分析】根据勾股定理和圆面积公式可以得到S1=S2+S3，从而得到问题解答． 【详解】解：由题意可得： ∵在直角三角形BDO中， ∴S1=S2+S3， ∴S2=S1-S3=40-18=22， 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的综合应用，熟练掌握圆面积公式和勾股定理的意义是解题关键． 4．（2026·山东德州·一模）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再将较小的两个正方形分别绕直角三角形斜边上的两顶点旋转得到图2．则图2中阴影部分面积等于（    ） A．直角三角形的面积 B．最大正方形的面积 C．最大正方形与直角三角形的面积和 D．较小两个正方形重叠部分的面积 【答案】D 【分析】根据勾股定理得到，再根据正方形的面积公式、矩形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，设直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，斜边为c， 由勾股定理可得，， 阴影部分面积， 较小两个正方形重叠部分的面积， ∴阴影部分面积=较小两个正方形重叠部分的面积． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的知识，解题关键是利用数形结合的数学思想分析问题． 5．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图所示，在一次折纸活动中，张老师把一张纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点与点恰好重合，此时与的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，关键是线段的转换； 设，利用折叠及勾股定理可得，，由是等腰直角三角形及折叠可得，则可求. 【详解】解：设， 由折叠可知，是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵矩形中， ∴， 由折叠可知：， ∵矩形中， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴， 故选：B． 6．（25-26八年级上·福建宁德·阶段检测）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O．若，，则________． 【答案】29 【分析】先利用勾股定理求出，，可得，然后由，得出答案． 【详解】解：由题意知， ∴， 根据勾股定理得，，， ∴， 根据勾股定理得，，， ∴， 故答案为：29． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 7．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为，已知，，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走______的路程．（取） 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用最短路径问题，将中间半圆展开，连接，则线段的长度即为蚂蚁爬行的最短路程，先求出的长，再利用勾股定理解答即可求解，找出蚂蚁爬行的最短路径是解题的关键． 【详解】解：如图，将中间半圆展开，连接，则线段的长度即为蚂蚁爬行的最短路程， 由题意可得，， ∴， ∵， ∴， ∴它至少要走的路程， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使C、A两点重合，点D落在点G处．已知，．则线段的长是_______． 【答案】 【分析】设 ，根据折叠性质可得 ， ，在 中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设， 四边形是长方形， ，，， ， 由折叠的性质得：，，， 在中，由勾股定理得，即， 解得：， 线段的长是． 9．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（）为，在公路上有一车站（点N），车站距商场（）为，公交公司拟在公路l上建一个公交车停靠站（点P），要求停靠站（点P）到商场（点M）与到车站（点N）的距离相等，则停靠站到车站的距离（）为__________ ． 【答案】 【分析】本题考查了选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)，解题关键是掌握勾股定理． 连结，利用勾股定理列出关于待求线段的方程求解． 【详解】解：连结， ∵停靠站（点P）到商场（点M）与到车站（点N）的距离相等， ∴， ∴， ∵商场（点M）距公路（直线l）的距离（）为，在公路上有一车站（点N），车站距商场（）为， ∴，， ∴（），（）， 解得：，， ∴停靠站到车站的距离（）为． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·甘肃酒泉·阶段检测）如图，现有一长方体的实心木块，有一蚂蚁从处出发沿长方体表面爬行到处，若长方体的长，宽，高，则蚂蚁爬行的最短路径长是______． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开——最短路线问题和勾股定理的应用，分类讨论是解题的关键． 连接，求出的长即可，分为三种情况：画出图形，根据勾股定理求出每种情况时的长，再找出最短的即可． 【详解】解：将长方体展开成平面后，连接，则的长就是最短路径长度， 分为三种情况： 如图，由题意可知，， 长方体的长，宽，高， ， ， 在中，由勾股定理得：； 如图，由题意可知，， 长方体的长，宽，高， ，， 在中，由勾股定理得：； 如图，由题意可知，， 长方体的长，宽，高， ，，， ， 综上，最短路径长度是， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·甘肃酒泉·阶段检测）如图，一圆柱高，底面半径为，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，求蚂蚁要爬行的最短路程．（） 【答案】蚂蚁要爬行的最短距离是厘米 【分析】本题考查平面展开最短路径问题，圆柱展开为长方形，根据题意可知道点和在平面上的位置，根据两点之间线段最短可求出解． 【详解】解：将圆柱的侧面展开，为的中点，如图所示： 就是蚂蚁爬的最短路径． 底面半径为， （厘米）， （厘米）， 厘米， （厘米）． 故蚂蚁要爬行的最短距离是厘米． 12．（24-25八年级上·四川成都·期中）在矩形纸片中，，． (1)如图①，将矩形纸片沿折叠，点落在对角线上的点处，求的长： (2)如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，求的长： (3)如图③，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) (3)的最小值为，最大值为 【分析】本题考查了勾股定理，折叠问题，全等三角形的性质与判定； （1）设，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）由证明，得出，，，因此，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）当折痕所在直线经过点时，如图1所示；此时最小；当折痕所在直线经过点时，如图2所示：此时最大，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：设，，，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ； （2）解：设， 由折叠的性质得：， 在和中， ， ， ， ，， ，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ． （3）当折痕所在直线经过点时，如图1所示： 此时最小； 当折痕所在直线经过点时，如图2所示： 此时最大，， 由勾股定理得：； 综上所述，的最小值为，最大值为． 13．（25-26八年级上·福建福州·期末）（1）【阅读材料】 如图1，在边长为a的正方形边上挖去一个边长为b的正方形，再将剩余部分中长方形①剪下，与其它部分拼成图2所示的长方形．由面积的不同算法可得乘法公式：________； （2）【类比探究】 如图3，的三条边长分别记为a，b，c，，点C，A，E在同一条直线上，连接．请推导出a，b，c之间的等量关系． （3）【应用结论】 如图4，的两条直角边及斜边上的高分别记为a，b，h．应用上面结论求证． 【答案】（1）； （2）； （3）由（2）得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质： （1）根据面积的不同算法即可得乘法公式； （2）结合全等三角形的性质可得到，再由，即可解答； （3）由（2）得：，根据，可得，从而得到，即可求证． 【详解】解：（1）图1中阴影部分的面积为， 图2中阴影部分的面积为， 由面积的不同算法可得乘法公式：； 故答案为： （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； （3）略 14．（25-26八年级下·河南许昌·期中）【模型建立】“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和很容易让人联想到利用勾股定理求直角三角形第三边的情形，可以用“”表示直角边分别是x、3的直角三角形的斜边的长，用“”表示直角边分别是、2的直角三角形的斜边的长，基于以上联想，我们构造两个这样的直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时,，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”     (1)根据：两点之间__________，得到：线段AD就是的最小值，如图3连接AD，延长至，使，连接，可证：四边形是矩形，__________，__________，在中，由勾股定理可求得的长，的最小值是__________． 【模型应用】 (2)代数式的最小值是__________． 【模型拓展】 (3)根据以上学习，结合备用图解决问题：已知正数满足，求的值． 【答案】(1)线段最短，5，12，13 (2) (3) 【分析】（1）根据"两点之间线段最短"，当 、、三点共线时，最小，即线段 就是最小值．延长 至 ，使 ，连接 ，可证四边形 是矩形，从而得 ，，最后在 中由勾股定理求 ． （2）将 理解为直角边为 和 的直角三角形斜边，将 理解为直角边为 和 的直角三角形斜边，仿照例题方法构造图形求最小值． （3）将 和 理解为已知斜边、一条直角边为 时，另一条直角边的长，结合备用图构造图形，转化为折线最短路径问题求解． 【详解】（1）解：根据：两点之间线段最短，得到：线段 就是 的最小值． 延长 至 ，使 ，连接 ． ，， 四边形 是平行四边形． , 四边形 是矩形． ，． 在 中，由勾股定理： ， ​ 的最小值是 ． （2）解：原式理解为：中，，；中，，； 如图，构造两个直角三角形，令两直角三角形的水平边 和 在同一直线上，平移使 、重合，则总水平长度为 ，竖直高， ． 延长到，构造矩形，竖直总高 ，水平总长 ， ， 的最小值是 ． （3）解：如图，令 ，，，则： ​，． ． 设 ，，则 ， 由勾股定理，得，两式相减： ，即 ， ， ， 解得：，． 代入 ： 15．（24-25八年级上·山东济南·期中）我国是历史上较早发现并运用“勾股定理”的国家之一、古人将直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”，“勾股定理”因此而得名．勾股定理：若直角三角形两直角边长分别为a、b，斜边长为c，则有，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 请运用“勾股定理”解决下列问题． (1)如图1，直角三角形的两条直角边分别是9厘米和12厘米，则这个直角三角形的斜边长___________厘米． (2)如图2，分别以直角三角形的边为边长作正方形，则___________，___________．根据勾股定理可知，，所以___________=___________． (3)如图3，圆柱的高为4厘米、底面半径为1厘米．在圆柱底面A点有一只蚂蚁，它想吃到与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少厘米？（取3） 下面是小林的思考过程，请你帮他补充完整． ①将该圆柱的侧面展开后得到一个长方形，如图4所示（A点的位置已经给出），请在图中标出B点的位置并连接． ②小林认为线段的长度是蚂蚁爬行的最短路程，那么蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【答案】(1)15 (2)；；， (3)①如图， ②5厘米 【分析】本题考查了正方形面积的计算以及勾股定理的应用，平面展开最短路径问题，关键是把立体图形能够展成平面图形求解． （1）根据勾股定理计算即可； （2）利用勾股定理，易得； （3）①圆柱的平面展开图上面长的中点即为B点，连接； ②利用勾股定理可求出的长，即可求出蚂蚁沿侧面爬行时最短的路程． 【详解】（1）解：， ∴斜边为：厘米； 故答案为：15； （2）解：， ， ； 故答案为：；；，； （3）解：①B点长方形上面长的中点，连接， ②圆柱高厘米，底面半径厘米， （厘米）， 故（厘米）， 答：蚂蚁爬行的最短路程是5厘米． 学科网（北京）股份有限公司 $