第2章 提升课2 抽象函数与性质-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（湘教版）

该高中数学高考复习课件聚焦“抽象函数与性质”专题，覆盖抽象函数求值、单调性、奇偶性、周期性等核心考点，对接高考评价体系，通过2020新课标Ⅰ卷、2021新课标II卷等真题分析考点权重，归纳赋值法求值、性质综合应用等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题引领+方法建模+素养提升”，以2020新课标Ⅰ卷单调性不等式问题为例，解析“图象法+分类讨论”技巧，培养数学思维与逻辑推理素养，总结赋值法、周期转化等突破方法，设跟踪训练与易错警示，帮助学生掌握得分技巧，教师可据此精准教学，助力高效备考。

提升课2　抽象函数与性质 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 考点一　抽象函数求值 C [例1]　已知函数f(x)对任意x,y∈R,满足f(x+y)·f(x-y)=f2(x)-f2(y),且f(1)=2,f(2)=0,则f(1)+f(2)+…+f(90)的值为(　　) A.-2　　　　　　　　　 B.0 C.2 D.4 [解析]　在f(x+y)f(x-y)=f2(x)-f2(y)中, 令x=2,y=1,得f(3)f(1)=f2(2)-f2(1). 因为f(1)=2,f(2)=0, 所以f(3)=-2; 令x=3,y=2,得f(5)f(1)=f2(3)-f2(2)=4, 所以f(5)=2; 令x=4,y=1,得f(5)f(3)=f2(4)-f2(1), 所以f(4)=0. 在f(x+y)f(x-y)=f2(x)-f2(y)中, 令y=2,得f(x+2)f(x-2)=f2(x), 所以令x=5,得f(7)=-2, 令x=7,得f(9)=2. 在f(x+y)f(x-y)=f2(x)-f2(y)中, 令x=6,y=1,得f(7)f(5)=f2(6)-f2(1), 所以f(6)=0; 令x=8,y=1,得f(9)f(7)=f2(8)-f2(1), 所以f(8)=0. 以此类推,可得f(2k-1)=(-1)k+1·2(k∈N+), f(2k)=0(k∈N+),且f(n)+f(n+1)+f(n+2)+f(n+3)=0(k∈N+), 所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(90) =22×0+f(89)+f(90)=0+2+0=2. 方法总结 抽象函数求值常用赋值法,赋值主要是从-2,-1,0,1,2等特殊值中选值代入求抽象函数,结合性质及已知的某些函数值,一步步转化到所求函数值. 跟踪训练 1.已知定义域为R的函数f(x)满足:∀x,y∈R,f(x)-f(y)=f(x-y)+2(x-y)y,且f(6)=0,则(　　) A.f(0)=1 B.f(3)=9 C.f(x)是奇函数 D.∀x∈R,f(x)+f(-x)≥0 D 解析:对于A,令x=6,y=0,则f(6)-f(0)=f(6-0)+2×(6-0)×0, 由f(6)=0,则0-f(0)=f(6)+0,即-f(0)=0,所以f(0)=0,故A错误; 对于B,令x=6,y=3,则f(6)-f(3)=f(6-3)+2×(6-3)×3,因为f(6)=0, 所以0-f(3)=f(3)+18,解得f(3)=-9,故B错误; 对于C,令x=0,则f(0)-f(y)=f(-y)-2y2, 又f(0)=0,所以-f(y)=f(-y)-2y2,则-f(x)=f(-x)-2x2, 当x≠0时,f(-x)=-f(x)+2x2≠-f(x),不满足奇函数的定义, 所以f(x)不是奇函数,故C错误; 对于D,由C选项知,-f(x)=f(-x)-2x2,即f(x)+f(-x)=2x2≥0, 所以∀x∈R,f(x)+f(-x)≥0,故D正确. 角度1　抽象函数的单调性 [例2]　(2020·新课标Ⅰ卷)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是(　　) A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1] C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3] 考点二　抽象函数的性质 D [解析]　因为函数f(x)为定义在R上的奇函数,则f(0)=0.又f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(2)=0,画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示,则函数f(x-1)的大致图象如图(2)所示. 当x≤0时,要满足xf(x-1)≥0,则f(x-1)≤0, 得-1≤x≤0. 当x>0时,要满足xf(x-1)≥0,则f(x-1)≥0, 得1≤x≤3. 故满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3]. 角度2　抽象函数的奇偶性 [例3]　(2021·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)为偶函数,且f(2x+1)为奇函数,则(　　) A.f(-)=0 B.f(-1)=0 C.f(2)=0 D.f(4)=0 B [解析]　∵f(x+2)为偶函数, ∴f(x+2)=f(-x+2), ∴f(x)的图象关于直线x=2对称. ∵f(2x+1)为奇函数,∴f(-2x+1)=-f(2x+1),∴f(1)=0且f(x)的图象关于点(1,0)对称. f(x)=f(4-x)=-f(2-(4-x))=-f(x-2),f(x+2)=-f(x), 则f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),∴f(x)是以4为周期的周期函数,∴f(1)=f(5)=0,∴f(5)=f(-1)=0. 角度3　抽象函数性质的综合应用 [例4]　(多选)已知函数f(x)的定义域为{x|x≠4k+2,k∈Z},且f(x+y)= ,f(1)=1,则(　 　) A.f(0)=0 B.f(x)为偶函数 C.f(x)为周期函数,且4为f(x)的一个周期 D.f(2 027)=-1 ACD [解析]　对于A,令x=y=0,得f(0)=0,故A正确; 对于B,令y=-x,则f(0)==0, 因此f(-x)=-f(x). 又f(x)的定义域为{x|x≠4k+2,k∈Z}, 所以f(x)为奇函数,故B错误; 对于C,令y=1,则f(x+1)===-1+, 所以f(x+2)=-1+=-, 因此f(x+4)=-=f(x), 所以f(x)为周期函数,且周期为4,故C正确; 对于D,f(2 027)=f(3)=f(-1)=-f(1)=-1,故D正确. 方法总结 1.抽象函数的单调性的判断或证明主要是利用单调性的定义进行判断. 2.判断或证明抽象函数的奇偶性,需要根据已知巧妙赋值,配凑出f(-x)与f(x)的关系. 3.利用赋值法得到f(x+T)=f(x),求出函数的周期. 4.解决抽象函数性质的综合问题,需利用赋值法,紧扣定义与条件的结构表达式,结合函数性质转化求解. 跟踪训练 2.(多选)(2026·广东汕头模拟)已知函数f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠0},f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则(　　) A.f(1)=0 B.f(2)=8f() C.x=1为f(x)的极小值点 D.f(x)是偶函数 AD 解析:对于A,令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),f(1)=0,A正确; 对于B,令x=y=,则f(2)=2f()+2f()=4f(),B错误; 对于C,若函数为f(x)=0,x≠0显然符合题意,此时f(x)无极小值点,C错误; 对于D,令x=y=-1,则f(1)=f(-1)+f(-1)=0,则f(-1)=0, 令y=-1,则f(-x)=f(x)+x2f(-1)=f(x),故f(x)是偶函数,D正确. 3.(多选)已知函数f(x)在R上单调递增,且f(x+y)=f(x)f(y)+f(x)+f(y)对任意x,y∈R恒成立,则(　 　) A.f(0)=0 B.f(x)是奇函数 C.y=+(x≠0)是奇函数 D.f(x)>-1恒成立 ACD 解析:取y=0,则0=f(x)f(0)+f(0),又f(x)单调递增,所以f(x)=-1不恒成立,所以f(0)=0,即A正确; 取y=-x,则f(0)=f(x)f(-x)+f(x)+f(-x)=0,所以f(-x)=-f(x)-f(x)f(-x)≠-f(x),即B错误; 因为f(0)=f(x)f(-x)+f(x)+f(-x)=0,所以1++=0(x≠0),所以+=-[+](x≠0),即C正确; 取x<0,已知函数f(x)在R上单调递增,则f(x)<0<f(-x),又f(x)f(-x)+f(x)+f(-x)=0, 若存在f(x)≤-1,则f(x)f(-x)+f(x)+f(-x)≤-f(-x)-1+f(-x)=-1≠0,所以f(x)>-1恒成立,即D正确. $