1.4.1.3空间中直线、平面的垂直课后提升训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.1.3空间中直线、平面的垂直课后提升训练 人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年 姓名：__________ 班级：__________ 学号：______________ 1、 单项选择题 1．已知分别为直线的方向向量（不重合），分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知点，平面，其中法向量，则下列各点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 3．已知空间向量，，若，则的值为（    ） A．1或 B．2或 C．1或 D．2或 4．已知空间向量，分别是平面的法向量，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．若直线平面，且的方向向量为，平面的一个法向量为，则（   ） A． B． C． D． 6．已知平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．与相交但不垂直 7．已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则的值（    ） A． B． C．1 D．4 8．如图，正方体中，、分别是、上的中点，是上的动点.下列结论错误的是（    ） A．存在点，使得平面 B． C．平面截正方体所得截面为等腰梯形 D．平面平面 二、多项选择题 9．已知空间向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 10．已知正方体棱长为2，点在底面内运动，则（　　） A．三棱锥体积为定值 B．二面角为定值 C．直线与平面所成角的正弦值取值范围为 D．的最小值为 11．已知棱长为的正方体中， ， 满足，，其中，，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， 平面 C．，，有 D．，，有 三、填空题. 12．面面垂直： 若平面的法向量，平面的法向量，则 . 13．设直线的方向向量，平面的法向量，若，则 14．已知梯形ABCD和矩形CDEF．在平面图形中，，．现将矩形CDEF沿CD进行如图所示的翻折，满足面ABCD垂直于面CDEF．设，，若面DBN，则实数的值为 ． 四、解答题 15．如图，在四面体中，分别是棱，的中点． (1)若每条棱长度都相等，求证：为和的公垂线． (2)若，，，求证：为和的公垂线． 16．已知向量，． (1)若，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的取值范围． 17．如图，在三棱柱中，底面，，，，为的中点， 为侧棱上的动点. (1)求证：平面平面； (2)试判断是否存在，使得直线.若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 18．在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，，且，M为AD的中点，动点P满足，且. (1)若时，求证：； (2)若，E为上一动点，且平面ABCD，求EP的最小值； (3)若，点O为三棱锥外接球的球心，求OP的取值范围. 19．如图，在正方体中，分别是的中点 (1)证明：平面. (2)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，请指出的位置；若不存在.请说明理由. 参考答案 一、单项选择题 1．D 2．B 3．A 4．C 5．A 6．A 7．B 8．B 二、多项选择题 9．BD 10．ACD 11．BCD 三、填空题 12． 13． 14．3 四、解答题 15．【解】（1）设棱长是1，则，且三个向量两两夹角均为． 因为分别是棱，的中点， ， 则，则． 同理可证，故为与的公垂线． （2）如图，该四面体可以通过切割一长方体得到，设该长方体的长、宽、高分别为， 则，即，则，解得：， 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 因为分别为的中点， 所以，．，，． 则，所以，，即直线为和的公垂线． 16．【解】（1）因为，， 所以，， 因为，所以，解得：； （2）因为向量与所成角为锐角， 所以，且与不同向共线， 由（1）知，，， 故， 解得且， 即的取值范围为且. 17．【解】（1）在三棱柱中，底面，平面， ， ，为的中点， ， ， 平面， 平面， 平面， 平面平面； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， ，，， 设，则，，， 若，则，解得， 所以存在，使得直线，此时. 18．【解】（1）在底面菱形中，连接，记，取的中点为，连接， 在菱形中，，在直四棱柱中，易知平面， 因为平面，所以，所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图： 因为，所以，， 可得， 则， 所以，则， 由，则，即， 因为，所以，则. （2）由题意作图如下： 由图可知平面的一个法向量， 由，则的中点的坐标为， 即，由，则（）， 由（1）可知，由，则 则， 由平面，则，解得， 所以，则， 当时，等号成立，所以的最小值为. （3）由题意可作图如下： 由（1）可得，由（），则， 设的中点为，则， 在菱形中，且为中点，则， 在三棱锥中，底面的外接圆圆心为的中点， 易知球心为线段的中垂线与直线的交点，则设 由，则， 易知，可得，解得， 由，，则，即， 所以. 19．【解】（1）以D为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，    则， 由中点坐标公式可得， 则，，， ， ， ，， 即，， 又，平面， 平面. （2）假设存在，使平面，设， 则， 由（1）知，是平面的一个法向量， 则， 解得， 故存在，满足，使平面. 学科网（北京）股份有限公司 $$