四川成都市树德中学2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

高2024级高三上期数学开学考试 一、单选题 1．从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中抽出1张扑克牌，抽出的牌不再放回．已知第一次抽到A牌，第二次抽到A牌的概率（ ） A． B． C． D．以上都不对 2．已知，，，若，，三向量共面，则实数k的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．在正项数列中，设甲：，乙：是等比数列，则甲是乙的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．现有12道四选一的单选题，学生甲对其中的9道题有思路，3道题完全没有思路．有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25．学生甲从这12道题中随机选择1题，他做对的概率为（ ） A．0.225 B．0.4125 C．0.7375 D．0.8325 5．设．随机变量X的分布列是 X 0 a 1 P 则当a在内增大时，（ ） A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 6．某玻璃制品厂需要生产一种如图1所示的玻璃杯，该玻璃杯造型可以近似看成是一个圆柱挖去一个圆台得到，其近似模型的直观图如图2所示（图中数据单位为），则该玻璃杯所用玻璃的体积（单位：）为（ ） A． B． C． D． 7．已知是等差数列的前n项和，若，则的最小值为（ ） A．-36 B．-27 C．0 D．21 8．过双曲线（，）的左焦点F作的一条切线，设切点为T，该切线与双曲线E在第一象限交于点A，若，则双曲线E的离心率为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设正项数列的前n项和为．若，，，则（ ） A． B． C．当且n为偶数时， D． 10．直线过抛物线的焦点且与该抛物线交于M，N两点，设O为坐标原点，则下列说法中正确的是（ ） A． B．抛物线E的准线方程是 C．以为直径的圆与定直线相切 D．的大小为定值 11．已知实数a，b满足，则（ ） A． B． C． D． 三、填空题 12．的展开式中含项的系数为__________． 13．若直线l与圆，圆都相切，切点分别为A、B，则__________． 14．甲，乙，丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙．初始时，球在甲手中，投掷n次骰子后，记球在甲手中的概率为，则__________；__________． 四、解答题 15．如图，在四棱锥中，底面四边形满足，，，棱上的点E满足． （1）证明：直线平面； （2）若，，且，求直线与平面所成角的正弦值． 16．已知的首项为整数，其奇数项依次成公差为2的等差数列，偶数项依次成公差为3的等差数列．记为数列的前n项和，是等比数列，，，是的前n项和，，． （1）求的通项公式； （2）求满足的n的最小值． 17．已知平面内一动圆过点，且该圆被y轴截得的弦长为4，设其圆心的轨迹为曲线E． （1）求曲线E的方程； （2）梯形的四个顶点均在曲线E上，，对角线与交于点． （ⅰ）求直线的斜率； （ⅱ）证明：直线与交于定点． 18．已知函数 （1）求曲线过点的切线方程； （2）若 （ⅰ）当时，求的极值； （ⅱ）若恒成立，求实数a． 19．某校为庆祝建校百年，由学校团委、学生会组织开展“奋斗进程”校史知识竞赛活动，每位参赛者均需要回答3个题目，可以从6个A组题目和若干个B组题目中，共选择3个题目作答．A组题目每正确回答1个得10分，B组题目每正确回答1个得分，不能正确回答的题目均不得分，参赛者总得分为3个题目得分之和．已知小王恰能正确回答A组题中的4个题目，B组题目每个正确回答的概率均为，且能否正确回答A组和B组题目互不影响． （1）已知小王两组题目均有选择，以他至少答对1个题目的概率为依据，试确定他分别选择两组题目的数量的策略； （2）记小王总得分为X． （ⅰ）若选择的3个题目均为A组题目，求X的分布列及数学期望； （ⅱ）试确定a，使小王在选择3个题目时，无论怎样调整A、B组题目数量，其总得分X保持期望稳定，并说明理由．（参考公式：，其中、为随机变量） 学科网（北京）股份有限公司 $高2024级高三上期数学开学考试参考答案 题号 3 个 8 10 11 答案 B A A D A B ABC BC AD 12.-40 13.5 14.24 15,【详解】(1)解：由题意得：连接BD,过C做CF∥AB,交BD于T点，如图所示： 分D AB=CB=2.AD=CD=5,BD=DB,.△ABD2△BCD, 又：∠ABC=90°，.∠ABD=∠CBD=45°」 :∠ABC=∠BCF=90°，∴.BT=V2BC=2 cos∠CBD=cos45°=BC+BD2-CD_2+BD2-5V2 在△BCD中， 2BD·BC 22BD 2,解得：BD=3, .TD-DF_DE 1 .PE=2DE,BD AD DP 3,.EF /AP, ·EFC平面CEF,APt平面CEF,EF∥AP, CFC平面CEF,AB文平面CEF,CF∥AB, :AP∥平面CEF,AB∥平面CEF,又AP、AB相交于点A,∴平面CEF∥平面ABD, CEC平面CEF,直线CE∥平面PAB.6分 (2)连接AC交BD于O点， PO2+BO2-PB2 PO2+DO2-PD2 在△POB和△POD中，由Cos∠POB=-cos∠POD可得 2PO·BO 2PO.DO P02+1-5_P02+4-8 即2PO 4P0, 解得：PO=2,满足PO+BO=PB,所以PO⊥BD, 又：PA=PC,PO⊥AC, 又有AC交BD于O点，所以PO⊥平面ABCD,满足PO,CO,DO两两垂直， 故以O为原点，OC，OD,OP所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 42 则P0a,2.B0-10.C,0.0.P0 ,于是有BP=(01,2),CP=(-1,0,2). Cp.n=0[y+2z=0 设T有P8C的洪向益为i=c%8,由丽后=0-+2z=0,段i=2-2,)。 8,2 n.CE -2- 33 4vV29 CE--1 42 eos(CF.-1 9 29 33, CE 故所求角的正弦值为 4V29 所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值为29 …3分 16.【详解】(1)因为S,=6,故4+a+4=6,故2a,+4+2=6,即2a+a,=4, 而T=7,故6+b+b=6,故a+a9+qa,=7, 4（1+9+g)=7 而2a+4,=4即为2a+a9=4,放2+ 效9=29 4 当9 5a= 16 4时， 3,不合题意，舍： 故9=2，此时4=1，故b,=2 …6分 2)由1)得4=27 1x-2）-2°-1 1-2 1+2×(k-1),n=2k-1 所8，={2+3-m=2k·keN. n,n=2k-1 2k-1,n=2k-1 0m=了3 剧8={-1n=2k,keN,则2m-ln=2,keN, 3n-1 当n为偶数时， =a+a++a)+a+a++a）l+n-D,2 2 5n2+2n 4 8, 2”-1+ 5m2+2n≥1000 令 8 2°-1+5x82+2x8=297<10020-1+5x102+2×10=108>100 因为 8 8 分5m=5n+1）+2+D-3×"2+1=”+3 当n为奇数时， 8 8, ”-1+5n+3≥1000 令 8 2°-1+5x9+3-562<10002"-1+5×1+3>2047>100 因 8 fm=2”-1+5n2+2n 又因 8(n=2k,keN) 和8(m=2”-1+5m2+3 8(n=2k-1,keN) 均单调递增，故n的最小值为10.…。 …15分 17.【详解】(1)设圆心为(x,),由题意可得： x+2=Vx-2+少，整理可得广=4， 所以曲线E的方程为少=4x, …4分 =4x (2)(1)由题意可知：直线AB的斜率不为0， 设AB:x=my+n(m≠0)，A(x,y),B(x,),C(x,乃），D(x,4) x=my+n 联立方程y=4x,消去x可得y2-4my-4n=0,则△=16m2+16m>0, 4C:x=520-0+2 可得乃+乃=4m,=4n,可知直 y-1 x=-20-0+2 -1 y-4x-2y+466-2）-8=0 联立方程y2=4x V+- ,消去x可得 -1片-1Γ 片+为=4店-2) -y 由题意可知： 乃-1，即3-1”，且=4x, 可得y-1 当-1 5当8 少点8 1,同理可得：1 ko=5业=⅓-y .4 4[yy2-(y+)+1_4n+4m-1 Γ6-龙4竖_竖⅓+y4上-8+当-82y,-9(04+)+162n+9m-4 则 44 y-1y2-1 1-4n+4m-1 因为AB∥CD,则kAB=kcD,即m2n+9m-4,整理可得(2m-1(m+n-2)=0, 由题意可知：点T(2,1)不在直线AB:x=my+n上，则m+n≠2，即m+n-2≠0， 1 m= 可得2m-1=0,即2，所以直线AB的斜率 -1=2 m.…10分 (ii)由(i)可知：片+=2，则AB的中点M(a,), 4 -=2 又因为 ”为+y,即+y4=2,则CD的中点Nb,),即直线MN:y=1, 由梯形的性质可知：直线AD与BC的交点即为直线AD与MN的交点， k0=当-4=当业=4 Γx-x42y2片+y4 因为直线AD的斜率 44 0：x=40-)+ 则直线 x=当+01+足+y4-以=中y-12-1 令y=1可得4 4 4 7(4+)-6y2-8_14-6y2-8_3 4(2-1) 4(2-12 即直线AD与直线MN的交点为 u0与cr院a …15分 18.【详解】(1)设切点为(，血(+刃》，则 '()=1 +1 故物线方y-。+五（x一o)+(x。+1) 0=1(-1-)+n(+) ,将-1,0)代入可得+1 ,y=-(x-e+l)+1 解得=e-1,故切线方程为e ,即X-y+l=0.…4分 (2)(1)当a=3时，g()=x2+x-3n(x+1)+1.g()的定义域为-l,+o), 月8)=2r+13-22+3x-2_2x-x+2 1 x+1x+1 x+1 ,令8)=0得，x=2成x=-2(合去)； 1 -1<x< 所以当 2时，8()<0，函数8(x)在 2)上单调递减： 1 当2时，g(>0,函数8)在2+ 上单调递增： 3 故函数8()的极小值为 (24 2,无极大值，…10分 (ii)G(x)=g(x)-cosx=x2+x-aln(x+1)-cosx+1,x>-1, 中7*s咖r G(x)=2x+1-a 所 由当x∈(-l,+)时，g()≥cosx恒成立，得x∈(-1，+∞)，G()≥0恒成立， 而G(0)=0,所以G(0)是函数G()的最小值. ①当a≤0时，xe(-1.0).G)=2x+1-+sinx≥2x+1+sinx x+1 令p)=sinx-x,-l<x<0,所以当-1<x<0时，p'x)=cosx-1<0, 所以P()在-1,0)上单调递减，则当-1<x<0时，p()>p(O)=0, 故当-1<x<0时，sinx>x,则x∈（←1,0），G()=2x+1- -+sinx22x+1+sinx>3x+1 x+ G'(x)=2.x+1-a+sinx>3x+1>0 x+1 1 G在0上单调，当 三<x<0 时，G(x)<G(0)=0,不符合题意. ②当a>0时，令 0w=G四=2x+14+simx2-1 x+1 所 (x+1)+cosx>0 h(x)=2+,a ,则h)=G(在(-L,+o)上单调递增： 又当x→-l时，h()→-0，当x→+o0时，h()→+o∞， 所以存在唯一七∈(1，+0)，使得h(x)=G(x)=0, 所以当1<x<x时，G'()<0,函数G()在(-，)上单调递减： 当七>0时，G()>0,函数G()在X,+0)上单调递增： 故函数G(0m=G()=G0),则G(0)=1-a=0,所以a=1.综上，得a=1.17分 19.【详解】(1)小王两组题目均有选择的方案有两种， 1个A组题目和2个B组题目；2个A组题目和1个B组题目， 分别记两种表况下小王至少答对1个题目的概率为乃，， --1器10-1号8 23115,12943 因为2713513545，所以？<B, 以至少答对1个题目的概率为依据，小王应选择2个A组题目和1个B组题目的策略.…5分 (2)记小王所选题目中A组题目得分为X,B组题目得分为X,X=X+X, (1)由于选择的三个题目均有4组题目，其得分为X=10,20,30, K-0鸳P-的密-号-0罗- 则 故X的分布列为： X 10 20 30 3-5 5 5 0=E(x)=10g20*号+30×写20 故 …11分 (i)设小王选择的3个题目中A组题目数量为x,B组题目数量为3-x,其中x=0,1,2,3, X 则10服从超几何分布， 各-0-.) 80-X+X)E(+Ex)-9+-a+0; 当a=20时，E(X)的值与a无关，即当a=20时， 无论小王如何调整A、B组题目数量，其总得分X的期望均为20分.…17分