精品解析：四川省泸县第五中学2026-2027学年高三上学期开学测试数学试题

泸县五中高2024级2026年秋期开学测试 数学 第Ⅰ部分（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知角终边上有一点，则（ ） A. B. C. D. 3. 复数满足（是虚数单位），则（　　） A. B. C. D. 4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知， 若，则实数的取值可以是（     ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 若a，，且，则ab的最小值为（ ） A. 5 B. 17 C. 25 D. 36 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 已知随机变量，满足，若，则， C. 这组数据：，，，，，，的第70百分位数为6 D. 离散型随机变量服从两点分布，且，则 10. 记为等差数列的前项和，为的公差，若，则（ ） A. B. C. 当或6时，取得最小值 D. 当时，的最小值为11 11. 已知是函数的极小值点，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则有3个相异的零点 D. 方程有3个不同的实数根 第Ⅱ部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 甲、乙两人独立破译某个密码，甲译出密码的概率为，乙译出密码的概率为，则该密码被破译的概率为_______． 13. 函数是奇函数．若函数，则___________． 14. 、、、、是1、2、3、4、5的全排列，如果对任意的，和中至少有一个大于，则满足要求的排列的总数为_____. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为. （1）求的值； （2）将函数的图象向左平移个单位长度后，在纵坐标不变的情况下，再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，求的函数解析式与对称中心. 16. 2014年至2025年是我国新能源汽车飞速发展的时期，下表为2014年至2023年我国新能源汽车的年产量，按照表中数据，可用回归模型拟合自变量与新能源汽车产量. 年份 自变量 新能源汽车产量（单位：万辆） 2014 1 7.8 2015 2 34 2016 3 52 2017 4 79 2018 5 127 2019 6 124 2020 7 137 2021 8 354 2022 9 706 2023 10 959 （1）求自变量与新能源汽车产量的回归模型，并预测2025年我国新能源汽车年产量（其中，以及预测年产量（单位：万辆）都保留1位小数且用的1位小数近似值计算）； （2）从10个年产量的值中随机选取3个数据，求存在数据大于300的条件下，恰有1个数据小于100的概率. 参考公式：一元线性回归模型中. 参考数据：. 17. 设的内角，，所对的边分别为，，，. （1）求角的大小； （2）若，求周长的取值范围. 18. 已知数列共有m（，）项，且各项均为正整数，设集合，记T的元素个数为． （1）若数列为求T； （2）若是等比数列，且， ． （i）求； （ii）令（），若，求m的最大值． 19. 已知函数（）的图象关于点成中心对称的充要条件是（）是奇函数；如果一个函数的图象关于点成中心对称，则称这个函数是点奇函数，其中点为对称中心；设函数，. （1）若函数是点奇函数，求实数的值； （2）证明：对于任意给定的实数，函数存在两个极值点；若是的极小值点，求出的所有极值点； （3）若是的极大值点，函数是否是点奇函数？若是，求出对称中心；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泸县五中高2024级2026年秋期开学测试 数学 第Ⅰ部分（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为集合，集合， 则. 2. 已知角终边上有一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角终边上一点的坐标，结合正切函数的定义，即可得答案. 【详解】由题意知角终边上有一点， 故， 故选：B 3. 复数满足（是虚数单位），则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算计算即可求解. 【详解】由题意可得. 故选：A 4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出的定义域，根据函数有意义，结合抽象函数定义域的求法和对数函数的定义域，可得出关于的不等式组，解不等式组即可求出答案. 【详解】由的定义域为，得的定义域为. 所以或， 综上，的定义域为. 故选：C. 5. 已知， 若，则实数的取值可以是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将选项中的自变量代入对应解析式中，结合特殊角三角函数值可确定结果. 【详解】对于A，，，A错误； 对于B，，可以取，B正确； 对于C，，，C错误； 对于D，，，D错误. 故选：B. 6. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数的性质有，由指数性质有，即可知a，b，c的大小关系. 【详解】∵，，， ∴， 故选：D. 7. 若a，，且，则ab的最小值为（ ） A. 5 B. 17 C. 25 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式，结合一元二次不等式求解即得. 【详解】由，，得， 则，解得，因此， 当且仅当时取等号，所以当时，ab取得最小值25. 故选：C 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令 ，联立，解出的值，再利用诱导公式以及倍角公式即得. 【详解】令 ，则 ， 由 ，可得 ，进而 ， 因此，， 利用诱导公式，， 联立 ，解得： 或. 当时， ， ， 则， 代入得； 当时， ， ， . 故选：B 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 已知随机变量，满足，若，则， C. 这组数据：，，，，，，的第70百分位数为6 D. 离散型随机变量服从两点分布，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据正态分布的对称性分析判断；对于B：根据二项分布的期望和方差公式以及期望和方差的性质运算求解；对于C：根据百分位数的定义分析判断；对于D：根据概率和为1运算求解. 【详解】对于选项A：因为随机变量，且， 所以，故A正确； 对于选项B：因为，则，， 又因为，即， 所以，，故B正确； 对于选项C：将数据按升序排列可得，，，，，，12， 因为，所以这组数据的第70百分位数为7，故C错误； 对于选项D：由题意可得：，， 因为，解得，故D正确. 10. 记为等差数列的前项和，为的公差，若，则（ ） A. B. C. 当或6时，取得最小值 D. 当时，的最小值为11 【答案】AC 【解析】 【分析】利用已知可求得等差数列的首项与公差，利用等差数列的性质与前项和公式逐项计算判断即可. 【详解】因为，所以两式相减得，解得，故A正确； 由，得，所以， 所以，解得，所以， 所以，故B错误； 令，即，解得， 即数列前项为负，第项为0，第起为正， 所以当或6时，取得最小值，故C正确； ，令，则， 解得（舍去）或，又，所以时，， 所以当时，的最小值为12，故D错误. 故选：AC. 11. 已知是函数的极小值点，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则有3个相异的零点 D. 方程有3个不同的实数根 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用极值点的性质判断A，利用三角函数的性质结合导数判断B，先讨论的零点个数，转化为交点问题判断C，利用换元法结合零点存在性定理判断D即可. 【详解】对于A，因为，所以， 因为是函数的极小值点，所以， 可得，解得，故A正确， 对于B，因为，所以，则，即， 由正弦函数性质得，由余弦函数性质得， 由已知得，则， 令，，令，， 可得在上单调递减，在上单调递增， 得到，故B错误， 对于C，由已知得在上单调递减，在上单调递增， 而，得到，， 当时，，当时，， 若讨论的零点个数，则讨论的解的个数， 故讨论与的交点个数即可， 如图，作出符合题意的图象， 由图象可得，当时，与有3个相异的交点， 即有3个相异的零点，故C正确， 对于D，令，若求方程的实数根， 则先求的解的个数，即求的解的个数， 令，则求的零点个数， 由已知得在上单调递减，在上单调递增， 而，，，， 可得，， 由零点存在性定理得存在，作为的零点， 则是的两个解，后续求解与即可， 由已知得在上单调递减，在上单调递增， 若，当时，，此时无解，排除， 当时，，此时有一个解， 当时，，此时有一个解， 若，当时，，此时无解，排除， 当时，，此时无解， 当时，，此时有一个解， 综上，方程有3个不同的实数根，故D正确. 故选：ACD 第Ⅱ部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 甲、乙两人独立破译某个密码，甲译出密码的概率为，乙译出密码的概率为，则该密码被破译的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据甲、乙两人破译某个密码为独立事件，利用独立事件概率公式求出甲、乙两人均未破译的概率，再利用对立事件概率公式求出该密码被破译的概率． 【详解】设甲破译某个密码为事件，乙破译某个密码为事件, 甲、乙两人独立破译某个密码，甲译出密码的概率为，乙译出密码的概率为， 甲未破译的概率为，乙未破译的概率为， 甲、乙两人均未破译的概率为， “甲、乙两人均未破译”的对立事件为“密码被破译”， 该密码被破译的概率为． 故答案为：． 13. 函数是奇函数．若函数，则___________． 【答案】28 【解析】 【分析】由函数奇偶性建立等式，代入，求得，代入，求得. 【详解】由题意可知，所以. 因为，且，所以， 所以. 14. 、、、、是1、2、3、4、5的全排列，如果对任意的，和中至少有一个大于，则满足要求的排列的总数为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先判断出的位置，然后对第二位进行分类讨论，同时注意数字的位置，结合对称性可求解出满足要求的排列的总数. 【详解】因为没有比大的数，所以只能排在第一位或者第五位， 当排在第一位时，若排在第二位，此时排列可以是，，，，共种情况； 当排在第一位时，若排在第二位，此时没有比大的数，故只能排在第五位， 此时排列可以是，，共种情况； 当排在第一位时，若排在第二位，此时没有比大的数，故只能排在第五位， 此时排列可以是，共种情况； 当排在第一位时，若排在第二位，此时没有比大的数，故只能排在第五位， 此时排列可以是，共种情况； 由上可知，当排在第一位时，共有种情况， 同理可得，当排在第五位时，也有种情况满足条件， 综上所述，共有种排列满足条件， 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为. （1）求的值； （2）将函数的图象向左平移个单位长度后，在纵坐标不变的情况下，再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，求的函数解析式与对称中心. 【答案】（1） （2），对称中心为，. 【解析】 【分析】（1）借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，再利用正弦型函数性质计算即可得； （2）由图象变换性质得到函数解析式后，利用正弦型函数性质计算即可得. 【小问1详解】 由题意得 ， ∵两条相邻对称轴之间的距离为， ∴，∵，∴； 【小问2详解】 函数的图象向左平移个单位长度后， 得的图象， 再将横坐标缩短为原来的可得的图象， 令，，解得，， ∴的对称中心为，. 16. 2014年至2025年是我国新能源汽车飞速发展的时期，下表为2014年至2023年我国新能源汽车的年产量，按照表中数据，可用回归模型拟合自变量与新能源汽车产量. 年份 自变量 新能源汽车产量（单位：万辆） 2014 1 7.8 2015 2 34 2016 3 52 2017 4 79 2018 5 127 2019 6 124 2020 7 137 2021 8 354 2022 9 706 2023 10 959 （1）求自变量与新能源汽车产量的回归模型，并预测2025年我国新能源汽车年产量（其中，以及预测年产量（单位：万辆）都保留1位小数且用的1位小数近似值计算）； （2）从10个年产量的值中随机选取3个数据，求存在数据大于300的条件下，恰有1个数据小于100的概率. 参考公式：一元线性回归模型中. 参考数据：. 【答案】（1），1186.4万辆. （2） 【解析】 【分析】（1）令，得到，利用公式求得和的值，求得回归方程，令，求得，即可得到答案； （2）设事件A：3个数据中存在数据大于300，事件B：3个数据中恰有1个数据小于100，分别求得事件A和B的样本点的个数，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【小问1详解】 由题意，令，故为一元线性回归模型， 而，即， 所以， 则，所以， 令，可得，所以预测2025年我国新能源汽车年产量为1186.4万辆. 【小问2详解】 设事件A：3个数据中存在数据大于300，事件B：3个数据中恰有1个数据小于100， 事件A的样本点个数：，事件AB的样本点个数：， 所以概率为. 17. 设的内角，，所对的边分别为，，，. （1）求角的大小； （2）若，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方法1：利用正弦定理得，再利用两角和的正弦公式即可求解；方法2：利用余弦定理得，再利用余弦定理即可求解； （2）方法1：利用余弦定理结合基本不等式即可求解；方法2：利用正弦定理结合三角恒等变换得，最后由三角函数的性质即可求解. 【小问1详解】 （方法1）由正弦定理，得， ， ， ， ，，， ，； （方法2）由余弦定理得， 代入已知得：， ，， ，； 【小问2详解】 方法1 由余弦定理，得. ， ，（当且仅当时等号成立）， 由于，， 周长的范围为. （方法2转化为三角函数最值） 由正弦定理， 得，， ， ， ，，，， ，， 周长的取值范围为. 18. 已知数列共有m（，）项，且各项均为正整数，设集合，记T的元素个数为． （1）若数列为求T； （2）若是等比数列，且， ． （i）求； （ii）令（），若，求m的最大值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）7． 【解析】 【分析】（1）利用列举求解，即可得集合； （2）（i）先求等比数列的通项公式，再利用组合数思想可确定，然后给出证明即可； （ii）利用裂项求和思想，再结合奇偶项讨论，最后可利用数列递推关系求最大项思想求解. 【小问1详解】 因为数列为所以， ，，则． 【小问2详解】 （i）设等比数列的公比为，由各项为正整数可得， 由题意可知， ， 即，解得或（舍去）， 所以． 因为，所以集合T中元素最多为个，即． 对于数列，，，，，此时， 若存在，即，其中，， 故． 若，不妨设，则，而，， 故为偶数，为奇数，矛盾，故，， 故由，，，…，得到彼此互异，所以． （ii）由（i）知，（） 所以（）， 则 ． ①当n为奇数时，，从而． ②当n为偶数时，． 令，则（）， 当时，单调递增． 又因为 ， ， 所以m的最大值为7． 19. 已知函数（）的图象关于点成中心对称的充要条件是（）是奇函数；如果一个函数的图象关于点成中心对称，则称这个函数是点奇函数，其中点为对称中心；设函数，. （1）若函数是点奇函数，求实数的值； （2）证明：对于任意给定的实数，函数存在两个极值点；若是的极小值点，求出的所有极值点； （3）若是的极大值点，函数是否是点奇函数？若是，求出对称中心；若不是，请说明理由. 【答案】（1）； （2） ，从而，其中， 所以恰有两解，即函数恰有两个驻点，设为，，， 则就是一元二次方程； 当时，，当时，，当时， 从而是的极大值点，是的极小值点，所以函数存在两个极值点，此外再无极值点. 因为是的极小值点，所以，即，解得或1. 当时，， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 因此是的极大值点(舍去)； 当时，， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 因此是的极小值点. 综上，可得，极小值点，极大值点. 所以的所有极值点为和. 极小值点1，极大值点； （3）是，. 【解析】 【分析】（1）法一：由题意可得是奇函数，由此计算可求得；法二：由题意可得对任意实数恒成立，据此计算可求得； （2）求导可得，可得有两个不等的解，进而可得有两个极值点，由题意可得，求得的值，验证即可； （3）法一：当时，由题意有，可得，求解即可.法二：由题意可得恒成立，求解即可. 【小问1详解】 法一：若函数是点奇函数，则是奇函数，得是奇函数， 即，因为， ，比较两式右边，由 所以，解得. 法二：若函数是点奇函数，则的图像关于点对称， 则对任意实数恒成立， 即，化简得， 所以，解得． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 法一：由（2）可知，当时，是的极大值点， ， 极大值点，极小值点. 假设 是点奇函数，则满足：， 即， 等式左边展开计算：， 要求与无关，所以的系数必须为0，所以，解得. . 即函数的对称中心是，函数是点奇函数. 法二：由（2）可知，当时，是的极大值点，， 此时极大值点，极小值点.符合题意； 假设存在对称中心，则满足恒成立， 即， 化简得恒成立， 所以，解得 所以函数存在唯一的对称中心， 所以函数是点奇函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $