暑假预习：空间距离的向量求法、已知空间距离求其他量问题 专项训练-2026年暑假预习新高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间距离向量求法及逆向应用，通过正方体、四棱锥等几何体，系统覆盖正向计算与已知距离求参数问题，培养空间观念与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间距离的向量求法|3例+3变式|证明线面平行后求点/直线/平面到平面距离|从几何证明到建立坐标系，向量法求距离的正向应用| |已知空间距离求其他量问题|3例+3变式|已知距离判断点存在性或求参数（λ/线段长）|距离公式逆向迁移，方程思想解决几何参数问题|

暑假预习：空间距离的向量求法、已知空间距离求其他量问题专项训练 暑假预习：空间距离的向量求法、已知空间距离求其他量问题专项训练 考点目录 空间距离的向量求法 已知空间距离求其他量问题 考点一 空间距离的向量求法 例1．（25-26高二上·山东东营·阶段检测）已知正方体的棱长为分别为正方体的棱的中点． (1)求证：平面； (2)求线段到平面的距离． 【答案】(1)取的中点，连接，， 因为点是的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 由于，分别为正方体的棱，的中点， 所以，，所以四边形为平行四边形，即， 因为平面，平面，所以平面， 由于，平面，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面. (2) 【分析】（1）由面面平行证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系进行求解． 【详解】（1）略 （2）如图建立空间直角坐标系， 则、、，， 所以，，， 设平面的法向量为，所以， 所以，令，则，所以， 设点到平面的距离为，则， 由（1）知，∥平面， 则线段到平面的距离即为点到平面的距离， 故线段到平面的距离为． 例2．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）如图，在正方体中，棱长为，为棱的中点，为侧面内的一点，已知，． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)解法一：以为原点，建立如图空间直角坐标系． 则，，，，，． 因为为棱的中点，所以， 因为为侧面内的一点，且，所以可设，． 因为，所以． 所以， 所以． 又因为，，，平面，且， 所以平面． 所以为平面的法向量 ， 因为，且平面， 所以平面． 解法二：因为，设的中点为，连接，则， 所以在正方形中，，且平面，平面， 所以平面． 又因为为棱的中点，为中点，连接，则， 且平面，平面，所以平面， 因为，，平面，所以平面平面， 平面，所以平面； (2) (3) 【分析】（1）解法一：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而证明出线面平行； 解法二；证明出面面平行，进而得到线面平行； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角正弦公式进行求解； （3）建立空间直角坐标系，利用点到平面距离公式进行求解 【详解】（1）略 （2）以为原点，建立如图空间直角坐标系． 则，，，，，． 因为为棱的中点，所以． 因为为侧面内的一点，且，所以可设，． 因为，所以． 所以，所以            在正方体中，平面， 所以是平面的一个法向量，          又因为，设与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为； （3）因为，． 设平面的法向量为， 则，令可得， 所以． 所以点到平面的距离为． 例3．（25-26高二下·甘肃白银·期末）如图，在四棱锥中，分别是的中点，底面是边长为的正方形． (1)证明：平面平面． (2)若，底面，求平面与平面之间的距离． 【答案】(1)证明：，分别是，的中点， 平面，平面，平面 且，四边形是平行四边形，． 平面，平面，平面． 又，平面，平面， 平面平面． (2) 【分析】（1）直接根据面面平行的判定定理可得； （2）直接用向量方法计算面面间的距离可得. 【详解】（1）略 （2）因为底面，底面，所以. 又因为底面是正方形，所以. 故以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量是， 则，， 取，得，，则． 所以点到平面的距离为. 故平面与平面之间的距离为． 变式1．（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在长方体中，，点分别是棱的中点． (1)求长方体外接球的表面积； (2)求证：平面； (3)求直线到平面的距离． 【答案】(1) (2)在长方体中，以为原点，建立空间直角坐标系，如图： 则， ， 于是，而点直线， 则，又平面，平面， 所以平面. (3). 【分析】（1）利用长方体的结构特征求出其外接球直径，进而求出球的表面积. （2）建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （3）求面的法向量，再利用点到平面的距离公式求解. 【详解】（1）在长方体中，， 则该长方体外接球直径， 所以该长方体外接球的表面积. （2）略 （3）由平面，得点到平面的距离即为直线到平面的距离． ，设平面的法向量为， 则，取，得， 因此点到平面的距离为， 所以直线到平面的距离为. 变式2．（25-26高二上·北京石景山·阶段检测）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点， (1)求证：直线平面； (2)求直线到平面的距离； 【答案】(1)证明：因平面，即两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，设， 因为 则， 又因为是的中点，所以， 所以， 设平面的法向量为，则有， 所以是平面的一个法向量， 又因为，所以， 因为平面，所以直线平面． (2) 【分析】（1）建立适当空间直角坐标系，设，写出相关点的坐标，求出向量和平面的一个法向量，即可证明； （2）利用点到面的距离向量求法求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）得直线平面且平面的一个法向量为， 所以直线到平面的距离为点到平面的距离， 又因为，所以直线到平面的距离为． 变式3．（25-26高二上·北京昌平·阶段检测）如图所示，正四棱锥中，，，分别为的中点，，平面与交于． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明：连接，设，连接，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，，， 因为 ， ， 所以，，即，， 又平面，，所以平面． (2) (3) 【分析】（1）先建系得各点坐标，算出向量，由点积为证，，结合线面垂直判定定理得证； （2）由（1）知是平面法向量，再求平面法向量，用两法向量夹角公式算余弦值； （3）设，由垂直条件求得位置，再用点到平面距离公式算出结果． 【详解】（1）略 （2）由（1）知为平面的一个法向量． ，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得． 设平面与平面的夹角为， 则． （3），设，． 因为，所以， 解得，从而． 所以点到平面的距离． 考点二 已知空间距离求其他量问题 例1．（25-26高二下·浙江宁波·期末）如图，四棱锥的底面是平行四边形且，，为等边三角形，， 为中点． (1)证明：平面； (2)设 为侧棱 上一点，四边形是过 ， 两点的截面，分别交 ， 于， 两点，平面． （i）证明：； （ii）设，是否存在，使得点到面的距离为． 【答案】(1)证明：为等边三角形， 为中点，故. 由得，则，. 平行四边形中 ，，在中，且， 即，故. 在中，由余弦定理得 已知，则，满足， 故. 又，平面， 因此平面. (2)（i）平面， 平面 ，平面平面， 所以由线面平行的性质定理得. （ii）存在，理由如下： 以 为坐标原点，方向为 轴正方向，过 作的平行线为 轴正方向， 方向为轴正方向，建立空间直角坐标系. 各点坐标为，，，，. 由，， 由得. 由，，取直线的一个方向向量为. ， 设平面的法向量为， 则， 故可设 ，点到平面的距离： 令，则，整理得， 解得（，符合取值范围）. 因此存在，使得点到面的距离为. 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证得平面. （2）（i）利用线面平行的性质定理，通过两平面的交线直接推导线线平行. （ii）建立空间直角坐标系，通过平面的法向量，结合点到平面的距离公式列方程，求解得到参数. 【详解】（1）略 （2）（i）略 （ii）略 例2．（25-26高二上·辽宁鞍山·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)棱上是否存在点，使得点到平面的距离是?若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) 取的中点，连接，如下图： 因为为棱的中点，所以， 又，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； (2) (3)存在点， 【分析】（1）取的中点，连接，由中位线性质以及线面平行判定定理即可证明出结论； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面平面的法向量，即可求得二面角的余弦值； （3）假设存在点到平面的距离是，设可得，利用点到平面距离的向量求法计算可得，即可求出. 【详解】（1）略 （2）由题意知平面，且，可知两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， 易知 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得，可得； 又， 设平面的一个法向量为， 可得，令，可得，即， 所以， 由图可知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为； （3）假设在棱上存在点，使得点到平面的距离是， 设，，即，可得, 所以， 则点到平面的距离是，又，可得, 所以，， 即存在点到平面的距离是,. 例3．（25-26高二上·北京房山·期中）如图，四棱锥中，底面，四边形中，，．    (1)求证：平面平面； (2)设． （i）若，求直线与平面所成角的正弦值； （ii）线段上是否存在一个点，使得点到点的距离都相等？说明理由． 【答案】(1)证明:因底面，底面，则，又， 平面，，则平面，又平面， 则平面平面； (2)（i）； （ii）不存在，理由如下： 由，，及（i）. 设，其中， 则，，. 假设存在一个点，使得点到点的距离都相等， 则， 由， 可得. 又 ，其判别式小于0，故方程无解，即线段上不存在一个点，使得点到点的距离都相等. 【分析】（1）由题证明平面，据此可完成证明； （2）如图建立空间直角坐标系. （i）由题可得与平面法向量坐标，然后由空间向量知识可得答案；（ii）设，由结合空间向量知识可得关于的方程，据此可得答案. 【详解】（1）略； （2）如图建立空间直角坐标系. （i）由题结合，可得， 如图过C做，因，，则. 则，.设平面法向量为. 则，则取.设直线与平面所成角为. 则，此时直线在平面内，则与平面所成角的正弦值为0； （ii）线段上不存在一个点，使得点到点的距离都相等，理由略.      变式1．（25-26高二上·辽宁丹东·阶段检测）如图，在三棱锥中，与均是以为斜边的等腰直角三角形，，. (1)求证：平面平面； (2)若，分别是，边的中点，线段上一动点满足，判断是否存在使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，或. 【分析】（1）取的中点，连接，，利用面面垂直的判定定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量为，利用向量法求点到平面的距离得，进而求出，即可求解. 【详解】（1）如图，取的中点，连接，， 在等腰直角三角形中有，①. 同理可得，， 在中，， 由勾股定理可知，，即②. 又，平面，且， 由①②可得平面，又平面， 平面平面. （2）存在或，使得到平面的距离为，理由如下： 由（1）可知，，， 以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系： ，，，，， ，，，. 设平面的法向量为，则，取，则. 由得，， 点到平面的距离为：，解得或. 变式2．（25-26高二上·山东德州·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，M为棱的中点．    (1)证明：平面； (2)若，在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在； 【分析】（1）取的中点，证明，结合线面平行判定定理证明结论； （2）根据面面垂直性质定理证明平面，建立空间直角坐标系，设，结合点到直线距离公式列方程求． 【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接．     为棱的中点，． ， 四边形是平行四边形，． 又平面平面平面． （2）． 平面平面，平面平面平面， 平面． 又平面． 又两两垂直． 以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，    则． 为棱的中点，． ①，设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 所以为平面的一个法向量， 假设在棱上存在点，使得点到平面的距离是． 设，则． 由①知平面的一个法向量为， ， 点到平面的距离是，解得． 在中，． 变式3．（25-26高二上·北京房山·阶段检测）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，设是的中点，满足，是的中点，是线段上的一点.    (1)证明：平面； (2)若，， ①求直线与平面所成角的大小； ②线段上是否存在点，使点到平面的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②存在，或 【分析】（1）取中点E，连接，由三角形全等可得，再由三角形中位线的性质和线面平行的判定定理证明即可； （2）①建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，代入空间线面角公式求解即可； ②设，求出，再代入到空间点到面的距离公式，然后由向量的模长计算即可； 【详解】（1）    取中点E，连接， 又正方形中M是中点，由几何关系可得， 所以， 又，所以， 所以， 又，另外中位线， 三棱柱中，得， 平行线，确定了平面，且，平面， 则平面，即平面. （2）①由，，即，所以； 又，平面，所以平面， 平面，所以， 又正方形中，以A原点，建立空间直角坐标系，   ，，，，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，取可得， 设直线与平面所成的角为， 则， 因此直线与平面所成角大小为； ②不妨设，，则，， 点T到平面的距离， 即，解得或， 当时，； 当时，； 所以或. 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：空间距离的向量求法、已知空间距离求其他量问题专项训练 暑假预习：空间距离的向量求法、已知空间距离求其他量问题专项训练 考点目录 空间距离的向量求法 已知空间距离求其他量问题 考点一 空间距离的向量求法 例1．（25-26高二上·山东东营·阶段检测）已知正方体的棱长为分别为正方体的棱的中点． (1)求证：平面； (2)求线段到平面的距离． 例2．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）如图，在正方体中，棱长为，为棱的中点，为侧面内的一点，已知，． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 例3．（25-26高二下·甘肃白银·期末）如图，在四棱锥中，分别是的中点，底面是边长为的正方形． (1)证明：平面平面． (2)若，底面，求平面与平面之间的距离． 变式1．（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在长方体中，，点分别是棱的中点． (1)求长方体外接球的表面积； (2)求证：平面； (3)求直线到平面的距离． 变式2．（25-26高二上·北京石景山·阶段检测）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点， (1)求证：直线平面； (2)求直线到平面的距离； 变式3．（25-26高二上·北京昌平·阶段检测）如图所示，正四棱锥中，，，分别为的中点，，平面与交于． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 考点二 已知空间距离求其他量问题 例1．（25-26高二下·浙江宁波·期末）如图，四棱锥的底面是平行四边形且，，为等边三角形，， 为中点． (1)证明：平面； (2)设 为侧棱 上一点，四边形是过 ， 两点的截面，分别交 ， 于， 两点，平面． （i）证明：； （ii）设，是否存在，使得点到面的距离为． 例2．（25-26高二上·辽宁鞍山·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)棱上是否存在点，使得点到平面的距离是?若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 例3．（25-26高二上·北京房山·期中）如图，四棱锥中，底面，四边形中，，．    (1)求证：平面平面； (2)设． （i）若，求直线与平面所成角的正弦值； （ii）线段上是否存在一个点，使得点到点的距离都相等？说明理由． 变式1．（25-26高二上·辽宁丹东·阶段检测）如图，在三棱锥中，与均是以为斜边的等腰直角三角形，，. (1)求证：平面平面； (2)若，分别是，边的中点，线段上一动点满足，判断是否存在使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 变式2．（25-26高二上·山东德州·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，M为棱的中点．    (1)证明：平面； (2)若，在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 变式3．（25-26高二上·北京房山·阶段检测）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，设是的中点，满足，是的中点，是线段上的一点.    (1)证明：平面； (2)若，， ①求直线与平面所成角的大小； ②线段上是否存在点，使点到平面的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $