2026-2027学年北师大版八年级数学上册单元复习(一)勾股定理

**基本信息** 单元复习同步练以“知识结构-重难点突破-复习自测”为路径，分层覆盖勾股定理基础应用、综合问题及实际情境，通过例题变式与梯度习题培养几何直观、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|勾股定理概念、基本计算|选择填空聚焦单一知识点，如直角三角形判定、边长计算| |能力提升|折叠问题、实际应用|例题+变式训练，如长方形折叠用方程法求解，购物车支架形状判断| |综合应用|复杂情境与创新探究|解答题融入最短路径（蚂蚁爬行）、勾股分割点等开放问题，培养空间观念与推理能力|

单元复习(一)勾股定理 01知识结构图 02重难点突破 重难点1 勾股定理与折叠 【例1】 如图，在长方形纸片 ABCD 中,AB=12,BC=5,点 E 在 AB上,将△DAE 沿 DE 折叠,使点 A 落在对角线BD 上的点F 处,则 AE的长为 . 【思路点拨】 设 AE=EF=x,则 BE=12-x，在Rt△BEF中，由勾股定理列方程求解即可. 方法指导 抓住图形的“直观性”和折叠前后的“不变性”是解决折叠问题的关键.利用勾股定理中三边的数量关系列方程是解决此类问题的常用手段. 变式训练 1.如图,在长方形 ABCD中,点 E 在边AB 上，将长方形ABCD 沿直线DE 折叠,点A恰好落在边 BC 上的点 F 处.若 AE=5,BF=3,则CD的长为 . 重难点2 勾股定理的实际应用 【例2】 如图，地面上放着一个小凳子，点A 距离墙面40 cm，在图1中，一根细长的木杆一端与墙角重合，木杆靠在点 A 处，OA =50cm；在图2中，木杆的一端与点 B 重合，另一端靠在墙上点 C处. (1)求小凳子的高度. (2)若OC=90 cm,木杆的长 BC 比AB 长60 cm，求木杆的长 BC 和小凳子座板的宽AB. 【思路点拨】 (1)过点 A 作AM 垂直于墙面，垂足为 M，根据勾股定理解答即可； (2)延长 BA 交墙面于点 N，根据勾股定理解答即可. 【解答】 方法指导 构造直角三角形，利用直角三角形三边的关系解决生活中的问题是解题的关键. 变式训练 2.图 1是某超市的购物车，图2 是其侧面简化示意图，测得支架AC=8,AB=6,两轮中心的距离BC=10,滚轮半径r=2. (1)判断△ABC 的形状，并说明理由. (2)若购物车上篮子的左边缘 D 与点 A 的距离AD=13,AE=5,且 AE⊥DE,AE 和BC 都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘 D到地面的距离. 03 复习自测 一、选择题(每小题4 分，共28分) 1.下列各组数分别为三角形的三边长，其中不能构成直角三角形的一组是 ( ) A.3,4,5 B.4,5,6 C. , ,1 D.9,12,15 2.如图，直角三角形中未知边的长x=( ) A. B. C.5 D.7 3.如图，以数轴的单位长度为边作一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形的对角线的长为半径画弧，交数轴正半轴于点 A，则点 A 表示的数是 ( ) A. B. C. D.1.4 4.如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边AB 和BC 的长，再测量点A 和点C 间的距离，由此可推断∠B 是否为直角，这样做的依据是 ( ) A.勾股定理 B.勾股定理的逆定理 C.三角形内角和定理 D.直角三角形的两锐角互余 5.如图,在△ABC中,AB=AC,AB=5,BC=8,则该三角形的面积为 ( ) A.12 B.6 C.10 D.8 6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=8,BD平分∠ABC交AC于点D,DE⊥AB于点E,则线段CD的长为 ( ) A.3 C. 2 D. 7.如图，将两个形状、大小完全相同的△ABC 和△A'B'C'拼在一起,其中点 A'与点 A 重合,点 C'落在边 AB 上,连接 B'C.若∠ACB=∠AC'B'=90°,AC=BC=3,则 B'C 的长为( ) A.3 B.6 C.3 8.如图，正方形ABCD 的边长为4，其面积标记为 S₁，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 S₂……按照此规律继续下去,则 S₂₀₂₃的值为 ( ) 二、填空题(每小题5分，共30分) 9.在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(0，9)，点 B 的坐标是(-12,0),则 A,B 两点间的距离是 . 10.在△ABC中,若 则∠B+∠C= . 11.如图,湖的两岸有A,C两点,取一点 B,使 BC⊥AC,且 BC=12 米,测得 AB=15 米,BC=12米，则A，C两点间的距离为 米. 12.如图，在2×2 的方格中每个小正方形的边长为2，则阴影正方形的边长的整数部分是 。 13.如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为 . 14.有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长 AD=80 cm,高 AB=50 cm,水深AE=40 cm，在水面上紧贴内壁的G 处有一块面包屑,G 在水面线 EF 上,且 FG=30 cm，一只蚂蚁想从鱼缸外的点 A 沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G 处吃面包屑.则蚂蚁爬行的最短路程为 cm. 三、解答题(共42分) 15.(8分)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点 A，B，C，D都在格点上. (1)线段 AB的长是 . (2)在图中画出一条线段 EF，使EF 的长为 判断AB，CD，EF 三条线段的长能否成为一个直角三角形的三边长，并说明理由. 16.(10分)如图,直线l为一条公路，A，D处有两个村庄，AB⊥l于点 B,DC⊥l于点 C,AB=8 千米,BC=16千米,CD=12千米.现需要在 BC上建立一个物资调运站E，使得 E 到A，D两个村庄的距离相等，请求出此时E到 B 的距离. 17.(12分)如图,△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D 为边AB 上一点.求证： (1)△ACE≌△BCD. (2) 18.(12分)定义:如图,点 M,N 把线段AB 分割成AM,MN,NB,若以 AM,MN,NB 为边的三角形是一个直角三角形，则称点 M，N是线段AB 的勾股分割点. (1)已知点 M,N 把线段 AB 分割成 AM,MN,NB,若 AM=2,MN=4,BN=2则点 M，N是线段AB 的勾股分割点吗?请说明理由. (2)已知点 M，N是线段AB 的勾股分割点，且 AM为直角边,若 AB=12,AM=5,则 BN= . 学科网（北京）股份有限公司 $