04-微专题1 抽象函数的性质及其应用课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“抽象函数的性质及其应用”专题，覆盖单调性、奇偶性、对称性、周期性四大高考核心考点，依据高考评价体系梳理定义判断、赋值转化、性质综合应用等考查维度，通过例题解析与总结反思明确高频题型分布，体现备考针对性。 课件亮点在于“例题精讲+方法归纳+对点演练”模式，如例1用赋值法结合定义证明单调性，培养学生数学思维与推理能力，总结反思提炼性质转化技巧，帮助学生掌握抽象函数综合题解题策略，教师可据此系统梳理考点，提升复习效率。

微专题1 抽象函数的性质及其应用 1 微点一 抽象函数的单调性 例1 定义在上的函数满足当时， ，且对任 意的，，都有 .证明： （1） ； 证明:令,，则， 又，所以 . 2 （2）对任意的，恒有 ； 解：令,，则，即 ， 由题意，当时，， 则对任意， ，有 ， 所以， 又 ，所以对任意的,恒有 . 3 （3） 是增函数. 解：方法一：任取,，且， 令, ，则 ， 则 ， 因为，所以， 又 ，所以，故 是增函数. 4 方法二：任取,，且,因为 ， 所以 ， 由，得， 又 ，所以，即 ， 所以 是增函数. 5 总结反思 抽象函数的单调性无法从函数本身的性质进行获得，只能通过定义 进行判断，此时无论指定还是,最终都是要对 和 的大小关系进行判断，这就需要将题中的表达式进行合理的变 形，出现的形式或 的形式.通常可令 或，再代入原式，与 的关系 便可出现. 6 【对点演练1】 已知定义在上的函数满足对任意的, ， 恒有 成立. （1）求 的值； 解：令，则，故 . （2）求证：当时， ； 证明：，即 . 7 （3）若当时，恒有，试判断 的单调性，并说明理由. 解： 为减函数，理由如下： 设，则, ， 又 ， 所以，即， 所以 为减函数. 8 微点二 抽象函数的奇偶性 例2 [2026·山东济宁期中]已知函数的定义域为 ，满足 ，则( ) A.是偶函数 B. 是奇函数 C.是奇函数 D. 是偶函数 √ [解析] 因为，所以令 ， 可得，令，可得 ， 所以， 则 既不是奇函数也不是偶函数，且， 所以 是奇函数.故选C. 9 总结反思 利用奇偶性的定义解决含有双变量的抽象函数问题时，首先要将双 变量转化为单变量(例如：先通过赋值求出,再借助,将 转化为 ，或指定某一变量为0)，然后再利用函数奇偶性的定义进 行判断. 注意：此类问题中与 是两个不相关的变量，可以相等，也可以不 相等，也可以是指定的某种关系，要跳出是 的函数这一思维定式. 10 【对点演练2】（1）[2026·江苏扬州模拟]已知函数 满足对任意 实数，都有，且 ，则函 数 ( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数 [解析] 在中， 令 ，则， 又，所以， 令 得，所以， 所以 是偶函数.故选B. √ 11 （2）若定义在上的函数同时满足： 为 奇函数；；③对任意的,，且 ，都 有.则不等式 的解集为_____________ _______________. 12 [解析] 因为对任意的,，且 ，都有 ，所以在 上单调递减. 因为为奇函数，且 ，所以 ，则 为偶函数，且 ，故在上单调递增， 所以 在上单调递增，在 上单调递减. 因为，所以由 ，得 13 当时，，即 ，得 ，解得或,故； 当 时，，由，得， 即 ， 得或解得或 . 综上，不等式的解集为 . 14 微点三 抽象函数的对称性 例3（1）已知函数满足：①定义域为， 为偶函数， 为奇函数，④对任意的，，且 ，都有 .则，， 的大小关系是( ) A. B. C. D. √ 15 [解析] 在 上为偶函数， ， 的图象关于直线对称. 在 上为奇函数，， 的图象关于点对称，且 ， 将上式中的换成 ， 又， ， 由①②得③，将③中的 换成 ，由③④得，的一个周期为 16 对任意的 ,，且 ，都有 ，在 上单调递增， 在一个周期内的草图如图所示. ， ，, ，即 ，故选C. （2）[2026·河北保定期末] 若定义在上的函数满足 是 偶函数，函数的图象关于点中心对称，若 ， 则 ___. 2 [解析] 由题意知，则 . 由函数的图象关于点 中心对称，得 ，即 ， 则有，即，所以为 上 的奇函数，则. 18 由 可得 ，故 ，即4为 的一个周期. 又， ，所以 ， 于是 . 19 总结反思 奇偶性与对称性的联系 （1）若已知为偶（奇）函数，判断函数 的对称性，可 令,则可求得 的图象的对称轴（或对称中心）.例如： 为偶函数，则的图象的对称轴方程为 . （2）若已知 为偶（奇）函数，则需要根据定义或图象平移 判断 的奇偶性. 根据定义判断奇偶性时，要特别注意“-”的位置，根据图象平移判断 的奇偶性时，要注意“左加右减”. （3）定义在上的函数，若为偶（奇）函数, 是常数， 且，则 也为偶（奇）函数. 20 【对点演练3】（1）已知函数是定义在 上的偶函数，函数 的图象关于点中心对称，若 ，则 ( ) A. B. C.0 D.1 √ 21 [解析] 由函数的图象关于点 中心对称可知， ， 即 ， 可得，因此函数的图象关于直线 对称， 由，可得， 由为 上的偶函数且的图象关于直线 对称， 可得 .故选B. 22 （2）已知函数为上的奇函数，若函数与 的图象关于点对称，则 ( ) A.1 B.0 C. D. [解析] 根据题意，函数为上的奇函数，所以 ， 则，所以. 函数与 的图象关于点对称， 则 ，即， 所以 .故选B. √ 23 微点四 抽象函数的周期性 例4（1）[2026·湖北十堰调研]已知定义在上的奇函数 满足 ，则 ( ) A. B.0 C.1 D.2 [解析] 因为为定义在上的奇函数，所以 ， ， 又因为 ，所以， 所以 ， 可知2为的一个周期，所以 .故选B. √ 24 （2）已知函数的定义域为, , ，且为偶函数，则 ( ) A. B.0 C.1 D.2 [解析] 函数的定义域为 ，且有， 令 ，得，解得. 令, ，得， 则 ，而，即不恒为0， 因此，函数 为奇函数. √ 25 由为偶函数，得 ，则 ， 于是 ，， 所以8为 的一个周期. 由，得 ，即 ，因此 ，所以 .故选B. 26 总结反思 抽象函数的周期性通常需要根据函数的奇偶性和对称性进行推导， 如例中提到，注意到与 的和为1， 那么当时有,则可获得 .这 样做的目的是将等式的一边写成或 ，便于接下来奇偶性的 应用. 27 【对点演练4】 [2025·广东惠州模拟]已知函数的定义域为 , 为偶函数， 为奇函数，则( ) A. B. C. D. √ 28 [解析] 因为函数为偶函数，所以 ，可得 . 因为函数 为奇函数，所以, 所以 ，即， 可得，故4是 的一个周期. 对于，令，则，可得 . 对于，令，可得 ，B正确； 由题意可知，无法推出 ，A错误； 又，，而 是否为0不确定，故C，D错误. 故选B. 29 $