异面直线距离的向量求法专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦异面直线距离向量求法，以分层题型构建从概念理解到综合应用的训练体系，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|3题（填空1-3）|公垂线段定义辨析|从方向向量性质到公垂线段概念生成| |基础应用|8题（单选1-8）|正方体/正四棱锥模型|结合几何体构建空间直角坐标系，强化向量坐标运算| |综合应用|5题（多选9-10/填空11-14）|折叠/动态动点问题|通过变式情境提升模型转化能力，体现空间观念| |拓展提升|2题（解答15-16）|二面角与距离综合|融合线面关系推理，培养综合运用数学语言表达能力|

异面直线距离的向量求法小专题训练 （适合全国I卷地区） 解题依据 设，分别是空间中直线与的方向向量． （1）若与异面，则与的关系为与不平行． （2）若与不平行，则与的位置关系为________． （3）公垂线段：一般地，如果与是空间中两条异面直线，，，________．则称为与的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的________． 【答案】 相交或异面 ， 距离 小专题训练 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏连云港·阶段检测）正方体的棱长为1，是异面直线与的公垂线段，点M在上且N在上，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，由是异面直线与的公垂线段列出方程求解得，即可求得的长． 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 因为点M在上，点N在上，所以设， 因为是异面直线与的公垂线段， 所以，即，解得， 所以， 所以异面直线与间的距离为， 故选：C． 2．（25-26高二上·湖北·阶段检测）正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得的长度最小值即异面直线和的距离，建立如图所示空间直角坐标系，再求出直线和的法向量，利用空间点面距离公式求解即可. 【详解】点在上，点在上， 则的长度最小值即异面直线和的距离， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则， 设为直线和的法向量， 又因为，，， 则，令，则， 所以异面直线和的距离为， 即的长度最小值为. 故选：C. 3．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合正四棱锥的几何特征建系，再应用空间向量法求与的公垂线方向向量为，最后应用异面直线距离公式计算求解. 【详解】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影，所以面， 连接，，则且交于． 因为，面，所以，，所以以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，则，，，，， 所以，． 设异面直线与的公垂线方向向量为， 则有，即，取． 又因为， 所以异面直线与的距离． 所以异面直线与的距离是． 故选：C. 4．（25-26高二上·广东汕头·开学考试）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中， 直线与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设为直线上任意一点，过作，垂足为，利用向量表示，，再结合向量模的性质求的最小值，由此可得结论. 【详解】设为直线上任意一点，过作，垂足为， 设 ，， 则 ， 因为，所以 即 所以，所以， 所以， ∴当时， 取得最小值， 故直线与之间的距离是 故选：B. 5．（24-25高二上·河北保定·阶段检测）在四棱锥中，平面，，则与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，把异面直线的距离问题转化为点到直线的距离求解，利用向量来求解点到直线的距离，利用二次函数的性质求解最小值，即可得到答案． 【详解】解：因为平面，，， 故以为坐标原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示， 因为，，， 则，，，， 所以， 设，， ， 距离， 因为， 故 所以异面直线与之间的距离， 故选：A． 6．（24-25高二上·山东枣庄·阶段检测）分别为异面直线 上的点，若且，则称为异面直线的公垂线段，其长定义为两异面直线间的距离，则在边长为1的正方体中，与的距离是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为坐标原点，的方向为轴，的方向为轴，的方向为轴，建立空间坐标系，求出异面直线与的公垂线的方向向量为，根据求解即可. 【详解】解：以为坐标原点，的方向为轴，的方向为轴，的方向为轴，如图所示：    设为异面直线与的公垂线段， 则， 所以 设异面直线与的公垂线的方向向量为， 则有，则有， 取，则 则异面直线与的距离. 故选：C. 7．（26-27高三·全国·一轮复习）已知两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题关键在于：建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用向量方法求解即可. 【详解】如图，以点为原点，，，的方向分别为，，轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，． 所以，， ， 设为直线和的公垂线的方向向量， 则有可取， 所以异面直线和的距离为． 故选：. 8．（24-25高一下·浙江台州·期末）已知正方体的边长为1，P为上的动点，S，T分别是面ABCD和面上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，分别作关于面ABCD和面对称的直线，点对称后为，以为原点建立空间直角坐标系，由，故的最小值为异面直线的距离，再利用空间向量法求异面直线距离距离即可. 【详解】根据题意，分别作关于面ABCD和面对称的直线， 点对称后为，以为原点建立空间直角坐标系， ， 又是异面直线上的点， 所以的最小值为异面直线的距离， ， ， 设与直线都垂直的一个向量， 则，不妨取，， 所以异面直线的距离. 故选：C. 二、多选题 9．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）在棱长为1的正方体中，O为上底面的中心，则（   ） A．平面 B． C．直线与的距离为 D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，根据向量法判断线面平行、线线垂直判断A，B，运用异面直线向量距离公式求解判断C，根据向量法求解线面角判断D. 【详解】如图，建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 所以，即， 又因为平面，所以平面，故A正确； ，平面的法向量， 设直线BC与平面所成角为， 则， 所以直线BC与平面所成角的正弦值为，故D正确； ，， 则， 所以不成立，故B错误； 因为，设，， 则，令，则， 又因为，所以直线与的距离为，故C正确. 故选：ACD 10．（24-25高二下·江苏常州·期中）如图，八面体的每个面都是正三角形，若四边形是边长为4的正方形，则（    ） A．异面直线和所成的角为 B．平面和平面有相同的法向量 C．异面直线和的距离为 D．二面角的余弦值为 【答案】ABC 【分析】建立空间直角坐标系，运用坐标法计算异面直线所成角、平面法向量及二面角可判断A项、B项、D项；在线段任取一点，在线段任取一点，设，根据空间向量坐标运算可得设，当时，即为异面直线和的距离，从而求得的值，求解，即可得判断C项． 【详解】连接、交于点，连接，， 因为四边形为正方形，则， 又因为八面体的每个面都是正三角形，所以，，三点共线，且面， 所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 对于A：， 设异面直线与所成角为， 则， 所以，即异面直线与所成角大小为，故A正确； 对于B：， 设面的一个法向量为， 则，取，则，，则， 因为 设面的一个法向量为， 则，取，则，，则， 所以平面和平面有相同的法向量，故B正确； 对于C：在线段任取一点，在线段任取一点，链接 则可设， 因为， 所以， 则 当时，即为异面直线和的距离， 所以，则， 所以，故异面直线和的距离为，故C正确； 对于D：因为， 设面的一个法向量为， 则，取，则，，则， 所以， 又因为面与所成的二面角的平面角为钝角， 所以二面角的平面角的余弦值为，故D错误； 故选：ABC. 三、填空题 11．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知正方体的棱长为1，点和分别在和上，则长度的最小值为______． 【答案】/ 【分析】解法1：通过建立空间直角坐标系，将点、的坐标用参数表示，进而得到长度的平方的表达式，再根据二次函数的性质求最小值. 解法2：通过求异面直线与的法向量，再利用向量投影公式求出两异面直线间的距离，此距离即为长度的最小值. 【详解】解法1：如图，分别以，，为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，设，，，，则． 当，时，得到的最小值为． 解法2：同解法1建系，得，， 设的公共法向量，则. 取，则，，． 故答案为：. 12．（24-25高二上·河南周口·阶段检测）已知正四棱柱的体积为4，侧面积为8，动点分别在线段上，则线段长度的最小值是________． 【答案】/ 【分析】由题意可计算出该正四棱柱底面边长及高，建立适当空间直角坐标系后可表示出的方向向量及的坐标，即可表示的方向向量，要使线段的长度最小，则为的公垂线，通过空间向量计算即可得解. 【详解】设该正四棱柱底面边长为，高为， 则由题意可得，解得， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则有、、、， 则，， 则可设，，，， 则， 要使线段的长度最小，则为的公垂线， 即有， 解得，符合题意， 此时，则. 即线段长度的最小值. 故答案为：. 13．（2026高二下·江苏·阶段检测）将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠使得△ACD垂直于底面ABC，则异面直线AD与BC的距离为______． 【答案】/ 【分析】利用垂直关系，建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线的距离. 【详解】取的中点，连结，， 由条件可知，平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 如图，以点为原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系， ，，，， ，，, 设与垂直的向量为，则 ，令，则，所以， 则异面直线AD与BC的距离为. 故答案为： 14．（25-26高二·河南·期末）如图，多面体是由长方体一分为二得到的，，，，点D是中点，则异面直线与的距离是______． 【答案】# 【分析】建立空间直角坐标系，直接利用异面直线之间的距离公式求解即可. 【详解】以为坐标原点，分别以，,为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则,,,, ∴,, 设是，的公垂线方向上的单位向量， 则，即①， ，即②， 易知③， 联立解得，，或，，； 不妨取， 又∵, 则异面直线与的距离， 故答案为：. 四、解答题 15．（26-27高三上·河南·开学考试）如图，在正方体中，为棱的中点. (1)求直线与所成角的余弦值； (2)当时，求异面直线与间的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可建立空间直角坐标系，将异面直线所成角转化为对应方向向量夹角的余弦值（取绝对值）求解. （2）可利用向量法，求出两异面直线的公垂线方向向量，再取两直线上任意两点连线在公垂线方向上的投影长度即为异面直线距离. 【详解】（1）以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 不妨设，则，，，，，. 记直线与所成的角为，则. （2）记为与公垂线段的方向向量， 则 即可取， 而， 记直线与间的距离为，则. 16．（24-25高一下·浙江宁波·期末）如图，在四面体中，，． (1)求二面角的平面角的大小； (2)求异面直线与间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取中点，由已知可得，可得为二面角的平面角，求解即可； （2）以为坐标原点，所在直线为轴，过作直线平面， 为轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得异面直线与的公垂线的方向向量，利用向量法可求异面直线与间的距离． 【详解】（1）取中点，连接， 因为，所以， 所以为二面角的平面角， 又，所以，， 又，所以是等边三角形， 所以，所以二面角的平面角的大小为； （2）以为坐标原点，所在直线为轴，过作直线平面， 为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由（1）可知，又，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面，所以平面， 则， 则， 设，且， 则，令，则， 则， 则异面直线与间的距离． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $异面直线距离的向量求法小专题训练（适合全国I卷地区） 解题依据 设1,2分别是空间中直线l1与l2的方向向量 (1)若l1与l2异面，则1与2的关系为V1与2不平行. (2)若v1与2不平行，则1与l2的位置关系为 (3)公垂线段：一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈11，N∈l2, 则称MN为l1 与2的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的 小专题训练 一、单选题 1.(2425高二下江苏连云港阶段检测)正方体ABCD-A1B,C,D1的棱长为1，MN是异面直线AC 与C,D的公垂线段，点M在AC上且V在C,D上，则MN的长为(） A.V3 B. 2 号 2.(25-26高二上湖北阶段检测)正方体ABCD-A1B,C1D1的棱长为1，若点E在BD上，点F在 CB,上，则EF的长度最小值为() 4.3 3, B. 5 4 c.3 3 D.3 2 3.(25-26高二上·河南新乡·阶段检测)正四棱锥S-ABCD中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的 中点，且SO=OD=2,则异面直线BD与PC的距离是() 4.0 B. 210 c.26 5 10 5 5 D.5 4.(25-26高二上·广东汕头·开学考试)定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到 另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体ABCD-A1BC1D1中，直线AC与BC1之间的距离是 () A.2 8.3 3 c. n 5.(24-25高二上·河北保定·阶段检测)在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面 ABCD,AB//DC,∠ADC=90°，AD=AB=3,PD=4,DC=6,则DB与CP之间的距离为() 试卷第1页（共3页） A.12/07 12V13 B. c.37 D.313 17 13 17 13 6.(24-25高二上山东枣庄·阶段检测)P,Q分别为异面直线ab上的点，若PQ⊥a且PQ⊥b,则称 PQ为异面直线a,b的公垂线段，其长定义为两异面直线间的距离，则在边长为1的正方体 ABCD-A1B,C1D,中，AC与BC的距离是() A.2 2 B. 2 3 C.3 V6 D. 4 7.（26-27高三·全国一轮复习)己知两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂 线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长 度，叫做这两条异面直线的距离.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为3的正方形，PA⊥底面 ABCD,PA=6,点G在侧棱PB上，且满足2PG=GB,则异面直线PC和DG的距离为() 3V14 3V15 3V77 A. 14 B. c.321 D. 15 7 77 8.(24-25高一下·浙江台州期末)已知正方体ABCD-A1BC1D1的边长为1，P为AC1上的动点， S,T分别是面ABCD和面BCC1B:上的动点，则PS+PT+ST的最小值为() A.1* c.2 D.V3 2 81+3 二、多选题 9.(2025河北秦皇岛·模拟预测)在棱长为1的正方体ABCD-A1B,C1D1中，O为上底面A1B1C1D1 的中心，则() A.OB∥平面ACD, B.OB⊥C1D C.直线BC,与CD1的距离为3 D.直线BC与平面ACD1所成角的正弦值为 3 10.(24-25高二下·江苏常州期中)如图，八面体的每个面都是正三角形，若四边形ABCD是边长为4 的正方形，则() 试卷第2页（共3页） D B A.异面直线AE和DF所成的角为乃 B.平面AD和平面EBC有相同的法向量 C.异面直线AB和EC的距离为 46 D.二面角A-EB-C的余弦值为 三、填空题 11.(25-26高二上广东东莞阶段检测)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E和F分别在 DB和D1C上，则EF长度的最小值为 12.(24-25高二上·河南周口·阶段检测)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为4，侧面积为8， 动点P,Q分别在线段C1D,AC上，则线段PQ长度的最小值是 13.(2026高二下·江苏·阶段检测)将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠使得△ACD垂直于底面 ABC,则异面直线AD与BC的距离为· 14.(25-26高二河南期末)如图，多面体ABC-A1B,C1是由长方体一分为二得到的，AA1=2, AB=BC=1,∠ABC=90°，点D是BB中点，则异面直线DA1与BC1的距离是 ⊙ 四、解答题 15.(26-27高三上河南·开学考试)如图，在正方体ABCD-A1BC1D1中，E为棱BB1的中点 试卷第3页（共3页） A D C E A D (1)求直线AC与D1E所成角的余弦值： (2)当AB=2时，求异面直线A1C与D1E间的距离. 16.(24-25高一下·浙江宁波·期末)如图，在四面体D-ABC中，AB=BC=CD=DA=5, AC=6,BD=4. D (1)求二面角B-AC-D的平面角的大小： (2)求异面直线AB与CD间的距离， 试卷第4页（共3页）