第二单元 二次函数 单元练习题 2026-2027学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

**基本信息** 本卷为初四上册二次函数单元复习卷，全面覆盖二次函数图像性质、解析式、最值及实际应用，通过基础判断、综合计算与情境问题，分层考查数学抽象、几何直观与模型意识，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|图像与x轴交点（第1题）、性质描述（第3题）、方程根估计（第4题）|结合图像判断性质，如第6题多结论推理，考查逻辑思维| |填空题|5/20|解析式求解（第11题）、利润最值（第12题）、区间最值（第14题）|第12题商品利润问题，体现模型意识与应用能力| |计算题|1/8|对称轴、区间最值|第16题分层设问，考查分类讨论思想| |解答题|6/82|实际应用（第19题矩形面积）、图像变换（第9题翻折）、综合证明（第20题）|第19题旧墙围菜园，融合几何与函数最值，培养应用意识|

第二单元 二次函数练习题 2026-2027学年度第一学期初四上册 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是(    ) A. 图象的开口向下 B. 当时，的值随值的增大而增大 C. 函数的最小值小于 D. 当时， 2.已知正方形的边长为，面积为，下列图象能表示与之间的函数关系的是(    ) A. B. C. D. 3.对二次函数的性质描述正确的是(    ) A. 函数图象开口朝下 B. 当时，随的增大而减小 C. 该函数图象与轴的交点位于轴负半轴 D. 该函数图象的对称轴在轴左侧 4.下表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值： 那么关于的方程的一个根的近似值可能是． A. B. C. D. 5.在平面直角坐标系中，若点，在抛物线上，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 6.如图所示，二次函数、、为常数，的图象与轴交于点，有下列结论：；若点和均在抛物线上，则；；其中正确的有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7.抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方以下结论正确的是(     ) A. B. C. D. 8.二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9.已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数如图所示，当直线与新图象有个交点时，的取值范围是(    ) A. B. C. D. 10.设，分别是函数，图象上的点，当时，总有恒成立，则称函数，在上是“逼近函数”，为“逼近区间”则下列结论： 函数，在上是“逼近函数”； 函数，在上是“逼近函数”； 是函数，的“逼近区间”； 是函数，的“逼近区间”． 其中，正确的有(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11.已知抛物线经过和两点，则的值为          ． 12.某种商品每件进价为元，调查表明：在某段时间内若以每件元，且为整数出售，可卖出件，若使利润最大，则每件商品的售价应为          元 13.如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于的方程的解是          ． 14.已知二次函数，当自变量的值满足时，与其对应的函数的最大值为，则常数的值是      ． 15.当时，二次函数有最大值，最小值，则的值为          ． 三、计算题：本大题共1小题，共8分。 16.已知二次函数． 求该函数图象的对称轴； 若，当时，的最大值为，求函数的解析式； 已知，为该函数图象上两点，当时，，求的取值范围． 四、解答题：本题共6小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 已知抛物线，点为抛物线顶点 若抛物线与轴的交点坐标为点，求抛物线的解析式 当点的纵坐标取最大值时，求的值及点坐标 在的条件下，当，函数有最小值，求的值 18.本小题分 如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中． 求二次函数的表达式； 若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的倍，求点的坐标． 19.本小题分 如图，在足够大的空地上有一段长为米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了米木栏． 若，所围成的矩形菜园的面积为平方米，求所利用旧墙的长 求矩形菜园面积的最大值． 20.本小题分 已知二次函数，为常数． 若该二次函数的图像与直线有两个交点，求的取值范围 若该二次函数的图像与轴有交点，求的值 求证：该二次函数的图像不经过原点． 21.本小题分 如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点． 求点、、坐标； 若直线经过、两点，直接写出不等式的解集． 22.本小题分 如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为，一次函数的图象过点、． 求二次函数的解析式； 求二次函数的图象与轴的另一个交点的坐标； 根据图象写出时，的取值范围． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：由题意可得， 方程的两根异号， ， 解得：， 二次项系数，开口向上，故A不符合题意； 的对称轴为直线， 当时，随增大而增大，故B不符合题意； 当时，， 最小值为，故C不符合题意； 当时，， ， 此时，故D符合题意； 故选：． 由二次函数图象与轴有两个交点且位于轴两侧，说明对应方程的两根异号，即常数项与二次项系数符号相反，结合开口方向、顶点坐标及特定点函数值分析选项即可． 本题考查的是二次函数的图象与性质，掌握其性质是解题的关键． 2.【答案】  【解析】略 3.【答案】  【解析】略 4.【答案】  【解析】略 5.【答案】  【解析】略 6.【答案】  【解析】解：由图象可得， ，，，则，故正确，符合题意； 二次函数、、为常数，的图象与轴交于点，， 该函数的对称轴为直线， 和对应的函数值相等，当时，随的增大而增大， 若点和均在抛物线上，则，故正确，符合题意； 对称轴是直线， ， ， 点在该函数图象上， ， ， 即， ，故正确，符合题意； ，， ， ， 即，故错误，不符合题意； 故选：． 根据函数图象开口向下可知，根据左同右异可知，再根据图象与轴交于正半轴可知，然后即可判断；根据二次函数、、为常数，的图象与轴交于点，，可以得到该函数的对称轴，再根据二次函数的性质，即可判断；根据对称轴可以得到和的关系，再根据时，，可以得到，进行变形即可判断；根据时，和、的关系，可以判断． 本题考查二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 7.【答案】  【解析】解：由题意，抛物线与轴的交点位于轴上方， 令，，故B错误． 又抛物线的顶点为， 可设抛物线为． ． ，． ， ，即，故A错误． 顶点为， 当时，，故C正确． ，， ，故D错误． 故选：． 依据题意，由抛物线与轴的交点位于轴上方，可令，，故可判断；又抛物线的顶点为，从而可设抛物线为，即，故，，结合， 故可判断、；由顶点为，从而当时，，故可判断． 本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 8.【答案】  【解析】解：由条件可知，，， 对称轴为， ， ， 在轴负半轴上， 当时，， 又， 则在第一象限， 过点和点的直线一定不经过第四象限； 故选：． 根据二次函数图象结合已知条件判断各式即可． 本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：如图， 当时，， 解得，， 则点坐标为，点坐标为， 将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方的部分图象的解析式为， 即， 当直线经过点时，， 解得， 当直线与抛物线有唯一公共点时， 方程有相等的实数解， 即有相等的实数解， 则， 解得， 所以当直线与新图象有个交点时，的取值范围为． 故选D． 本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数与一元二次方程． 如图，解方程得，，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，即，然后求出直线经过点时的值和当直线与抛物线有唯一公共点时的值，从而得到当直线与新图象有个交点时，的取值范围． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查一次函数、二次函数的综合应用，解题的关键是读懂“逼近函数”和“逼近区间”的含义，会求函数在某个范围内的最大、最小值．根据当时，总有恒成立，则称函数，在上是“逼近函数”，为“逼近区间”，逐项进行判断即可． 【解答】 解：，在上，当时，最大值为，当时，最小值为，即，故函数，在上是“逼近函数”不正确； ，在上，当时，最大值为，当时，最小值为，即，故函数，在上是“逼近函数”正确； ，在上，当时，最大值为，当或时，最小值为，即，当然也成立，故是函数，的“逼近区间”正确； ，在上，当时，最大值为，当或时，最小值为，即，故是函数，的“逼近区间”不正确； 正确的有， 故选：． 11.【答案】  【解析】略 12.【答案】  【解析】略 13.【答案】，  【解析】略 14.【答案】或  【解析】解：二次函数， 二次函数图象开口向下，对称轴为，最大值为， 若，当时，取得最大值，不符合题意，舍去； 若，当时，随着的增大而减小， 当时，取得最大值， ， 解得或舍去； 若，当时，随着的增大而增大， 当时，取得最大值， ， 解得或舍去； 综上所述，常数的值是或． 故答案为：或． 根据二次函数的性质得到图象开口向下，对称轴为，最大值为，再分种情况讨论：；；，利用二次函数的性质求出取最大值时对应的值，从而得到关于的方程，即可求出的值． 本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 15.【答案】  【解析】略 16.【答案】解：对称轴为直线；  ，图象开口向上，对称轴为直线，  当时，越远离对称轴函数值越大，  当时，的最大值为，  ，  ，    ，为该函数图象上两点，  、关于对称轴对称，  当时，由图象可知，时最小，  时，即可，  ，  ，  当时，由图象可知，时最小，  时，即可，  ，  ，与矛盾，舍去，  综上所述．  【解析】解：对称轴为直线；  ，图象开口向上，对称轴为直线，  当时，越远离对称轴函数值越大，  当时，的最大值为，  ，  ，    ，为该函数图象上两点，  、关于对称轴对称，  当时，由图象可知，时最小，  时，即可，  ，  ，  当时，由图象可知，时最小，  时，即可，  ，  ，与矛盾，舍去，  综上所述． 二次函数的对称轴公式为，本题中直接代入系数即可求出对称轴；  已知，抛物线开口向上，对称轴为，在内，离对称轴越远函数值越大，因此，最大值出现在端点处，将代入函数，结合最大值为列方程求解  点与关于对称轴对称，需结合的正负，判断在的范围内，何时取最小值，分别将和代入解析式，根据列不等式求解的取值范围． 本题考查二次函数的对称轴、区间最值和对称性的综合应用，核心是利用二次函数的对称性和增减性分析问题．熟练掌握二次函数的图象性质与对称性，是解决这类问题的关键． 17.【答案】【小题】已知抛物线，点为抛物线顶点． 得：， ， 【小题】， ，顶点的坐标为， ， 当时，的最大值为， 此时点的坐标为 【小题】当，函数有最小值， 当时，， 当时，函数有最小值， 时，函数的最小值是， 的取值范围一定在对称轴的左边或者右边． 当时，时有最小值， ， 解得，， ， ． 当时，时有最小值， ， 解得，， ， ． 综上所述，或   【解析】解：已知抛物线，点为抛物线顶点． 得：， ， ； ， ，顶点的坐标为， ， 当时，的最大值为， 此时点的坐标为； 当，函数有最小值， 当时，， 当时，函数有最小值， 时，函数的最小值是， 的取值范围一定在对称轴的左边或者右边． 当时，时有最小值， ， 解得，， ， ． 当时，时有最小值， ， 解得，， ， ． 综上所述，或． 将代入抛物线解析式求出的值，即可求得抛物线的解析式； 先求出抛物线的顶点坐标为，再由可得当时，的最大值为，进而可得点的坐标； 先求出再的条件下抛物线的表达式为，可知当时，函数有最小值，根据当，函数有最小值，可知的取值范围一定在对称轴的左边或者右边．然后分和两种情况讨论，即可求出的值． 本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的表达式，以及二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 18.【答案】   【解析】【分析】本题考查二次函数表达式、二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，考查运算能力、推理能力、几何直观等． 根据待定系数法求解即可； 设，因为点在第二象限，所以依题意，得，即可得出，求出，由，求出，即可求出点的坐标． 【详解】解：将代入， 得 解得 所以，二次函数的表达式为． 设，因为点在第二象限，所以． 依题意，得，即，所以． 由已知，得， 所以． 由， 解得舍去， 所以点坐标为． 19.【答案】【小题】 解：设，则， 根据题意得， 解得，， 当时，，不合题意舍去 当时，， 答：的长为． 【小题】 设， ． 当时，则时，的最大值为 当时，则当时，随的增大而增大，当时，的最大值为． 综上所述，当时，的最大值为当时，的最大值为．   【解析】 略  略 20.【答案】【小题】 二次函数中，二次项系数， 二次函数的图像开口向上． 二次函数的图像与直线有两个交点， 函数的最小值小于， 即， 化简，得，解得 【小题】 二次函数的图像与轴有交点， 方程有实数根． ． ． ， ，解得 【小题】 当时，， 二次函数的图像不经过原点   【解析】 略  略  略 21.【答案】解：令，则， 解得或， 点坐标为，点坐标为， 令，， 点坐标为． 由图象可得，当时，抛物线在直线上方， 的解集为．  【解析】令可得点，坐标，令可得点坐标． 通过观察图象，之间的部分抛物线在直线上方，从而求解． 本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． 22.【答案】解：由二次函数的图象经过、 两点， 得 ， 解这个方程组，得， 抛物线的解析式为； 令，得， 解这个方程，得，， 此二次函数的图象与轴的另一个交点的坐标为； 观察图象可知，当或，．  【解析】把，分别代入得到关于、的方程组，求出、即可； 令，得到，然后解一元二次方程即可得到二次函数的图象与轴的另一个交点的坐标； 观察图象可得当或，抛物线都在直线的上方，即． 本题考查了二次函数的性质、待定系数法、一次函数的应用等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用图象法半径两个函数值的大小，属于中考常考题型． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $