第25章一元二次方程重难点精练卷2026-2027学年数学九年级上册人教版

**基本信息** 聚焦一元二次方程核心知识，通过基础辨析、实际应用与创新题型，培养抽象能力、运算能力和模型意识，适配单元复习巩固需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|定义判断、根的判别式、解的意义|结合春节票房增长率情境考查建模能力| |填空题|6|根与系数关系、增长率计算、换元法|以公园绿化面积增长体现应用价值| |解答题|6|配方法/因式分解法、新定义运算、“校园微农场”面积问题|设计图书馆经费投入等真实情境，通过新运算定义发展创新意识|

第25章一元二次方程重难点精练卷 一、单选题 1．下列关于x的方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 3．若关于x的一元二次方程的一个解是，则（    ） A．1 B．2 C．0 D．4 4．已知实数m，n满足，则的值为（    ） A．3 B．5 C．5或3 D．或5 5．用配方法解方程时，原方程应变形为（   ） A． B． C． D． 6．关于x的方程有实根，则k的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 7．春节期间某电影上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设每日票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 8．根据表格，判断关于x的方程的一个解的范围是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 9．定义一种新运算，当时，的值为（   ） A． B．4 C．3 D．4或 10．如图，某校有一块靠墙（墙的长度不限）的空地．为加强劳动教育，增加学生实践机会，学校拟用总长为的篱笆，在空地内围出一块面积为的矩形菜地作为实践基地，设与墙平行的一边长为x米，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知关于x的方程，则______． 12．若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是________． 13．某公园2023年绿化面积10公顷，经过不断的努力改造与建设，2025年达到了公顷，则这两年的年均绿化面积增长率等于________． 14．已知关于x的一元二次方程的两根分别为、，则的值为________． 15．若关于的方程的解是，（，，为常数，），则关于的方程的解为________． 16．如图所示，是一个长为，宽为的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．要使种植花草的面积为，设小道的宽为，则可列方程为___________． 三、解答题 17．解方程： (1) (2) 18．设是关于x的方程的两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 19．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，三月份投入图书购置经费72万元 (1)求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率． (2)如果按（1）中经费投入的平均增长率计算，该市计划四月份用不超过当月图书购置经费的购买电脑和实物投影仪共15台，捐赠给乡镇学校阅览室．若购买一台电脑需3300元，一台实物投影仪需2400元，则最多可购买电脑多少台？ 20．为落实劳动教育，学校计划在操场靠墙区域开辟一块面积为的长方形“校园微农场”劳动实践基地．已知墙的最大可用长度为，基地另外三边用总长为的篱笆围成，且在平行于墙的一边设置两个开口宽为的进出门（如图）方便师生进出管理，设垂直于墙的长方形的边长为，求的值． 21．在实数范围内，对于任意实数规定一种新运算：，例如：． (1)计算：； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 22．定义：如果关于x的一元二次方程（），有一个根是a，那么我们称这个方程为 “A方程”，如一元二次方程有一根为，所以此方程为“A方程”． (1)若关于x的一元二次方程是“A方程”，求k的值； (2)已知关于x的一元二次方程（）是“A方程”，求代数式的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A B B C D D D C 1．D 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断即可，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2． 【详解】选项A中未规定，若，方程不是二次方程，故A错误； 选项B中分母含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，故B错误； 选项C展开后为，未知数最高次数为3，不是二次方程，故C错误； 选项D展开后为，满足只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程， 符合一元二次方程定义，故D正确． 2．C 【分析】通过计算判别式的值即可判断根的情况，根据判别式与0的大小关系即可得出结论． 【详解】解：∵对于一元二次方程，其中，，， ∴根的判别式， ∴该方程有两个不相等的实数根． 3．A 【分析】把代入方程可得，再代入代数式计算即可求解， 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个解是， ∴， ∴， ∴． 4．B 【分析】设，则，解一元二次方程，再利用偶次方的非负性舍去不符合题意的解，得到最终结果即可． 【详解】解：设， ∵任意实数的平方为非负数， ∴， 原方程可化为， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵， ∴舍去 因此． 5．B 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式即可得到结果． 【详解】解：， 移项得 等式两边同时加上一次项系数一半的平方 得： 配方得． 6．C 【分析】本题需分两种情况讨论，时方程为一元一次方程，时方程为一元二次方程，利用根的判别式判断有实根的条件，合并两种情况得到的取值范围． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当时，原方程为，是一元一次方程，解得，有实根，符合题意； ②当时，原方程是一元二次方程， ∵方程有实根， ∴判别式， 代入，，得：， 解得，即此时且， 合并两种情况得，的取值范围是． 7．D 【分析】设平均每天票房的增长率为x，分别表示出三天的票房，根据三天累计票房为亿元列方程即可． 【详解】解：设平均每天票房的增长率为， ∵第一天票房约为3亿元，增长率为， ∴第二天票房为亿元，第三天票房为亿元， ∵三天累计票房为亿元， ∴可列方程． 8．D 【分析】由表格找到的值在两个相邻处分别小于和大于，则方程的解就在这两个之间． 【详解】解： 由表格可知：当时，， 当时，， 方程的一个解的取值范围为． 9．D 【分析】先由新定义将转化为方程，再由配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：由新定义可知， ， 则， ， 则或， 解得或． 10．C 【分析】设与墙平行的一边长为x米，则与墙垂直的一边长为米，根据矩形的面积公式建立方程即可． 【详解】解：设与墙平行的一边长为x米，则与墙垂直的一边长为米， 根据题意，得． 11． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系． 根据一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再代入表达式计算． 【详解】解：对于方程，其中，，， 由根与系数的关系，得，， 所以， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，即得到关于的不等式，解之即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 13．/0.2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设年均增长率为x，根据增长模型列出方程，通过解二次方程求x的值即可． 【详解】解：设年均增长率为x，则2025年绿化面积可表示为，根据题意得： ， 两边除以10得， 开平方得：（舍去负根）， 解得：． 故答案为：． 14． 【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系可得，，将变形后代入数值计算即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的两实数根分别为，， ，， ， 故答案为：． 15． 或 /或 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解， 通过变量替换，将第二个方程转化为第一个方程的形式，利用已知解求解． 【详解】解：设，则第二个方程化为，与第一个方程 形式相同． ∵方程的解为或， ∴或， 代入，得 或， 解得或． 故答案为：或． 16． 【分析】设小道的宽度应为，根据矩形的面积计算公式，结合种植花草的面积为，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：设小道的宽度应为， 由题意得：， 故答案为：. 17．(1)，； (2)， 【分析】（1）对于一般形式的一元二次方程，先确定各项系数，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式得出解； （2）通过移项将方程右边的项移到左边，提取公因式后，利用“因式积为0则至少一个因式为0”的性质，转化为两个一元一次方程求解． 【详解】（1）解：对于方程， ∵，，， ∴判别式， ∴， ∴，． （2）解：移项得， 提取公因式得， 即， ∴或， 解得或， ∴，． 18．(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系． （1）根据题意可知，方程有两个实数根，则有，从而求出k的取值范围；（2）因为是关于x的方程的两个实数根，所以，，再由，可得，从而求得k的值． 【详解】（1）解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是关于x的方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 19．(1)该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为 (2)最多可购买电脑8台 【分析】（1）根据一月份投入经费三月份投入经费，列出方程，求解即可作答； （2）根据购买电脑和实物投影仪的总费用不超过四月份投入经费的，建立一元一次不等式，求解即可作答． 【详解】（1）解：设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为； （2）解：四月份投入图书购置经费为（万元）， 设购买电脑m台，则购买实物投影仪台， 根据题意得：， 解得：． 答：最多可购买电脑8台． 【点睛】连续两次增长率一般用公式，列方程求解，注意结合题意与实际情况，取舍方程的解． 20． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程，解方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设垂直于墙的长方形的边长为， 由题意得，， 解得： 当时，（不合题意，舍去） 当时，，符合题意，故． 21．(1) (2) (3)或 【分析】本题考查的是新运算，有理数的混合运算，解一元一次方程，解一元二次方程； （1）根据新运算的定义代入计算即可求解； （2）根据新运算的定义，列出关于的关系式，即可求得的值， （3）根据列出一元二次方程解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ； （2）解：∵， ∴ 解得：； （3）解：∵ ∴ ∴ ∴或， 解得：或 22．(1)8 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的其他应用，新定义，配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把代入方程，即可求解； （2）把代入，可得得，再把代入进行计算，然后配方，即可作答． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程是“A方程”， ∴该方程的一个根为， ∴， 解得：； （2）解：∵关于的一元二次方程是“方程”， ∴把代入，得： ∴； ∴ ， ∵， ∴当时，代数式有最小值，最小值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $