26.2.3 二次函数 y=ax²+bx+c 的图象和性质 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质，通过复习顶点式性质填表格回顾旧知，自然引出一般式转化需求，搭建从已知到未知的学习支架。 以“提—配—化”配方步骤为核心，从特殊函数探究到一般式推导，结合描点画图与系数关系归纳，渗透数形结合思想，培养推理能力与几何直观。具体实例如探究1配方转化、探究2推导顶点坐标公式，助力学生提升抽象能力，为教师提供清晰教学路径。

26.2.3 二次函数 y＝ax²＋bx＋c 的图象和性质 教学设计 课题 26.2.3 二次函数 y＝ax²＋bx＋c 的图象和性质 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第1课时 课型 新授课 教学目标 1.会用描点法画二次函数的图象，利用多媒体生动形象地引导学生总结归纳二次函数的性质，提升操作与观察归纳能力； 2.经历「提—配—化」的配方过程，掌握将一般式 y=ax²+bx+c 化为顶点式的方法，进而总结二次函数图象与各项系数之间的关系； 3.能由顶点式确定二次函数的对称轴、顶点坐标及最值，应用其图象和性质解决简单问题，培养数形结合的思想意识。 教学重点 二次函数 y=ax²+bx+c 的图象和性质，以及图象与各项系数之间的关系。 教学难点 理解通过配方法把一般式化为顶点式的过程及性质的推导（顶点坐标公式）。 教学方法 讲授法、探究法、演示法、合作交流、练习巩固 教学准备 多媒体课件、三角板、网格纸 课后练习 完成课本第26.2.3节随堂练习及课后巩固练习 板书设计 见板书设计部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、复习回顾 多媒体出示顶点式性质表，通过填表格的形式带领学生回顾二次函数 y=a(x−h)²+k 的图象与性质。 从形状上看，抛物线 与 形状相同、位置不同；其对称轴是直线 x=h，顶点是 (h，k)，开口方向由 a 决定，a>0 时开口向上、当 x=h 时 y 最小值为 k，a<0 时开口向下、当 x=h 时 y 最大值为 k。 由此导入：已知一般式 y=ax²+bx+c 时，又该如何确定它的对称轴、顶点并研究其性质呢？（揭示课题） 读出顶点式 的对称轴 x=h、顶点 (h，k)、开口方向与最值，明确其由 平移而来、形状相同位置不同，从而思考：一般式 能否也化为这种能直接看出对称轴与顶点的形式？ 带领学生回顾二次函数的顶点式及其性质，让学生在填表、读表中巩固旧知，为本节学习一般式、降低入门难度做好铺垫，并自然引出课题。 二、新知引入 教师引导：对于前面学习的函数，从解析式中可以直接看出其顶点坐标，我们把这些形如 y=a(x−h)²+k 的解析式称为二次函数的顶点式。 但实际问题中，我们遇到的二次函数往往是一般式 的形式，从这种解析式不能直接看出顶点坐标。那么，我们该如何研究这类函数的图象与性质呢？ 探究路径：先把一般式通过配方化为顶点式，再由顶点式确定对称轴、顶点并画出图象、研究性质。 认识到顶点式 可直读顶点、一般式 不能直读，从而提出“配方转化为顶点式”的探究路径 让学生清楚二次函数顶点式形式的便捷性，同时了解一般式，在比较两种解析式形式差别的过程中激发参与课堂教学的热情，使学生进入问题情境。 三、探究1： y=x²−6x+21 的图象和性质 探究1： 的图象和性质。 问题：为了讨论二次函数的性质，需要画出它的图象；但用描点法画抛物线首先要明确顶点和对称轴。你认为画图之前需要怎样处理？把它转化为什么形式的二次函数？ 学生思考并回答：先配方，把它化为顶点式 。 想一想：配方的方法及步骤是什么？ (1)“提”：提出二次项系数，得 ； (2)“配”：括号内配成完全平方，得 ； (3)“化”：化成顶点式，得 。 追问：函数 的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？ 答：图象的开口向上，对称轴是直线 x=6，顶点坐标为 (6，3)。 思考：怎样移动函数 的图象可以得到函数 的图象？ 方法1：向右平移 6 个单位得到 ，再向上平移 3 个单位得到 。 方法2：向上平移 3 个单位得到 ，再向右平移 6 个单位得到 。 思考：在实际画图中，平移的方法不易操作，那么采取什么方法可以直接画出这个函数的图象呢？ 答：描点法。先利用图象的对称性列表，再描点、连线，画出函数图象，学生讨论函数性质。 独立配方：把 化为顶点式 ，读出开口向上、对称轴 x=6、顶点 (6，3)，用两种顺序（先右移再上移、先上移再右移）描述其由 平移而来，并列表、描点、连线画出图象，讨论其性质 通过配方，把二次函数一般式化为顶点式，让学生再次熟悉提、配、化的配方法，从而确定函数图象的对称轴和顶点坐标，进一步画出图象、探索性质，为研究任意一个二次函数做好铺垫，培养探究、合作、交流能力及观察、分析、概括能力，渗透数形结合的思想方法。 四、探究2： 一般式 y=ax²+bx+c 探究2： 的图象和性质。 提问：你能用上面的方法讨论一般式 y=ax²+bx+c 的图象和性质吗？ 在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导、点评。 问题：对于任意一个二次函数，你能确定图象的开口方向、对称轴和顶点坐标并说明图象性质吗？ 答：先配方。由 ，在括号内配上一次项一半的平方得 ，进而化成顶点式 。 因此，抛物线 的对称轴是直线 ，顶点是 。 追问：顶点是最高点还是最低点呢？由谁决定？ 由二次项系数 a 的符号决定：当 a>0 时抛物线开口向上，当 时 y 有最小值 ，顶点是最低点；当 a<0 时抛物线开口向下，此时 y 有最大值，顶点是最高点。 归纳一般式的性质：开口方向由 a 决定；对称轴 x=−b/(2a)；顶点坐标 (−b/(2a)，(4ac−b²)/(4a))；增减性与最值随 a 的符号及 x=−b/(2a) 的左右变化。 独立对一般式 配方化为顶点式 ，得出对称轴 、顶点 ，并说明最值与 a 符号的关系 由特殊到一般，让学生动手配方、观察图象、分析性质，再次体会研究二次函数图象和性质的一般方法，提高学生积极参与合作交流的能力，增强数形结合的思想意识。 五、归纳： 图象与系数的关系 归纳：二次函数 y=ax²+bx+c 的图象与系数 a、b、c 的关系 ① a 决定开口方向：a>0 时开口向上，a<0 时开口向下； ② a、b 同号时对称轴在 y 轴的左侧，a、b 异号时对称轴在 y 轴的右侧（由 的符号判断）； ③ c=0 时图象经过原点；c>0 时图象与 y 轴的交点位于 x 轴上方，c<0 时位于 x 轴下方（即交点纵坐标为 c）； ④ 当 x=1 时 y 的值为 a+b+c，当 x=−1 时 y 的值为 a−b+c（用于由图象判断 a±b+c 的符号）。 ⑤ 结合对称轴判断 2a±b 的符号：当对称轴 x=1 时，由 得 2a+b=0；当对称轴 x=−1 时，由 得 2a−b=0。判断 2a+b 的符号需比较对称轴 与 1 的大小，再结合 a 的符号得出结果；判断 2a−b 同理需比较对称轴与 −1 的大小。 师生借助图象逐条验证这 5 条规则，强调“由形读数、由数断形”，为研究含参数图象问题提供方法。 结合图象逐条归纳系数关系：a 定开口、a、b 同号异号定对称轴左右、c 定与 y 轴交点、x=±1 得 、由对称轴与 1 或 −1 的关系判断 的符号 引导学生由已知具体函数的研究上升到对一般式系数规律的系统归纳，把数与形结合，让学生掌握判断二次函数系数符号的常用方法，为后续解决含参数图象问题奠定基础。 六、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.通过配方法将一般式 转化为顶点式 。配方步骤：“提—配—化”。 2.顶点：；对称轴：直线 。开口方向、最值由 a 决定。 3.二次函数 y=ax²+bx+c 的图象与各项系数 a、b、c 之间的关系（开口、对称轴位置、与 y 轴交点、特殊值 a±b+c、2a±b）。 回顾：一般式配方化为顶点式、顶点坐标公式、对称轴公式及图象与系数关系，谈谈画图、配方、归纳的体会 通过配方、一般式到顶点式的转化及系数关系规律的梳理，完善二次函数“解析式—图象—性质”的知识框架，深化数形结合思想。 板书设计 26.2.3 二次函数 y＝ax²＋bx＋c 的图象和性质 一、配方：一般式→顶点式 提：提出二次项系数 a 配：配成完全平方 化：化成顶点式 y=ax²+bx+c → + 二、对称轴与顶点 对称轴：x= 顶点：(，) 最值：a>0 取最小值、a<0 取最大值（均在 x=−b/2a 处） 三、图象与系数关系 ① a 定开口：a>0 上、a<0 下 ② a、b 同号→对称轴在y轴左侧 a、b 异号→对称轴在y轴右侧 ③ c 定与 y 轴交点 ④ x=1 → y=a+b+c x=−1 → y=a−b+c ⑤ 对称轴 x=1→2a+b=0 对称轴 x=−1→2a−b=0 板演：例 配方过程 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $