1.4.1第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学高二上学期选择性必修第一册“空间中点、直线和平面的向量表示”同步练习，以“基础巩固-能力提升-综合应用”分层设计，通过梯度化题型培养空间观念与运算推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|方向向量、法向量概念及基本计算|选择题1-4题直接考查定义应用，如方向向量坐标求解，夯实空间向量表示基础| |中档|共线向量判断、投影向量、平面方程|填空题9-11题结合向量运算，如利用法向量求平面方程，提升符号运算能力| |提升|几何背景下的法向量应用|解答题13题以四棱锥为情境，需建系并推导平面法向量，培养空间想象与逻辑推理|

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 一、选择题 1.若A（－1，0，1），B（1，4，7）在直线l上，则直线l的一个方向向量为（　 　） A.（1，2，3） B.（1，3，2） C.（2，1.3） D.（3，2，1） 2.已知a＝（2，－1，3）和b＝（－4，2x2，6x）都是直线l的方向向量，则x的值是（　 　） A.－1 B.1或－1 C.－3 D.1 3.已知A（1，2，－1），B（5，6，7），则直线AB与平面Ozx的交点坐标是（　 　） A.（0，1，1） B.（0，1，－3） C.（－1，0，3） D.（－1，0，－5） 4.已知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），则下列向量是平面ABC的法向量的是（　 　） A.n＝（－1，1，1） B.n＝（1，1，1） C.n＝（－，，－） D.n＝（，，－） 5.（多选）已知空间中A（0，0，0），B（2，1，0），C（－1，2，1）三点，则下列说法正确的是（　 　） A.与是共线向量 B.与同向的单位向量是（，，0） C.在上的投影向量是（－2，－1，0） D.平面ABC的一个法向量是（1，－2，5） 6.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑A－BCD中，AB⊥平面BCD，∠BDC＝90°，BD＝AB＝CD.若建立如图所示的空间直角坐标系，则平面ACD的一个法向量的坐标为（　 　） A.（0，1，0） B.（0，1，1） C.（1，1，1） D.（1，1，0） 7.（多选）在空间直角坐标系中，已知向量u＝（a，b，c）（其中abc≠0），定点P0（x0，y0，z0），异于点P0的动点P（x，y，z），则以下说法正确的是（　 　） A.若u为直线PP0的方向向量，则＝＝ B.若u为直线PP0的方向向量，则a（x－x0）＋b（y－y0）＋c（z－z0）＝0 C.若u为平面α的法向量，平面α经过P0和P，则＝＝ D.若u为平面α的法向量，平面α经过P0和P，则z（x－x0）＋b（y－y0）＋c（z－z0）＝0 8.（多选）已知直线l1的方向向量a＝（2，4，x），直线l2的方向向量b＝（2，y，2），若｜a｜＝6，且a⊥b，则x＋y的值是（　 　） A.1 B.－1 C.3 D.－3 二、填空题 9.n1＝（2，1，1）与n2＝（0，2，1）分别为平面α与β的法向量，若α∩β＝l，则直线l的一个方向向量的坐标为 （写出一个方向向量的坐标即可）. 10.已知平面α的一个法向量是n＝（1，－1，2），且点A（0，3，1）在平面α内，若P（x，y，z）是平面α内任意一点，则点P的坐标满足的方程是 . 11.已知A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，－5），点P（x，－1，3）在平面ABC内，则x＝ ，＝　 　（用向量，表示）. 三、解答题 12.已知A（2，2，2），B（2，0，0），C（0，2，－2）. （1）写出直线BC的一个方向向量； （2）设平面α经过点A，且是α的法向量，M（x，y，z）是平面α内的任意一点，试写出x，y，z满足的关系式. 13.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD＝2，PD⊥底面ABCD，且PD＝AD，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面PAB的一个法向量. 解析版 一、选择题 1.若A（－1，0，1），B（1，4，7）在直线l上，则直线l的一个方向向量为（　A　） A.（1，2，3） B.（1，3，2） C.（2，1.3） D.（3，2，1） 2.已知a＝（2，－1，3）和b＝（－4，2x2，6x）都是直线l的方向向量，则x的值是（　A　） A.－1 B.1或－1 C.－3 D.1 3.已知A（1，2，－1），B（5，6，7），则直线AB与平面Ozx的交点坐标是（　D　） A.（0，1，1） B.（0，1，－3） C.（－1，0，3） D.（－1，0，－5） 解析：设直线AB与平面Ozx的交点为 M（x，0，z），则＝（x－1，－2，z＋1），易知＝（4，4，8），∵与共线，∴＝λ， 则解得则M（－1，0，－5），故选D. 4.已知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），则下列向量是平面ABC的法向量的是（　B　） A.n＝（－1，1，1） 　B.n＝（1，1，1） C.n＝（－，，－） 　D.n＝（，，－） 解析：易知＝（－1，1，0），＝（－1，0，1），设n为平面ABC的法向量，则即所以x＝y＝z.故选B. 5.（多选）已知空间中A（0，0，0），B（2，1，0），C（－1，2，1）三点，则下列说法正确的是（　BCD　） A.与是共线向量 B.与同向的单位向量是（，，0） C.在上的投影向量是（－2，－1，0） D.平面ABC的一个法向量是（1，－2，5） 解析：＝（2，1，0），＝（－1，2，1）， ＝（－3，1，1）， 若与共线， 则存在λ，使得＝λ， 则方程组无解， 故与不共线，A错误；与同向的单位向量是＝＝（，，0），B正确；在上的投影向量是＝＝（－2，－1，0），C正确；设平面ABC的法向量是n＝（x，y，z），则令y＝－2，则n＝（1，－2，5），D正确. 6.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑A－BCD中，AB⊥平面BCD，∠BDC＝90°，BD＝AB＝CD.若建立如图所示的空间直角坐标系，则平面ACD的一个法向量的坐标为（　B　） A.（0，1，0） B.（0，1，1） C.（1，1，1） D.（1，1，0） 解析：根据题意，设BD＝AB＝CD＝1，则D（0，1，0），C（1，1，0），A（0，0，1），则＝（1，0，0），＝（0，1，－1），设平面ACD的法向量为m＝（x，y，z），则令y＝1，可得z＝1，则m＝（0，1，1）.故选B. 7.（多选）在空间直角坐标系中，已知向量u＝（a，b，c）（其中abc≠0），定点P0（x0，y0，z0），异于点P0的动点P（x，y，z），则以下说法正确的是（　AD　） A.若u为直线PP0的方向向量，则＝＝ B.若u为直线PP0的方向向量，则a（x－x0）＋b（y－y0）＋c（z－z0）＝0 C.若u为平面α的法向量，平面α经过P0和P，则＝＝ D.若u为平面α的法向量，平面α经过P0和P，则z（x－x0）＋b（y－y0）＋c（z－z0）＝0 解析：是直线P0P的一个方向向量，＝（x－x0，y－y0，z－z0），若u为直线PP0的方向向量，则＝＝，A正确，B错误；P0P在平面α内，若u为平面α的法向量，则u⊥，所以u·＝a（x－x0）＋b（y－y0）＋c（z－z0）＝0，C错误，D正确.故选AD. 8.（多选）已知直线l1的方向向量a＝（2，4，x），直线l2的方向向量b＝（2，y，2），若｜a｜＝6，且a⊥b，则x＋y的值是（　AD　） A.1 B.－1 C.3 D.－3 解析：因为｜a｜＝＝6， 所以x＝±4. 因为a⊥b， 所以a·b＝2×2＋4y＋2x＝0， 即y＝－1－x， 所以当x＝4时，y＝－3； 当x＝－4时，y＝1. 所以x＋y＝1或x＋y＝－3. 二、填空题 9.n1＝（2，1，1）与n2＝（0，2，1）分别为平面α与β的法向量，若α∩β＝l，则直线l的一个方向向量的坐标为　（，1，－2）（答案不唯一）　（写出一个方向向量的坐标即可）. 解析：设直线l的一个方向向量为d＝（x，y，z），依题意可知所以令y＝1，则z＝－2，x＝，所以d＝（，1，－2）. 10.已知平面α的一个法向量是n＝（1，－1，2），且点A（0，3，1）在平面α内，若P（x，y，z）是平面α内任意一点，则点P的坐标满足的方程是　x－y＋2z＋1＝0　. 解析：因为平面α的一个法向量是n＝（1，－1，2），点A（0，3，1）在平面α内，P（x，y，z）是平面α内任意一点，连接AP，则＝（x，y－3，z－1），n·＝x－（y－3）＋2z－2＝0，所以点P的坐标满足的方程是x－y＋2z＋1＝0. 11.已知A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，－5），点P（x，－1，3）在平面ABC内，则x＝　11　，＝　－4＋　（用向量，表示）. 解析：＝（－2，2，－2），＝（－1，6，－8），＝（x－4，－2，0），由题意知A，B，C，P四点共面，所以＝λ＋μ＝（－2λ，2λ，－2λ）＋（－μ，6μ，－8μ）＝（－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ），所以所以而x－4＝－2λ－μ＝7，所以x＝11，＝－4＋. 三、解答题 12.已知A（2，2，2），B（2，0，0），C（0，2，－2）. （1）写出直线BC的一个方向向量； （2）设平面α经过点A，且是α的法向量，M（x，y，z）是平面α内的任意一点，试写出x，y，z满足的关系式. 解：（1）∵B（2，0，0），C（0，2，－2）， ∴＝（－2，2，－2）， 即（－2，2，－2）为直线BC的一个方向向量.（答案不唯一） （2）由题意得＝（x－2，y－2，z－2）， ∵⊥平面α，AM⊂α， ∴⊥，则＝0， ∴（－2，2，－2）·（x－2，y－2，z－2）＝0. ∴－2（x－2）＋2（y－2）－2（z－2）＝0. 化简得x－y＋z－2＝0. 13.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD＝2，PD⊥底面ABCD，且PD＝AD，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面PAB的一个法向量. 解：连接BD，因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，所以由余弦定理得BD＝AD，所以BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.因为PD⊥底面ABCD，AD，BD⊂底面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥BD，故PD，AD，BD两两垂直，以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图， 则A（1，0，0），B（0，，0），P（0，0，1），＝（－1，，0），＝（0，，－1）. 设平面PAB的法向量为n＝（x，y，z）. 则 即 令y＝1，则n＝（，1，）. 所以平面PAB的一个法向量为（，1，）. 页 学科网（北京）股份有限公司 $