向量法求空间中的面面角 小专题训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册（适合全国I卷地区）

**基本信息** 以向量法求面面角为核心，通过定义原理与分层训练结合，构建“概念-原理-应用”的完整逻辑体系，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题依据|定义+计算原理|明确法向量夹角与面面角关系|从二面角概念到向量法原理推导| |小专题训练|16题（8单1多6填1解答）|法向量求解步骤（建系求向量算夹角）|基础几何体到折叠问题的应用拓展|

向量法求空间中的面面角小专题训练（适合全国I卷地区) 解题依据 ①两平面的夹角：平面与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面 角称为平面Q与平面β的夹角 ②两平面夹角的计算：设平面a,B的法向量分别是n,:n,平面α与平面B的夹角为0，则 cos 0=cos<n,n2i= 小专题训练 一、单选题 1.(2026高三·全国·专题练习)已知直三棱柱ABC-A1BC1中，∠ACB=90°，AC=1,CB=V2, 侧棱AA1=1,侧面AA:B,B的两条对角线交于点D,则平面BBD与平面CBD所成锐二面角的余弦值 为() 4.-3 V6 3 6 B.- C.3 D. 3 3 3 2.(25-26高二下·江苏泰州·期中)设正方形ABCD与正方形ABEF的边长都是1，若对角线AC与BF所 成角的余弦值为4 则二面角D-AB-F的大小为() A.30° B.60 C.90° D.120° 3.(2026安徽蚌埠.二模)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是DD1的中点，则平面MAB1与平 面ABCD的夹角余弦值是() 4.22 .6 c.5 3 3 3 4.(25-26高二下·江苏·阶段检测)如图，正四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面 边长的V2倍，SD⊥平面PAC,P为侧棱SD上的点，则二面角P-AC-B的余弦值为() 试卷第1页（共3页） 3 A. 3 B.、3 2 2 D克 5.(25-26高三下安徽：开学考试)已知正三棱台ABC-A1B,C,的高为/2，AB=46,A1B,=26 则二面角B,-BC-A的大小为（） A.2 π B号 D. 6.(25-26高二上·安徽宣城期末)已知在一个二面角的棱上有两个点A,B,线段AC,BD分别在这个 二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB,若AB=3,AC=BD=2,CD=13,则这个二面角的大小为 () A君 C. 3 7.(25-26高二上·福建泉州·期末)在四棱锥O-ABCD中，侧面OAB是正三角形，底面ABCD是矩形， 二面角O-AB-C为直二面角.若AB=2BC,则平面OAB与平面OCD的夹角的余弦值为() 4.0 15 B.- 6 10 5 5 C.4 D. 4 8.(25-26高二上·广东广州·期末)如图，正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是2，且二面角 D-AB-F的大小是60°，则DE=() A.22 B.V10 c.V14 D.4 二、多选题 9.(25-26高三上·湖南长沙阶段检测)如图，AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥AB, 试卷第2页（共3页） AE-BC=2.AB=AD=1.CF- E F 2--二2 B A.BD⊥EC B.BF∥平面ADE C.平面BDB与平面BDF的夹角的余弦值为行 ,5 D.直线CE与平面BDE所成角的正弦值为 三、填空题 10.(25-26高二上·山东聊城期末)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=1,AB=2,AA1=3, 点么，P分别在BR,DD,上，且BE-专，DF了则平面CD与千面夹角的余弦值为 D B A 4 B 11.(25-26高二上·河南郑州·期末)如图，已知二面角C-1-的棱上有两个点A,B,线段BD与AC分 别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱.若AB=4,AC=5,BD=8,CD=215,平面C与 平面β夹角的余弦值为 A B 12.(25-26高二上·广东汕尾·期末)已知矩形ABCD,AB=20,BC=15,沿对角线BD将△BCD折起， 使得AC=193,则二面角A-BD-C的余弦值为 13.(2026高三·全国专题练习)己知正三棱柱ABC-A1B,C1的所有棱长都为2，平面AA1B与平面 试卷第3页（共3页） A1BC1夹角的余弦值为 14.(25-26高二上福建福州期中)已知正方体ABCD-A1B,C1D1,P为AA1的中点，Q为B1C1的中 点，则平面ABCD与平面BQP夹角的余弦值为 15.(25-26高二下·江苏连云港·阶段检测)如图，矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AB=4, AD=3.沿AC把△ACD折起，使二面角D1-AC-B为直二面角，则二面角D1-BC-A的余弦值为 D D C B (1) (2) 四、解答题 16.(26-27高三上·湖北襄阳·阶段检测)四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，PD⊥平面 ABCD,AB=2CD,PD=AD=CD=1.求： D B (I)直线AB与面PBD所成的角： (2)平面PAD与平面PBC所成锐二面角的正切值. 试卷第4页（共3页） 向量法求空间中的面面角小专题训练 （适合全国I卷地区） 解题依据 ①两平面的夹角：平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面与平面的夹角． ②两平面夹角的计算：设平面，的法向量分别是，，平面与平面的夹角为，则________________． 【答案】 小专题训练 一、单选题 1．（2026高三·全国·专题练习）已知直三棱柱中，，，，侧棱，侧面的两条对角线交于点，则平面与平面所成锐二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角余弦值． 【详解】由题意知两两垂直， 则以为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系． ∴，， 由， 设平面的法向量， 则，取，得， ， 设平面的法向量， 则，取，得， 设平面与平面所成锐二面角为， 则， ∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 2．（25-26高二下·江苏泰州·期中）设正方形与正方形的边长都是1，若对角线与所成角的余弦值为，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律及夹角公式列式求解. 【详解】设二面角的大小为，由， 得，， 则， 而，由对角线与所成角的余弦值为，得， 解得，又，解得， 所以二面角的大小为. 3．（2026·安徽蚌埠·二模）已知正方体中，是的中点，则平面与平面的夹角余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴, 建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、，则，， 设平面的一个法向量为， 所以，取，可得， 易知平面的一个法向量为，则， 故平面与平面的夹角余弦值是. 4．（25-26高二下·江苏·阶段检测）如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，结合向量即可求解. 【详解】连接，设交于点，则平面， 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设底面边长为，则， 显然是平面的一个法向量， 因为平面，所以是平面的一个法向量， 设二面角为，则由图可知，为钝角， 所以. 5．（25-26高三下·安徽·开学考试）已知正三棱台的高为，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可求解. 【详解】设下底面的中心为，上底面的中心为， 以为原点，以为轴，为轴，过作，建立空间直角坐标系， 由正三棱台的高为， 所以，，所以， ， 同理， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 显然为平面的一个法向量， 所以， 所以， 所以二面角的大小为. 6．（25-26高二上·安徽宣城·期末）已知在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段，分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，，，则这个二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设二面角的大小为，则，又，根据向量数量积的运算律可求得，进而可求得. 【详解】如图，设二面角的大小为，因线段，分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，则， 根据题意可得， 所以， 因为，，， 所以， 解得，又因为，所以， 所以这个二面角的度数为. 故选：B. 7．（25-26高二上·福建泉州·期末）在四棱锥中，侧面OAB是正三角形，底面ABCD是矩形，二面角为直二面角.若，则平面OAB与平面OCD的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量后再用向量法计算二面角的余弦值. 【详解】    因为底面是矩形，所以， 因为二面角为直二面角， 以为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以过点作平面ABCD的垂线为轴，建立如上所示空间直角坐标系； 设，则； 其中，，，，， ，； 设平面的法向量为， 则 令，则，； 显然，平面的法向量， 设平面与平面的夹角为， 则 故选： 8．（25-26高二上·广东广州·期末）如图，正方形和正方形的边长都是2，且二面角的大小是，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】先判断二面角的平面角为，然后根据向量的模的公式以及向量数量积的定义进行计算即可. 【详解】因为正方形和正方形，所以， 因为平面平面，二面角的大小是， 所以，因为， 所以， 因为正方形和正方形的边长都是2，所以， 因为，所以， 而， 所以. 故选：A. 二、多选题 9．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）如图，平面ABCD，，，，，，，则（    ） A． B．平面ADE C．平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值为 D．直线CE与平面BDE所成角的正弦值为 【答案】BC 【分析】建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究位置关系与线面夹角，面面夹角即可. 【详解】对于A，根据题意可知，平面ABCD， 不妨以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示， 可得， 则，， 所以，所以，不垂直，故A错误； 对于B，依题意，是平面的一个法向量， 又，可得，则， 又因为直线平面，所以平面，故B正确； 对于C，设为平面的一个法向量， 则，令，可得， 设为平面的一个法向量， 则，令，可得， 所以平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值为，故C正确； 对于D，设直线与平面所成角为，而， 则，故D错误. 三、填空题 10．（25-26高二上·山东聊城·期末）如图，在长方体中，，点E，F分别在上，且，则平面ABCD与平面AEF夹角的余弦值为__________.    【答案】/ 【分析】以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，易得平面的法向量为，求出平面的法向量为，使用向量夹角公式即可求解. 【详解】以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，如图：    则有， 且有， 易得为平面的法向量， 设平面的法向量为，， 则有，令，则， 则， 即平面ABCD与平面AEF夹角的余弦值为， 故答案为：. 11．（25-26高二上·河南郑州·期末）如图，已知二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱．若，，，，平面与平面夹角的余弦值为______． 【答案】 【分析】根据式子，根据空间向量数量积的运算律以及模长公式可表示的长，建立方程得到，进而求解面面夹角即可. 【详解】由条件知，，， 得到 可得，所以, 故. 故答案为： 12．（25-26高二上·广东汕尾·期末）已知矩形，沿对角线BD将折起，使得，则二面角的余弦值为___________． 【答案】/ 【分析】过点作，过点作，求得，，，再根据，得，展开后，即可解得，再结合二面角的定义，即可得解. 【详解】过点作，过点作， ， ， ， ， 则，即， ， ， ， ， 又因为 故二面角的余弦值为. 故答案为：. 13．（2026高三·全国·专题练习）已知正三棱柱的所有棱长都为2，平面与平面夹角的余弦值为________． 【答案】 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，然后求出两个平面的法向量，结合公式求解即可. 【详解】如图所示，取的中点，的中点，连接与， 因为三棱柱为正三棱柱， 所以且平面⊥平面， 所以平面， 在矩形中，，分别为，的中点， 所以， 以为原点，以，，所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系： 因为正三棱柱的所有棱长都为2，可得， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，取，则，， 所以； 设平面的法向量为， 则，取，则，， 所以， ， 所以平面与平面的夹角的余弦值为， 故答案为：. 14．（25-26高二上·福建福州·期中）已知正方体，为的中点，为的中点，则平面与平面夹角的余弦值为______. 【答案】/ 【分析】利用空间向量法来求两平面夹角余弦值即可. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，    不妨设正方体棱长为2， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以， 又平面的法向量可取， 所以平面与平面夹角的余弦值为： . 15．（25-26高二下·江苏连云港·阶段检测）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，，．沿AC把折起，使二面角为直二面角，则二面角的余弦值为________． 【答案】 【分析】以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解二面角即可. 【详解】以点 为坐标原点，平面 为 平面， 方向分别为 轴的正方向， 建立空间直角坐标系，则 ， 在矩形 中，作 于 于 于 ，则 为 在平面 上的射影. 因为 ，所以 . 所以 ，所以 ， ， 所以 ，所以 ， 设平面 的法向量为 . 则 ，令 ，则 ， 因为平面 的一个法向量为 ， 所以 . 由图可知二面角 为锐角. 所以二面角 的余弦值为 . 四、解答题 16．（26-27高三上·湖北襄阳·阶段检测）四棱锥中，底面为等腰梯形，平面，，．求： (1)直线与面所成的角； (2)平面与平面所成锐二面角的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过求解直线的方向向量与平面的法向量，利用向量夹角公式求出它们的余弦值，从而得到线面角的正弦值及所成角. （2）分别求出平面与平面的法向量，计算这两个法向量夹角的余弦值，再利用同角三角函数的基本关系将其转化为锐二面角的正切值. 【详解】（1）作于点， 因为平面，且平面，所以， 可以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如下： 由题意得， 因为且，在面内，与轴正方向夹角为， 投影到轴的长度为，投影到轴的长度为， 即，因为且，所以，则， ，取作为的方向向量， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设直线与平面所成的角为， 则， 由于，解得. （2）设平面的法向量为，由上知， 则，故可取， 设平面的法向量为，由上知， 则故可取， 设所求锐二面角为， 则， 进而，则. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $