26.2.3 二次函数 y=ax²+bx+c 的图象和性质 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

课题

26.2.3 二次函数 y＝ax²＋bx＋c 的图象和性质

学科

数学

年级

九年级

教材版本

人教版（2024）

课时

第1课时

课型

新授课

教学目标

1.会用描点法画二次函数的图象，利用多媒体生动形象地引导学生总结归纳二次函数的性质，提升操作与观察归纳能力；

2.经历「提—配—化」的配方过程，掌握将一般式 y=ax²+bx+c 化为顶点式的方法，进而总结二次函数图象与各项系数之间的关系；

3.能由顶点式确定二次函数的对称轴、顶点坐标及最值，应用其图象和性质解决简单问题，培养数形结合的思想意识。

教学重点

二次函数 y=ax²+bx+c 的图象和性质，以及图象与各项系数之间的关系。

教学难点

理解通过配方法把一般式化为顶点式的过程及性质的推导（顶点坐标公式）。

教学方法

讲授法、探究法、演示法、合作交流、练习巩固

教学准备

多媒体课件、三角板、网格纸

课后练习

完成课本第26.2.3节随堂练习及课后巩固练习

板书设计

见板书设计部分

教学环节

教学内容与教师活动

学生活动

设计意图

一、复习回顾

多媒体出示顶点式性质表，通过填表格的形式带领学生回顾二次函数 y=a(x−h)²+k 的图象与性质。

从形状上看，抛物线 与 形状相同、位置不同；其对称轴是直线 x=h，顶点是 (h，k)，开口方向由 a 决定，a>0 时开口向上、当 x=h 时 y 最小值为 k，a<0 时开口向下、当 x=h 时 y 最大值为 k。

由此导入：已知一般式 y=ax²+bx+c 时，又该如何确定它的对

读出顶点式 的对称轴 x=h、顶点 (h，k)、开口方向与最值，明确其由 平移而来、形状相同位置不同，从而思考：一般式 能否也化为这种能直接看出对称轴与顶

带领学生回顾二次函数的顶点式及其性质，让学生在填表、读表中巩固旧知，为本节学习一般式、降低入门难度做好铺垫，

称轴、顶点并研究其性质呢？（揭示课题）

点的形式？

并自然引出课题。

二、新知引入

教师引导：对于前面学习的函数，从解析式中可以直接看出其顶点坐标，我们把这些形如 y=a(x−h)²+k 的解析式称为二次函数的顶点式。

但实际问题中，我们遇到的二次函数往往是一般式 的形式，从这种解析式不能直接看出顶点坐标。那么，我们该如何研究这类函数的图象与性质呢？

探究路径：先把一般式通过配方化为顶点式，再由顶点式确定对称轴、顶点并画出图象、研究性质。

认识到顶点式 可直读顶点、一般式 不能直读，从而提出“配方转化为顶点式”的探究路径

让学生清楚二次函数顶点式形式的便捷性，同时了解一般式，在比较两种解析式形式差别的过程中激发参与课堂教学的热情，使学生进入问题情境。

三、探究1：
y=x²−6x+21 的图象和性质

探究1： 的图象和性质。

问题：为了讨论二次函数的性质，需要画出它的图象；但用描点法画抛物线首先要明确顶点和对称轴。你认为画图之前需要怎样处理？把它转化为什么形式的二次函数？

学生思考并回答：先配方，把它化为顶点式 。

想一想：配方的方法及步骤是什么？

(1)“提”：提出二次项系数，得 ；

(2)“配”：括号内配成完全平方，得 ；

(3)“化”：化成顶点式，得 。

追问：函数 的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？

答：图象的开口向上，对称轴是直线 x=6，顶点坐标为 (6，3)。

思考：怎样移动函数 的图象可以得到函数 的图象？

方法1：向右平移 6 个单位得到 ，再向上平移 3

独立配方：把 化为顶点式 ，读出开口向上、对称轴 x=6、顶点 (6，3)，用两种顺序（先右移再上移、先上移再右移）描述其由 平移而来，并列表、描点、连线画出图象，讨论其性质

通过配方，把二次函数一般式化为顶点式，让学生再次熟悉提、配、化的配方法，从而确定函数图象的对称轴和顶点坐标，进一步画出图象、探索性质

个单位得到 。

方法2：向上平移 3 个单位得到 ，再向右平移 6 个单位得到 。

思考：在实际画图中，平移的方法不易操作，那么采取什么方法可以直接画出这个函数的图象呢？

答：描点法。先利用图象的对称性列表，再描点、连线，画出函数图象，学生讨论函数性质。

，为研究任意一个二次函数做好铺垫，培养探究、合作、交流能力及观察、分析、概括能力，渗透数形结合的思想方法。

四、探究2：
一般式 y=ax²+bx+c

探究2： 的图象和性质。

提问：你能用上面的方法讨论一般式 y=ax²+bx+c 的图象和性质吗？

在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导、点评。

问题：对于任意一个二次函数，你能确定图象的开口方向、对称轴和顶点坐标并说明图象性质吗？

答：先配方。由 ，在括号内配上一次项一半的平方得 ，进而化成顶点式 。

因此，抛物线 的对称轴是直线 ，顶点是 。

追问：顶点是最高点还是最低点呢？由谁决定？

由二次项系数 a 的符号决定：当 a>0 时抛物线开口向上，当 时 y 有最小值 ，顶点是最低点；当 a<0 时抛物线开口向下，此时 y 有最大值，顶点是最高点。

归纳一般式的性质：开口方向由 a 决定；对称轴 x=−b/(2a)；顶点坐标 (−b/(2a)，(4ac−b²)/(4a))；增减性与最值随 a 的符号及 x=−b/(2a) 的左右变化。

独立对一般式 配方化为顶点式 ，得出对称轴 、顶点 ，并说明最值与 a 符号的关系

由特殊到一般，让学生动手配方、观察图象、分析性质，再次体会研究二次函数图象和性质的一般方法，提高学生积极参与合作交流的能力，增强数形结合的思想意识。

五、归纳：
图象与系数的关系

归纳：二次函数 y=ax²+bx+c 的图象与系数 a、b、c 的关系

结合图象逐条归纳系数关系：a 定开口、a、b 同

引导学生由已知具体函数的