精品解析：云南省昆明市云南师范大学附属中学2027届高三高考适应性月考卷（一）数学数学试题

云南师大附中2027届高考适应性月考卷（一） 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是等比数列，若，则（ ） A. 6 B. 18 C. 216 D. 无法计算 3. 已知随机变量，则（ ） A. 10 B. 3 C. D. 4. 已知，，，若是纯虚数，则的值为（ ） A. 1 B. 0或1 C. 1或2 D. 2 5. 已知的展开式中的常数项为24，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 6. 已知椭圆：，点，分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点，使得，则的值不可能是（ ） A. B. C. 3 D. 7. 某教师准备给班级的同学安排座位，已知某组有4排（每排2个座位），需要将8位同学，，…，安排到该组中，若同学、，同学、确定坐同桌，则该教师共有（ ）种排座位的方法.（注：不考虑同排中左右的顺序） A. 72 B. 108 C. 156 D. 196 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列选项正确的有（ ） A. 的极大值点是 B. 在上单调递增 C. 当时， D. 是的一个对称中心 10. 在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中出现过如图所示的形状，后人将其称为三角垛.若三角垛的最上层（第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，……，设各层球数构成一个数列，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 是等差数列 D. 11. 已知正方体的棱长是，点是上底面的中心，如图所示，圆是正方形的内切圆，切点分别为、、、.点是圆上的动点（异于、），点是底面正方形及其内部的动点，且满足，则下列命题正确的是（ ） A. B. 点到平面的距离是 C. 三棱锥外接球的表面积的最小值是 D. 三棱锥外接球的表面积的最大值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数在点处切线的斜率为________． 13. 已知，是平面的基底，内的两个向量分别为，，若，则实数的值为______. 14. 已知圆：，直线：，圆与圆外切，且圆与直线相切，记圆心的轨迹为，若直线MN经过点，且与曲线交于M、N两点，则的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角，，所对的边分别是，，.已知函数，且对于都有. （1）求角的大小； （2）若，，求边的大小. 16. 已知双曲线：，斜率为2的动直线与双曲线交于，两点，点是，的中点. （1）证明：点在直线上； （2）若点，为坐标原点，试求此时三角形的面积. 17. 某校为了解初一学生的体能素质，随机抽取了名学生进行一分钟跳绳测试，将所得数据整理后，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）①求的值； ②估算这名学生跳绳次数的中位数（精确到）； （2）规定跳绳次数不低于次为“优秀”.现从样本中利用分层抽样的方法抽取人进行复测.已知优秀组的复测通过率为，非优秀组的复测通过率为.若有个人通过复测，试求这个人来自优秀组的概率.（每个学生参与复测的成绩互不影响） 18. 已知函数，． （1）若，求的极值点； （2）若，都有，求的取值范围； （3）证明：，有． 19. 如图，圆心在坐标原点的圆经过点．记圆与轴正半轴的交点为，圆与轴的交点从左往右分别是，． （1）求圆的方程； （2）点是圆上在第二象限的动点，点是点关于轴的对称点（在平面xOy上）．现将圆的左半部分（）沿着轴翻折，使点，达到点，的位置，记二面角的大小为．以为原点，OA为轴，OB为轴，过点与平面AOB垂直的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系． ①若翻折前，，求锐二面角的余弦值； ②记点和点的中点在平面yOz上的正投影为点． （ⅰ）证明：当为定值时，点的轨迹为椭圆的一部分； （ⅱ）若，求（ⅰ）中椭圆的离心率的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南师大附中2027届高考适应性月考卷（一） 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】． 2. 已知是等比数列，若，则（ ） A. 6 B. 18 C. 216 D. 无法计算 【答案】C 【解析】 【详解】因为是等比数列，所以，故. 3. 已知随机变量，则（ ） A. 10 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由二项分布的，结合均值的性质，即可求出的值. 【详解】由随机变量，则，所以. 4. 已知，，，若是纯虚数，则的值为（ ） A. 1 B. 0或1 C. 1或2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先根据复数的加法运算法则求出，再根据纯虚数的定义即可求出的值. 【详解】由题可得， 因为是纯虚数， 所以，解得. 5. 已知的展开式中的常数项为24，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项式展开的通项公式求出常数项的表达式，结合已知常数项为24代入选项验证求解得到的值. 【详解】对于，展开式的第项为： ， 常数项要求的指数为0，即，得​，说明为偶数. 常数项的值为：，代入选项验证： 对于A：当时，，A错误； 对于B：当时，，B正确； 对于C：当时，，C错误； 对于D：当时，，D错误. 6. 已知椭圆：，点，分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点，使得，则的值不可能是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】记椭圆的上顶点为，根据结合直角三角形中三角函数的定义即可求解. 【详解】由题知，的最大值要大于等于，记椭圆的上顶点为，易知， 则，又因为，则，，而， 所以，故的值不可能是. 7. 某教师准备给班级的同学安排座位，已知某组有4排（每排2个座位），需要将8位同学，，…，安排到该组中，若同学、，同学、确定坐同桌，则该教师共有（ ）种排座位的方法.（注：不考虑同排中左右的顺序） A. 72 B. 108 C. 156 D. 196 【答案】A 【解析】 【详解】同学，已是同桌，，已是同桌，故只需为剩下4位同学安排同桌， 从4个人中选2个人做同桌，剩下2个人也做同桌，然后安排组当中的前后顺序， 故排座位的方法数共有：种，故选A. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】单调递增，故， 单调递增，故， ， 对于，，设函数，， 故函数在上单调递增， 所以， 则，所以， 故． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列选项正确的有（ ） A. 的极大值点是 B. 在上单调递增 C. 当时， D. 是的一个对称中心 【答案】ABC 【解析】 【分析】先对三次函数求导，得到单调区间与极值点，再结合三次函数对称中心需满足的条件、区间最小值判定，依次验证四个选项是否正确. 【详解】对函数求导，则， 当时，，当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则的极大值点是，所以选项A，B正确； 当时，单调递减，当时，单调递增， 故是上的最小值，故选项C正确； 若是的一个对称中心，则需满足， 而 ， 知不是的对称中心，故D选项错误. 10. 在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中出现过如图所示的形状，后人将其称为三角垛.若三角垛的最上层（第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，……，设各层球数构成一个数列，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 是等差数列 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据递推关系判断AB；利用累加法求出通项公式判断C；利用裂项相消判断D. 【详解】由三角垛的构成知，故B错误； 由，可得，故A正确； 通过累加法，可以得到， 得， 又符合上式，故，则， 则，， 所以是以1为首项为公差的等差数列，故C正确； 因为，故D正确. 11. 已知正方体的棱长是，点是上底面的中心，如图所示，圆是正方形的内切圆，切点分别为、、、.点是圆上的动点（异于、），点是底面正方形及其内部的动点，且满足，则下列命题正确的是（ ） A. B. 点到平面的距离是 C. 三棱锥外接球的表面积的最小值是 D. 三棱锥外接球的表面积的最大值是 【答案】AC 【解析】 【分析】推导出，结合等边三角形三线合一的性质得出，进而可判断A选项；利用等体积法可判断B选项；确定球心的位置，在平面上，以直线为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系，分析可知点的轨迹是以点、为焦点，且实轴长为的双曲线的一部分，结合勾股定理以及双曲线的方程求出球半径的取值范围，再结合球体表面积公式可判断CD选项. 【详解】由题知，点、、、分别是、、、的中点， 对选项A，连接、、、、、，如图所示： 因为、分别为、的中点，所以， 由题意可知，因为是正方形的内切圆圆心，则为的中点， 在正方体中，、均为面对角线，所以，故， 又因为，故，A对； 对选项B，， 易知是边长为的等边三角形，所以， 设点到平面的距离为，则， 解得，即点到平面的距离为，B错； 对选项CD，三角形的外心是点，设下底面的中心为， 又平面，则三棱锥的外接球球心在直线上， 设球的半径是，在直角三角形中，，， ，则. 在平面上，以直线为轴，线段的中垂线为轴建立如图所示平面直角坐标系，点满足， 所以点的轨迹是以点、为焦点，且实轴长为的双曲线的一部分， 且，则，，可得，故， 则动点的轨迹是双曲线的一部分，即双曲线右支且在正方形内部及其周边的部分． 设点，记， 则在直角三角形中，， 即，化简得到：， 另外， 因为，所以，则， 所以，即，解得， 所以外接球表面积的取值范围是，故选项C正确，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数在点处切线的斜率为________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析： 考点：导数的几何意义 13. 已知，是平面的基底，内的两个向量分别为，，若，则实数的值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由共线向量的性质求解即可. 【详解】因为，，且， 所以，即，解得. 14. 已知圆：，直线：，圆与圆外切，且圆与直线相切，记圆心的轨迹为，若直线MN经过点，且与曲线交于M、N两点，则的最小值为________. 【答案】8 【解析】 【分析】先设圆心的坐标与圆的半径，利用圆与圆外切、与直线相切的条件推导出圆心的轨迹为抛物线，再结合过原点的直线与抛物线相交的性质计算弦长的最小值. 【详解】设点到直线的距离为，设，点到直线的距离为， 据题意知．又因为 （点在直线下方，故， 所以）， 所以，根据拋物线的定义知，点的轨迹是抛物线， 记该抛物线为，其中点为的焦点，直线为的准线， 易得拋物线的焦准距. 则的最小值是通径． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角，，所对的边分别是，，.已知函数，且对于都有. （1）求角的大小； （2）若，，求边的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，再结合的范围求解即可； （2）由余弦定理及已知和（1）的结果求解即可. 【小问1详解】 已知， 因为对，都有， 所以． 所以 因为角是三角形的内角，故， 则. 【小问2详解】 由余弦定理得，， 又，，由（1）知， 则， 即， 解得：，或（舍去）， 故. 16. 已知双曲线：，斜率为2的动直线与双曲线交于，两点，点是，的中点. （1）证明：点在直线上； （2）若点，为坐标原点，试求此时三角形的面积. 【答案】（1）设，，， 因为点，在双曲线上， 则， 即：，. ∴点在直线上，得证. （2） 【解析】 【分析】（1）根据点差法即可求解； （2）先求出直线方程，与双曲线联立，然后根据弦长公式求出，根据点到直线的距离公式求出点到直线的距离，最后由面积公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 直线的方程是l：， 与双曲线方程联立得：， 所以，. ， 点到直线的距离， 所以. 17. 某校为了解初一学生的体能素质，随机抽取了名学生进行一分钟跳绳测试，将所得数据整理后，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）①求的值； ②估算这名学生跳绳次数的中位数（精确到）； （2）规定跳绳次数不低于次为“优秀”.现从样本中利用分层抽样的方法抽取人进行复测.已知优秀组的复测通过率为，非优秀组的复测通过率为.若有个人通过复测，试求这个人来自优秀组的概率.（每个学生参与复测的成绩互不影响） 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为可求得的值； ②设中位数为，分析可知，利用中位数的定义可得出关于的等式，即可解得实数的值； （2）记事件表示某一个人通过复测，事件表示这个人是优秀组的，事件表示这个人是非优秀组的，利用全概率公式可求出的值，再利用条件概率公式可求得的值. 【小问1详解】 ①根据题图中信息知：，可得； ②数据落在区间的频率为， 数据落在区间的频率为， 设这名学生跳绳次数的中位数为，则， 由中位数的定义可得，解得. 【小问2详解】 由题图知，优秀率是， 则按分层抽样抽出的个学生中，有个优秀，个人非优秀. 记事件表示某一个人通过复测，事件表示这个人是优秀组的，事件表示这个人是非优秀组的. 由题意可得，，则， 故. 则， 所以若有个人通过复测，则这个人来自优秀组的概率是. 18. 已知函数，． （1）若，求的极值点； （2）若，都有，求的取值范围； （3）证明：，有． 【答案】（1）有极小值点，无极大值点． （2） （3）由（2）知， 令，则， 所以， 即， 所以． 【解析】 【分析】（1）代入求导并通分，解导数零点，根据定义域舍去负根，再由导数正负划分单调区间，判定极小值点； （2）化简导数分子为二次函数，以分界分类：时导数恒非负，函数在递增，；时处导数为负，存在正区间函数递减致，舍去，得； （3）借用（2）结论，令作放缩证明，对到累加，左边对数合并化简为，右边即为待证求和式，得证． 【小问1详解】 当时，，， ， 令，则，， 解得，（舍去）， 时，，单调递减； 时，，单调递增， 所以有极小值点，无极大值点． 【小问2详解】 ，， 由基本不等式知， 当时，，， 则函数在上单调递增， 所以，符合题意； 当时，，， 记， 则是开口向上，对称轴为的二次函数． 又， 所以在上单调递减，则. 所以时，，单调递减，， 不符合题意， 综上． 【小问3详解】 略 19. 如图，圆心在坐标原点的圆经过点．记圆与轴正半轴的交点为，圆与轴的交点从左往右分别是，． （1）求圆的方程； （2）点是圆上在第二象限的动点，点是点关于轴的对称点（在平面xOy上）．现将圆的左半部分（）沿着轴翻折，使点，达到点，的位置，记二面角的大小为．以为原点，OA为轴，OB为轴，过点与平面AOB垂直的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系． ①若翻折前，，求锐二面角的余弦值； ②记点和点的中点在平面yOz上的正投影为点． （ⅰ）证明：当为定值时，点的轨迹为椭圆的一部分； （ⅱ）若，求（ⅰ）中椭圆的离心率的取值范围． 【答案】（1）圆的方程为． （2）①若翻折前，，则锐二面角的余弦值为． ②（i）设翻折前，则， 翻折后，， ， ， 设与的中点为， 则， 为在yOz上的正投影，所以， 设（，），则， 所以，即的轨迹是椭圆的一部分； （ii）． 【解析】 【分析】（1）由圆心在原点的圆的标准方程，代入已知点算出半径，直接写出圆方程． （2）①先由翻折二面角确定坐标，利用角度写出坐标，求两个面的法向量，通过向量夹角余弦取绝对值得到锐二面角余弦值． ②（i）设参数表示，写出与对称点坐标，求中点再向投影得到坐标，借助同角平方关系消参，证得轨迹为椭圆一部分． （ii）由椭圆方程确定长短轴，写出离心率表达式，结合范围得到范围，代入求出离心率取值区间． 【小问1详解】 设圆的方程为． 由圆经过点．得， 所以圆的方程为． 【小问2详解】 由题知，，. 翻折后仍有，，， 因为面，面，面面， 所以为二面角的平面角，所以． ①翻折前，所以翻折前， 翻折后，易知在空间直角坐标系中， ，， ，． 设面的法向量为，面的法向量为，则 ，， 所以， 所以锐二面角的余弦值为． ②（i）略； （ii）易知，， 所以， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $