向量法求空间中的线线角小专题训练 -2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦向量法求空间线线角，以核心公式为统领，通过多几何体题型系统训练空间向量运算与线线角转化，培养数学思维与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |综合训练|16题（单选6、多选1、填空7、解答2）|向量数量积公式cosθ=|a·b|/(|a||b|)，方向向量坐标化/基向量表示|空间向量概念→数量积运算→线线角与向量夹角转化，覆盖平行六面体、直三棱柱等多几何体|

向量法求空间中的线线角小专题训练 （适合全国I卷地区） 解题依据 设异面直线，所成的角为，其方向向量分别为，，则________________． 【答案】 小专题训练 一、单选题 1．（25-26高一下·广东深圳·期末）已知平行六面体的所有棱长均为，，则异面直线与夹角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·河南郑州·期末）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求直线与直线所成角的余弦值（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·江苏常州·期末）在正方体中，点分别在线段和上，且，，则直线和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·山东济南·模拟预测）在平行四边形中，设，，，沿将平行四边形折成一个直二面角，则与所成的角的余弦值是（     ） A． B． C． D． 5．（2026高二下·浙江·学业考试）斜三棱柱中，是边长为2的正三角形，侧棱，，点为棱上动点，则异面直线与所成角的最小值为（     ） A．30° B．45° C．60° D．75° 6．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则直线与所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（25-26高一下·广东深圳·期末）如图，平行六面体的棱长均为2，，点，分别在棱，上，且，，则（     ）    A．，，，四点共面 B．在上的投影向量为 C．直线与所成角的余弦值为 D． 三、填空题 8．（25-26高一下·河北石家庄·期末）在所有棱长均为1的正四棱锥中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______. 9．（25-26高二下·福建莆田·期末）在直三棱柱中，，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为________． 10．（25-26高二下·江苏徐州·期末）在如图所示的正八面体中，棱与所在直线的夹角为________． 11．（25-26高二下·江苏南京·期中）圆台轴截面是等腰梯形，若，，点在上，，则异面直线和所成角的余弦值为__________． 12．（25-26高二下·江苏南京·期中）在三棱锥中，且，点为中点，则直线与直线所成角的余弦值为____________． 13．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）正四面体（四个面都是正三角形）中，分别是的中点，直线与夹角的余弦值为__________. 14．（2026·江苏南京·一模）在直三棱柱中，已知，，则异面直线与所成角的余弦值为________． 四、解答题 15．（25-26高二下·浙江温州·阶段检测）在三棱中，且，点为中点，求直线与直线所成角的余弦值． 16．（24-25高二下·湖北武汉·期中）如图，三棱锥中，，平面平面． 求异面直线AC与BD所成角的余弦值； 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 向量法求空间中的线线角小专题训练 （适合全国I卷地区） 解题依据 设异面直线，所成的角为，其方向向量分别为，，则________________． 【答案】 小专题训练 一、单选题 1．（25-26高一下·广东深圳·期末）已知平行六面体的所有棱长均为，，则异面直线与夹角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则， ， ， ， ， ，， ， ， 则， ， 设异面直线与的夹角为， 则，故选项D正确. 2．（25-26高一下·河南郑州·期末）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求直线与直线所成角的余弦值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理逆定理证明，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线夹角的余弦值. 【详解】在中，， 因为，所以. 因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 又平面平面，所以. 如图，以为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系. 则. 因为是的中点，所以. 所以. 设直线与直线所成角为， 则 . 所以直线与直线所成角的余弦值为. 3．（25-26高一下·江苏常州·期末）在正方体中，点分别在线段和上，且，，则直线和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求出两直线的方向向量，利用向量夹角公式计算异面直线所成角的余弦值 【详解】设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系. 则，，，. ∴， ，, . 设直线和所成角为，则， 所以. 4．（2026·山东济南·模拟预测）在平行四边形中，设，，，沿将平行四边形折成一个直二面角，则与所成的角的余弦值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形特点建立空间直角坐标系，利用向量计算即可. 【详解】因为二面角为直二面角，为交线， 故平面平面，平面平面，又，平面， 所以底面， 以为原点，建立空间直角坐标系如图所示， 因为，， 所以为等腰直角三角形， 则，，，, ，, 设与所成的角为， 则. 5．（2026高二下·浙江·学业考试）斜三棱柱中，是边长为2的正三角形，侧棱，，点为棱上动点，则异面直线与所成角的最小值为（     ） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】B 【分析】先选择恰当的空间基底，用基底向量表示相关向量，再利用向量数量积公式计算异面直线所成角的余弦值，将几何问题转化为代数问题，再结合函数单调性求角度的最小值. 【详解】设，，，则， ，， ，. 因为点为棱上动点，设，， 则，， ， ，则， ， ，， 设异面直线与所成角为，则， 因为函数在上单调递增， 所以，当时，取得最大值，此时，所以取得最小值为， 即异面直线与所成角的最小值为. 6．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则直线与所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，， 设直线与所成的角为，则， 即直线与所成角的余弦值为. 二、多选题 7．（25-26高一下·广东深圳·期末）如图，平行六面体的棱长均为2，，点，分别在棱，上，且，，则（     ）    A．，，，四点共面 B．在上的投影向量为 C．直线与所成角的余弦值为 D． 【答案】ABD 【分析】在上取点，使得，可得四边形、四边形为平行四边形，求出，可判断A；对两边平方求出，再由投影向量的定义可判断B；由向量的夹角公式计算可判断C；由的线性运算后再平方可判断D. 【详解】对于A，在上取点，使得，连接，      因为，所以四边形为平行四边形， 可得， 因为，所以四边形为平行四边形， 可得，所以，可得，，，四点共面，故A正确； 对于B，因为平行六面体棱长均为2，， 因为， 则， 则， ，故B正确； 对于C， ， 因为异面直线所成角的范围为， 故直线与所成角的余弦值为，故C不正确； 对于D，， ， 则，故D正确． 三、填空题 8．（25-26高一下·河北石家庄·期末）在所有棱长均为1的正四棱锥中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______. 【答案】 【详解】连接，，交点为，连接，， ，或其补角为异面直线与所成的角， 结合题中条件，正四棱锥中，，则四边形为边长为1的正方形，每个侧面为边长为1的正三角形，则，， 在正三角形中，为的中点，则，， 则，所以， 则，故异面直线与所成角的余弦值为. 9．（25-26高二下·福建莆田·期末）在直三棱柱中，，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为________． 【答案】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，求出两条直线的方向向量，利用向量夹角公式计算异面直线所成角的余弦值可得. 【详解】由于直三棱柱中，且侧棱底面， 故以为坐标原点，分别以、、的方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系.    设，可得，，，，. 因为为的中点，因此的坐标为. 则直线的方向向量，直线的方向向量. 设异面直线与所成角为，， ， ，； 所以 . 因此直线与所成角的余弦值为. 10．（25-26高二下·江苏徐州·期末）在如图所示的正八面体中，棱与所在直线的夹角为________． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，分别求出和的坐标，结合向量夹角公式计算夹角的余弦值，进而确定角度大小. 【详解】如图所示，以正八面体中心为原点，设各顶点坐标为：，，，，可得：， 根据异面直线夹角公式可得： 因为异面直线夹角范围是， 所以，即与的夹角为. 11．（25-26高二下·江苏南京·期中）圆台轴截面是等腰梯形，若，，点在上，，则异面直线和所成角的余弦值为__________． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量坐标运算求解. 【详解】设上底面圆半径为1，下底面圆半径为2，以下底面圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则由已知有， 连接，因为，所以，所以， 所以， 即. 12．（25-26高二下·江苏南京·期中）在三棱锥中，且，点为中点，则直线与直线所成角的余弦值为____________． 【答案】 【分析】根据空间向量基本定理和向量数量积、向量的模的公式进行计算即可. 【详解】因为点为中点，所以. 所以. 因为， 所以 . 由于 所以直线与直线所成角的余弦值为. 13．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）正四面体（四个面都是正三角形）中，分别是的中点，直线与夹角的余弦值为__________. 【答案】 【分析】用表示，并求出其数量积，利用数量积求出与的夹角的余弦值，即可得到直线与夹角的余弦值. 【详解】设正四面体的棱长为因为分别是的中点， 所以， 所以. 则，，. . . 所以直线与DM夹角的余弦值为. 14．（2026·江苏南京·一模）在直三棱柱中，已知，，则异面直线与所成角的余弦值为________． 【答案】/ 【分析】结合题意进而建立空间直角坐标系，进而利用异面直线夹角的向量求法求解即可. 【详解】作，因为，所以是的中点， 过作，由直三棱柱性质得面， 如图，作出符合题意的图形，以为原点建立空间直角坐标系， 因为，所以，由勾股定理得， 则，，，， 可得，， 设异面直线与所成角为， 则. 四、解答题 15．（25-26高二下·浙江温州·阶段检测）在三棱中，且，点为中点，求直线与直线所成角的余弦值． 【答案】/ 【分析】利用空间向量的运算求异面直线的夹角余弦值即可. 【详解】如图， 因为且， 所以， 连接，又为中点， 所以, ， 即， 又, 所以, 即直线与直线所成角的余弦值为. 16．（24-25高二下·湖北武汉·期中）如图，三棱锥中，，平面平面． 求异面直线AC与BD所成角的余弦值； 【答案】(1) 【分析】利用面面垂直条件建立空间直角坐标系，借助向量夹角公式，求出异面直线所成角余弦值； 【详解】取BC中点，连接OA、OD，又， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 为BC中点，，      如图，以分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系， 则， ， 设异面直线AC与BD所成的角为， 则，       所以异面直线AC与BD所成角的余弦值为. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $