1.3.2 空间向量运算的坐标表示同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学人教A版选择性必修第一册“空间向量运算的坐标表示”同步练，通过基础到综合的分层设计，强化空间向量坐标运算的概念理解与几何应用，培养空间观念、运算能力及推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|向量平行/垂直坐标条件、中点坐标计算|单选题1-5、填空题12-13，聚焦单一知识点直接应用，如向量平行求参数| |中档层|向量夹角、模长、最值问题|单选题6-8、多选题9-11、填空题14，结合二次函数、不等式等综合运算，如向量垂直求参数最值| |拔高层|空间几何中的向量应用|解答题15-19，正方体中垂直证明、长度计算等，需建立坐标系转化几何问题，培养模型意识与创新思维|

1.3.2 空间向量运算的坐标表示 同步练 2026-2027学年上学期高中数学人教A版选择性必修第一册 一、单选题 1．已知向量，，且与互相平行，则（    ） A．1 B． C． D．2 2．已知空间向量，，其中，若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 3．设A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），AB的中点M，则 A． B． C． D． 4．如图，在正方体中，，分别是，的中点，则直线与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．异面垂直 D．异面不垂直 5．已知，，为原点，则与的夹角是（   ） A．0 B． C． D． 6．在棱长为2的正方体中，E为的中点，点P在底面上移动，且满足，则线段的长度的最大值为(    ) A．2 B．3 C． D． 7．已知空间三点，，，若向量与的夹角为60°，则实数（    ） A．1 B．2 C． D． 8．如图，在棱长为1的正方体中，已知，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 10．已知，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．为钝角 D．在方向上的投影向量为 11．已知向量，，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．不存在实数，使得 D．若，则 三、填空题 12．在直三棱柱中，，D为的中点，则在空间直角坐标系中（O为坐标原点），的坐标是_________，的坐标是_________． 13．已知空间三点，，，若直线上一点，满足，则点的坐标为 _________ . 14．已知为坐标原点，，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为______． 四、解答题 15．已知空间三点，，. (1)求以，为邻边的平行四边形的面积； (2)若向量分别与，垂直，且，求向量的坐标. 16．如图，在正方体中，若分别为棱和上任意一点（不与端点重合），是否存在使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 17．已知向量，，若向量同时满足下列三个条件：①；②；③与垂直. （1）求的模； （2）求向量的坐标. 18．如图，建立空间直角坐标系．正方体的棱长为1，顶点位于坐标原点． （1）若是棱的中点，是棱的中点，是侧面的中心，则分别求出向量，，的坐标； （2）在（1）的条件下，分别求出，的值． 19．棱长为2的正方体中，分别是的中点，在棱上，且是的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： (1)求证：； (2)求； (3)求的长. 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C C B B B D CD BD 题号 11 答案 AC 1．B 由向量坐标分别写出与坐标，由向量平行利用向量坐标成比例建立等式，解出的值. 由题意得，. ∵与互相平行，∴，解得， 故选：B． 2．D 先利用向量垂直得到，再利用基本不等式求出最大值. 因为空间向量，，且， 所以，即. 因为， 所以，即， 当且仅当，即时取等号. 所以的最大值是. 故选：D 3．C 4．C 建立空间直角坐标系，利用空间向量求解判断即可. 以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2， 则，，，， ，， ，， 又平面，平面，平面，且， 直线与异面垂直． 故选：C． 5．B 根据空间向量夹角余弦的坐标表示求解即可. 因为， 且，， 所以； 因为，所以，即． 故选：B. 6．B 以为原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设，根据求出a、b之间的关系，利用两点间距离公式结合二次函数性质可求长度的最大值． 以为原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，设，，， 则，， ，， ，则易求， ， 由二次函数的性质可知，当时，可取到最大值9， 线段的长度的最大值为3． 故选：B． 7．B 直接由空间向量的夹角公式计算即可 ，，， ， 由题意有 即， 整理得， 解得 故选：B 8．D 以为原点，建立空间直角坐标系，设，得到和，结合，利用向量的数量积的公式，列出方程，即可求解. 以为原点，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，， 设，则，， 因为，所以，即，解得. 故选：D. 9．CD 根据空间向量的模长、数量积的坐标运算，以及平行、垂直的坐标表示即可求解. 对于A,， ，故A错误； 对于B，， 则，故B错误； 对于C,， 则， 则，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选:CD. 10．BD 利用向量垂直，平行的坐标关系判断A，B，根据向量夹角公式判断C，根据投影向量和投影数量的关系计算求解判断D. 因为，所以，不垂直，A错， 因为，所以，B对， 因为，所以，所以不是钝角，C错， 因为在方向上的投影向量，D对， 故选：BD. 11．AC 对于A，根据即可算出的值；对于B，根据计算；对于C，根据计算即可；对于D，根据求出，从而可计算出. 对于A，因为，所以，解得，故A正确； 对于B，因为，所以，所以，故B错误； 对于C，假设，则， 所以，该方程组无解，故C正确； 对于D，因为，所以，解得， 所以，，所以，故D错误. 故选：AC. 12． 以为原点，为轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标即可求解. 如图建系，则， ∴．∵D为的中点， ∴，∴．    故答案为：； 13． 根据直线垂直的向量表示直接可得解. 由，，，则， 又在直线上， 所以，， 则， 又， 则，解得， 则， 即， 故答案为：. 14． 利用共线向量及数量积的坐标表示可得，再利用二次函数知识即得. 因为点在直线上运动，所以存在实数使得， 所以，， 所以 ， 当且仅当时，上式取得最小值，此时点的坐标为． 故答案为：. 15．(1) (2)或 （1）根据空间向量数量积的定义和坐标表示计算可得，结合三角形面积公式计算即可求解； （2）设，则，解之即可. （1）由，， 得，， 所以，由，得， . （2）设， 由或， 或. 16．不存在，理由如下： 设正方体的棱长为3， 则， 则， 则， 则，所以或， 当时，与重合，时，与重合， 故不存在使得. 设正方体的棱长为3，求出点、、和的坐标，求出和，求出，求出和，判断是否存在使得. 略 17．（1）1；（2）或. （1）求出的坐标，即可求出的模； （2）设，则由题可知，解出即可得出． 解：（1）∵，， ∴， 所以 ； （2）设，则由题可知     解得或    所以或. 18．（1），，；（2），. （1）根据题意，易得点O，E，F，G的坐标，进而求得向量的坐标； （2）由（1）的结果，利用空间向量的加法和数量积坐标运算以及向量的模公式求解. （1）因为是棱的中点，是棱的中点，是侧面的中心， 所以，，，． 所以，，，． （2）由（1）可得． 又， 所以． 19．(1) 证明：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 则由题意得， 因为，， 所以， 所以，所以. (2)； (3). （1）建立以为坐标原点的空间直角坐标系，求出并计算即可得证； （2）由（1）求出，接着计算即可得解； （3）由（1）求出，再由向量坐标形式的模长公式计算即可得解. （1）略 （2）由（1）可得， 所以. （3）由（1）得，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $