精品解析：四川省成都市第十二中学(四川大学附属中学)　2026-2027学年高三上学期开学考试数学试卷

川大附中2026—2027学年上期高三入学考试试题 数学 （时间：120分钟 分值：150分） 第Ⅰ卷 选择题 共58分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解一元二次不等式得集合，再由交集的定义可得结果. 【详解】由一元二次不等式 ，得，所以不等式的解集为 . 又因为，所以 . 又因为，所以. 因此. 2. 对四组数据进行统计获得如下散点图并对其相关系数进行比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的四组数据的散点图，结合相关系数的含义，即可求解. 【详解】由给定的四组数据的散点图可以看成： 图（1）和图（3）是正相关，且图（1）中的数据更加集中，更接近1，所以； 图（2）和图（4）是负相关，且图（2）中的数据更加集中，更接近，所以， 综上可得，． 3. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 0 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为函数，则， 所以. 4. 已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用垂径定理的弦长公式建立圆心到直线距离的方程，再结合点到直线的距离公式求解实数的值. 【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径 ，将直线整理为一般式：； 设 为圆心到直线 的距离，则 ， 所以 ，解得 ，即 ， 由点到直线的距离公式： ，解得 ，即 . 5. 如图，在正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论中，正确的有（ ） A. 直线与直线是相交直线 B. 直线与直线共面 C. 直线与直线平行 D. 直线与直线垂直 【答案】B 【解析】 【分析】利用正方体的几何性质，结合空间直线的位置关系（平行、相交、异面）及向量法逐一判断各选项的真假. 【详解】对于A，直线在平面内，点在平面内但不在直线上，点不在平面内， 所以直线与是异面直线，故A错误； 对于B，连接，因为分别为棱的中点， 所以在中，为中位线， 所以. 又因为在正方体中，， 所以。 所以四点共面， 即直线与共面，故B正确； 对于C，取的中点，连接。 因为为的中点，为的中点， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以。 若，则， 但，且不重合，这与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾， 所以与不平行，故C错误； 对于D，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为，则，  。 ， 所以直线与不垂直，故D错误. 6. 的展开式中二项式系数和为，则含项的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式系数和及通项公式求解即可. 【详解】因为的展开式的二项式系数和为32，所以，得， 所以展开式的通项公式为，， 令，解得：， 所以展开式中含项的系数为：. 7. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由得到，利用累加法求出，则. 【详解】因为，所以即； 所以 即； 所以，而也符号该式，故 故选：D 8. 过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线交双曲线右支于，两点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设直线方程为：，将直线方程与双曲线方程联立消，根据，可得，利用韦达定理可得，整理即可求解. 【详解】过右焦点的直线的倾斜角, 不妨设直线方程为：， 联立方程， 得， 设，，， 因为， 所以， 所以 ，所以， 所以， 所以，因为， 所以，所以， 所以，所以. 故选：D 二、多选题（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，多选错选得0分．） 9. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 当时， C. 当且仅当 D. 是的极大值点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断. 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 10. 现有甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行选修课报名，该学期共有三门课程：“文学鉴赏”、“科学探索”、“艺术实践”.每人必须且只能选一门课.记事件A为“有三名同学选同一门课”（其余两人各自选不同的课），记事件B为“同学甲单独选择“文学鉴赏”.则下列说法正确的是（ ） A. 5名同学的报名情况共有种 B. “三门课都有人选”的报名情况共有150种 C. 三门课程中最终只有两门课程被选的概率为 D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】由题意可知5名同学的报名情况共有种，所以A错误； 对于“三门课都有人选”时，先把5人分为三份，有3、1、1或2、2、1两种情况， 所以共有种情况，所以B正确； 三门课程中只有一门有人选的情况有3种，则最终只有两门课程被选中的情况有种， 则三门课程中最终只有两门课程被选择的概率为，所以C正确； 可知事件为：同学甲单独选择“文学鉴赏”，另外4位同学有3人选同一门课，最后1人单独选则一门课，则共有种情况， 事件A“有三名同学选同一门课”（其余两人各自选不同的课），有种情况， 则，所以D正确. 11. 如图，为阿基米德三角形．抛物线上有两个不同的点，，以，为切点的抛物线的切线，相交于点．给出如下结论，其中正确的为（ ） A. 若弦过焦点，则为直角三角形且 B. 的边上的中线与轴平行（或重合） C. 的边所在的直线方程为 D. 点的坐标是 【答案】ABC 【解析】 【分析】 设，根据抛物线焦点弦的性质及斜率公式，求得，从而判断选项A；利用切线方程可求得两切线的交点的横坐标，结合中点坐标公式可得边上的中线，从而判断选项B；利用两点式求出直线  的方程，判断选项C；利用导数的几何意义求出切线方程，联立求出交点  的坐标，从而判断选项D. 【详解】由题意设，. 选项A，由  得 ，则 . 所以切线  的斜率 ，切线  的斜率 . 若弦过焦点，设直线  方程为 . 联立 ，消去  得 . 由韦达定理得 . 所以 ，即 ，，故A正确； 选项B：设的中点为，则 . 切线 的方程为 ，即 . 同理切线  的方程为 . 联立两切线方程，消去  得 ， 解得 ， 即点的横坐标为 ，所以 . 即  垂直于  轴，所以  的边  上的中线与  轴平行（或重合），故B正确； 选项C：直线的斜率 . 所以直线  的方程为 ， 整理得 ， 即 ，故C正确； 选项D：将点的横坐标 ，代入切线  方程， 得 . 所以点  的坐标是 ，故D错误. 第Ⅱ卷 非选择题 共92分 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 根据成对样本数据建立变量关于的成对数据如下表所示： 1 2 3 4 5 4 7 9 10 若由该数据得到的线性回归方程为，则的值为_____. 【答案】5 【解析】 【分析】根据均值点过回归方程，求出代入计算即可. 【详解】根据题意， 所以，解得. 故答案为：5. 13. 已知数列的前项和为，且，，则_______________. 【答案】 【解析】 【分析】由条件易判断出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，求出其通项公式，再利用，即可求出的通项公式. 【详解】由题意知，由，可得， 因此数列是以为首项，为公比的等比数列，所以. 当且时，，又不满足该式， 所以. 14. 如图，圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，O为底面中心，M为中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）.若，则点P形成的轨迹长度为___________ 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设出动点的坐标，利用向量的坐标公式求出向量坐标，利用向量垂直的充要条件列出方程求出动点的轨迹方程，得到的轨迹是底面圆的弦，利用勾股定理求出弦长． 【详解】解：建立空间直角坐标系．如图所示，设，，，，2，，，，，，． 于是有． 由于，所以， 即，此为点形成的轨迹方程， 其在底面圆内的长度为． 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，三棱锥中，点在上，，，． （1）证明：； （2）若，，，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明： 因为且，，且， 所以平面. 因为平面，所以. 又，，平面， 平面，平面， 所以平面， 故. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，再结合线面垂直的性质定理证明即可； （2）法一：建立空间直角坐标系，求解向量和平面的法向量，再结合向量法求解线面夹角；法二：利用体积法解出设点到平面的距离为，进而计算线面夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 可得， ， ， . 因为 且 ，所以. 所以，，. 设平面 的法向量 ，则， 可得，令，则：，，即. 设与平面所成的角为： 所以 ， 所以与平面所成的角的正弦值为. 法二：在 中，， 在 中，， 由（1）知，则. 在 中，. 在 中，. ， 为直角三角形，则. 设点到平面的距离为，与平面所成角为， 由得： ，即， 解得：. 所以. 16. 已知数列满足，，． （1）令，证明是等比数列，并求的通项公式； （2）令，求数列的前n项和． 【答案】（1）证明：因，，，则， 由， 故数列是等比数列，其首项为，公比为3， 故的通项公式为. （2） 【解析】 【分析】（1）利用数列递推式和等比数列的定义证明，进而写出其通项公式； （2）先求出的通项，再求的通项，利用分组求和与错位相减法分别求和即得. 【小问1详解】 证明略；的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）得，， 则， 不妨设，设数列的前n项和为， 则， ， 两式相减，可得 即，故得， 于是. 17. 已知椭圆（）的离心率为，左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，过右焦点的直线交椭圆于点，，且的周长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）当的长度为时，求直线的斜率； （3）记直线、的斜率分别为，，证明：为定值. 【答案】（1）. （2） （3）由（2）知. 所以， 所以. 由（1）得， 所以. 即为定值. 【解析】 【分析】（1）由已知条件结合椭圆的定义及离心率公式，确定的值，从而求得的值，得出椭圆的标准方程； （2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程，由韦达定理得到，根据弦长公式列得关于的方程，求解可得的值，进而根据直线的方程，求得其斜率； （3）结合韦达定理，由斜率公式用表示，化简即可得解. 【小问1详解】 由椭圆的定义及的周长为，得，所以. 由离心率为，得，所以. 所以. 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知，右焦点为，且直线不与轴重合， 所以设直线的方程为：，. 由，得. 恒成立. 所以. 所以 ， 所以，即，. 所以直线的方程为，即， 所以直线的斜率为. 【小问3详解】 略 18. 近年来人工智能与机器人技术快速发展，智能巡检机器人已成为智慧城市安防的重要装备.某科技公司研发的智能巡逻机器人，在、两个核心区域间按如下规则巡逻：若当前在区，则下一时刻巡逻到区的概率为，巡逻到区的概率为：若当前在区，则下一时刻巡逻到区的概率为，巡逻到区的概率为.已知机器人第1次巡逻时，在区和区的概率均为.记第次巡逻时，机器人在区的概率为. （1）求第2次巡逻时，机器人在区的概率； （2）求的表达式（用表示）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用表示第次巡逻到区，利用全概率公式计算； （2）利用全概率公式得出，构造等比数列即可求出. 【小问1详解】 用表示第次巡逻到区， 则，，， 第2次在区的情况分为两类： 第1次在区，第2次巡逻到区：， 第1次在区，第2次巡逻到区：， 由全概率公式，第2次在区的概率为：； 【小问2详解】 当时，若第次在区，则第次巡逻到区的概率为：； 若第次在区，则第次巡逻到区的概率为：； 则第次在区的概率为：， 设，则，得，解得； 又因为，所以， 故数列是首项为、公比为的等比数列. 故，整理得. 19. 函数，存在两个不同的零点，（）（其中是自然对数的底数）． （1）求实数的取值范围； （2）证明：． 【答案】（1） （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据题干两个零点条件，可知函数的极小值需小于0才能满足条件，利用导数求出极小值，列出不等关系，求解即可； （2）根据，为两个不同的零点，建立，等量关系；再根据两个不等式构造相应的两个函数，利用导数研究函数的单调性，即可得出证明. 【小问1详解】 解：由题意知，函数的定义域为，则， 当时，，在上单调递增， 因此最多存在一个零点，不合题意； 当时，令，则， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增，所以在处取极小值，即， 又因为存在两个不同的零点，所以当时，才能符合题意， 即，又，所以，解得， 因此，当存在两个不同的零点时，实数的取值范围为. 【小问2详解】 证明：由，为两个不同的零点，则， 即，，则，， 所以，化简得，令，则， 因为，所以，所以，即， 因此，两边取对数得，所以，则， 所以. 要证，需证，即， 令，则， ，所以单调递增，即， 因此单调递增，所以，即，所以； 要证，需证， 由（1）知在处取极小值，且，所以，则， 又在上单调递增，所以只需证明， 因为，只需证， 令， 则， 所以在上单调递增，则， 所以，即，又， 所以， 又因为，都在的单调递增区间上，所以， 即，因此原不等式得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 川大附中2026—2027学年上期高三入学考试试题 数学 （时间：120分钟 分值：150分） 第Ⅰ卷 选择题 共58分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 对四组数据进行统计获得如下散点图并对其相关系数进行比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 0 C. 2 D. 4. 已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论中，正确的有（ ） A. 直线与直线是相交直线 B. 直线与直线共面 C. 直线与直线平行 D. 直线与直线垂直 6. 的展开式中二项式系数和为，则含项的系数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 8. 过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线交双曲线右支于，两点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 二、多选题（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，多选错选得0分．） 9. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 当时， C. 当且仅当 D. 是的极大值点 10. 现有甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行选修课报名，该学期共有三门课程：“文学鉴赏”、“科学探索”、“艺术实践”.每人必须且只能选一门课.记事件A为“有三名同学选同一门课”（其余两人各自选不同的课），记事件B为“同学甲单独选择“文学鉴赏”.则下列说法正确的是（ ） A. 5名同学的报名情况共有种 B. “三门课都有人选”的报名情况共有150种 C. 三门课程中最终只有两门课程被选的概率为 D. 11. 如图，为阿基米德三角形．抛物线上有两个不同的点，，以，为切点的抛物线的切线，相交于点．给出如下结论，其中正确的为（ ） A. 若弦过焦点，则为直角三角形且 B. 的边上的中线与轴平行（或重合） C. 的边所在的直线方程为 D. 点的坐标是 第Ⅱ卷 非选择题 共92分 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 根据成对样本数据建立变量关于的成对数据如下表所示： 1 2 3 4 5 4 7 9 10 若由该数据得到的线性回归方程为，则的值为_____. 13. 已知数列的前项和为，且，，则_______________. 14. 如图，圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，O为底面中心，M为中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）.若，则点P形成的轨迹长度为___________ 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，三棱锥中，点在上，，，． （1）证明：； （2）若，，，，求直线与平面所成角的正弦值． 16. 已知数列满足，，． （1）令，证明是等比数列，并求的通项公式； （2）令，求数列的前n项和． 17. 已知椭圆（）的离心率为，左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，过右焦点的直线交椭圆于点，，且的周长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）当的长度为时，求直线的斜率； （3）记直线、的斜率分别为，，证明：为定值. 18. 近年来人工智能与机器人技术快速发展，智能巡检机器人已成为智慧城市安防的重要装备.某科技公司研发的智能巡逻机器人，在、两个核心区域间按如下规则巡逻：若当前在区，则下一时刻巡逻到区的概率为，巡逻到区的概率为：若当前在区，则下一时刻巡逻到区的概率为，巡逻到区的概率为.已知机器人第1次巡逻时，在区和区的概率均为.记第次巡逻时，机器人在区的概率为. （1）求第2次巡逻时，机器人在区的概率； （2）求的表达式（用表示）. 19. 函数，存在两个不同的零点，（）（其中是自然对数的底数）． （1）求实数的取值范围； （2）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $