空间距离的向量求法专项训练 -2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 空间距离的向量求法专项训练，以向量法为核心，系统构建点线、点面、线面、面面距离的统一求解体系，突出转化思想与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题依据|4类距离公式|单位方向向量法（点线距）、法向量法（点面距）、转化思想（线面/面面距→点面距）|从具体距离到抽象转化，形成“定义→公式→转化”的逻辑链| |小专题训练|16题（含正方体/直三棱柱等典例）|向量坐标运算、法向量求解、距离公式应用|覆盖选择到解答题，通过不同几何体巩固向量法在空间距离计算中的推理应用|

空间距离的向量求法小专题训练 （适合全国I卷地区） 解题依据 （1）点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，点P到直线l的距离为_______. （2）两条平行直线之间的距离 求两条平行直线l，m之间的距离，可在其中一条直线l上任取一点P，则两条平行直线间的距离就等于_________. （3）求点面距 ①求出该平面的一个______；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离. 即：点A到平面 的距离=________，其中，是平面的一个法向量. （4）线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解 直线与平面 之间的距离：=________，其中，是平面 的一个法向量. 两平行平面之间的距离：=________，其中，是平面的一个法向量. 【答案】 到直线的距离 法向量 小专题训练 一、单选题 1．（25-26高二下·江苏苏州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设为平面的一个法向量，， 则，即，故可取， 则，因， 则点到平面的距离． 2．（25-26高二上·河南郑州·期末）在空间直角坐标系中，已知，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出与的坐标，再根据点到直线距离的向量坐标公式计算即可求解． 【详解】因为， 所以，， 所以，， 所以点到直线的距离为. 故选：A. 3．（2026·广东湛江·一模）如图，正方体的棱长为4，其中，点F为的中点，则点C到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，从而利用点到平面的距离公式进行求解. 【详解】以点D为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系． 可得，, 设平面的一个法向量为， 则， 令得，故， 其中， 点C到平面的距离. 故选：C． 4．（25-26高二上·安徽池州·阶段检测）在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由线线平行得到线面平行，直线到平面的距离等于点到平面的距离，建立空间直角坐标系，得到平面法向量，得到点到平面的距离. 【详解】因为，平面，平面，所以平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 如图，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴， 所在的直线为轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，， ，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以， 设点到平面的距离为， 则，故直线到平面的距离为. 故选：D 5．（25-26高二上·湖北襄阳·期中）我们知道，空间中，过点且一个法向量为的平面，其方程可以写成，则点到平面的距离 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知平面法向量，然后利用点面距离的向量公式求解即可. 【详解】在平面上任取一点，不妨取原点，设点为， 所以，点为坐标原点， 由题意平面的法向量为， 则点到平面的距离． 故选：D 6．（25-26高二下·江苏苏州·期中）在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，得到平面的法向量，可证平面，则直线到平面的距离等于点到平面的距离，利用空间向量求点到平面的距离. 【详解】如图，以点为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，， 可得，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，可得， 因为，可知， 且平面，平面，所以平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 则点到平面的距离为， 所以直线到平面的距离为. 7．（25-26高二下·安徽滁州·开学考试）在直四棱柱中，已知底面为正方形，若，下列不正确的是（    ） A．平面 B．直线与所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的余弦值为 D．直线到平面的距离为 【答案】C 【详解】如图建立空间直角坐标系，则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又，所以， 又平面，所以平面，故A正确； 因为， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为，故B正确； 因为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 则直线与平面所成角的余弦值为，故C错误； 因为且，所以四边形为平行四边形， 所以，平面，平面， 所以平面，所以直线到平面的距离， 即为点到平面的距离， 因为，所以点到平面的距离， 故直线到平面的距离为，即D正确. 8．（25-26高二上·河南洛阳·期末）如图，在直三棱柱中，，点分别为的中点，则直线到平面的距离为（   ）    A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法证明平面，则直线到平面的距离即为点到平面的距离，再由点到面的距离公式计算可得. 【详解】在直三棱柱中，， 如图建立空间直角坐标系，    则，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得； 由，得，所以， 又平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离即为点到平面的距离. 故选：A 二、多选题 9．（25-26高二下·河北衡水·开学考试）如图，在长方体中，，，P为侧面内一点.若点P到平面的距离与到直线的距离相等，则的值可以是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】CD 【分析】建立空间直角坐标系，设，其中，根据题意得到，表达出，得到其范围. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，其中，，则点到平面的距离为， 所以，， 点到直线的距离为：， 所以， 则， ，则. 10．（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）如图，在棱长为1的正方体中，点在上，且；点在上，且．则下列结论正确的是（     ） A．线段是异面直线与的公垂线段 B．异面直线与的距离为 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量运算可得，即可对A判断求解；由题可得异面直线与的公垂线的一个方向向量为从而可对B求解判断；利用点到直线的向量法即可对C、D求解判断；利用点到平面的向量法即可对D求解判断. 【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，，，， 则 ， ，所以，． A：，，， 所以，， 即，，所以线段是异面直线与的公垂线段，故A正确； B：由正方体的性质可得异面直线与的公垂线的一个方向向量为，又， 所以异面直线与的距离为，故B错误； C：，， 所以在方向上的投影向量的长度为， 所以点到直线的距离为 ，故C正确； D：设平面的一个法向量为，， 则，即，令，得，， 所以，又， 所以点到平面的距离，故D正确. 故选：ACD. 11．（25-26高二上·河南信阳·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，，为的中点，则（    ）    A．异面直线与所成角的余弦值为 B．点到直线的距离为 C．点到平面的距离为 D．平面与平面夹角的余弦值为 【答案】ABD 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角的向量求法计算可得A正确，由点到直线、点到平面距离的向量求法计算可得B正确，C错误；求出平面与平面的法向量，即可求得它们夹角的余弦值，即D正确. 【详解】由底面，底面，所以， 又底面是正方形，所以， 以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：    则,则, 对于A，因此，即异面直线与所成角的余弦值为，A正确， 对于B，易知,, 则点到直线的距离为,B正确， 对于C，，设平面的法向量为， 则，令，可得,即， 则点到平面的距离为，C错误. 对于D，易知, 设平面的法向量为，则， 令，可得,即， 因为，故平面与平面夹角的余弦值为，D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（25-26高二上·全国·阶段检测）设正方体的棱长为2，为底面的中心，为侧面的中心，点E为的中点，则三棱锥的体积为______． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间距离的向量求法求出点面距离，再求出底面积，最后结合三棱锥的体积公式求解即可. 【详解】方法一：如图，作出符合题意的图形，以为原点，建立空间直角坐标系， 由题意得，，，， 则由两点间距离公式得，，， 可得，得到是等边三角形， 则，且，， 设面的法向量为，， 则，令，解得，， 则，设到面的距离为， 由点到平面的距离公式得， 故三棱锥的体积为. 13．（25-26高三上·江苏·阶段检测）已知棱长为3的正方体位于平面的同侧，且顶点在平面上，若顶点，到平面的距离分别为，，则顶点到平面的距离是__________. 【答案】 【分析】以为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，利用向量法求点到面距离. 【详解】以为轴建立空间直角坐标系，如下图： 则，， 不妨设平面的法向量为且，分别表示点到平面的距离， 依题意，，即，解得， 因此，所以顶点到平面的距离为. 故答案为： 14．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面与平面的距离为________．    【答案】 【分析】先证明平面 平面 ，再建立空间直角坐标系，求出以及平面的法向量，利用空间点到平面的距离公式即可求得答案. 【详解】正方体中，，故四边形为平行四边形， 所以 ，平面，平面， 所以平面，同理平面，且 所以平面 平面. 以D为原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，    则 ， 所以，，， 设平面 的法向量为， 则 ，所以 ， 令，则， 则为平面的一个法向量， 所以点 到平面的距离d， 则平面 与平面 的距离等于点到平面 的距离， 所以平面与平面间的距离为． 故答案为： 四、解答题 15．（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在三棱锥中，，，，分别是棱，的中点，，，． (1)证明：平面． (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) 证明：因为，分别是棱，的中点，所以，， 因为，所以， 因为，是线段的中点，，所以， 因为，所以，所以， 因为平面，平面，且，所以平面， 因为，所以平面. (2) 【分析】（1）根据已知得、，再由线面垂直的判定证明结论. （2）构建合适的空间直角坐标系，求出对应平面的法向量，应用向量法求点面距离. 【详解】（1）略 （2）以为原点，，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题中数据得，，，， 则，，， 设平面的法向量为，则， 令，得， 故点到平面的距离是. 16．（25-26高二下·江苏徐州·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，是的中点. (1)求点到面的距离； (2)求点到直线的距离； (3)求直线与面所成的角的正弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用点到平面的距离的向量求法求结论； （2）根据点到直线的距离的向量求法可得点到直线的距离为，代入数据即可求得结论； （3）求直线的方向向量，结合向量夹角公式求结论. 【详解】（1）以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 由正方体棱长为2，可得，，，， 故，， 设平面的法向量， 则 ， 令，得， 即为平面的一个法向量，且， 根据点到平面距离公式点到面的距离，又， 所以 ， 所以点到面的距离为； （2）根据点到直线的向量公式点到直线的距离， 又，，， 所以， 所以点到直线的距离为； （3）直线方向向量， 设直线与面所成的角为， 则 ， 所以直线与面所成的角的正弦值为 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $空间距离的向量求法小专题训练（适合全国I卷地区） 解题依据 (1)点到直线的距离 已知直线1的单位方向向量为，A是直线1上的定点，P是直线1外一点，点P到直线1的距离为 (2)两条平行直线之间的距离 求两条平行直线1，之间的距离，可在其中一条直线1上任取一点P,则两条平行直线间的距离就等于 (3)求点面距 ①求出该平面的一个；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量： ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离. 即：点A到平面a的距离d ,其中B∈a,n是平面c的一个法向量 (4)线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解 直线a与平面c之间的距离：d= ,其中A∈a,B∈a,n是平面Q的一个法向量， 两平行平面a,β之间的距离：d= ， 其中A∈，B∈B,n是平面c的一个法向量. 小专题训练 一、单选题 1.（25-26高二下·江苏苏州·期末)在空间直角坐标系OXyz中，已知点A0,0,0,B2,1,0,C0,1,2, 则点P0,2,0到平面ABC的距离为() V3 23 A. 6 3 B.3 C. 26 D. 3 3 2.(25-26高二上河南郑州期末)在空间直角坐标系中，已知O0,0,0,A1,2,2,B0,2,2,则点B到 直线OA的距离是() 4.22 B.23 c.32 3 3 2 n 3.(2026广东湛江一模)如图，正方体ABCD-A1B,C,D的棱长为4，其中AE=3ED,点P为 B,C,的中点，则点C到平面BEF的距离为(） 试卷第1页（共3页） D C E B B A.46 B.85 5 5 c.1621 D.417 21 17 4.(25-26高二上·安徽池州·阶段检测)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的 中点，F为线段BB,的中点，则直线FC,到平面AB,E的距离为(） 4.3 B.3 C.1 2 2 D. 3 5。（25-26高二上：湖北瘦阳期中)我们道，空间中，过点PXy,Z,且一个法向量为a,b,c的平面， 其方程可以写成ax-xg+by-yo+c2-zo=0:则点12,2到平面x+y+2=0的距离（） A.3 c.V5 D.53 3 6.(25-26高二下·江苏苏州期中)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点， F为线段BB,的中点，则直线FC到平面AB,E的距离是(） 1 A.3 V3 B.3 2 c.3 7.(25-26高二下·安徽滁州·开学考试)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知底面为正方形，若 |AA=2引AB=2'下列不正确的是() A.A1B//平面ACD1 B.直线AD,与A,B所成角的余弦值为号 C.直线BC与平面ACD,所成角的余弦值为 3 试卷第2页（共3页） 2 D.直线A1C到平面ACD1的距离为 8.(25-26高二上河南洛阳·期末)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中， ∠ABC=90°，AB=BC=BB,=6'点D,D,分别为AB,A1B,的中点，则直线CD到平面AD,C的距离 为() C D B A.6 V6 B.2 C.1 D.6 6 二、多选题 9.（25-26高二下河北衡水开学考试)如图，在长方体ABCD-A1BC1D1中，AA1=AB=2, BC=1,P为侧面A1ABB1内一点.若点P到平面ADD1A1的距离与到直线CD的距离相等，则A1P的值 可以是( D C A B D -----. 4 夕 A.1 B.2 c.V3 D.2 10.(26-27高三全国.一轮复习)（多选）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在 BD上，HBE=号BD,点P在CB上，且CFCB.则下列结论正确的是(） 试卷第3页（共3页） D C B B A.线段EF是异面直线BD与CB1的公垂线段 B.异面直线AA,与BD的距离为 1 14 C.点D,到直线EF的距离为3 D.点D,到平面DEF的距离为3 11.(25-26高二上·河南信阳·阶段检测)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,底面 ABCD是正方形，PA=AB=2,E为PB的中点，则() ----D B 6 A.异面直线DE与PA所成角的余弦值为 6 B.点E到直线PC的距离为3 C.点E到平面PCD的距离为V2 V6 D.平面BDE与平面PCD夹角的余弦值为 3 三、填空题 12.(25-26高二上·全国·阶段检测)设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，O1为底面ABCD的中心， O2为侧面ADD1A1的中心，点E为D1C1的中点，则三棱锥E-O1DO2的体积为 13.(25-26高三上江苏阶段检测)已知棱长为3的正方体ABCD-A1BC1D1位于平面a的同侧，且 顶点A在平面a上，若顶点B,D到平面a的距离分别为V2,V2,则顶点A1到平面C的距离是 14.(25-26高三·全国一轮复习)如图，在棱长为1的正方体ABCD41B1C1D中，平面A1DB与平面 试卷第4页（共3页） D1CB1的距离为 D 6 四、解答题 15.(25-26高二下·全国·课堂例题)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AC,AB⊥BC,D,E分别 是棱PC,AC的中点，PA=AB=6,AC=8,BD=5. B (1)证明：PA⊥平面ABC (2)求点P到平面ABD的距离 16.(25-26高二下江苏徐州·阶段检测)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1 的中点 A B C E A B C (①)求点D到面BEC1的距离： (2)求点D到直线BE的距离： (3)求直线AB与面BEC1所成的角的正弦值， 试卷第5页（共3页）