1.3.2空间向量运算的坐标表示同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学空间向量运算的坐标表示新授课同步练，以基础认知为起点，通过选择、填空到解答题的梯度设计，实现从单一运算到立体几何综合应用的知识巩固，培养空间观念与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|坐标表示、模、垂直等单一知识点|8道选择题夯实基础运算，如向量坐标求解、模长计算| |技能应用|正方体模型中的向量关系|3道多选题结合几何直观，提升空间想象能力| |综合拓展|立体几何中的点坐标确定、面积计算|2道解答题综合应用，培养推理能力与模型意识|

1.3.2空间向量运算的坐标表示 课时同步练习 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.已知A(3，－2，4)，B(0，5，－1)，若＝(O为坐标原点)，则C的坐标是(　　) A.   B. C.   D. 【答案】B 【解析】∵＝(0，5，－1)－(3，－2，4)＝(－3，7，－5)， ∴＝(－3，7，－5)＝， ∴C.故选B． 2.已知点A(1－t，1－t，t)，B(2，t，t)，则A，B两点的距离的最小值为(　　) A.   B.   C.   D. 【答案】C 【解析】因为点A(1－t，1－t，t)，B(2，t，t)， 所以|AB|2＝(1＋t)2＋(2t－1)2＋(t－t)2＝5t2－2t＋2， 由二次函数易知，当t＝－＝时，取得最小值，最小值为， 所以|AB|的最小值为. 3.向量a＝(2，4，x)，b＝(2，y，2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值为(　　) A.－3 B.1 C.3或1 D.－3或1 【答案】D 【解析】因为a·b＝4＋4y＋2x＝0， 又|a|＝＝＝6， 所以联立解得或 所以x＋y＝1或x＋y＝－3.故选D. 4.（2025-2026·湖南长沙高二上期中）若，，，则在上的投影向量的模为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由,,得； 由,得； 由,得； 故在上的投影向量的模为. 答案为A. 5.设是实数，已知三点，，在同一条直线上，那么（    ） A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】D 【解析】由已知可得，. 因为三点共线，所以存在唯一实数，使得， 所以，解得，所以. 故选：D. 6.已知平面α上的两个向量，，则平面α的一个法向量为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】显然与不平行，设平面α的法向量为， 则，所以，令，得，. 所以． 故选：C. 7.（2025-2026·辽宁朝阳高二上期中）若，则的形状是() A.不等边锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 【答案】A 【解析】已知，，. 向量，，. 则，， ，可得，不是等边三角形. ， ， . 最大边所对的角为，， 但相对较小，综合判断三角形三个角都是锐角， 所以是不等边锐角三角形. 8.（2024-2025·青海高二期中）已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ） A.      B.      C.      D. 【答案】B 【解析】已知，，则. 因为与垂直，则. 即. 展开得，解得. 此时. 可得. 答案是B选项. 二、多选题（共3小题） 9.棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列结论正确的是(　　) A.＝－ B.·＝0 C.·＝0 D.·＝0 【答案】ABC 【解析】以A1为坐标原点，A1D1所在直线为x轴，A1B1所在直线为y轴，A1A所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，1)，B(0，1，1)，C(1，1，1)，D(1，0，1)，A1(0，0，0)，B1(0，1，0)，C1(1，1，0)，D1(1，0，0)， ∴＝(0，1，0)，＝(0，－1，0)，＝(1，0，0)，＝(0，0，－1)， ＝(1，－1，0)，＝(1，1，－1)，＝(1，1，1)． 选项A，＝－＝(0，1，0)，故选项A正确． 选项B，·＝0×1＋1×0＋0×0＝0，故B选项正确． 选项C，·＝0×1＋0×(－1)＋(－1)×0＝0，故C选项正确． 选项D，·＝1×1＋1×1－1×1＝1，故D选项错误． 10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别是棱AA1和BB1的中点，则下列选项正确的是(　　) A.⊥ B.⊥ C.·(－)＝0 D.＝＋＋ 【答案】ACD 【解析】设正方体棱长为2， 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，D1(0，0，2)，M(2，0，1)，N(2，2，1)，A1(2，0，2)，B1(2，2，2)． 对于A，＝(－2，2，0)，＝(2，2，－1)，则·＝－4＋4＋0＝0，所以⊥，故A正确； 对于B，＝(－2，2，－1)，则·＝－4＋4＋1＝1≠0，所以⊥不成立，故B错误； 对于C，－＝＝(2，2，0)，则·(－)＝－4＋4＋0＝0，故C正确； 对于D，＋＋＝(0，2，0)＋(0，0，－2)＋(－2，0，0)＝(－2，2，－1)＝，故D正确． 11.（2024-2025·广东广州高二下期中）已知向量，，则下列结论正确的是（） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】对于选项A: 由,, 得,故A正确; 对于选项B: 由,, 得,故B错误; 对于选项C: 由,, 得,故C正确; 对于选项D: 由, 得,故D正确; 故选:ACD. 三、填空题（共3小题） 12.已知a＝(－1,2,1)，b＝(2,0,1)，则(2a＋3b)·(a－b)＝                  . 【答案】－4 【解析】易得2a＋3b＝(4,4,5)，a－b＝(－3,2,0)， 则(2a＋3b)·(a－b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4. 13.设向量u＝(a，b，0)，v＝(c，d，1)，其中a2＋b2＝c2＋d2＝1，则u与v夹角的最大值为                  . 【答案】 【解析】使u和v的起点在原点，记它们的终点分别为U和V. 因为a2＋b2＝c2＋d2＝1， 所以向量u的终点U在以O(0，0，0)为圆心，1为半径的圆上，向量v的终点V在以O1(0，0，1)为圆心，1为半径的圆上. 显然O与O1的距离为1，如图所示，两向量夹角的最大值为. 14.（2024-2025·湖南永州高二上期中）已知点N是点在坐标平面内的射影，则                   ． 【答案】5 【解析】点在坐标平面内的射影，其坐标与坐标不变，坐标变为，即. 已知向量，. 四、解答题（共2小题） 15.已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)． (1)若点D在直线AC上，且⊥，求点D的坐标； (2)求以BA，BC为邻边的平行四边形的面积． 【答案】解(1)由题意知，＝(1，－3，2)，点D在直线AC上， 设＝λ＝λ(1，－3，2)＝(λ，－3λ，2λ)， ∴D(λ，2－3λ，2λ＋3)，＝(λ，2－3λ，2λ＋3)－(－2，1，6)＝(λ＋2，1－3λ，2λ－3)， ∵⊥， ∴·＝(1，－3，2)·(λ＋2，1－3λ，2λ－3)＝λ＋2－3＋9λ＋4λ－6＝14λ－7＝0， ∴λ＝， ∴D. (2)∵＝(2，1，－3)，＝(3，－2，－1)， ∴||＝＝，||＝＝， 且·＝2×3＋1×(－2)＋(－3)×(－1)＝7， ∴cos B＝cos〈，〉＝＝＝， ∴sin B＝＝， ∴S＝sin B＝××＝7， ∴以BA，BC为邻边的平行四边形的面积为7. 16.如图，正方形ACC1A1与等腰直角三角形ACB所在平面互相垂直，∠ACB＝90°，E，F分别是AB，BC的中点，G是AA1上的点，⊥. (1)试确定点G的位置； (2)求cos〈，〉的值． 【答案】解(1)由正方形ACC1A1与等腰直角三角形ACB所在平面互相垂直， ∠ACB＝90°，得BC⊥平面ACC1A1， ∴BC⊥CC1， 以C为坐标原点，，，方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz， 设AC＝CB＝a，AG＝x， 则A(0，a，0)，C1(0，0，a)，G(0，a，x)，E， ∴＝(0，－a，a)，＝， ∵⊥， ∴·＝0， ∴－＋ax＝0， ∴x＝， ∴G为AA1的中点． (2)∵G，F，∴＝， 又∵＝(0，－a，a)， ∴||＝a，||＝a，·＝a2－＝. ∴cos〈，〉＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3.2空间向量运算的坐标表示 课时同步练习 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】 一、选择题（共8小题） 1.已知A(3，－2，4)，B(0，5，－1)，若＝(O为坐标原点)，则C的坐标是(　　) A.   B. C.   D. 2.已知点A(1－t，1－t，t)，B(2，t，t)，则A，B两点的距离的最小值为(　　) A.   B.   C.   D. 3.向量a＝(2，4，x)，b＝(2，y，2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值为(　　) A.－3 B.1 C.3或1 D.－3或1 4.（2025-2026·湖南长沙高二上期中）若，，，则在上的投影向量的模为（） A. B. C. D. 5.设是实数，已知三点，，在同一条直线上，那么（    ） A.2 B.3 C.4 D.5 6.已知平面α上的两个向量，，则平面α的一个法向量为（    ） A. B. C. D. 7.（2025-2026·辽宁朝阳高二上期中）若，则的形状是() A.不等边锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 8.（2024-2025·青海高二期中）已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ） A.      B.      C.      D. 二、多选题（共3小题） 9.棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列结论正确的是(　　) A.＝－ B.·＝0 C.·＝0 D.·＝0 10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别是棱AA1和BB1的中点，则下列选项正确的是(　　) A.⊥ B.⊥ C.·(－)＝0 D.＝＋＋ 11.（2024-2025·广东广州高二下期中）已知向量，，则下列结论正确的是（） A. B. C. D. 三、填空题（共3小题） 12.已知a＝(－1,2,1)，b＝(2,0,1)，则(2a＋3b)·(a－b)＝                  . 13.设向量u＝(a，b，0)，v＝(c，d，1)，其中a2＋b2＝c2＋d2＝1，则u与v夹角的最大值为                  . 14.（2024-2025·湖南永州高二上期中）已知点N是点在坐标平面内的射影，则                   ． 四、解答题（共2小题） 15.已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)． (1)若点D在直线AC上，且⊥，求点D的坐标； (2)求以BA，BC为邻边的平行四边形的面积． 16.如图，正方形ACC1A1与等腰直角三角形ACB所在平面互相垂直，∠ACB＝90°，E，F分别是AB，BC的中点，G是AA1上的点，⊥. (1)试确定点G的位置； (2)求cos〈，〉的值． 学科网（北京）股份有限公司 $