向量法求空间中的线面角专项训练 -2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦向量法求线面角，以公式为纲，通过多样化几何体情境构建从基础计算到动态探究的系统性训练，培养空间观念与数学思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|方向向量与法向量夹角余弦值绝对值即为线面角正弦值|从直接向量计算到长方体、正三棱柱等几何体应用，逐步深化公式应用| |多选题|2题|结合异面直线夹角、体积计算综合考查线面角|关联空间几何多知识点，体现知识网络构建| |填空题|4题|空间直角坐标系下向量坐标运算求角|强化建系与坐标运算技能，衔接解析几何思想| |解答题|2题|含证明与动态点探究，完整呈现“建系-求向量-算夹角”步骤|从静态求解到动态最值，培养逻辑推理与问题解决能力|

向量法求空间中的线面角小专题训练 （适合全国I卷地区） 解题依据 直线和平面所成的角:直线与平面相交于，设直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则________________． 【答案】 小专题训练 一、单选题 1．（25-26高二下·安徽阜阳·期末）若平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量法求线面角即可. 【详解】设直线与平面所成的角为， 则. 2．（2026高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系后结合线面角的公式计算即可． 【详解】如图，以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，所以，，所以， 因为，所以,， 设平面的法向量为， 所以，所以，取，所以平面的一个法向量为， 设与平面所成角为，所以. 3．（25-26高一下·重庆·期末）在正三棱柱中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，利用线面角的向量计算公式求解. 【详解】取中点，连接，因为为正三角形，故， 正三棱柱中，平面，平面，故， 又，平面，因此平面， 以为原点，、过且平行于的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 已知底面边长，故，高，得各点坐标：，，， 直线的方向向量， 平面上所有点的坐标为，故其一个法向量为，， 设直线与平面所成角为，根据线面角的向量关系： ， 计算得，，代入得：，故B正确. 4．（2026高二·河南·期末）在三棱锥中，平面，，、、分别是棱、、的中点，，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以A为原点，、、所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，利用线面角的空间向量法求解. 【详解】以A为原点，、、所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系， 由，， 得，，，，，，. ，，， 设平面的法向量为，则由，得 取，则， 设与平面所成角为，则. 5．（25-26高二下·江苏宿迁·期中）在正方体中，点为线段的中点.点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，根据向量法求出直线与平面所成的角为的正弦值，再表示出并求出其最小值即可. 【详解】设正方体边长为2，以D为原点建立空间直角坐标系如图所示， 则,,,, 设,则,, 设平面的法向量为,则由得 取，则, 所以为平面的一个法向量， 所以直线与平面所成的角的正弦值 又由，所以, 所以， 又因,所以,所以最小值为 故选：A 6．（2026·河南叶县·期末）在直三棱柱中，，点为的中点，点为侧面内（含边界）的动点，且 平面，设直线与平面所成的角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量为，设，进而得，利用向量夹角公式即可求解. 【详解】根据题意，以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图， 设，则， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 设，所以， 因为 平面， 所以，解得， 所以， 显然平面的一个法向量为， 所以， 当时，取最大值，即取最大值，即， 所以，所以. 7．（25-26高二下·河南许昌·期末）在正方体中，点为线段的中点，点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题通过建立空间直角坐标系，利用线面角的向量计算公式，将的最小值问题转化为求的最大值问题，结合二次函数的最值性质求解. 【详解】 如图：设正方体棱长为2，以D为坐标原点，、、,所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，可得各点坐标: ，因点在线段上，设，其中， ，设平面的法向量为，则 ，令，解得，即， 又，， 则， 由同角三角函数关系得，要使最小，需使最大， 当时，，此时取得最大值， 代入得：. 8．（25-26高一下·山东烟台·期末）已知三棱柱中，，，，点在底面内的射影为的外心，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题以三棱柱为背景，利用空间向量法求线面角.关键在于由底面直角三角形确定外心位置，再根据侧棱长相等求出棱柱的高，进而得到点和的坐标.最后，直线的方向向量与平面的法向量（即竖轴方向）的夹角余弦的绝对值即为所求线面角的正弦值. 【详解】以为原点，方向为轴，方向为轴，垂直于底面的方向为轴建立空间直角坐标系. 则，，，斜边的中点为的外心. 由在底面的射影为，设，则. 侧棱长， 故 解得，取. 于是. 平面的法向量为，设直线与平面所成角为，则      , 故选A. 二、多选题 9．（26-27高三上·江苏常州·阶段检测）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则下列结论正确的有（    ） A． B．异面直线与所成角余弦值为 C．三棱锥的体积为 D．直线与平面所成角正弦值为 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，由空间向量的数量积运算判断A；根据空间向量夹角的坐标公式即可判断B；根据三棱锥的体积公式即可判断C；根据线面夹角的坐标公式即可判断D． 【详解】如图以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 对于A，， 所以，所以不成立，故A错误； 对于B，，， 所以，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，取平面的一个法向量为， 所以直线与平面所成角正弦值为，故D正确． 10．（25-26高二下·江苏苏州·期末）如图，在平行六面体中，已知，，，分别为，的中点，则（    ）    A． B． C． D．与平面所成角的正弦值为 【答案】AD 【分析】设，，，将问题转化为基向量求解. 【详解】设，，， 由题意知，，则，，， ， ，， 即，选项正确； ，选项错误； ， ，选项错误； 设平面的一个法向量为，则的坐标为，而， 则即即，令，解得，， 所以， ， ， ， ， 设与平面所成角为， ，选项正确. 三、填空题 11．（25-26高二上·河南郑州·期末）在空间直角坐标系中，平面的一个法向量的坐标为，直线的一个方向向量的坐标为，则直线与平面所成角的余弦值为__________. 【答案】 【分析】利用向量的夹角公式求，再利用平方关系求即可. 【详解】设平面的一个法向量为，直线的一个方向向量， 设直线与平面所成角为，所以， 所以， 故答案为：. 12．（25-26高二上·湖北荆州·期末）在正三棱柱中，，点分别在棱上，已知，则与平面所成角的正弦值为__________． 【答案】 【分析】利用空间向量法求解，求出平面的法向量，利用数量积公式求解. 【详解】取的中点，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 则， 设平面的法向量， 则，，取，解得， 故平面的法向量，，， ， 设与平面所成的角为， 则， 故与平面所成角的正弦值为． 故答案为： 13．（25-26高二上·广东东莞·期末）如图，在正方体中，点是棱的中点，则与平面所成角的正弦值_____. 【答案】/ 【分析】依题意以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法计算可得结果. 【详解】以为坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示： 设正方体边长为2，可得 所以， 设平面的一个法向量为， 可得， 令，可得，即， 所以与平面所成角的正弦值为， 故答案为： 14．（25-26高二上·湖南郴州·期末）空间直线与平面也有方程.教材中有如下阐述： 在空间直角坐标系中，已知点，向量不全为0，过点且一个法向量为的平面的方程为. 请利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为__________． 【答案】/ 【分析】根据给定的材料求出平面的法向量，利用另外两个平面的法向量求出它们交线的方向向量，再利用线面角的向量法求解. 【详解】由平面的方程为，得平面的法向量， 平面的法向量，平面的法向量， 设直线l的方向向量为，由直线l是两平面的交线，得向量与向量、都垂直， 则，解得，得，设直线l与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为： 四、解答题 15．（26-27高三上·广东揭阳·开学考试）如图所示为四棱锥，已知底面为矩形，底面且，． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)由四边形为矩形，且平面，又平面， 得，又， ，，平面，所以平面， 又因为平面，所以． (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可证平面，进而可得面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【详解】（1）略 （2）由四边形为矩形，平面， 所以，，， 以A为原点，分别以所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 可得，，． 设平面的一个法向量为，则， 令，则，，故． 设直线与平面所成的角为， 则． 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 16．（26-27高三上·湖北·开学考试）如图，在三棱柱中，，，侧面为菱形，点为的中点，平面． (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明：因为为的中点，，所以. 因为平面，平面，所以. 又，平面，且， 所以平面． (2)存在，． 【分析】（1）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，设，根据线面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为，，所以，. 因为四边形为菱形，且，所以. 由（1）知，，两两垂直， 故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 设 ． 又，所以， 设平面的一个法向量， 则，即，令，则，，所以， 记直线与平面所成的角为， 则，解得（负根舍去）， 此时为的中点，所以在棱上存在点满足条件，此时． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $向量法求空间中的线面角小专题训练（适合全国I卷地区） 解题依据 直线和平面所成的角：直线AB与平面a(相交于B,设直线AB与平面C所成的角为0，直线AB的方向向 量为i,平面a的法向量为i:则sin0=cos<u,n2i= 【答案】 u.n u 训 制 小专题训练 一、单选题 1.(25-26高二下·安徽阜阳·期末)若平面的一个法向量为i=2,1,1,直线的一个方向向量为 a=1,2,-2,则l与c所成角的正弦值为() A.2 V6 96 2V6 B. 6 C. D. 6 9 9 2.(2026高三·全国.专题练习)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则 BC,与平面BB,D,D所成角的正弦值为（） D B A D: B V6 A. B.25 c.V15 3 D.0 5 5 3.(25-26高一下·重庆期末)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=2,BB1=1,则直线A1C与平面 AA1B,B所成角的正弦值为() V10 B.5 V15 A. 5 c.0 10 D.10 4.(2026高二·河南·期末)在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,∠BAC=90°，D、E、F分别是 棱AB、BC、CP的中点，AB=AC=1,PA=2,则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为() 试卷第1页（共3页） 1 A.5 B.5 5 c.5 D.25 5 5.(25-26高二下·江苏宿迁期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为线段AC的中点.点P在线段 A,C,上，直线0P与平面A,BC,所成的角为g:则cos6的最小值是() V6 A.3 3 2 B.3 C.4 n誓 6.(2026河南叶县期末)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC,AB=BC=AA1,点D为CC1的 中点，点M为侧面ABB1A1内（含边界）的动点，且C1M‖平面A1DB,设直线C1M与平面ABB1A1 所成的角为6，则tanθ的最大值为() A1下 C B A.V2 B.2V2 c.3 D.3V2 7.(25-26高二下河南许昌期末)在正方体ABCD-A1BC1D1中，点O为线段AC的中点，点P在线 段A,C,上，直线oP与平面A,BC所成的角为g:则cos9的最小值为(） V7 V6 A.3 B.3 c. D. 2 3 8.(25-26高一下-山东烟台期末)已知三棱柱ABC-A1B,C,中，AB⊥BC'AA1=BC=6 AB=10,点B1在底面ABC内的射影为△ABC的外心，则直线BC1与平面ABC所成角的正弦值为 () 1 V2 3 A.3 B.3 c.3 D房 二、多选题 9.(26-27高三上·江苏常州，阶段检测)在棱长为2的正方体ABCD-A1BC1D1中，E为棱A1B1的中 点，F为棱BC的中点，则下列结论正确的有() 试卷第2页（共3页） A.EF⊥A,D B.异面直线EF与A1C所成角余弦值为 V2 3 6 棱雠EABF的体 D.直线EF与平面ABCD所成角正弦值为 3 10.(25-26高二下·江苏苏州期末)如图，在平行六面体ABCD-A1BC1D1中，已知 AB=AD=AA1=1,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，O,E分别为BD1,CC1的中点，则 () O A B1. B A.OE=1AB+AD-AA】 B.O正Ai-号 C.AC=3 ,3 D.AC1与平面BDD1B,所成角的正弦值为3 三、填空题 11.（25-26高二上河南郑州·期末)在空间直角坐标系中，平面@的一个法向量的坐标为4,4，-7，直 线的一个方向向量的坐标为8，-4,1，则直线l与平面Q所成角的余弦值为 12.(25-26高二上湖北荆州：期未)在正三棱柱ABC-A1B,C,中，AA,=3AB=3:点E,F分别在 棱AA1,BB1上，已知AE=2BF=2,则AA1与平面EFC所成角的正弦值为 13.(25-26高二上广东东莞期末)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱C1D1的中点， 则CE与平面AB1D1所成角的正弦值， D E A D 14.(25-26高二上·湖南郴州期末)空间直线与平面也有方程.教材中有如下阐述： 试卷第3页（共3页） 在空间直角坐标系中，已知点PX,0,2。小向量a=(0,b,C0,b,c不全为0，过点P 且一个法向量为：的平面。的方程为ax-x+by-y+cz-zo=0 请利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面Q的方程为x+y-2z-9=0,直线l是平面 x-2y-1=0与x+y-1=0的交线，则直线l与平面α所成角的正弦值为 四、解答题 15.(26-27高三上·广东揭阳·开学考试)如图所示为四棱锥P-ABCD,已知底面ABCD为矩形， PA⊥底面ABCD且AB=4,PA=AD=2. D (1)证明：CD⊥PD: (2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值. 16.(26-27高三上·湖北开学考试)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC,AB=BC=V2 侧面ACC1A1为菱形，点D为AC的中点，A1D⊥平面ABC. A C B B (1)证明：BD⊥平面ACC1A1: (2②在棱A,B1上是否存在点E,使得直线DE与平面ABBA1所成角的正弦值为 6?若存在，求AE的 长度；若不存在，说明理由. 试卷第4页（共3页）