微专题3 抽象函数课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“抽象函数”微专题，覆盖求值、奇偶性、单调性、周期性等高考核心考点，依据高考评价体系梳理4类典型抽象函数模型，结合2025年重庆三模、广东深圳模拟等真题案例，明确“赋值法求值”“周期推导”等高频题型，构建系统复习框架。 课件亮点在于“模型识别+真题突破+素养培养”策略，如通过例1令a=0,b=x推导f(f(x))=x+f(1)，用赋值法破解抽象函数求值，培养数学抽象与逻辑推理素养。设置巩固训练题强化解题技巧，助力学生高效掌握考点，教师可据此精准教学，提升复习针对性。

第2章 函数 微专题3：抽象函数 2027届高考一轮复习 数学 1 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一个函数，由抽象函数构成的数学问题叫做抽象函数问题. 1.f(x+y)=f(x)+f(y)可看做f(x)=kx的抽象表达式; 2.f(x+y)=f(x)f(y)可看做f(x)=ax的抽象表达式(a>0且a≠1); 3.f(xy)=f(x)+f(y)可看做f(x)=logax的抽象表达式(a>0且a≠1); 4.f(xy)=f(x)f(y)可看做f(x)=xa的抽象表达式. 名师导学第一轮总复习 高三数学 2 角度1.抽象函数求值 例1　(1)(2025·重庆·三模)已知定义在R上的函数f(x)满足对任意的a，b∈R，f(a+f(b))-b=f(f(a))，f(0)=1.则f(1)=(　　) A.-2 B.0 C.2 D.1 C [解析] 因为对任意的a，b∈R，f(a+f(b))-b=f(f(a))，f(0)=1， 令a=0，b=x，则f(f(x))-x=f(f(0))=f(1)，即f(f(x))=x+f(1); 令a=x，b=0，则f(x+f(0))=f(f(x))，即f(x+1)=f(f(x)); 可得f(x+1)=x+f(1)，令x=-1， 则f(0)=-1+f(1)=1，解得f(1)=2.故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 3 (2)(2025·广东深圳·模拟预测)已知函数f(x)满足:∀x∈R，f(x-1)+6≥f(x+5)，f(x+1)-3≥f(x-2)，若f(3)=2，则f(2025)=(　　) A.2022 B.2023 C.2024 D.2025 C [解析] 依题意，因为f(x-1)+6≥f(x+5)，则f(x)+6≥f(x+6)， 令x=-3，则f(-3)+6≥f(3)， 因为f(3)=2，所以f(-3)≥-4， 又因为f(x+1)-3≥f(x-2)，则f(x)-3≥f(x-3)，即f(x)≥f(x-3)+3， 令x=0，则f(0)≥f(-3)+3，即f(0)≥-1， 名师导学第一轮总复习 高三数学 4 令x=3，则f(3)-3≥f(0)，所以f(0)≤-1，故得f(0)=-1， 又f(2025)=f(2019+6)≤f(2019)+6≤f(2013)+6+6≤…≤f(3)+337×6=2024; 又f(2025)≥f(2025-3)+3=f(2022)+3≥f(2019)+3+3≥…≥f(0)+675×3=-1+2025=2024，所以2024≤f(2025)≤2024， 即f(2025)=2024.故选C. [小结]赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，赋值规律一般将-2，-1，0，1，2，…等特殊值代入求解. 名师导学第一轮总复习 高三数学 5 1.(2025·辽宁·一模)对任意x，y∈R，都有f(x+y)f(x-y)=f2(x)-f2(y)，且f(y)不恒为0，设函数g(x)=+f(x)，则g(2)+g(-2)=(　　) A.0 B.2 C.4 D.6 B [解析] 令x=y=0，可得f(0)f(0)=f2(0)-f2(0)=0，所以f(0)=0， 令x=0，可得f(y)f(-y)=f2(0)-f2(y)=-f2(y)， 因为f(y)不恒为0，所以f(-y)=-f(y)，所以f(y)是奇函数， 因为g(x)=+f(x)， 所以g(2)+g(-2)=+f(2)++f(-2)==2.故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 6 2.已知定义在整数集合Z上的函数f(x)，对任意的x，y∈Z，都有f(x+y)+f(x-y)=4f(x)f(y)，且f(1)=，则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2024)=　　　　.  [解析] ∵对任意的x，y∈Z，都有f(x+y)+f(x-y)=4f(x)f(y)，且f(1)= ， ∴令y=1得f(x+1)+f(x-1)=f(x)， ∴f(x+2)+f(x)=f(x+1)，∴f(x-1)+f(x+2)=0， ∴f(x)+f(x+3)=0，即f(x+3)=-f(x)， ∴f(x+6)=-f(x+3)=f(x)，即f(x)的周期为6， ∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(5)=[f(0)+f(3)]+[f(1)+f(4)]+[f(2)+f(5)]=0， 名师导学第一轮总复习 高三数学 7 ∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2024)=337×0+f(2022)+f(2023)+f(2024)=f(0)+f(1)+f(2)， 令x=1，y=0得f(1)+f(1)=4f(1)·f(0)，即f(0)=， 令x=1，y=1得f(2)+f(0)=4f(1)·f(1)， ∴f(2)=-， ∴f(0)+f(1)+f(2)=+-=， 即f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2024)=. 名师导学第一轮总复习 高三数学 8 角度2.抽象函数的性质 例2　(多选)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)·f(y)=f(x+y)+f(x-y)，f(1)=1，则(　 　) A.f(0)=2 B.f(x)为偶函数 C.f(x)=f(x+6) D.f(x)在区间[0，4]上单调递减 ABC [解析] 对于A:令x=1，y=0，得f(1)f(0)=2f(1)⇒f(0)=2，故A正确; 对于B:令x=0，得f(0)f(y)=f(y)+f(-y)， 即f(y)=f(-y)，且y∈R，所以f(x)为偶函数，故B正确; 名师导学第一轮总复习 高三数学 9 对于C:令y=1，得f(x)=f(x+1)+f(x-1)， x用x+1代入即f(x+1)=f(x+2)+f(x)， 消去f(x)得:f(x+2)=-f(x-1)，x用x-3代入得f(x-1)=-f(x-4)， 所以有f(x+2)=f(x-4)，即f(x)=f(x+6)，故C正确; 对于D:令x=y=1，则有f(2)=f(1)f(1)-f(0)=-1， 令x=2，y=1，则有f(3)=f(1)f(2)-f(1)=-2， 令x=3，y=1，则有f(4)=f(3)f(1)-f(2)=-1， 所以f(x)在区间[0，4]上不是单调递减，故D错误.故选ABC. 名师导学第一轮总复习 高三数学 10 [小结]定义法判断抽象函数的单调性与奇偶性: 1.单调性:结合题目所给性质和相应的条件,对任意x1,x2在所给区间内比较f(x1)-f(x2)与0的大小,或与1的大小(要求f(x1)与f(x2)同号),有时根据需要,需作适当的变形:如x2=·x1或x2=(x2-x1)+x1等. 2.奇偶性:抽象函数奇偶性判定的根本依据是函数奇偶性的定义,判断f(x)和f(-x)的关系. 3.借助函数模型:根据已知条件建立函数模型,通过分析模型函数的图象或性质判断抽象函数的单调性、奇偶性. 名师导学第一轮总复习 高三数学 11 3.已知定义在R上的函数f(x)满足:①对任意的x，y∈R，都有f(x)+f(y)=f(x+y)成立;②当x>0时，f(x)<0;③f(3)=-1.则不等式<f(x)<2的解集为　　　　.  [解析] 取x=y=0，可得f(0)=0， 再取y=-x，可得f(x)+f(-x)=f(0)=0，所以f(-x)=-f(x)，f(x)是奇函数， 任取0<x1<x2，则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0，可得f(x1)>f(x2)， ∴f(x)在(0，+∞)上是减函数，又f(0)=0，且函数为奇函数，∴f(x)在R上是减函数， ∵f(6)=f(3)+f(3)=-2，∴f(-6)=2，f(3)=2f=-1，∴f=-，∴f=， 故<f(x)<2转化为f<f(x)<f(-6)，则不等式的解集为. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 12 4.(多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数x，y满足f(x+y)=f(x)+f(y)+.且f=0，当x>时，f(x)>0，则(　　 ) A.f(0)=- B.f(-1)= C.f(x)为增函数 D.f(x)+为奇函数 ACD [解析] 函数f(x)的定义域为R，对任意实数x，y满足f(x+y)=f(x)+f(y)+， 令x=y=0，可得f(0)=2f(0)+，即有f(0)=-，故A正确; 由f=0，可得f(1)=2f+=，f(1-1)=f(1)+f(-1)+， 即-=+f(-1)+，可得f(-1)=-，故B错误; 名师导学第一轮总复习 高三数学 13 令y=-x，则f(x-x)=f(x)+f(-x)+=-，即+=0， 则函数f(x)+为奇函数，故D正确; 令x=，y=-，可得f(0)=f+f+ =f+ = -，即f= -1， 当x>时，f(x)>0，即x->0，f=f(x)+f+ =f(x)->-， 设x1<x2，即x2-x1>0，即有f(x2)=f(x2-x1)+f(x1)+>-+f(x1)+ = f(x1)， 则f(x)在R上递增，故C正确. 故选ACD. 名师导学第一轮总复习 高三数学 14 $