2.5二次函数的应用（分层作业练题型）数学新教材鲁教版五四制九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数应用，通过基础情境题→复杂实际应用题→综合探究题的三阶设计，实现从概念理解到模型构建的素养进阶，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|图形面积、拱桥高度等单一应用|选择题/填空题为主，如矩形花坛面积计算，强化函数表达式建立| |能力提升|动态几何、销售利润等综合应用|解答题为主，含多问设计，如动点面积最值问题，培养数学思维| |综合探究|跨情境综合问题|结合运动、喷水等复杂情境，如二次函数与几何变换结合题，发展模型意识|

2.5二次函数的应用 题型一 图形问题 1．（25-26九年级上·安徽淮北·阶段练习）小明受二次函数的图象启发，为某葡萄酒大赛设计了一款杯子．如图所示的是杯子的设计稿，若，，则杯子的高CE为（    ） A．3 B．5 C．7 D．11 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点D和点B的坐标是解题的关键． 先求二次函数的顶点D点的坐标为，然后根据，可知B点的横坐标为，代入得到，所以，又，进而求得杯子的高度． 【详解】解：如图： ∵， ∴抛物线顶点D的坐标为， ∵， ∴B点的横坐标为， 把代入，得到， ∴， ∴． 故选：D． 2．（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知直角三角形的两直角边之和为4，则该三角形面积的最大值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 设直角三角形的一条直角边为，表示出另外一条直角边，进而得出面积表达式，再根据二次函数的性质求最大值即可． 【详解】设两直角边分别为 和， 面积 ， ， 二次函数中，二次项系数， 该函数图像开口向下，有最大值， 当时，取得最大值为． 故答案为 2． 3．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）某公园要建造一个矩形花坛，一面靠墙（墙长20米），另三面用篱笆围成，篱笆总长为40米． (1)设垂直于墙的一边长为米，求花坛面积与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)求花坛面积的最大值． 【答案】(1) (2)平方米 【分析】本题考查了二次函数应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）设垂直于墙的一边为米，则平行于墙的一边为米，根据矩形面积公式建立函数关系式即可，再根据线段长度非负以及题干即可求解自变量的取值范围； （2）利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边为米，则平行于墙的一边为米， 则面积， 由题意得，， ∴， ∴； （2）解： ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为200， 答：花坛面积的最大值为200平方米． 4．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，为美化环境，某小区计划在一块长为，宽为的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建同样宽的通道，设通道的宽为． (1)用含a的式子表示花圃的面积． (2)若通道面积与花圃面积之比等于时，求此时通道的宽． (3)已知某园林公司修建通道的造价为80元，花圃的造价为100元，如果小区物业决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过6米，则通道宽为多少米时，修建通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？ 【答案】(1) (2) (3)通道宽为6米时，修建通道和花圃的总造价最低，最低总造价为371680元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，解题关键是根据题意列出一元二次方程和二次函数解析式． （1）用含a的式子先表示出花圃的长和宽后利用矩形面积公式列出式子即可； （2）根据通道面积与花圃面积之比等于，列出方程进行计算即可； （3）列出总费用的关系式，根据修理的通道的宽度不少于2米且不超过6米，确定最小值即可． 【详解】（1）解：， 即花圃的面积为； （2）解：∵通道面积与花圃面积之比等于， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）， 即此时通道的宽； （3）解：设修建通道和花圃的总造价为w元，根据题意得： ， ∵修建的通道的宽度不少于2米且不超过6米， ∴， ∵， ∴当时，w随a的增大而减小， ∴当时，w取得最小值，最小值为， 即通道宽为6米时，修建通道和花圃的总造价最低，最低总造价为371680元． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，用长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度为米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为米，面积为平方米． (1)求关于的函数表达式． (2)如果要围成面积为平方米的花圃，的长为多少米？ (3)平方米是否为花圃能围成的最大面积？若是，请说明理由；若不是，请求出花圃的最大面积． 【答案】(1)； (2)的长为米； (3)不是，的最大值为平方米． 【分析】本题考查了一元二次方程，二次函数的综合应用，根据已知条件列出二次函数式是解题的关键． （）可先用篱笆的长表示出的长，然后根据矩形的面积长宽，得出关于的函数表达式； （）令，解方程求出的值，并验证的值是否符合题意； （）根据，求出自变量的取值范围，并根据二次函数的性质求出最值． 【详解】（1）解：由题可知，花圃的宽为米，则为米， 关于的函数表达式为； （2）解：当时，， 解得或， 当时，舍去， 当时，符合题意， ∴， 即的长为米； （3）解：平方米不是花圃能围成的最大面积， ∵， 解得， 由， ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，S最大，最大值为， ∴的最大值为平方米． 6．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长m，篱笆长m．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为． (1)求与与的关系式． (2)围成的矩形花圃面积是否存在最大值，若存在，求出这个最大值，并求出此时的值． 【答案】(1)；； (2)当时，的最大值为800． 【分析】本题主要考查一次函数的实际应用和二次函数的实际应用： （1）根据可求出与之间的关系，根据墙的长度可确定的范围；根据面积公式可确立二次函数关系式； （2）根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可． 【详解】（1）解：∵篱笆长， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵墙长， ∴， 解得，， ∴； 矩形面积 ∴ ∴ ∴； （2）解： ∵， ∴有最大值， 又， ∴当时，取得最大值，此时， 即当时，的最大值为800． 7．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙墙足够长，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1米宽的门．已知计划中的材料可建墙体不包括门总长为27米． (1)假设垂直于墙的一道墙长为，饲养室面积为，求S关于x的函数关系式． (2)能建成的饲养室面积最大为多少平方米？ 【答案】(1) (2)最大为75平方米 【分析】（1）由题意得：，即可求解； （2）由，可得S有最大值，即可求解． 本题考查的是二次函数的应用，首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值或最小值 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：由（1）知，， ， ∴当时，， 当时，，符合题意 ， 答：能建成的饲养室面积最大为75平方米． 8．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是高，矩形的顶点、分别在、上，在边上．若，，求矩形的面积最大时，的长度． 【答案】 【分析】本题考相似三角形的判定与性质，二次函数的最值，设，，根据相似三角形的高的比等于相似比求出，再表示出矩形的面积，最后根据二次函数求最大值即可． 【详解】解：交于， 设，， ∵矩形， ∴， ∵在中，是高， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积， ∴当时，矩形的面积最大，此时． 9．（25-26九年级上·天津北辰·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A，C分别在轴、轴上，点分别是边、上的动点，且．设，的面积为． (1)用含的式子表示； (2)当的值为多少时，的值最小？求这个最小值． 【答案】(1) (2)当时，S取得最小值，最小值为． 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，坐标与图形的相关知识．掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据代入数值列出函数关系式即可． （2）对二次函数进行配方，再根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故 （2）解：， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，S取得最小值，最小值为． 题型二 拱桥问题 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图是抛物线形的拱桥，当水面宽时，顶点离水面，当水面宽度增加到时，水面下降（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立平面直角坐标系从而得出二次函数的解析式是解决问题的关键． 根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数的解析式，再把代入抛物线的解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过中点且通过顶点，则通过画图可得知为原点， 由平面直角坐标系可知，，即， 设抛物线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则抛物线的解析式为，即， 当时，， 所以水面下降． 故选：C． 2．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图是抛物线拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽度4米，水面宽度减少1米时，水位上升 米． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，建立合适的平面直角坐标系．根据题意建立合适的平面直角坐标系，设出抛物线的解析式，从而可以求得水面上升了多少． 【详解】解：以拱桥的最高点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系： 设抛物线的解析式为， 由题意，点在抛物线上，代入解析式，得，解得， ∴； 当水面宽度减少1米时，此时水面宽度变为米； ∴当时，， ∴水面上升了米； 故答案为：． 3．（25-26九年级上·湖北宜昌·阶段练习）如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为 【答案】8 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解决问题的关键．根据题意，把直接代入解析式即可解答． 【详解】解：根据题意的纵坐标为， 把代入， 得 ， ，， ． 故答案为：8． 4．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，若水面再下降，水面宽度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的性质是解题的关键． 以所在直线为轴，以过拱顶且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，由待定系数法求得二次函数的解析式，然后由题意得关于的一元二次方程，解得的值，用较大的值减去较小的值即可得出答案． 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系， ， 则由题意可知，，， 设该抛物线的解析式为，将代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为， 若水面再下降，则有， 解得， ， 水面宽度为， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·湖北宜昌·阶段练习）如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直的接触地面和门的内壁，并测得，则门高为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意可得，，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而得出点的坐标即可求解，正确求出二次函数解析式是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴，， 设抛物线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面宽为，拱桥的最高点O到水面的距离为．如果此时水位上升就达到警戒水位，那么宽为 m． 【答案】 【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用，找对位置建立坐标系再求解二次函数解析式是关键． 以点为坐标原点，的垂直平分线为轴，过点作轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为，由此可得，即可求函数解析式为，再将代入解析式，求出、点的横坐标即可求的长． 【详解】解：以点为坐标原点，的垂直平分线为轴，过点作轴的垂线，建立直角坐标系， 设抛物线的解析式为， ∵点到水面的距离为， ∴、点的纵坐标为， ∵水面宽为， ， 将点A代入， ， ， ， ∵水位上升就达到警戒水位， ∴点的纵坐标为， ， ， ， 故答案为：． 7．（2025·陕西·中考真题）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 (1)求所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的应用等知识， （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出当时，，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知，所在抛物线的顶点为，且过， 设其表达式为， ， 解得， 所在抛物线的函数表达式为； （2）解：点到的距离均为， 当时，， ， 这两条灯带的总长为． 8．（25-26九年级上·吉林四平·期中）湘雅公园人工湖上有一座拱桥，横截面呈抛物线形状，如图所示，现对此展开研究：跨度为4米，桥墩露出水面的高度均为米，在距点A水平距离为2米的地点，拱桥距离水面的高度为米，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的解析式为，其中是横截水面，是拱桥距水面的高度． 游船参数 长米，宽米， 满员后游船露出水面高度为米 (1)求抛物线的解析式； (2)公园欲开设游船项目，为安全起见，公园要在水面上的C、D两处设置航行警戒线，并且，要求游船能从C、D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离至少为多少米？ 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考二次函数的实际应用，根据对应点的坐标得到二次函数关系式是解题关键． （1）求得抛物线顶点为，用待定系数法可得答案； （2）在中，令解出的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：为4米，在距点水平距离为2米的地点，拱桥距离水面的高度为米， 抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为， 将代入得：， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：在中，令得： ， 解得（舍去）或， 处距桥墩的距离至少为米． 9．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）一座桥如图，桥下水面宽度是20米，高是4米． (1)如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系，求抛物线的解析式； (2)要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？ 【答案】(1) (2)船的宽度须不超过10米 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意并运用二次函数的图象与性质解题是关键． （1）根据题意得，，所以可设抛物线的解析式为，再将代入解析式求解即可； （2）令，得到方程，可求出当高为3米时，船能通过的最大宽度，即得答案． 【详解】（1）解：由已知，抛物线的顶点D的坐标为，抛物线与x轴的交点B的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将代入解析式，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：令，则， 解得， 船的宽度须不超过米． 10．（25-26九年级上·河南商丘·阶段练习）某市一处十字路口立交桥的横断面如图所示，桥拱的部分为一段抛物线，顶点的高度为米，它两侧和是高为米的支柱，和为两个方向的机动车通行区，宽都为米，线段和为两段对称的上桥斜坡，且．以所在直线为轴，横断面的对称轴为轴建立平面直角坐标系． (1)求桥拱所在抛物线的解析式及的长； (2)和为支撑斜坡的立柱，其高都为米，相应的和为两个方向的行人及非机动车通行区，若，求的宽度； (3)按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于米．今有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为米．它能否从桥下区域安全通过？请说明理由． 【答案】(1)桥拱所在抛物线的解析式为，的宽为米； (2)的宽为米； (3)该大型运货汽车可以从桥下区域安全通过，理由见解析． 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设桥拱所在抛物线的解析式为，由题意得，，然后代入即可求解； （）根据题意求出米，然后通过线段和差即可求解； （）在抛物线中当时，，然后与比较即可． 【详解】（1）解：设桥拱所在抛物线的解析式为， 由题意得，，， ∴，解得， ∴桥拱所在抛物线的解析式为， ∵，， ∴（米）， ∴（米）， 答：的长为米； （2）解：∵，米， ∴（米）， ∴（米）， 答：的宽为米； （3）解：该大型运货汽车可以从桥下区域安全通过，理由， 当时，， ∵， ∴该大型运货汽车可以从桥下区域安全通过． 11．（2024·福建三明·模拟预测）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间，如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中点为抛物线的拱顶且高，，，取中点，过点作线段的垂直平分线交抛物线于点，若以点为原点，所在直线为轴，为轴建立如图所示平面直角坐标系． 解决下列问题： (1)如图，求抛物线的解析式； (2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，若，求两个正方形装置的间距的长； (3)如图，在某一时刻，太阳光线太阳光线为平行线透过点恰好照射到点，此时大棚截面的阴影为，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据顶点坐标，设函数解析式为，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时对应的自变量的值，得到的长，再减去两个正方形的边长即可得解； （3）求出直线的解析式，进而设出过点的光线解析式为，利用光线与抛物线相切，求出的值，进而求出点坐标，即可得出的长． 【详解】（1）解：由题知，点为抛物线顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， ∵四边形为矩形，为的中垂线， ∴，， ∵， ∴点，代入，得： ， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）∵四边形，四边形均为正方形，， ∴， 延长交于点，延长交于点，则四边形，四边形均为矩形，    ∴， ∴， ∵，当时，， 解得：， ∴，， ∴， ∴； （3）∵，垂直平分， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则：，解得：， ∴， ∵太阳光为平行光， 设过点平行于的光线的解析式为， 由题意，得：与抛物线相切， 联立，整理得：， 则：，解得：； ∴，当时，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键． 题型三 增长率问题 1．（25-26九年级上·重庆·期中）为了迎接体考，小南坚持每天进行跳绳练习．本周五她参与了学校的志愿服务活动，跳绳量比周四减少了．为补上周五缺失的练习，小南决定周六、周日连续两天提高跳绳量，设日均增长率为，若小南周四跳绳量为个，则小南周日跳绳量关于的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是二次函数的实际应用，解题关键是正确理解题意． 先求出周五的跳绳量，再根据日均增长率，即可求出周日的跳绳量，从而得出周日跳绳量关于的函数关系式． 【详解】解：小南周四跳绳量为个， 周五跳绳量为个， 又周六、周日两天日均增长率为， 周日的跳绳量为个， 小南周日跳绳量关于的函数关系式为． 故选：． 2．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】主要考查增长率问题，列函数关系式，正确理解题意是关键；一般用增长后的量=增长前的量增长率，如果设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，然后根据已知条件可得答案． 【详解】解：设该公司投放垃圾桶数量的月平均增长率为x， 依题意得第三个月投放垃圾桶个， 则 故选：A. 3．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）黄山毛峰是安徽最具代表性的绿茶之一，产于黄山山区，新茶一上市就获得全国人民的追捧，某地第一天销售额为万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，三天后销售额累计达万元，若把增长率记作，则关于的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式是解题的关键． 由第一天的销售额及以后每天销售额的增长率，可得出第二、三天的销售额，再将三天的销售额相加，即可找出关于的函数关系式． 【详解】解：该地第一天销售额为万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，增长率记作， 第二天销售额为万元，第三天销售额为万元． 根据题意得：． 故选：D． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）某工厂1月份的产值为200万元，平均每月产值的增长率为x，则该工厂3月份的产值y关于x的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的实际应用．根据该工厂3月份的产值该工厂1月份的产值平均每月产值的增长率)，列出二次函数关系式即可得出答案． 【详解】解：某工厂1月份的产值为200万元，平均每月产值的增长率为，该工厂3月份的产值为， ， 故选：A． 5．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）某工厂一种产品今年的产量是件，如果每年的产量比上一年增加相同的百分率，那么第三年的产量（件）关于的函数关系式为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用二次函数解决增长率问题． 增长率问题公式：，按公式列出函数关系式即可． 【详解】解：初始量为2000，增长了两次，所以可列出函数关系式， 故选：C． 6．（25-26九年级上·全国·课后作业）最新报告显示，2023年全球金属增材制造市场的总收入达到了亿美元．若2025年的市场规模为y亿美元，平均每年的增长率为x，则y关于x的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数的关系式，解题的关键是掌握增长率的公式． 已知初始值、年均增长率和增长年数、最终量，利用增长率模型公式即可求解． 【详解】解：由题意，年的市场规模为亿美元，年均增长率为，经过2024年和2025年共两年的增长． 第一年（年）：市场规模增长到． 第二年（年）：在第一年的基础上再增长，即． 因此，年的市场规模与年均增长率的函数关系为， 对应选项C． 其他选项中，A未包含初始值，B和D的表达式不符合增长率模型公式，故排除． 故选：C． 7．（24-25九年级上·重庆长寿·期中）某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金（元）关于x的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式是解题的关键． 根据该厂今年一月份新产品的研发资金及以后每月新产品的研发资金与上月相比的增长率，可得出该厂今年二月份、三月份新产品的研发资金，将该厂今年一、二、三月份新产品的研发资金相加，即可得出y关于x的函数关系式． 【详解】解：∵该厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x， 该厂今年二月份新产品的研发资金为万元，三月份新产品的研发资金为万元． 根据题意得：， 故选：B． 8．（24-25九年级上·云南昆明·期中）公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售1500个，9月份销售个，设7月份到9月份销售量的月增长率为，那么与的函数关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用．设增长率为，根据“7月份销售1500个，9月份销售个”列得函数关系式即可求解． 【详解】解：设增长率为， 根据题意得：， 故选：A． 9．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）为解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价．若设平均每次降价的百分率为x，该药品的原价是元，降价后的价格是y元，则y与x的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查列函数关系式，掌握相关知识是解决问题的关键．该药品的原价是元，第一次降价后是元，第二次降价后是元，据此解答即可． 【详解】解：根据题意， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·安徽六安·阶段练习）近年来我国新能源汽车发展迅速，据中国汽车乘联会统计，2024年我国新能源汽车销售量约为1150万辆，假设我国新能源汽车每年销售增长率保持不变，预计2026年我国新能源汽车销售量约为万辆，则关于的函数表达式为 ．（不用写自变量的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查二次函数的增长率问题，掌握知识点是解题的关键． 根据题意，2025年我国新能源汽车销售量约为万辆，则2026年我国新能源汽车销售量约为万辆，列出二次函数表达式即可． 【详解】解：由题意，得 ． 故答案为：． 11．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）近年来我国新能源汽车发展迅速，据中国汽车乘联会统计，2024年我国新能源汽车销售量约为1150万辆，假设我国新能源汽车每年销售增长率x保持不变，预计2026年我国新能源汽车销售量约为y万辆，则y关于x的函数表达式为 （不用写自变量的取值范围） 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，根据增长率为x，2024年我国新能源汽车销售量约为1150万辆，表示出2026年我国新能源汽车销售量约为y万辆，列出函数解析式即可． 【详解】解：y关于x的函数表达式为： ． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·全国·周测）中国地铁已经成为一张见证时代发展的名片，2022年我国地铁运营里程约为0.8万公里．若2024年运营里程约为y万公里，运营里程的年平均增长率为x，则y关于x的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用中的增长率问题，解题的关键是要读懂题目的意思，找到等量关系．先用x表示出2023年我国高铁的运营总里程，再表示出2024年我国高铁的运营总里程，然后根据已知条件列函数解析式即可． 【详解】解：2023年我国高铁的运营总里程：， 2024年我国高铁的运营总里程：， 根据题意，可列函数解析式为：．故选． 13．（2024九年级上·上海·专题练习）某商店一月份销售额为万元，月平均增长率，一季度的销售额为万元，那么关于月平均增长率的函数解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求函数解析式，理解题意，找到变量之间的关系是解题的关键． 根据题意分别把二月份、三月份的销售额表示出来，由一季度的销售额为万元即可求出函数解析式． 【详解】一月份销售额为万元， 二月份销售额为万元， 三月份的销售额为万元， 根据题意可得，， 故答案为：． 14．（2025九年级上·全国·专题练习）某公司的生产利润原来是万元，经过连续两年的增长达到了万元，如果每年增长率都是，写出利润与增长的百分率之间的函数解析式，它是什么函数？ 【答案】，是二次函数． 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，在表示增长率问题时，要明确基数，增长次数，最后的结果． 根据增长率的问题，基数是a万元，增长次数2次，结果为y，根据增长率的公式表示函数关系式． 【详解】解：依题意得， 此函数是二次函数． 15．（2024九年级上·全国·专题练习）某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，求十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据十月份医用防护服的产量等于八月份医用防护服的产量乘以（月平均增长率）的平方，即可得解． 【详解】解：根据题意得：y与x之间的关系应表示为． 十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为：． 16．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元． (1)求与的关系式； (2)当时，求今年的总产值为多少万元？ 【答案】(1) (2)当时，今年的总产值为万元． 【分析】（1）利用增长率公式即可找出y关于x的函数关系式； （2）代入，求出y值即可得出结论． 【详解】（1）依题意得：； （2）当时，， 答：当时，今年的总产值为万元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，掌握增长率问题的公式是解题的关键，若起始值为a，经过n年后值为b，设增长率为x，则有． 17．（2015·山东临沂·一模）某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同． (1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率； (2)2014年这种产品的产量应达到多少万件？ 【答案】(1)这种产品产量的年增长率为 (2)2014年这种产品的产量应达到110万件 【分析】（1）通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率； （2）依据求得的增长率，代入2014年产量的表达式即可解决． 【详解】（1）解：设这种产品产量的年增长率为x， 根据题意列方程得， 解得，（舍去）． 答：这种产品产量的年增长率为． （2）解：（万件）． 答：2014年这种产品的产量应达到110万件． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程是实际应用——增长率问题，解题的关键是掌握：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为；而增长率为负数时，则降低后的结果为． 题型一 图形运动问题 1．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在矩形中，，点 Q从点B出发，以的速度沿 方向运动到点 C 停止，同时点P 从点 B 出发，以的速度沿路线 B→A→D→C 运动到点C 停止.若 的面积为y（单位：），运动时间为x（单位：），则下列最能反映y与x之间的函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点问题的函数图象，需要结合几何图形与函数图象，认真分析动点的运动过程．解题时注意分类讨论的数学思想． 根据题意分三部分确定函数解析式：当时，当时，当时，然后结合函数图像求解即可． 【详解】解：根据题意可知，， ∵， ∴当时，， 当时，，故选项D不合题意； 当时，，此时图象为抛物线，且抛物线的开口向下，故选项B符合题意，选项A、C不合题意． 故选：B． 2．（25-26九年级上·广东东莞·阶段练习）如图1，在菱形中，，连接，点从点出发沿方向以的速度运动至点，点同时从点出发沿方向以的速度运动至点．设运动的时间为，的面积为．已知与之间的函数图象如图2所示，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，动点问题与函数图象，三角形面积计算，表示出的面积表达式是解决本题的关键． 先根据点M和点N的运动速度和路径，分情况讨论的面积表达式，再结合函数图象即可求解a的值． 【详解】解：四边形是菱形，， ，． 如图1，当点N在上运动时，，． 过点M作于点E． 在中，， ． ． 当点N在点C时，，即．解得（负值已舍）． ． 如图2，当点N在上运动时，，． 过点N作于点H． 在中，， ． ． 当时，． 解得，（不符合题意，舍去）． ． 故选：C． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）在中，，，，，分别是，的中点，点，分别从点，出发，沿折线方向运动，运动速度都是1个单位长度/秒，当点到达点时，两点同时停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则与之间的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意分别求出各种情况下的函数关系式，依照关系式判断图象即可． 【详解】解：如图，连接，作， ∴， ∴， 当时，点M在上，点N在上，， ∴； 如图，当时，点M在上，点N在上， ∵， ∴ ∴ ； 如图，当时，点M、N都在上， ∴， 综上判断选项B的图象符合题意． 故选：B． 4．（25-26九年级上·天津滨海新·阶段练习）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点C重合）．如果分别从同时出发，那么经过 秒，四边形的面积最小． 【答案】6 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确列出函数关系式是解题关键． 设移动时间为秒，四边形的面积为，先分别求出的长，再利用面积减去面积求出四边形的面积，然后利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：设移动时间为秒，四边形的面积为， 由题意得：，， ， ， ， ， 整理得：， 由二次函数的性质可知，当时，取得最小值0， 即经过6秒，四边形的面积最小， 故答案为：6． 5．（25-26九年级上·福建南平·阶段练习）在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：___________，___________（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或2 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用以及勾股定理的应用，关键是表示出、的长度． （1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据勾股定理可得，代入相应数据解方程即可； （3）根据三角形的面积代入相应线段的长即可得到函数解析式，根据二次函数的最值求解即可． 【详解】（1）解：∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴； ∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；． （2）解：由题意得：， 解得：，； ∴当或时，的长度等于； （3）解：由题意得， ， 当时，的面积最大. 6．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图1，在中，，，，点从点出发，以的速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段运动，当点到达点时，停止运动．设点运动的时间为，的面积为． (1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在图2平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出这个函数的一条性质； (3)若的函数图象与直线有两个交点，请直接写出实数的取值范围． 【答案】(1) (2)图见解析，当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小； (3) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题关键． （1）先根据运动路径和速度确定的取值范围，再分和两种情况，利用三角形的面积公式求解即可得； （2）根据二次函数和一次函数的图象的画法即可得； （3）根据函数图象找到两个临界位置，将点和代入求出的值，再结合图象动态分析即可得． 【详解】（1）解：由题意得，点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为， 当时，，， 此时的面积； 当时，，， ∴， 此时的面积； ∴综上，与的函数关系式为； （2）解：画出的函数图象如下： 这个函数的一条性质：当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小； （3）解：如图，有2个临界位置， 将代入得，， 解得； 将代入得，， 解得； ∵的函数图象与直线有两个交点， ∴． 7．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，的长度等于？ (2)是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或2； (2)存在，． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理以及二次函数的应用，理解题意，正确找出等量关系是解题的关键． （1）由题意得，，则，再由勾股定理得出关于t的一元二次方程，计算即可得解； （2）根据题意得出S关于t的二次函数解析式，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：，； ∴当或2时，的长度等于； （2）解：由题意得， ∵， ∴当时，的面积最大． 8．（25-26九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向点以秒的速度移动，同时，点从点出发沿边向点C以/秒的速度移动．如果、两点在分别到达、两点后就停止移动，回答下列问题： (1)运动开始后第几秒时，的面积等于？ (2)设运动开始后第t秒时，五边形的面积为，写出S与t的函数关系式及自变量t的取值范围；并求出当t为何值时，s的值最小． (3)计算四边形的面积，并探索一个与计算结果有关的结论． 【答案】(1)秒或秒 (2)，时，的值最小 (3)，结论：四边形的面积是定值，与运动时间无关 【分析】本题考查矩形的性质，一元二次方程的应用及二次函数的应用， （1）设出运动所求的时间，可将和的长表示出来，代入三角形面积公式，列出等式，可将时间求出； （2）设运动时间为，首先表示出的面积，再利用，求出的值以及五边形最值即可； （3）根据表示出四边形面积，求出即可． 【详解】（1）解：设经过秒，的面积等于则： ，， 所以，即， 解得：或， 即经过秒或秒，的面积等于． （2）解：根据（1）中所求出的， 整理得． 则， ∴ 当时，， 故当秒，五边形的面积最小，最小值是， （3）解：， ， ， 结论：四边形的面积是定值，与运动时间无关． 9．（24-25九年级上·甘肃酒泉·阶段练习）如图，中，，，，、两点同时分别从、出发，点以每秒个单位的速度沿着向点运动，点以每秒个单位的速度沿着向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． (1)求经过几秒，的长为； (2)设的面积为，点、的运动时间为秒，求与的函数解析式，并写出的取值范围； (3)当点、的运动时间为秒时，求的面积． 【答案】(1)经过秒或秒时，的长为 (2)， (3)当点、的运动时间为秒时，的面积为 【分析】此题主要考查了勾股定理，三角形的面积公式，一元二次方程的解法，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 由与，利用勾股定理求出的长，进而表示出，以及，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即可得到结果； 由三角形的面积等于与乘积的一半，表示出与的函数解析式，并求出的范围即可； 将代入中得出的函数解析式中求解，即可求出答案． 【详解】（1）解：在中，，， ， 设点、的运动时间为秒， 由运动知，，， ， 若时，则，即， 解得，， 经检验，均符合题意， 经过秒或秒时，的长为； （2）解：由知，，， ，的取值范围是； （3）解：由知，， 当时，， 即当点、的运动时间为秒时，的面积为． 题型二 销售问题 1．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）某商场销售一种商品，每件进价为元，售价为元时，每月可售出件．市场调查发现：售价每上涨元，月销售量减少件．设售价上涨元． (1)求月销售量（件）与的函数关系式； (2)求月利润（元）与的函数关系式． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，理解题意，正确得出函数解析式是解题的关键． （）根据售价上涨 元，则销售量减少件，直接求解即可； （）根据题意求函数关系式即可． 【详解】（1）解：∵售价上涨 元，则销售量减少件， ∴ ； （2）解：根据题意得总利润． 2．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：日销售量（盒）与销售单价（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量/盒 … 56 52 48 44 40 … (1)求关于x的函数表达式． (2)当销售单价不低于进价，且日销售量至少40盒时．糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)糖果销售单价定为20元时，所获日销售利润最大，最大利润是400元 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是二次函数性质的熟练掌握． （1）设y与x的函数表达式为：，把表格中的两组数值代入可得k和b的值，即可求出y与x的函数关系式； （2）设日销售利润为w元，每盒糖果的利润销售量，把所得函数解析式整理为顶点式，可得糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少． 【详解】（1）解：设， 将，代入， 解得 ； （2）解：设日销售利润为w元． 则可得 ， ∵， ∴，即， 当时，w取最大值为400， 答：糖果销售单价定为20元时，所获日销售利润最大，最大利润是400元． 3．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量件与销售单价元之间的关系可近似地看作一次函数：； (1)设小明每月获得利润为元，求每月获得利润元与销售单价元之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围． (2)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)当销售单价定为元时，每月可获得最大利润，最大利润是元 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意． （1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润=(定价−进价)×销售量，从而列出关系式； （2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， 即； ∵， ∴， ∴自变量的取值范围； （2）解：对于函数 ∵， 当时， 答：当销售单价定为元时，每月可获得最大利润，最大利润是元． 4．（25-26九年级上·云南保山·期中）应用题：某商场以每件20元的价格购进一批商品，如果以每件30元销售，那么每天可售出100件．经调查发现，这种商品的销售单价每上涨1元，每天销售量就减少10件．设销售单价上涨x元（x为整数），每天销售利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)求销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)与之间的函数关系式为 (2)销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大利润是1000元 【分析】本题主要考查二次函数的应用． （1）由题意易得销售量为件，然后根据“销售利润单个利润销售量”可进行求解； （2）由（1）及根据二次函数的性质可直接进行求解． 【详解】（1）解：由题意得 ， 答：与之间的函数关系式为； （2）解：由（）得， ∵， ∴当时，有最大值为， ∴销售单价定为（元）， 答：当销售单价定为元时，每天销售该商品的利润最大，最大利润为元． 5．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）某宾馆有50个房间，供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空置．如果旅客居住房间，宾馆需对每个房间支出20元的各种费用．若设定价增加元，宾馆获得利润为元． (1)宾馆有__________个房间有游客居住，的取值范围为__________； (2)求宾馆可获得的最大利润． 【答案】(1)，且x是10的倍数； (2)宾馆可获得的最大利润为10890元 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空置，列出代数式即可，根据宾馆总共有50个房间，求出的范围即可； （2）根据总利润等于单个房间的利润乘以有人居住的房间数，列出函数关系式，利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：由题意，宾馆有个房间有游客居住， ，解得， 故且x是10的倍数； （2）由题意，， 整理得：， ∴当元时，有最大值为； 答：宾馆可获得的最大利润为10890元． 6．（25-26九年级上·天津·阶段练习）（1）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，商场的头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售150个，11月份销售216个，且从9月份到11月份销售量的月增长率相同，求该品牌头盔销售量的月增长率． （2）某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“五一”节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． ①要使平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？ ②若商店规定降价金额不超过30元且不少于5元，请求出降价多少元时一天能取得最大利润，并求出利润最大值． 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为；（2）①20元，②每件服装应降价15元时，一天取得最大利润，最大利润为1250元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程和函数关系式是解题的关键； （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔9月份销售150个，11月份销售216个，且从9月份到11月份销售量的月增长率相同可得，再解方程即可； （2）①设每件服装应降价x元，则相应的销售量为件，根据单件利润×销售量=总的利润，即可列出一元二次方程，解方程经检验后可得答案； ②设每件衣服应降价m元，每天盈利w元，根据单件利润×销售量=总的利润，即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可 【详解】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意可得：， 解得：，（舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）①设每件服装应降价x元，则相应的销售量为件， 由题意得，， 整理得：， 解得或， 又∵要尽量减少库存， ∴， 答：每件服装应降价20元； ②设每件服装应降价m元，每天盈利w元， 由题意得， ， ∵，且降价金额不超过30元且不少于5元， ∴当时，w最大，最大为1250， ∴每件服装应降价15元时，一天能取得最大利润，最大利润为1250元． 7．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）2022年卡塔尔世界杯是第22届世界杯足球赛，某足球供销商以每件50元的价格购进一批足球，销售中发现这种足球每天的销售量y（件）与每件的销售价格x（元）近似满足一次函数关系，其图象如图所示，且销售这种足球不会低于成本价． (1)求出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围． (2)求该供销商每天销售这种足球的销售利润w与x之间的函数关系式并求出当销售价格x为何值时，销售利润w的值最大，最大值是多少? (3)在网格坐标系中画出w关于x的函数的大致图象，再利用图象分析每件足球的销售价格在什么范围内时，每天的销售利润在400元以上． 【答案】(1) (2)销售价格为75元时，销售利润最大，最大值为625元 (3)见解析 【分析】本题考查了一次函数，二次函数的应用； （1）设一次函数的表达式为．待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据每件足球的利润乘以销售数量列出二次函数关系式，根据二次函数的性质求得最值，即可求解； （3）根据题意画出函数图象，根据函数图象写出销售利润在400元以上时的自变量的范围，即可求解． 【详解】（1）解：设一次函数的表达式为． 将，代入得：， 解得，即； （2）解：由于每件足球的利润为， 所以每天的利润为：， 则当时，w取得最大值625， 答：销售价格为75元jf ,销售利润最大，最大值为625元； （3）解：如图，所以每件足球的销售价格x为时，w每天的销售利润在400元以上． 8．（25-26九年级上·四川眉山·阶段练习）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利15元，每天可售出1000千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少40千克． ①现该商场要保证每天盈利15000元，每千克应涨价多少元； ②设每天的总利润为W元，当每千克应涨价多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)每次下降的百分率为； (2)①该商场要保证每天盈利15000元，每千克应涨价0元或10元；②当每千克应涨价5元时，每天的利润最大，最大利润是16000元 【分析】本题考查一元二次方程的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是找到等量关系，列出相应的方程和写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． （1）设每次下降百分率为，得，求解即可． （2）①根据销售盈利=销售量×每千克盈利，列出方程求解即可． ②根据题意，可以写出利润和涨价的函数关系式，然后利用二次函数的性质，即可求得当每千克应涨价多少元时，每天的利润最大，最大利润是多少元． 【详解】（1）解：设每次下降的百分率为x， 由题意可得：， 解得，舍去， 答：每次下降的百分率为； （2）①设每千克应涨价a元， 由题意可得：， 解得，， 答：该商场要保证每天盈利15000元，每千克应涨价0元或10元； ②设每千克应涨价m元， 由题意可得，， 当时，W取得最大值，此时， 答：当每千克应涨价5元时，每天的利润最大，最大利润为16000元． 9．（黑龙江龙东地区部分学校2025-2026学年上学期九年级数学期中试卷）黑龙江哈尔滨是一个充满文化底蕴的城市，拥有着丰富的旅游特色纪念品．随着国庆小长假旅游旺季的到来，某商店以每件38元的价格购进一批旅游纪念品，“文创T恤”以每件66元的价格出售．经统计，7月份的销售量为256件，9月份的销售量为400件． (1)求该款“文创T恤”7月份到9月份销售量的月平均增长率； (2)从10月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，根据销售经验预测，该“文创T恤”每降价1元，月销售量就会增加20件．当该“文创T恤”售价为多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)该款“文创T恤”7月份到9月份销售量的月平均增长率为 (2)该“文创T恤”售价为62元时，月销售利润最大，最大利润为11520元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系是解题的关键. （1）设该款“文创T恤”7月份到9月份销售量的月平均增长率为，根据增长率问题的等量关系列方程求解即可； （2）设该“文创T恤”售价为元，月销售利润为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，再根据利润，接着配方求解即可． 【详解】（1）设该款“文创T恤”7月份到9月份销售量的月平均增长率为． 根据题意，得． 解得（不符合题意，舍去）． 答：该款“文创T恤”7月份到9月份销售量的月平均增长率为． （2）设该“文创T恤”售价为元，月销售利润为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件． ． 当时，． 答：该“文创T恤”售价为62元时，月销售利润最大，最大利润为11520元． 题型三 投球问题 1．（25-26九年级上·全国·期中）如图，一名运动员在水平地面上训练抛实心球，若以实心球出手时的正下方地面上一点O 为原点建立平面直角坐标系，该运动员某次抛出去的实心球行进过程中的高度与水平距离之间的关系为，则该运动员这次抛出的水平距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的应用，正确求解方程是解题的关键．解方程，求出结果即可． 【详解】解：令，则， 解得：（舍去），， 则该运动员这次抛出的水平距离为． 故选：B． 2．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．小球运动中的高度可以是时，所需时间为 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意，将高度代入关系式，建立关于t的方程，求解即可得到所需时间． 【详解】由题意，令，得方程， 整理得：， 两边同时除以，得：， 因式分解得：， 解得或， 经检验，和均满足，故符合题意， 故答案为：或． 3．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图，一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地面的高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系，已知铅球落地时的水平距离为．则铅球出手时离地面的高度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据铅球落地时的水平距离为，可得点的坐标是，把点的坐标代入，求出，可得抛物线的解析式是，当时，对应的函数值就是高度． 【详解】解：铅球落地时的水平距离为， 点的坐标是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式是， 当时，可得：， 铅球出手时离地面的高度是． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·安徽六安·阶段练习）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米处的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数，）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 0.4 0.6 … （米） 0 4 6 … (1)求与的函数关系式； (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ (3)当为1.6秒时，小明将球击回，此时球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为2，纵坐标大于或等于1.8时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米 (3) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）代入点，得到二元一次方程组求解即可； （2）先求出球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为，再由二次函数的性质求解； （3）先求出击球点位置为，再将代入，求出，根据时，，得到不等式，再解一元一次不等式即可． 【详解】（1）解：∵图象经过点，， ， 解得：， ∴与的函数关系式为； （2）解：由表格可知， ∴设球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为：， 代入得：， 解得：， ∴， 对于，， ∴开口向下， ∵对称轴为：直线， ∴当时，， 此时， 解得：， ∴网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米； （3）解：由题意得，当时，， ∴， ∴击球点位置为， 将代入， 则， ∴， ∴， ∵时，， ∴， 解得：． 5．（25-26九年级上·全国·期中）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K（与相距，离地高度）为飞行距离计分的参照点，落地点超过点 K 越远，飞行距离分越高.某运动员从起跳点A滑出，当该运动员飞行的水平距离（与相距的距离）为时，恰好达到最大高度，该运动员最后着陆在着陆坡上.着陆点在点 K 处或在点 K 右侧视为成绩达标． (1)求抛物线的解析式； (2)判断该运动员的成绩是否达标，并说明理由． 【答案】(1) (2)该运动员的成绩达标，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数解析式是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式为，联立，求解即可． 【详解】（1）解：设该抛物线的解析式为， 将代入解析式得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：该运动员的成绩达标，理由如下： 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴着陆点的坐标为， ∵， ∴该运动员的成绩达标． 6．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）小明周末来到小湖边玩打水漂的游戏（确保安全），打出的水漂呈抛物线形状．小明站在岸边向湖中抛出一个石子，石子在距离小明5m远的水面重新弹了起来，当石子运动到距小明时，达到了最大高度，以小明所在的位置为原点，水面所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中是石子距小明的水平距离，是石子距水面的高度．（小明所在地面、水面在同一平面内，且石子形状大小、空气阻力等因素忽略不计） (1)求抛物线的解析式；（无需写出自变量的取值范围） (2)若在水面上有一个截面宽，高的矩形障碍物（浮力忽略不计），，这个石子在此次飞行过程中，能否越过障碍物？并说明理由． 【答案】(1) (2)这个石子在此次飞行过程中，能越过障碍物，理由见解析 【分析】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是正确求出表达式． （1）设抛物线解析式为，然后利用待定系数法求解即可； （2）根据题意分别将和代入比较判断即可． 【详解】（1）∵当石子运动到距小明时，达到了最大高度， ∴根据题意得，抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为 根据题意得，抛物线经过点 ∴ ∴ ∴抛物线的解析式为； （2）将代入， 将代入 ∴这个石子在此次飞行过程中，能越过障碍物． 7．（25-26九年级上·安徽黄山·阶段练习）九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，与篮圈中心的水平距离为，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？ (2)此时，若对方队员乙在甲前面处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为，那么他能否获得成功？ 【答案】(1)，能够投中； (2)能够盖帽拦截成功． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征． 根据球出手时的高度可知抛物线经过点，根据球出手后水平距离为时到达最大高度，可知抛物线的顶点坐标是，根据球出手时篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面可知篮圈中心的坐标是，利用待定系数法求出抛物线的解析式，当时，求出球的高度为，可知篮球能投中； 把代入代数式，可得：，因为可知能够盖帽拦截成功． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线经过点，顶点坐标是，篮圈中心的坐标是， 设抛物线的解析式是， 抛物线经过点， ， 解得：， 抛物线解析式为． 当时，， 篮圈的中心点在抛物线上， 能够投中； （2）解：当时，， 能够盖帽拦截成功． 8．（25-26九年级上·河南开封·阶段练习）如图，在某次足球比赛中，李强站在点处发出任意球，把球看作点，其运行轨迹的高度（）与水平距离（）满足二次函数关系，且当球飞行的水平距离为米时，球达到最高点，此时球离地面米，此时防守队员站在李强前方米处组成人墙，防守队员的身高为米，对手球门与李强的水平距离为米，已知足球球门的高是米． (1)求与的函数关系式； (2)足球能否越过人墙？足球能否直接射进球门？请说明理由． 【答案】(1) (2)足球能越过人墙，能直接射进球门，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）设，根据函数图象过原点，求出a的值即可； （2）分别把和代入函数解析式求出y的值与2和比较即可． 【详解】（1）解：依题意设， ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴所求的函数关系式为； （2）解：足球能越过人墙，能直接射进球门，理由如下： 由（1）得， 当时，， ∴足球能越过人墙， 当时， ∴足球能直接射进球门． 题型四 喷水问题 1．（2025九年级·全国·专题练习）某处有高低不同的各种喷泉，其中有一支高度为1m的喷水管，喷水最高点离地面3m，此时点离喷水口的水平距离为．在如图所示的平面直角坐标系中，这支喷泉的函数表达式为 （不要求写出自变量的取值范围）． 【答案】 【分析】设抛物线的顶点式 ，将点代入即可求解抛物线的解析式． 【详解】解：∵点是抛物线的顶点， ∴可设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点 ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式，设顶点式是解题的关键． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）某景点圆形喷水池中心处竖直安装一根水管，喷水口处的水流呈抛物线型，该水流喷出的高度与水平距离之间的关系如图所示，为该水流的最高点，已知水流落地处离池中心处的距离为，于点，，． (1)求与之间的函数关系式； (2)求水管的高度． 【答案】(1) (2)水管的高度为米 【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）令代入函数解析式可得结论． 【详解】（1）解：根据题意得，， 设函数解析式为， 把代入得， 解得，， ∴函数解析式为； （2）解：当时，， 所以，水管的高度为米． 3．（2025九年级下·全国·专题练习）某公园有一个直径为16m的圆形喷水池，喷出的水柱呈抛物线形，且各方向喷出的水柱恰好落在水池内．如图，过喷水管口所在铅垂线每一个截面均可得到两条关于对称的抛物线，以喷水池中心为原点，喷水管口所在铅垂线为纵轴，建立平面直角坐标系．    (1)若喷出的水柱在距水池中心3m处达到最高，且高度为5m，求水柱所在抛物线（第一象限）的函数表达式； (2)王师傅在喷水池内维修设备时，喷水管意外喷水：为了不被淋湿，身高1.8m的王师傅站立时必须在水池中心多少米以内？ 【答案】(1) (2)为了不被淋湿，身高1.8m的王师傅站立时必须在水池中心7m以内． 【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点，求出值即可； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当时的值，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：设水柱所在抛物线（第一象限）的函数表达式为． 将代入，得，解得， 水柱所在抛物线（第一象限）的函数表达式为． （2）解：当时，有， 解得， 为了不被淋湿，身高1.8m的王师傅站立时必须在水池中心7m以内． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键． 4．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中（）是水柱距喷水头的水平距离，（）是水柱距地面的高度． (1)求抛物线的表达式． (2)身高的小红在水柱下方走动，当她的头发不接触到水柱时，求她在轴上的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用． （1）由抛物线顶点，设抛物线的表达式为，用待定系数法可得抛物线的表达式； （2）当时，，解得或，进而可得结论． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为， 将代入得：， 解得， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时，， 解得或， 结合抛物线图象可得，当她的头发不接触到水柱时，她在x轴上的横坐标x的取值范围为． 5．（2025·陕西·模拟预测）某公园要修建一个喷泉景观，喷射水柱呈抛物线型，如图所示，线段表示水平地面，以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点且垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知：为安装的m高的花形柱子，并在柱子顶端处安置喷头向外喷水．为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1m时达到最大高度，此时离地面m． (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)若李师傅计划在线段上的点处竖立一座雕像，雕像高米，若想雕像不碰到水柱，请求出线段的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，根据题意求得函数解析式是解题的关键． （1）设抛物线的函数表达式为，将代入，即可求解． （2）求出时的横坐标，根据图像即可得出结论． 【详解】（1）解：∵距的水平距离为1m时达到最大高度，此时离地面m． ∴抛物线的顶点， 可设抛物线的解析式为， 把代入，得， 抛物线的解析式为． （2）解：，令，代入抛物线的解析式， 得，， 线段的取值范围为． 6．（25-26九年级上·陕西安康·阶段练习）小红观察到一处喷水景观喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：喷水装置竖立在地面上，建立如图所示的平面直角坐标系，其中一条水柱距地面的高度y（m）与水柱距喷水头的水平距离x（m）之间满足关系式． (1)求喷头P与地面的距离OP； (2)已知身高的小红现直立在距离喷水装置的水柱正下方的点B处，此时她的头顶并未接触到水柱，小红想要继续沿方向直立行走，当她的头顶恰好接触到水柱时，距离点B多远？ 【答案】(1) (2)离点远 【分析】利用本题重点考查​二次函数的性质与实际应用​，​理解二次函数表达式各参数的意义，并将实际问题转化为数学问题求解是解题的关键​． （1）令，求出即得答案； （2）计算当，求出，再用结果减去3即得答案． 【详解】（1）当时，， 答：喷头P与地面的距离为0.4m． （2）将代入得：， 解得（舍），， ， 答：当小红的头顶恰好接触到水柱时，距离点B 3m远． 7．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，某广场要建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直放置一根水管，在水管的顶端A处安装一个喷水头，喷出的水柱是抛物线的一部分，已知落水点B到池中心O的距离为8米． (1)写出水柱离水面（x轴）的最大高度，并求水管的长度； (2)若在喷水池中竖直放置一盏高为米的景观射灯，且景观射灯的顶端F恰好碰到水柱，求景观射灯与池中心的水平距离； (3)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点到池中心的距离为10米，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，求水管要升高多少米？ 【答案】(1)水管的长度为米 (2)景观射灯与池中心的水平距离为7米 (3)水管要升高米 【分析】该题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是理解题目中的条件所表示的几何意义． （1）将点B的坐标代入即可求解； （2）把代入解析式，即可求解； （3）设水管要升高h米，求出扩建后抛物线的表达式，即可求解； 【详解】（1）解：由解析式得水柱离水面的最大高度为5米， 将点B的坐标代入中， 得 解得， ∴． 令，得， ∴水管的长度为米； （2）解：由题意得，令 解得，（舍去）， ∴顶端F的横坐标为， ∴景观射灯与池中心的水平距离为7米； （3）解：设水管要升高h米， ∴升高后的抛物线的解析式为． 当时，， ∴ ， ∴， 答：水管要升高米． 8．（2025·湖北·一模）阅读以下材料，完成项目主题任务： 【项目主题】圆形喷水池喷射形状和高度探究． 【项目背景】寻找生活中的数学，九年级（1）班分成四个小组，开展数学项目式实践活动，获得数据共享，对圆形喷水池喷射形状建立数学模型． 【项目任务】 如图①是一个圆形喷水池，其以喷出的水流呈抛物线型，水流的高度h（单位：）与水流运动时间t（单位：）之间的关系式为：，请你解决以下问题： 任务一：当时，求水流从喷出到落地需要的时间，并在图②中画出函数的图象； 任务二：根据设计需求，水流从喷出到落地的时间需保持在及以上，求v的最小值； 任务三：为了喷水池的美观以及安全考虑，园方要求水流喷出的最大高度h的范围为，求水流速度的取值范围． 【答案】任务一：时间为，图象见解析；任务二：；任务三：水流速度的取值范围为． 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据二次函数的性质即可求解，再作图即可． （2）把代入二次函数解析式中，可得，进一步即可求解． （3）根据最大高度为时或者最大高度，分别求出水流速度即可求解． 【详解】解：任务一： 当时，， 令， 解得（舍去），， ∴水流从喷出到落地需要的时间为．画出函数图象如图所示； 任务二： 令， 则， 即v随t的增大而增大， ∴当时，； 任务三： ∵， ∵， 当最大高度为米时，有， 解得（不合题意，舍去）或； 当最大高度为米时，有， 解得：（不合题意，舍去）或； 故水流速度的取值范围为． 9．（25-26九年级上·湖北·阶段练习）小明家新买了一个高度为的长方体玻璃鱼缸，为打造流水景观，他在鱼缸侧面连续注水，保证鱼缸始终盛满水（水面离鱼缸底部高度即为鱼缸高度）．当在鱼缸侧面离水面竖直距离为（单位：）的位置开一个小孔时，从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）（单位：）与的关系满足关系式：，其中为水面离地面的高度（此处即鱼缸高度）． (1)请写出与的函数关系式，并回答：当为何值时，射程达到最大值？最大射程是多少？ (2)小明想在鱼缸侧面开两个小孔，使得两个小孔射出水的射程相等．若第一个小孔离水面的竖直距离为，第二个小孔离水面的竖直距离为，求与之间的关系式； (3)为了让流水景观更美观，小明打算在鱼缸下方垫一个木质底座．若垫高后，射出水的最大射程比原来增加了，则垫高后小孔离水面的竖直距离为_____． 【答案】(1)，当时，射程最远为； (2)或 (3) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出二次函数的解析式，是解题的关键： （1）把代入函数关系式，即可得出与的关系式，利用二次函数求最值即可； （2）根据两孔射出水的射程相同，得到，利用因式分解变形即可得出答案； （3）设垫高的高度为，列出函数关系式，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∵， ∴当时，函数值最大为900， ∴的最大值为； 故当时，射程最远为； （2）由（1）知：， 由题意，得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或； （3）设垫高的高度为，由题意，得， ∴当时，最大为，此时最大为， ∴， ∴， 故答案为：． 题型一 二次函数综合问题 1．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知抛物线与轴交于两点，点在点的左边，与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)点是抛物线上一点，若，求点的坐标； (3)如图，为线段的中点，将抛物线向上平移个单位，交线段于点，连接并将其绕点逆时针旋转得到线段，连接，当的周长最小时，直接写出的值． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【分析】（）把和代入函数解析式解答即可求解； （）由点坐标可得，再分点在轴上方和下方两种情况解答即可求解； （）过点作，交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于，可得点在以为直径的圆上，即得点在直线上运动，作点关于的对称点，连接，交于点，连接，可知此时的值最小，则的周长最小，利用轴对称的性质可得，再证明，得，即得，又由是等腰直角三角形，得，进而得到，即得到，，得到，最后代入到平移后的函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得，， ∴，， 把代入，得， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 如图，过点作交抛物线于点，则， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 由，解得或， ∴； 过点作于点，延长线交抛物线于点，过点作轴于点，则， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 由，解得或， ∴； 综上，点的坐标为或； （3）解：过点作，交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于， 则， ∵， ∴， 又∵， ∴点在以为直径的圆上， ∴点在直线上运动， 如图，作点关于的对称点，连接，交于点，连接，可知此时的值最小，则的周长最小， ∵，， ∴， 由对称性可得，， ∴， ∵为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∵抛物线向上平移个单位的解析式为，点在平移后的抛物线上， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数的几何应用，二次函数的平移，旋转的性质，锐角三角函数，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，正确作出辅助线是解题的关键． 2．（25-26九年级上·湖北恩施·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）与x轴交于A（－2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点（不与点C重合），设点P的横坐标为m． (1)求b，c的值； (2)如图，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转90°得线段PD，且点D恰好落在直线上，求点P的坐标； (3)若点M是OB的中点，以点O，M，C，P为顶点的四边形的面积为S． ①求S与m的函数解析式； ②根据S的不同取值，结合图象，直接写出S随m变化时自变量m的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3)①；②当或时，的值随的增大而减小；当时，的值随的增大而增大 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，结合待定系数法求解二次函数解析式、全等三角形的判定与性质、一元二次方程的求解等知识点计算是解题的关键． （1）把、两点代入解析式求解即可； （2）过点作于点，过点作的延长线于点，证明，得到，分别表示出点和点的坐标，计算即可； （3）根据已知条件得出，分情况讨论：当点在轴左侧和当点在轴右侧时求出的表达式，再根据的取值判断即可； 【详解】（1），在上， ， 解得：； （2）如图，过点作于点，过点作的延长线于点， ，， 由旋转的性质知，， ， ， ， ， 点的横坐标为， ，，且， ， ， ， 解得：，， 或； （3）由题意知，当时，， ，即， ，即， 当点在轴左侧，即时，如图所示， 则 ； 当点在轴右侧，即时，连接， 则 ， 综上所述，， 当或时，的值随的增大而减小；当时，的值随的增大而增大，理由如下： ， 由图可知：当或时，的值随的增大而减小；当时，的值随的增大而增大． 3．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴交于点，连接． (1)求此二次函数的解析式； (2)若点在二次函数图象上，且满足，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，求二次函数解析式，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据待定系数法求出直线解析式为，则可求直线与直线相交于，设为点D，连接并延长交抛物线于P，根据抛物线的对称性得出A、C关于直线对称，则，即，同理可求出直线解析式为，联立方程组，即可求出点P的坐标；作点D关于x轴的对称轴点E，连接并延长交抛物线于，则，，即同理可求点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：把和代入， 得， 解得， ∴； （2）解：当，则， 解得，， ∴， ∵， ∴对称轴为直线 设直线解析式为， 则， ∴， ∴， 当时， ∴与直线相交于，设为点D，连接并延长交抛物线于P， ∵A、C关于直线对称， ∴，即， 同理可求出直线解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴， 作点D关于x轴的对称轴点E，连接并延长交抛物线于， 则，，即 同理可求直线解析式为，， 综上，当时，点P的坐标为或 4．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点（在的右侧），与轴交于点． (1)分别求出的坐标； (2)在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在求点的坐标；若不存在，说明理由； (3)在抛物线的对称轴上存在点，使得是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）由对称性可知当B、C、Q三点共线时，的周长最小，求出直线与对称轴的交点即为所求点Q； （3）设，而可得；；，再由等腰三角形的边的关系分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点 ∴当时，； ∴ ∵抛物线与轴交于点（在的右侧）， ∴ 解得： ∴ ∴ （2）存在； 如图；连接与对称轴交于点；连接 ，此时的周长最小； ∵ 设直线的解析式为：， ∴ 解得： ∴直线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴为直线： ∴当时，代入得： ∴ （3）设，而 ∴；； ∵是以为腰的等腰三角形 ∴①当时，则；解得 当时，在一条直线上，故舍去； ∴ ②当时，则 ；解得： ∴；. 综上所述：点坐标为；；. 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，求函数解析式，等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 5．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，直线经过，两点，抛物线的顶点为，连接，． (1)求直线的解析式； (2)过点作直线轴，分别交抛物线于，两点（点在点的左侧），连接，在直线上找一点，若在轴右侧且满足，求点坐标； (3)若为抛物线图象上一点，在抛物线的对称轴上，是否存在一点使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，写出所有符合条件的点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）先求出A、B、C的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （2）过D作轴交于E，根据割补法求出，过P作轴，交直线于F，设，根据待定系数法求出直线解析式为，则，根据割补法求出，结合，可得出关于p的方程，然后解方程即可； （3）分三种情况讨论：①以、为对角线；②以、为对角线；③以、为对角线，根据平行四边形的性质和中点坐标公式求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当时，， 解得，， ∴，， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴； （2）解：∵， ∴顶点D的坐标为，对称轴为直线， 过D作轴交于E， 当时，， ∴， ∴， ∴， 过P作轴，交直线于F，设， ， 同理可求直线解析式为，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； （3）解：设，， ①以、为对角线， 则， 解得， ∴； ②以、为对角线， 则， 解得， ∴； ③以、为对角线， 则， 解得， ∴， 综上所述，当N的坐标为或或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，面积问题，特殊四边形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 6．（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式以及顶点的坐标； (2)当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标； (3)连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，点P的坐标为； (2)点E的坐标为； (3)存在，点N的坐标为或 【分析】本题是二次函数综合问题，主要考查了二次函数的最大值、待定系数法求解析式及相似三角形的性质，解题的关键是根据条件列函数或方程． （1）先求得点坐标，再代入，求出，即可得到抛物线解析式，配方解析式即可得到顶点； （2）在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F，设出点E，F的坐标，列出函数，根据函数的性质即可得到答案； （3）根据B，C ，P三点坐标即可得到，根据对应边成比例夹角相等三角形相似分两类讨论边对应成比例列式解方程即可得到答案； 【详解】（1）解：直线，令，得，令，得， 所以，，代入得， ，解得：， ∴， ∴， ∴顶点P的坐标为：； （2）解：在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F， 设点，则点， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积有最大值， 此时，点E的坐标为； （3）解：存在，理由如下， 连接，设， 当时，， 解得，， ∴， ∵，，， ∴，且非等腰三角形， 若为顶点的三角形与相似， ，则点在点的左侧， ， ①当时，， ∴， 解得，所以点N的坐标为， ②当时，， ∴， 解得，所以点N的坐标为， 综上所述，点N的坐标为或． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5二次函数的应用 题型一 图形问题 1．（25-26九年级上·安徽淮北·阶段练习）小明受二次函数的图象启发，为某葡萄酒大赛设计了一款杯子．如图所示的是杯子的设计稿，若，，则杯子的高CE为（    ） A．3 B．5 C．7 D．11 2．（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知直角三角形的两直角边之和为4，则该三角形面积的最大值为 ． 3．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）某公园要建造一个矩形花坛，一面靠墙（墙长20米），另三面用篱笆围成，篱笆总长为40米． (1)设垂直于墙的一边长为米，求花坛面积与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)求花坛面积的最大值． 4．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，为美化环境，某小区计划在一块长为，宽为的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建同样宽的通道，设通道的宽为． (1)用含a的式子表示花圃的面积． (2)若通道面积与花圃面积之比等于时，求此时通道的宽． (3)已知某园林公司修建通道的造价为80元，花圃的造价为100元，如果小区物业决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过6米，则通道宽为多少米时，修建通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？ 5．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，用长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度为米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为米，面积为平方米． (1)求关于的函数表达式． (2)如果要围成面积为平方米的花圃，的长为多少米？ (3)平方米是否为花圃能围成的最大面积？若是，请说明理由；若不是，请求出花圃的最大面积． 6．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长m，篱笆长m．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为． (1)求与与的关系式． (2)围成的矩形花圃面积是否存在最大值，若存在，求出这个最大值，并求出此时的值． 7．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙墙足够长，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1米宽的门．已知计划中的材料可建墙体不包括门总长为27米． (1)假设垂直于墙的一道墙长为，饲养室面积为，求S关于x的函数关系式． (2)能建成的饲养室面积最大为多少平方米？ 8．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是高，矩形的顶点、分别在、上，在边上．若，，求矩形的面积最大时，的长度． 9．（25-26九年级上·天津北辰·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A，C分别在轴、轴上，点分别是边、上的动点，且．设，的面积为． (1)用含的式子表示； (2)当的值为多少时，的值最小？求这个最小值． 题型二 拱桥问题 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图是抛物线形的拱桥，当水面宽时，顶点离水面，当水面宽度增加到时，水面下降（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图是抛物线拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽度4米，水面宽度减少1米时，水位上升 米． 3．（25-26九年级上·湖北宜昌·阶段练习）如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为 4．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，若水面再下降，水面宽度为 ． 5．（25-26九年级上·湖北宜昌·阶段练习）如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直的接触地面和门的内壁，并测得，则门高为 ． 6．（25-26九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面宽为，拱桥的最高点O到水面的距离为．如果此时水位上升就达到警戒水位，那么宽为 m． 7．（2025·陕西·中考真题）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 (1)求所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 8．（25-26九年级上·吉林四平·期中）湘雅公园人工湖上有一座拱桥，横截面呈抛物线形状，如图所示，现对此展开研究：跨度为4米，桥墩露出水面的高度均为米，在距点A水平距离为2米的地点，拱桥距离水面的高度为米，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的解析式为，其中是横截水面，是拱桥距水面的高度． 游船参数 长米，宽米， 满员后游船露出水面高度为米 (1)求抛物线的解析式； (2)公园欲开设游船项目，为安全起见，公园要在水面上的C、D两处设置航行警戒线，并且，要求游船能从C、D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离至少为多少米？ 9．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）一座桥如图，桥下水面宽度是20米，高是4米． (1)如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系，求抛物线的解析式； (2)要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？ 10．（25-26九年级上·河南商丘·阶段练习）某市一处十字路口立交桥的横断面如图所示，桥拱的部分为一段抛物线，顶点的高度为米，它两侧和是高为米的支柱，和为两个方向的机动车通行区，宽都为米，线段和为两段对称的上桥斜坡，且．以所在直线为轴，横断面的对称轴为轴建立平面直角坐标系． (1)求桥拱所在抛物线的解析式及的长； (2)和为支撑斜坡的立柱，其高都为米，相应的和为两个方向的行人及非机动车通行区，若，求的宽度； (3)按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于米．今有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为米．它能否从桥下区域安全通过？请说明理由． 11．（2024·福建三明·模拟预测）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间，如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中点为抛物线的拱顶且高，，，取中点，过点作线段的垂直平分线交抛物线于点，若以点为原点，所在直线为轴，为轴建立如图所示平面直角坐标系． 解决下列问题： (1)如图，求抛物线的解析式； (2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，若，求两个正方形装置的间距的长； (3)如图，在某一时刻，太阳光线太阳光线为平行线透过点恰好照射到点，此时大棚截面的阴影为，求的长． 题型三 增长率问题 1．（25-26九年级上·重庆·期中）为了迎接体考，小南坚持每天进行跳绳练习．本周五她参与了学校的志愿服务活动，跳绳量比周四减少了．为补上周五缺失的练习，小南决定周六、周日连续两天提高跳绳量，设日均增长率为，若小南周四跳绳量为个，则小南周日跳绳量关于的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）黄山毛峰是安徽最具代表性的绿茶之一，产于黄山山区，新茶一上市就获得全国人民的追捧，某地第一天销售额为万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，三天后销售额累计达万元，若把增长率记作，则关于的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）某工厂1月份的产值为200万元，平均每月产值的增长率为x，则该工厂3月份的产值y关于x的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）某工厂一种产品今年的产量是件，如果每年的产量比上一年增加相同的百分率，那么第三年的产量（件）关于的函数关系式为（  ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·全国·课后作业）最新报告显示，2023年全球金属增材制造市场的总收入达到了亿美元．若2025年的市场规模为y亿美元，平均每年的增长率为x，则y关于x的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·重庆长寿·期中）某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金（元）关于x的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·云南昆明·期中）公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售1500个，9月份销售个，设7月份到9月份销售量的月增长率为，那么与的函数关系是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）为解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价．若设平均每次降价的百分率为x，该药品的原价是元，降价后的价格是y元，则y与x的函数关系式为 ． 10．（25-26九年级上·安徽六安·阶段练习）近年来我国新能源汽车发展迅速，据中国汽车乘联会统计，2024年我国新能源汽车销售量约为1150万辆，假设我国新能源汽车每年销售增长率保持不变，预计2026年我国新能源汽车销售量约为万辆，则关于的函数表达式为 ．（不用写自变量的取值范围） 11．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）近年来我国新能源汽车发展迅速，据中国汽车乘联会统计，2024年我国新能源汽车销售量约为1150万辆，假设我国新能源汽车每年销售增长率x保持不变，预计2026年我国新能源汽车销售量约为y万辆，则y关于x的函数表达式为 （不用写自变量的取值范围） 12．（25-26九年级上·全国·周测）中国地铁已经成为一张见证时代发展的名片，2022年我国地铁运营里程约为0.8万公里．若2024年运营里程约为y万公里，运营里程的年平均增长率为x，则y关于x的函数表达式为 ． 13．（2024九年级上·上海·专题练习）某商店一月份销售额为万元，月平均增长率，一季度的销售额为万元，那么关于月平均增长率的函数解析式是 ． 14．（2025九年级上·全国·专题练习）某公司的生产利润原来是万元，经过连续两年的增长达到了万元，如果每年增长率都是，写出利润与增长的百分率之间的函数解析式，它是什么函数？ 15．（2024九年级上·全国·专题练习）某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，求十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式． 16．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元． (1)求与的关系式； (2)当时，求今年的总产值为多少万元？ 17．（2015·山东临沂·一模）某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同． (1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率； (2)2014年这种产品的产量应达到多少万件？ 题型一 图形运动问题 1．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在矩形中，，点 Q从点B出发，以的速度沿 方向运动到点 C 停止，同时点P 从点 B 出发，以的速度沿路线 B→A→D→C 运动到点C 停止.若 的面积为y（单位：），运动时间为x（单位：），则下列最能反映y与x之间的函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广东东莞·阶段练习）如图1，在菱形中，，连接，点从点出发沿方向以的速度运动至点，点同时从点出发沿方向以的速度运动至点．设运动的时间为，的面积为．已知与之间的函数图象如图2所示，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）在中，，，，，分别是，的中点，点，分别从点，出发，沿折线方向运动，运动速度都是1个单位长度/秒，当点到达点时，两点同时停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则与之间的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·天津滨海新·阶段练习）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点C重合）．如果分别从同时出发，那么经过 秒，四边形的面积最小． 5．（25-26九年级上·福建南平·阶段练习）在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：___________，___________（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 6．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图1，在中，，，，点从点出发，以的速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段运动，当点到达点时，停止运动．设点运动的时间为，的面积为． (1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在图2平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出这个函数的一条性质； (3)若的函数图象与直线有两个交点，请直接写出实数的取值范围． 7．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，的长度等于？ (2)是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 8．（25-26九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向点以秒的速度移动，同时，点从点出发沿边向点C以/秒的速度移动．如果、两点在分别到达、两点后就停止移动，回答下列问题： (1)运动开始后第几秒时，的面积等于？ (2)设运动开始后第t秒时，五边形的面积为，写出S与t的函数关系式及自变量t的取值范围；并求出当t为何值时，s的值最小． (3)计算四边形的面积，并探索一个与计算结果有关的结论． 9．（24-25九年级上·甘肃酒泉·阶段练习）如图，中，，，，、两点同时分别从、出发，点以每秒个单位的速度沿着向点运动，点以每秒个单位的速度沿着向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． (1)求经过几秒，的长为； (2)设的面积为，点、的运动时间为秒，求与的函数解析式，并写出的取值范围； (3)当点、的运动时间为秒时，求的面积． 题型二 销售问题 1．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）某商场销售一种商品，每件进价为元，售价为元时，每月可售出件．市场调查发现：售价每上涨元，月销售量减少件．设售价上涨元． (1)求月销售量（件）与的函数关系式； (2)求月利润（元）与的函数关系式． 2．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：日销售量（盒）与销售单价（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量/盒 … 56 52 48 44 40 … (1)求关于x的函数表达式． (2)当销售单价不低于进价，且日销售量至少40盒时．糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ 3．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量件与销售单价元之间的关系可近似地看作一次函数：； (1)设小明每月获得利润为元，求每月获得利润元与销售单价元之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围． (2)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？ 4．（25-26九年级上·云南保山·期中）应用题：某商场以每件20元的价格购进一批商品，如果以每件30元销售，那么每天可售出100件．经调查发现，这种商品的销售单价每上涨1元，每天销售量就减少10件．设销售单价上涨x元（x为整数），每天销售利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)求销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 5．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）某宾馆有50个房间，供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空置．如果旅客居住房间，宾馆需对每个房间支出20元的各种费用．若设定价增加元，宾馆获得利润为元． (1)宾馆有__________个房间有游客居住，的取值范围为__________； (2)求宾馆可获得的最大利润． 6．（25-26九年级上·天津·阶段练习）（1）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，商场的头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售150个，11月份销售216个，且从9月份到11月份销售量的月增长率相同，求该品牌头盔销售量的月增长率． （2）某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“五一”节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． ①要使平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？ ②若商店规定降价金额不超过30元且不少于5元，请求出降价多少元时一天能取得最大利润，并求出利润最大值． 7．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）2022年卡塔尔世界杯是第22届世界杯足球赛，某足球供销商以每件50元的价格购进一批足球，销售中发现这种足球每天的销售量y（件）与每件的销售价格x（元）近似满足一次函数关系，其图象如图所示，且销售这种足球不会低于成本价． (1)求出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围． (2)求该供销商每天销售这种足球的销售利润w与x之间的函数关系式并求出当销售价格x为何值时，销售利润w的值最大，最大值是多少? (3)在网格坐标系中画出w关于x的函数的大致图象，再利用图象分析每件足球的销售价格在什么范围内时，每天的销售利润在400元以上． 8．（25-26九年级上·四川眉山·阶段练习）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利15元，每天可售出1000千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少40千克． ①现该商场要保证每天盈利15000元，每千克应涨价多少元； ②设每天的总利润为W元，当每千克应涨价多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 9．（黑龙江龙东地区部分学校2025-2026学年上学期九年级数学期中试卷）黑龙江哈尔滨是一个充满文化底蕴的城市，拥有着丰富的旅游特色纪念品．随着国庆小长假旅游旺季的到来，某商店以每件38元的价格购进一批旅游纪念品，“文创T恤”以每件66元的价格出售．经统计，7月份的销售量为256件，9月份的销售量为400件． (1)求该款“文创T恤”7月份到9月份销售量的月平均增长率； (2)从10月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，根据销售经验预测，该“文创T恤”每降价1元，月销售量就会增加20件．当该“文创T恤”售价为多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少元？ 题型三 投球问题 1．（25-26九年级上·全国·期中）如图，一名运动员在水平地面上训练抛实心球，若以实心球出手时的正下方地面上一点O 为原点建立平面直角坐标系，该运动员某次抛出去的实心球行进过程中的高度与水平距离之间的关系为，则该运动员这次抛出的水平距离为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．小球运动中的高度可以是时，所需时间为 ． 3．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图，一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地面的高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系，已知铅球落地时的水平距离为．则铅球出手时离地面的高度是 ． 4．（25-26九年级上·安徽六安·阶段练习）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米处的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数，）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 0.4 0.6 … （米） 0 4 6 … (1)求与的函数关系式； (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ (3)当为1.6秒时，小明将球击回，此时球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为2，纵坐标大于或等于1.8时，求的取值范围． 5．（25-26九年级上·全国·期中）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K（与相距，离地高度）为飞行距离计分的参照点，落地点超过点 K 越远，飞行距离分越高.某运动员从起跳点A滑出，当该运动员飞行的水平距离（与相距的距离）为时，恰好达到最大高度，该运动员最后着陆在着陆坡上.着陆点在点 K 处或在点 K 右侧视为成绩达标． (1)求抛物线的解析式； (2)判断该运动员的成绩是否达标，并说明理由． 6．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）小明周末来到小湖边玩打水漂的游戏（确保安全），打出的水漂呈抛物线形状．小明站在岸边向湖中抛出一个石子，石子在距离小明5m远的水面重新弹了起来，当石子运动到距小明时，达到了最大高度，以小明所在的位置为原点，水面所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中是石子距小明的水平距离，是石子距水面的高度．（小明所在地面、水面在同一平面内，且石子形状大小、空气阻力等因素忽略不计） (1)求抛物线的解析式；（无需写出自变量的取值范围） (2)若在水面上有一个截面宽，高的矩形障碍物（浮力忽略不计），，这个石子在此次飞行过程中，能否越过障碍物？并说明理由． 7．（25-26九年级上·安徽黄山·阶段练习）九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，与篮圈中心的水平距离为，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？ (2)此时，若对方队员乙在甲前面处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为，那么他能否获得成功？ 8．（25-26九年级上·河南开封·阶段练习）如图，在某次足球比赛中，李强站在点处发出任意球，把球看作点，其运行轨迹的高度（）与水平距离（）满足二次函数关系，且当球飞行的水平距离为米时，球达到最高点，此时球离地面米，此时防守队员站在李强前方米处组成人墙，防守队员的身高为米，对手球门与李强的水平距离为米，已知足球球门的高是米． (1)求与的函数关系式； (2)足球能否越过人墙？足球能否直接射进球门？请说明理由． 题型四 喷水问题 1．（2025九年级·全国·专题练习）某处有高低不同的各种喷泉，其中有一支高度为1m的喷水管，喷水最高点离地面3m，此时点离喷水口的水平距离为．在如图所示的平面直角坐标系中，这支喷泉的函数表达式为 （不要求写出自变量的取值范围）． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）某景点圆形喷水池中心处竖直安装一根水管，喷水口处的水流呈抛物线型，该水流喷出的高度与水平距离之间的关系如图所示，为该水流的最高点，已知水流落地处离池中心处的距离为，于点，，． (1)求与之间的函数关系式； (2)求水管的高度． 3．（2025九年级下·全国·专题练习）某公园有一个直径为16m的圆形喷水池，喷出的水柱呈抛物线形，且各方向喷出的水柱恰好落在水池内．如图，过喷水管口所在铅垂线每一个截面均可得到两条关于对称的抛物线，以喷水池中心为原点，喷水管口所在铅垂线为纵轴，建立平面直角坐标系．    (1)若喷出的水柱在距水池中心3m处达到最高，且高度为5m，求水柱所在抛物线（第一象限）的函数表达式； (2)王师傅在喷水池内维修设备时，喷水管意外喷水：为了不被淋湿，身高1.8m的王师傅站立时必须在水池中心多少米以内？ 4．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中（）是水柱距喷水头的水平距离，（）是水柱距地面的高度． (1)求抛物线的表达式． (2)身高的小红在水柱下方走动，当她的头发不接触到水柱时，求她在轴上的横坐标的取值范围． 5．（2025·陕西·模拟预测）某公园要修建一个喷泉景观，喷射水柱呈抛物线型，如图所示，线段表示水平地面，以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点且垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知：为安装的m高的花形柱子，并在柱子顶端处安置喷头向外喷水．为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1m时达到最大高度，此时离地面m． (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)若李师傅计划在线段上的点处竖立一座雕像，雕像高米，若想雕像不碰到水柱，请求出线段的取值范围． 6．（25-26九年级上·陕西安康·阶段练习）小红观察到一处喷水景观喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：喷水装置竖立在地面上，建立如图所示的平面直角坐标系，其中一条水柱距地面的高度y（m）与水柱距喷水头的水平距离x（m）之间满足关系式． (1)求喷头P与地面的距离OP； (2)已知身高的小红现直立在距离喷水装置的水柱正下方的点B处，此时她的头顶并未接触到水柱，小红想要继续沿方向直立行走，当她的头顶恰好接触到水柱时，距离点B多远？ 7．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，某广场要建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直放置一根水管，在水管的顶端A处安装一个喷水头，喷出的水柱是抛物线的一部分，已知落水点B到池中心O的距离为8米． (1)写出水柱离水面（x轴）的最大高度，并求水管的长度； (2)若在喷水池中竖直放置一盏高为米的景观射灯，且景观射灯的顶端F恰好碰到水柱，求景观射灯与池中心的水平距离； (3)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点到池中心的距离为10米，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，求水管要升高多少米？ 8．（2025·湖北·一模）阅读以下材料，完成项目主题任务： 【项目主题】圆形喷水池喷射形状和高度探究． 【项目背景】寻找生活中的数学，九年级（1）班分成四个小组，开展数学项目式实践活动，获得数据共享，对圆形喷水池喷射形状建立数学模型． 【项目任务】 如图①是一个圆形喷水池，其以喷出的水流呈抛物线型，水流的高度h（单位：）与水流运动时间t（单位：）之间的关系式为：，请你解决以下问题： 任务一：当时，求水流从喷出到落地需要的时间，并在图②中画出函数的图象； 任务二：根据设计需求，水流从喷出到落地的时间需保持在及以上，求v的最小值； 任务三：为了喷水池的美观以及安全考虑，园方要求水流喷出的最大高度h的范围为，求水流速度的取值范围． 9．（25-26九年级上·湖北·阶段练习）小明家新买了一个高度为的长方体玻璃鱼缸，为打造流水景观，他在鱼缸侧面连续注水，保证鱼缸始终盛满水（水面离鱼缸底部高度即为鱼缸高度）．当在鱼缸侧面离水面竖直距离为（单位：）的位置开一个小孔时，从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）（单位：）与的关系满足关系式：，其中为水面离地面的高度（此处即鱼缸高度）． (1)请写出与的函数关系式，并回答：当为何值时，射程达到最大值？最大射程是多少？ (2)小明想在鱼缸侧面开两个小孔，使得两个小孔射出水的射程相等．若第一个小孔离水面的竖直距离为，第二个小孔离水面的竖直距离为，求与之间的关系式； (3)为了让流水景观更美观，小明打算在鱼缸下方垫一个木质底座．若垫高后，射出水的最大射程比原来增加了，则垫高后小孔离水面的竖直距离为_____． 题型一 二次函数综合问题 1．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知抛物线与轴交于两点，点在点的左边，与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)点是抛物线上一点，若，求点的坐标； (3)如图，为线段的中点，将抛物线向上平移个单位，交线段于点，连接并将其绕点逆时针旋转得到线段，连接，当的周长最小时，直接写出的值． 2．（25-26九年级上·湖北恩施·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）与x轴交于A（－2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点（不与点C重合），设点P的横坐标为m． (1)求b，c的值； (2)如图，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转90°得线段PD，且点D恰好落在直线上，求点P的坐标； (3)若点M是OB的中点，以点O，M，C，P为顶点的四边形的面积为S． ①求S与m的函数解析式； ②根据S的不同取值，结合图象，直接写出S随m变化时自变量m的取值范围． 3．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴交于点，连接． (1)求此二次函数的解析式； (2)若点在二次函数图象上，且满足，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 4．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点（在的右侧），与轴交于点． (1)分别求出的坐标； (2)在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在求点的坐标；若不存在，说明理由； (3)在抛物线的对称轴上存在点，使得是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 5．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，直线经过，两点，抛物线的顶点为，连接，． (1)求直线的解析式； (2)过点作直线轴，分别交抛物线于，两点（点在点的左侧），连接，在直线上找一点，若在轴右侧且满足，求点坐标； (3)若为抛物线图象上一点，在抛物线的对称轴上，是否存在一点使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，写出所有符合条件的点的坐标，若不存在，说明理由． 6．（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式以及顶点的坐标； (2)当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标； (3)连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $