2.6二次函数与一元二次方程（分层作业练题型）数学新教材鲁教版五四制九年级上册

2.6二次函数与一元二次方程 题型一 求抛物线与x轴的交点 1．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的顶点坐标为，且过点． (1)求二次函数的表达式； (2)求出该函数与轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及函数与x轴、y轴的交点坐标的求法． （1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）令，即可得到关于x的方程，即可得解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式是， 把点代入得：， 解得：， 则抛物线的解析式是，即； （2）解：在中令，则， 解得：或， 则函数与x轴的交点坐标为，． 2．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）已知二次函数与轴交于、两点（点在点的左侧），点、点的横坐标是一元二次方程的两个根． (1)求点、点的坐标； (2)请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标． 【答案】(1)， (2)，直线， 【分析】本题考查了解一元二次方程，求二次函数表达式及对称轴和顶点坐标，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可得到A点和B点坐标； （2）将A、B两点坐标代入二次函数，可求二次函数解析式，配方为顶点式，可求对称轴及顶点坐标． 【详解】（1）解：， ，， ∵点在点的左侧， ，． （2）解：将、两点坐标代入二次函数，得： ， 解得， ， ， 抛物线对称轴为直线，顶点坐标为． 3．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为，顶点D的坐标为． (1)求该抛物线的表达式． (2)求B、C两点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，二次函数的顶点式，待定系数法求二次函数，二次函数与坐标轴的交点坐标，正确理解二次函数的性质是解题的关键． （1）设二次函数的解析式为，将代入求出值即可求解； （2）令可求点的坐标，令可求点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线的顶点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入上式，得， 解得，， 该抛物线的解析式为：； （2）将代入得，， 解得，， 点的坐标为； 将代入，得， 点的坐标为， 综上，点的坐标为；点的坐标为． 4．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）已知抛物线的对称轴是直线． (1)求m的值； (2)求抛物线与x轴的交点坐标； (3)当x为何值时，y随x的增大而增大． 【答案】(1) (2)和 (3) 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键． 先把抛物线的解析式化为一般式，再根据对称轴，求出m的值； 根据的结论求出函数解析式，再令，解关于x的一元二次方程即可得出结论； 抛物线开口向上，对称轴为直线，根据函数的性质即可得出结论． 【详解】（1）解： ， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得：； （2）把代入解析式得： ， 令，则， 解得：，， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和； （3）∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大． 5．（25-26九年级上·山西吕梁·期中）如图，二次函数的图象过坐标轴上、、三点． (1)求、、三点坐标和顶点坐标； (2)当时，求函数值的范围； (3)根据图象回答，当取何值时，函数值？ 【答案】(1)点坐标为，点坐标为，点坐标为，顶点坐标为 (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点问题，利用图象法求不等式的解集等知识点． （1）令即可求解抛物线与坐标轴的交点，将一般式化为顶点式即可求解顶点坐标； （2）根据二次函数的图象与性质即可求解； （3）利用图象即可求解． 【详解】（1）解：对于， 当时，， 解得，， 点坐标为，点坐标为， 把代入可得， 点坐标为， 抛物线解析式为：，即， 顶点坐标为； （2）解：对称轴，开口向上， 当时，有最小值为， ∵ ∴时，对应点离对称轴较远，函数有最大值为5， ； （3）解：抛物线经过轴上两点，，且抛物线开口向上， 当或时，抛物线在轴的上方，即． 题型二 求抛物线与y轴的交点 1．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）抛物线与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点，求抛物线与y轴的交点，即令，代入方程计算y值． 【详解】解：∵抛物线与y轴相交时，， ∴将代入， 得， ∴抛物线与y轴的交点坐标为， 故选A 2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）抛物线与y轴的交点为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求抛物线与y轴的交点． 令，代入计算y值即可． 【详解】解：将代入得：， ∴抛物线与轴交点为． 故选：B． 3．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．抛物线关于直线对称 C．抛物线顶点坐标为 D．抛物线与轴交于点 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的顶点式的性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标和与y轴交点，据此相关性质进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵ 抛物线为，且, ∴ 开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 故A，B选项不符合题意，C选项符合题意； 当时，， ∴抛物线与y轴交点为， 故D选项不符合题意， 故选：C 4．（25-26九年级上·吉林松原·阶段练习）二次函数的图像，下列说法正确的是（   ） A．对称轴为直线 B．最大值为4 C．与y轴交点为 D．图像过点 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，与坐标轴的交点，函数的最值问题． 先将化为顶点式，即可求解对称轴，最值，令可得图像与y轴的交点，把代入函数解析式计算值是否等于即可判断是否经过点． 【详解】解：， ∴对称轴为直线，故A错误，不符合题意 ∵， ∴函数的最大值为，故B正确，符合题意； 对于，当， ∴与y轴交点为，故C错误，不符合题意； 当时，， 则图像不经过点，故D错误，不符合题意； 故选：B． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）二次函数与轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标，当时，求出即可，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴与轴的交点坐标为， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线与轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与坐标轴的交点问题，解题的关键是熟练掌握坐标轴上点的坐标特征． 令求出值，即可写出坐标． 【详解】解：当， ∴抛物线与轴的交点坐标是， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·河北保定·阶段练习）二次函数的最小值为 ，其图象与轴的交点坐标为 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 求二次函数的最小值可通过顶点公式计算，顶点横坐标为 ，再代入求纵坐标；求与 y 轴的交点坐标，令代入函数解析式求解． 【详解】解：顶点横坐标， ∴代入得， ∵， ∴二次函数的最小值为； 令，得， 故与 y 轴交点坐标为， 故答案为：，． 题型三 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 1．（25-26九年级上·广西贺州·阶段练习）如图，已知二次函数顶点的纵坐标为3，则关于的方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个不相等的负根 D．有两个不相等的正根 【答案】A 【分析】利用数形结合的思想判断选择即可． 本题考查了抛物线的最值，抛物线与一元二次方程的交点，数形结合思想，熟练掌握抛物线与一元二次方程的交点，最值是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数顶点的纵坐标为3， ∴二次函数的图象与直线只有1个交点， ∴方程有两个相等的实数根． 故选：A． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）根据下列表格中二次函数的自变量与函数值的对应值，可以判断关于的方程的一个解的范围是（   ）      1                                         A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了二次函数与一元二次方程的关系，通过观察二次函数值的符号变化，确定一元二次方程根的所在区间． 【详解】解：∵ 当时，； 当时，； ∴ 方程 的一个解 在 和 之间，即 ． 故选：B． 3．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标为，则关于x的一元二次方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系．先将二次函数解析式化为顶点式，然后求出函数图象的对称轴，即可得到该函数图象与x轴的另一个交点的横坐标，从而可以得到一元二次方程的解． 【详解】解：二次函数， 该函数的对称轴为直线， 二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标为， 二次函数的图象与x轴的另一个交点的横坐标为， 关于x的一元二次方程的解是，， 故答案为：，． 4．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）已知二次函数的部分图像如图所示，则关于x的一元二次方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的图像与性质是解答本题的关键． 根据抛物线的对称轴和其中与x轴的交点可以得知另一个交点坐标，从而知道对应方程的解． 【详解】解：由图像可知，二次函数的图像的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点是， ∴二次函数的图像与x轴的另一个交点坐标为， 关于x的一元二次方程的解为，． 5．（23-24九年级上·甘肃酒泉·期末）二次函数的大致图象如图所示，则关于的方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．求出抛物线与直线的交点的横坐标即可． 【详解】解：由图象可得，过点，且对称轴为直线直线， ∴点也在的图象上． ∴关于的方程的解是抛物线与直线交点的横坐标，即为，． 故答案是：，． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）设二次函数（a，b，c是常数，），如表列出了、的部分对应值． 1 2 3 0 则方程的解是 ，不等式的解集是 ． 【答案】 或 或 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，根据题意得出二次函数的对称轴为直线是解题的关键；根据函数与方程及不等式的关系求解即可. 【详解】解：∵当时，，当时，， ∴二次函数的对称轴为直线． ∵当时，， ∴当时，， ∴方程的解是或． ∵当时，， ∴当时，． ∵当时，随的增大而增大， ∴， ∴不等式的解集是或． 故答案为：或；或． 7．（2018·湖北孝感·中考真题）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为 ，，则关于 x 的方程的解为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了通过函数图象的交点确定方程的解，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． 根据抛物线和直线的交点坐标及解析式，得出方程的解即可． 【详解】解：根据抛物线和直线的交点坐标及解析式得， 方程的解为， 故答案为：． 8．（24-25九年级下·甘肃·课后作业）如图，一次函数和二次函数的图象交于点和点． （1）方程的解为 ； （2）方程的解为 ； （3）不等式的解集是 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）方程的解是二次函数与轴交点的横坐标，结合已知点求解； （2）方程的解是一次函数与二次函数图象交点的横坐标，结合已知交点求解； （3）不等式的解集是二次函数图象在一次函数图象下方时的取值范围，结合交点位置求解． 【详解】解：（1）二次函数过点，原点 所以方程为解为． （2）一次函数与二次函数交于和， 所以方程的解为． （3）由图象可知，当时，二次函数的图象在一次函数图象的下方， 所以不等式的解集是． 【点睛】本题考查一次函数与二次函数的综合应用，掌握方程的解与函数交点横坐标的关系，以及不等式解集与函数图象上下位置的关系是解题的关键． 9．（25-26九年级上·四川泸州·阶段练习）已知函数的图象如图所示，根据图象可得： (1)抛物线顶点坐标为______． (2)对称轴为______． (3)当______时，y有最大值是______． (4)当______时，随着的增大而增大． (5)当______时，． (6)关于的方程的解为______． 【答案】(1)； (2)直线； (3)，； (4)； (5)； (6)，． 【分析】本题考查了二次函数图象性质的基础应用，熟练掌握二次函数的顶点、对称轴、单调性、函数与方程的关系是解题的关键． 从图象中可直接观察到顶点的横、纵坐标； 二次函数的对称轴是过顶点且垂直于轴的直线，其方程为的顶点的横坐标，所以由顶点横坐标可直接得到对称轴； 因为抛物线开口向下图象从顶点向两侧下降，所以顶点是最高点． 抛物线开口向下，在对称轴左侧，随的增大而增大，即可得出随增大而增大的区间； 根据图象即可求解； 方程的解就是抛物线与轴交点的横坐标． 【详解】（1）解：抛物线与轴交点的坐标分别是和， 对称轴是：直线， 抛物线的顶点是图象的最高点，从图中可直接看出顶点坐标为； 故答案为：； （2）解：抛物线与轴的交点为，， 抛物线的对称轴为直线， 故答案为：直线； （3）解：抛物线开口向下图象从顶点向两侧下降， 顶点是最高点，即当时，有最大值； 故答案为：，； （4）解：抛物线开口向下，在对称轴左侧，随的增大而增大， 当时，随着的增大而增大； 故答案为：； （5）解：当时，即抛物线在轴上方的部分， 由图可知当时，， 故答案为：； （6）解：方程的解就是抛物线与轴交点的横坐标， 即，； 故答案为：，． 题型一 已知二次函数的函数值求自变量的值 1．（25-26九年级上·河南周口·阶段练习）已知函数，当函数值为1时，自变量的取值为 ． 【答案】0或 【分析】本题考查了一元二次方程与二次函数的关系，根据函数值为1得，解方程即可得出答案． 【详解】解：根据题意得， ∴，即， 解得或， 即当函数值为1时，自变量的取值为0或． 故答案为：0或． 2．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表： … 0 1 2 3 … … 10 5 2 1 2 … 则当时，x的值为 ． 【答案】4或0 【分析】本题考查用待定系数法求函数表达式、已知函数值求二次函数自变量的值，先利用待定系数法求得二次函数表达式为，再把代入求解即可． 【详解】解：把点、、代入得， ，解得， ∴二次函数表达式为， 当时，， 解得，， 当时，x的值为4或0， 故答案为：4或0． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，与y轴的交点为． (1)求该抛物线的表达式； (2)求该抛物线与直线的交点坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是熟记二次函数的性质和熟练解一元二次方程． （1）将代入，即可求解； （2）将代入解析式，解方程即可求解． 【详解】（1）解：根据题，抛物线的表达式为．           将代入，得， 解得．           ∴该抛物线的表达为． （2）由（1）可知， 当时，， 解得，． ∴该抛物线与直线的交点坐标分别为，． 4．（25-26九年级上·河南开封·阶段练习）已知二次函数． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)当时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)的值为； (2)的值为或； (3)的取值范围为． 【分析】本题考查了二次函数的性质，解一元二次方程，掌握二次函数的性质是解题的关键． （）把代入解析式即可求解； （）把代入解析式，然后解方程即可； （）根据二次函数的性质的性质即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴的值为； （2）解：当时，， 解得：，， ∴的值为或； （3）解：∵， ∴当时，有最小值， ∵， ∴当时，有最大值， ∴当时，的取值范围为． 5．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）已知二次函数图象的顶点坐标，且经过点． (1)求这个二次函数表达式； (2)写出y的值随x值的增大而减小的自变量x的取值范围 (3)若点在该函数图象上，求点A的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数图像的性质等知识点，运用待定系数法求得函数解析式是解题的关键． （1）直接运用待定系数法求得函数解析式是解题的关键； （2）根据二次函数的对称轴和开口方向即可得到答案； （3）令代入函数解析式求得m即可解答． 【详解】（1）解：设该函数解析式为， 由题意可得：， 解得：． 所以该函数解析式为：． （2）∵抛物线的对称轴为直线，， ∴抛物线开口向下，当时，y的值随x值的增大而减小， 故答案为： （3）解：令可得：，解得：或． 所以点A的坐标为或． 6．（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知二次函数． (1)若该函数的图象与轴有交点，求的取值范围； (2)若，求该二次函数的图象与直线的交点的横坐标． 【答案】(1) (2)横坐标为或 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． （1）根据函数的图象与轴有交点，即关于的一元二次方程有实数根，可得，由此求出即可， （2）根据时函数为，再求出二次函数的图象与直线的交点坐标即可． 【详解】（1）当时，， ； 该函数的图象与轴有交点， 关于的一元二次方程有实数根， ，解得； （2）当时，， 根据题意， 解得或， 该二次函数的图象与直线的交点的横坐标为或． 7．（25-26九年级上·天津·阶段练习）已知抛物线经过点 (1)求a的值； (2)在直角坐标系中画出该函数的图象； (3)说出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (4)若点也在此抛物线上，求m的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)抛物线开口向上，对称轴是轴，顶点坐标 (4) 【分析】（1）将点坐标代入计算即可； （2）画出函数图象即可； （3）根据图象写出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标即可； （4）将点坐标代入计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ， ； （2）解：由（1）可知，抛物线，图象过，，，图象如下： （3）解：由图象可知：抛物线开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标； （4）解：点也在此抛物线图象上， ， ， 【点睛】本题考查了二次函数，熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，描点法画二次函数图象，求自变量或函数值，是解题的关键． 8．（25-26九年级上·山西大同·阶段练习）如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设，矩形的面积为． (1)请求出与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)怎样围才能使矩形场地的面积为？ 【答案】(1)； (2)为，为 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，正确理解题中各量间的数量关系是解答本题的关键． （1）由，可求得矩形场地的宽，根据矩形的面积公式即可求得答案： （2）令，得到一元二次方程，求解可得答案； 【详解】（1）解：由可知边所用篱笆为， ， ， 墙的长度不超过， ， ； （2）解：在中， 令，则， 解得（不合题意，舍去）， ， 当为为时，矩形场地的面积为； 题型二 抛物线与x轴的交点问题 1．（25-26九年级上·湖北十堰·阶段练习）抛物线与x轴的一个交点坐标为，则它与x轴的另外一个交点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线的对称性．先根据二次函数的解析式求出抛物线的对称轴，再利用对称性即可找出抛物线与轴的另一交点坐标． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一交点坐标为． 故选：A． 2．（10-11九年级下·河南周口·单元测试）若函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　) A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查的是函数图象与轴的交点，分两种情况分析，求出的取值范围即可． 【详解】解： 当时，函数是二次函数， 函数的图象与轴有交点， 解得且． 当时，函数是一次函数，图象与轴有交点， 综上所述 故选：C． 3．（25-26九年级上·陕西西安·期中）已知抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴为直线，与x轴交于，两点，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 先根据抛物线对称轴是，且与x轴的交点为，可得，即可解答A；再根据抛物线的对称轴是，及，得出，可解答B；然后根据当时，，解答C即可；最后根据抛物线与x轴的交点解答D即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是，且与x轴的交点为， ∴， ∴， 则A不正确； ∵抛物线的对称轴是直线，且， ∴， ∴， 则B不正确； ∵抛物线的对称轴是，且， ∴抛物线的开口向上，且左侧交点， ∴当时，， 即． 则C正确； ∵抛物线与x轴的交点为， ∴， 即． 则D不正确． 故选：C． 4．（25-26九年级上·全国·期中）若抛物线 与x 轴有两个不同的交点，则k 的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查二次函数的性质及根的判别式，根据抛物线与x轴有两个不同的交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式大于零，且二次项系数不为零求解即可． 【详解】解：抛物线 与x轴有两个不同的交点，即方程有两个不相等的实数根， ，其中，，， ， 解得： 又该函数为二次函数， ， 故答案为：且． 5．（25-26九年级上·山东临沂·期中）已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及求代数式的值，解题的关键是将点代入函数解析式求值． 将交点坐标代入抛物线方程，得到关于的方程，进而求出代数式的值． 【详解】解：抛物线 与轴的一个交点为， ， 即， ． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知抛物线（是常数）． (1)求证：无论取何值，抛物线与轴总有交点； (2)若抛物线与轴的两个交点之间的距离为4，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 或 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，掌握抛物线与x轴的交点问题、二次函数与一元二次方程的关系、根的判别式是解题的关键． （1）通过计算判别式并证明其非负，说明抛物线与轴总有交点； （2）先求出抛物线与轴的交点坐标，再根据两点距离公式列方程求解的值． 【详解】（1）证明：令， 则 ， ， ， ∴无论取何值，抛物线与轴总有交点． （2）解：由， 令， ， 解得， ∴抛物线与轴的交点坐标为和， ∴两个交点之间的距离为， 则， ∴或， 解得：或． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数． (1)试说明：该二次函数的图象与x轴必有两个交点． (2)若该二次函数图象的顶点坐标为，求m，n的值． (3)当时，函数有最小值为2，求m的值． 【答案】(1)见解析； (2)，； (3)m的值为或． 【分析】（1）证明，可得结论； （2）求出抛物线的顶点坐标，可得结论； （3）根据对称轴位置的三种情况，结合函数讨论最小值2时m的值； 本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）证明：， 当时， ， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 二次函数的图象与x轴必有两个交点； （2）抛物线的顶点坐标为，由题意知该二次函数图象的顶点坐标为， ，， 解得， 即m、n的值分别，； （3）二次函数的对称轴为，且，抛物线开口向上， 分三种情况讨论： 情况一：当时，时函数在上y随着x的增大而增大， 当时，函数取得最小值2， 将代入函数：， ， 解得或， ， ； 情况二：当，即时函数在顶点处取得最小值，顶点纵坐标为，由（1）知， 最小值为，但此情况无解； 情况三：当，时，函数在上y随着x的增大而减小， 时，函数取得最小值2， 将代入函数： ， ， 解得或， ， ， 综上：m的值为或 题型三 求x轴与抛物线的截线长 1．（24-25九年级上·全国·阶段练习）二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则的长为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，抛物线与一元二次方程，熟练掌握解方程是解题的关键．根据题意，得，解得，故，解答即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故， 故选：C． 2．（2025·山东青岛·中考真题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及图象的翻折变换，图象的翻折变化对函数图象的影响变化，正确分析变换前后点的坐标，函数的最值，以及增减性是解决本题的关键． 先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，判断A选项即可；根据图象可知函数的最大值，判断B选项即可；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离判断C选项；根据函数图象即可判断D选项． 【详解】解：A选项，二次函数， 令，解得， ∴原二次函数与轴的交点坐标为， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，A选项错误； B选项，二次函数， 对称轴为， 将代入函数解析式可得， ∴原二次函数顶点坐标为， 翻折后新函数图象的对称轴不变，为， 在处，函数没有最大值，B选项错误； C选项，二次函数， 令，则有， 即，解得，， ∴原二次函数与轴的交点坐标为，， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，， ∴图象与轴两个交点之间的距离为，C选项正确； D选项，新函数图象的对称轴为， 由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小， 当时，的值随值的增大而增大，D选项错误． 故选：C ． 3．（2025·浙江宁波·模拟预测）设二次函数 的图像与一次函数 的图像交于点 ，若函数 的图像与 轴仅有一个交点，则 的值是（    ） A．6 B．8 C． D．7 【答案】A 【分析】此题主要考查了抛物线与轴的交点问题，以及曲线上点的坐标与方程的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出：函数与轴的交点为，． 首先根据一次函数 的图像交于点 ，可得，然后根据函数的图象与轴仅有一个交点，可得函数与轴的交点为，进而可得，再结合求解即可． 【详解】解：一次函数的图象经过点， ，解得：， 当时，，， 当时，， ∵函数 的图像与 轴仅有一个交点， 的图象与轴的交点为， ∴ 又∵， ∴ ， ∴，解得： ∴， 故选：A． 4．（25-26九年级上·天津·阶段练习）如图，抛物线与x轴交点间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题． 直接根据图像作答即可． 【详解】解：由图可知抛物线与x轴交点间的距离为． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知抛物线与轴交于点，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点坐标，可得，求解和，再进一步解答即可． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点， ∴ 解得：，； ∴， ∴ 故答案为： 6．（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）抛物线与轴两交点间的距离为 ． 【答案】3 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，令，解一元二次方程求出交点坐标，利用两点之间距离公式求解即可得到答案，掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：令，则， ， 解得或， 抛物线与轴的两交点坐标为和， 抛物线与轴的两交点间的距离是． 故答案为：3． 7．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移6个单位长度，所得的抛物线与轴有两个公共点，，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和二次函数图象与几何变换．利用抛物线的平移规律得到平移后的抛物线解析式为，然后解方程得到点P、Q的坐标，从而得到的长． 【详解】解：二次函数的图象向上平移6个单位长度所得抛物线解析式为， 当时，， 解得， ∴点P、Q的坐标为， ∴． 故答案为：1． 8．（2025·辽宁·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点、，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，求线段长，根据抛物线与轴交于点，先求得，进而将代入，求得的坐标，即可求解． 【详解】∵抛物线与y轴交于点， 当时， ∴点坐标为． 当时，，解得， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于，两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点． (1)求线段的长； (2)若的面积与的面积相等，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）先求出、的坐标，然后根据两点间距离公式求解即可； （2）先求出顶点的坐标，直线解析式为，过作轴交轴于，轴交于，设，，得出，根据面积相等建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：令， ∴， 解得： ∴， ∴ ∴， （2）过作轴交轴于，轴交于，如图： ， ， 由，得直线解析式为， 设，， 在中，令得， ， ， ； 的面积与的面积相等， 而， ， 解得（舍去）或， 10．（24-25九年级上·广东广州·期中）已知抛物线，与轴的交点，（点在点的左侧）． (1)若时，求点，的坐标及线段长． (2)若，求的值及抛物线的对称轴． 【答案】(1)，， (2)，对称轴 【分析】本题考查了二次函数的性质及求二次函数与坐标轴的交点坐标，及求出两交点间的距离．解决本题的关键是熟练掌握求二次函数与坐标轴的交点坐标． （1）令，则，可得，解得，，即可得出答案； （2）令，则，可得，解得，，再求解即可． 【详解】（1）解：， ， 令，则， ， ，， 点在点的左侧， ，， ； （2）解：令，则， ， 或， ，， 点在点的左侧，， ，， ， ， ， 抛物线的对称轴为． 题型四 图象法确定一元二次方程的近似根 1．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如下表，是二次函数的自变量与函数值的几组对应值．那么方程的一个近似解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，通过观察二次函数对应值表中值的符号变化，确定方程根的范围，再根据值接近的程度选择近似解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴的一个根在和之间， ∵ 时的值比时更接近， ∴方程的一个近似根为， 故选：． 2．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（   ） x 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，令，由二次函数的图像与轴的交点横坐标是对应方程的解，判断当时，的图像与轴有一个交点，即可求解． 【详解】解：令， 当时，， 当时，， 当时，的图像与轴有一个交点， 方程有一个解的范围是． 故选：C． 3．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）已知二次函数中部分x和y的值如下表所示： x y 0.25 0.56 0.89 则方程的一个较大的根的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、图象法确定一元二次方程的近似根等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 先求得对称轴为直线，再根据表格数据得的较小的根的范围为，最后根据二次函数图象的对称性即可解答． 【详解】解：依题意，函数的对称轴为直线， 由表格数据可得： 当时，；当时，； ∴的较小的根的范围为， ∵函数的对称轴为直线， 则， ∴的较大的根的范围是． 故选：C． 4．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）二次函数的图象如图所示，，为图象上的两点，则方程的一个解可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，根据自变量两个取值所对应的函数值是和，可得当函数值为时，的取值应在所给的自变量两个值之间，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵图象上有两点分别为，， ∴当时，；时，， ∴当时，，只有选项符合， 故选：． 5．（2025九年级·全国·专题练习）对于抛物线． (1)将抛物线的表达式化为顶点式． (2)补全下列表格中的数据，在坐标系中利用描点法画出此抛物线． … 0 2 4 6 … … … (3)结合图象，当时，的取值范围______． (4)结合图象及所学习的知识，估算的两个根为______（精确到0.1）． 【答案】(1) (2)6；-6；-10；-6；6 (3) (4) 【分析】（1）由于二次项系数是，所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式； （2）利用列表、描点、连线的方法画出图形即可； （3）根据函数图象回答即可； （4）根据函数与方程的关系，可得函数图象与轴的交点的横坐标就是相应的方程的解． 【详解】（1）解： ， ∴抛物线的顶点式为：． （2）解：将值依次代入求解得即可，表如下： 利用描点法如图： （3）解：函数图象可知：当时， y的取值范围， 故答案为：． （4）由图象可知方程有两个根， 一个在和之间，另一个在和之间． 当时，，当时，； ∴是方程的一个近似根， 同理，是方程的另一个近似根 ．故一元二次方程的近似根为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的顶点式、画函数的图象，图象法求一元二次方程的近似根，利用函数图象求得到相应的一元二次方程的解是解题的关键． 6．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知函数，请按要求填空或解答问题： (1)函数图象的对称轴是直线_____，顶点坐标是_____． (2)画出该二次函数的大致图象，并结合图象回答，当取何值时，函数值；    (3)利用第（2）小题得到的图象，直接写出方程的近似解（精确到0.1）． 【答案】(1)， (2)见解析；当时，函数值； (3) 【分析】根据二次函数的图象与性质，画二次函数图象，利用函数图象求函数值． （1）直接根据二次函数的性质求解即可； （2）用五点法画图，再根据图象作答即可； （3）根据图象求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴函数图象的对称轴是直线，顶点坐标是． 故答案为：，； （2）解： x 0 1 y 0 0 如图，    由图象可知，当时，函数值； （3）解：方程的近似解即为与的交点横坐标，由图象可知，． 7．（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）学完二次根式一章后，小易同学看到这样一题：“函数中，自变量x的取值范围是什么？”这个问题很简单，根据二次根式的性质很容易得到自变量x的取值范围，联想到一次函数，小易想进一步研究这个函数的图象和性质，以下是他的研究步骤： 第一步：函数中，自变量x的取值范围是______． 第二步：根据自变量取值范围列表： x 0 1 2 3 4 …… 0 1 m …… ______． 第三步：描点画出函数图象． 在描点的时候，遇到了，，这样的点，小易同学用所学勾股定理的知识，找到了画图方法，如图所示，你能否从中得到启发，在下面的y轴上标出表示的点（保留作图痕迹），并通过描点法画出的函数图象．    第四步：分析函数的性质． 请写出你发现的函数的性质（写一条）：__________________ 第五步：利用函数图象解含二次根式的方程的近似解． （1）请在上面坐标系中画出的图象，并利用图象估算方程的解为______（结果精确到）． （2）请你类比分式方程的解法求出该方程的准确解____________． 【答案】第一步：；第二步：2；第三步：见解析；第四步：y随x的增大而增大；第五步：（1）函数图象见解析，；（2） 【分析】第一步：根据二次根式有意义的条件即可求解； 第二步：将代入中即可求出m的值； 第三步：取点，则根据勾股定理可得，以原点为圆心，的长为半径画弧，即可在轴上标出表示的点．根据第二步表格数据描点并连线即可得到函数图象； 第四步：根据函数图象即可得出函数的性质； 第五步：（1）首先画出的图象，然后根据两函数的交点即可估算方程的解； （2）将方程两边同时平方，转化为整式方程，求解后进行检验即可． 【详解】解：第一步：函数中，自变量x应满足，即， ∴自变量x取值范围为． 故答案为：． 第二步：当时，， ∴． 故答案为：2． 第三步：如图，y轴上表示的点为所求． 根据表格描点并连线，函数图象如图所示．    第四步：由图象可得，y随x的增大而增大． 故答案为：y随x的增大而增大． 第五步：（1）函数图象如下，    根据两函数图象的交点估算方程的解为． 故答案为： （2）， 方程两边同时平方，得， 整理，得， 解得，， 检验：∵， ∴， ∵，， ∴是原方程的解，不是原方程的解． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，求函数值，勾股定理与无理数，描点法画函数图象，根据函数图象估计方程的近似解，解一元二次方程等，掌握数形结合思想，类比思想是解题的关键． 题型一 二次函数与一元二次方程综合 1．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，顶点为． (1)求、两点的坐标； (2)连接，与抛物线的对称轴交于点，点为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点．设的横坐标为． ①用含的代数式表示线段的长； ②当为何值时，四边形为平行四边形，请说明理由； ③当为何值时，为直角三角形，直接写出结论． 【答案】(1)点，点 (2)①（），②当时，四边形为平行四边形，理由见解析，③当或时，为直角三角形 【分析】题目主要考查二次函数的性质，解一元二次方程，平行四边形的性质，直角三角形的定义等，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）令抛物线解析式中，得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论； （2）①令抛物线解析式中求出y值，即可得出点C的坐标，结合点B、C的坐标利用待定系数法求出直线的解析式，再由点P的横坐标为m找出点F、P的坐标，由此即可得出结论； ②利用配方法求出抛物线的对称轴以及顶点D的坐标，根据点D坐标即可得出点E坐标以及线段的长度，再根据平行四边形的性质可得出，由此可得出关于m的一元二次方程，解方程即可得出结论； ③由轴可得出若要为直角三角形，则只能是或，然后求解即可． 【详解】（1）解：中， 则有， 解得：， ∵点A在点B的左侧， ∴点，点． （2）①中，则， ∴点． 设直线的解析式为， 将点、代入中， 得：，， 解得： ， ∴直线的解析式为． ∵点P的横坐标为m，轴， ∴点，， ∴． ②∵， ∴抛物线的对称轴为，顶点， 将代入中，得：， ∴点， ∴． ∵四边形为平行四边形， ∴，即， 解得：（舍去），， ∴当时，四边形为平行四边形． ③∵轴， ∴， ∵为直角三角形， ∴当时． ∵轴，， ∴轴， ∴点C、F关于对称轴对称， ∵点，抛物线对称轴为， ∴． ∴当时． 过点P作轴于点L， ∴， ∵点、， ∴， ∴、为等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， 综上可得：或． 2．（2025九年级·全国·专题练习）定义：若一个函数图象存在横坐标与纵坐标互为相反数的点，则称该点为函数图象的“和零点”．例如，求函数图象的“和零点”． 解：“和零点”的横坐标与纵坐标互为相反数， “和零点”在函数的图象上， 解得 函数图象的“和零点”是． 根据上述材料，解答下列问题： (1)求函数图象的“和零点”． (2)若函数的图象存在唯一的一个“和零点”，求的值． (3)如下图，是函数的图象的“和零点”，是函数的图象的“和零点”，过点作轴，垂足为，连接．求的面积． 【答案】(1)函数图象的“和零点”为 (2) (3) 【分析】（1）根据“和零点”的定义，联立函数与的方程组求解； （2）根据“和零点”的定义得到方程，利用一元二次方程根的判别式求解； （3）先求出函数和的“和零点”坐标，再利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：由题意，联立 将①代入②，得： 解得 函数图象的“和零点”为． （2）解：函数的图象存在唯一的一个“和零点”， ∴联立． 可得：， 方程整理，得， 两个相等的实数根， 则， ． 解得． （3）解：由题意，联立 得，即， 因式分解得： 解得 ． 由（1）可知，， ∵轴， ∴． ． 【点睛】本题考查了新定义“和零点”、一次函数与二次函数的交点、一元二次方程根的判别式以及三角形面积公式，解题关键是理解“和零点”的定义，将其转化为函数交点问题，再结合相关数学知识求解． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.6二次函数与一元二次方程 题型一 求抛物线与x轴的交点 1．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的顶点坐标为，且过点． (1)求二次函数的表达式； (2)求出该函数与轴的交点坐标． 2．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）已知二次函数与轴交于、两点（点在点的左侧），点、点的横坐标是一元二次方程的两个根． (1)求点、点的坐标； (2)请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标． 3．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为，顶点D的坐标为． (1)求该抛物线的表达式． (2)求B、C两点的坐标． 4．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）已知抛物线的对称轴是直线． (1)求m的值； (2)求抛物线与x轴的交点坐标； (3)当x为何值时，y随x的增大而增大． 5．（25-26九年级上·山西吕梁·期中）如图，二次函数的图象过坐标轴上、、三点． (1)求、、三点坐标和顶点坐标； (2)当时，求函数值的范围； (3)根据图象回答，当取何值时，函数值？ 题型二 求抛物线与y轴的交点 1．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）抛物线与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）抛物线与y轴的交点为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．抛物线关于直线对称 C．抛物线顶点坐标为 D．抛物线与轴交于点 4．（25-26九年级上·吉林松原·阶段练习）二次函数的图像，下列说法正确的是（   ） A．对称轴为直线 B．最大值为4 C．与y轴交点为 D．图像过点 5．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）二次函数与轴的交点坐标为 ． 6．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线与轴的交点坐标是 ． 7．（25-26九年级上·河北保定·阶段练习）二次函数的最小值为 ，其图象与轴的交点坐标为 题型三 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 1．（25-26九年级上·广西贺州·阶段练习）如图，已知二次函数顶点的纵坐标为3，则关于的方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个不相等的负根 D．有两个不相等的正根 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）根据下列表格中二次函数的自变量与函数值的对应值，可以判断关于的方程的一个解的范围是（   ）      1                                         A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标为，则关于x的一元二次方程的解是 ． 4．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）已知二次函数的部分图像如图所示，则关于x的一元二次方程的解为 ． 5．（23-24九年级上·甘肃酒泉·期末）二次函数的大致图象如图所示，则关于的方程的解是 ． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）设二次函数（a，b，c是常数，），如表列出了、的部分对应值． 1 2 3 0 则方程的解是 ，不等式的解集是 ． 7．（2018·湖北孝感·中考真题）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为 ，，则关于 x 的方程的解为 ．    8．（24-25九年级下·甘肃·课后作业）如图，一次函数和二次函数的图象交于点和点． （1）方程的解为 ； （2）方程的解为 ； （3）不等式的解集是 ． 9．（25-26九年级上·四川泸州·阶段练习）已知函数的图象如图所示，根据图象可得： (1)抛物线顶点坐标为______． (2)对称轴为______． (3)当______时，y有最大值是______． (4)当______时，随着的增大而增大． (5)当______时，． (6)关于的方程的解为______． 题型一 已知二次函数的函数值求自变量的值 1．（25-26九年级上·河南周口·阶段练习）已知函数，当函数值为1时，自变量的取值为 ． 2．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表： … 0 1 2 3 … … 10 5 2 1 2 … 则当时，x的值为 ． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，与y轴的交点为． (1)求该抛物线的表达式； (2)求该抛物线与直线的交点坐标． 4．（25-26九年级上·河南开封·阶段练习）已知二次函数． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)当时，请直接写出的取值范围． 5．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）已知二次函数图象的顶点坐标，且经过点． (1)求这个二次函数表达式； (2)写出y的值随x值的增大而减小的自变量x的取值范围 (3)若点在该函数图象上，求点A的坐标． 6．（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知二次函数． (1)若该函数的图象与轴有交点，求的取值范围； (2)若，求该二次函数的图象与直线的交点的横坐标． 7．（25-26九年级上·天津·阶段练习）已知抛物线经过点 (1)求a的值； (2)在直角坐标系中画出该函数的图象； (3)说出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (4)若点也在此抛物线上，求m的值． 8．（25-26九年级上·山西大同·阶段练习）如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设，矩形的面积为． (1)请求出与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)怎样围才能使矩形场地的面积为？ 题型二 抛物线与x轴的交点问题 1．（25-26九年级上·湖北十堰·阶段练习）抛物线与x轴的一个交点坐标为，则它与x轴的另外一个交点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（10-11九年级下·河南周口·单元测试）若函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　) A． B．且 C． D．且 3．（25-26九年级上·陕西西安·期中）已知抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴为直线，与x轴交于，两点，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·全国·期中）若抛物线 与x 轴有两个不同的交点，则k 的取值范围是 ． 5．（25-26九年级上·山东临沂·期中）已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为 ． 6．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知抛物线（是常数）． (1)求证：无论取何值，抛物线与轴总有交点； (2)若抛物线与轴的两个交点之间的距离为4，求的值． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数． (1)试说明：该二次函数的图象与x轴必有两个交点． (2)若该二次函数图象的顶点坐标为，求m，n的值． (3)当时，函数有最小值为2，求m的值． 题型三 求x轴与抛物线的截线长 1．（24-25九年级上·全国·阶段练习）二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则的长为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2025·山东青岛·中考真题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 3．（2025·浙江宁波·模拟预测）设二次函数 的图像与一次函数 的图像交于点 ，若函数 的图像与 轴仅有一个交点，则 的值是（    ） A．6 B．8 C． D．7 4．（25-26九年级上·天津·阶段练习）如图，抛物线与x轴交点间的距离为 ． 5．（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知抛物线与轴交于点，，则线段的长为 ． 6．（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）抛物线与轴两交点间的距离为 ． 7．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移6个单位长度，所得的抛物线与轴有两个公共点，，则 ． 8．（2025·辽宁·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点、，则的长为 ． 9．（24-25九年级上·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于，两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点． (1)求线段的长； (2)若的面积与的面积相等，求点的坐标． 10．（24-25九年级上·广东广州·期中）已知抛物线，与轴的交点，（点在点的左侧）． (1)若时，求点，的坐标及线段长． (2)若，求的值及抛物线的对称轴． 题型四 图象法确定一元二次方程的近似根 1．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如下表，是二次函数的自变量与函数值的几组对应值．那么方程的一个近似解是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（   ） x 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）已知二次函数中部分x和y的值如下表所示： x y 0.25 0.56 0.89 则方程的一个较大的根的范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）二次函数的图象如图所示，，为图象上的两点，则方程的一个解可能是（    ） A． B． C． D． 5．（2025九年级·全国·专题练习）对于抛物线． (1)将抛物线的表达式化为顶点式． (2)补全下列表格中的数据，在坐标系中利用描点法画出此抛物线． … 0 2 4 6 … … … (3)结合图象，当时，的取值范围______． (4)结合图象及所学习的知识，估算的两个根为______（精确到0.1）． 6．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知函数，请按要求填空或解答问题： (1)函数图象的对称轴是直线_____，顶点坐标是_____． (2)画出该二次函数的大致图象，并结合图象回答，当取何值时，函数值；    (3)利用第（2）小题得到的图象，直接写出方程的近似解（精确到0.1）． 7．（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）学完二次根式一章后，小易同学看到这样一题：“函数中，自变量x的取值范围是什么？”这个问题很简单，根据二次根式的性质很容易得到自变量x的取值范围，联想到一次函数，小易想进一步研究这个函数的图象和性质，以下是他的研究步骤： 第一步：函数中，自变量x的取值范围是______． 第二步：根据自变量取值范围列表： x 0 1 2 3 4 …… 0 1 m …… ______． 第三步：描点画出函数图象． 在描点的时候，遇到了，，这样的点，小易同学用所学勾股定理的知识，找到了画图方法，如图所示，你能否从中得到启发，在下面的y轴上标出表示的点（保留作图痕迹），并通过描点法画出的函数图象．    第四步：分析函数的性质． 请写出你发现的函数的性质（写一条）：__________________ 第五步：利用函数图象解含二次根式的方程的近似解． （1）请在上面坐标系中画出的图象，并利用图象估算方程的解为______（结果精确到）． （2）请你类比分式方程的解法求出该方程的准确解____________． 题型一 二次函数与一元二次方程综合 1．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，顶点为． (1)求、两点的坐标； (2)连接，与抛物线的对称轴交于点，点为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点．设的横坐标为． ①用含的代数式表示线段的长； ②当为何值时，四边形为平行四边形，请说明理由； ③当为何值时，为直角三角形，直接写出结论． 2．（2025九年级·全国·专题练习）定义：若一个函数图象存在横坐标与纵坐标互为相反数的点，则称该点为函数图象的“和零点”．例如，求函数图象的“和零点”． 解：“和零点”的横坐标与纵坐标互为相反数， “和零点”在函数的图象上， 解得 函数图象的“和零点”是． 根据上述材料，解答下列问题： (1)求函数图象的“和零点”． (2)若函数的图象存在唯一的一个“和零点”，求的值． (3)如下图，是函数的图象的“和零点”，是函数的图象的“和零点”，过点作轴，垂足为，连接．求的面积． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $