点到平面距离的向量求法 小专题训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册（适合全国I卷地区）

**基本信息** 聚焦点到平面距离的向量求法，以法向量投影为核心方法，构建“概念-原理-应用”的系统性训练体系，培养空间观念与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |方法依据|1个核心公式|基于法向量的投影长度公式，通过空间向量运算求点面距离|从点到直线距离引入，推导点到平面距离向量公式| |综合应用|16题（单选8/多选2/填空4/解答2）|结合空间几何体（正方体、棱锥等）灵活应用公式|覆盖直接计算、体积关联、平面方程等考法，形成“原理-变式-综合”应用链条|

点到平面距离的向量求法小专题训练（适合全国I卷地区） 解题依据 点P到直线l的距离：设AP=ā，ⅱ是直线l的单位方向向量，则向量AP在直线l上的投影向量 A0=ad)立在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ=P-A= … 小专题训练 点到平面的距离 如图，在平面。内任取一点A:作向量A办设是平面。的法向量，则AP在法向量上的投影长B驴= 即为点P到平面a的距离d. B 一、单选题 1.(25-26高二下.江苏扬州·期末)在空间直角坐标系中，已知点A1,1,0,B1,0,1,C0,1,1, D3,1,0,则点D到平面ABC的距离为() 4.3 3 3 B.2 c.23 3 D.3 2.(25-26高二下·福建漳州·期中)在空间直角坐标系中，O是平面ABC外一点，平面ABC的一个法向 量为i=1,22”△ABC的面积为3，且O方=-3,12：则三棱锥0-ABC的体积为（） 3 A.1 B. 2 C.2 D.3 试卷第1页（共3页） 3.(2026湖南郴州：模拟预测)阅读材料：空间直角坐标系0-X2中，过点PX,yo,Z,且一个法向量 为=(a,b,c)的平面a的方程为ax-x+by-y。+c2-2o=0阅读上面材料，解决下面问题：已 知平面a的方程为2x+y+z=2,点Q(2,1,-1),则点Q到平面@距离为() 誓 R誓 e. D.1 4.(26-27高三·全国一轮复习)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,BC=CC1=1,E为 CD的中点，则点D到平面AD1E的距离为() D A V6 3 3 c.3 96 A·3 B.6 D.6 5.(25-26高-下广东深圳期末)已知向量范=4，-1,0'A衣=0,30：本=-3,1，-4则三棱 锥S-ABC的体积为() A.2 B.4 C.6 D.8 6.(25-26高一下.浙江温州·期中)如图，正方体ABCD-A1BC1D1棱长为4，点M是棱CC1的中点， 点E,F分别是线段A,M,BM的中点，则三棱锥E-ADF的体积为（） D B M 1.20 8.6 C.6 D.8 3 3 7.(25-26高二下-江苏准安阶段检测)空间直角坐标系0-y2中，过点PX,y,2且一个法向量为 试卷第2页（共3页） 方=a,b,c的平面。的方程为ax-X+by-y。+c2-z=0:阅读上面材料，解决下面问题：已知平 面c的方程为2x-y-z=2,点M-1,2,2,则点M到平面a距离为() 496 A. B.4 c.56 3 D.26 6 3 8.(2026山东东营·模拟预测)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在正方体的棱上运动， 则三棱锥p-A,C,D的体积的取值范围是（） 0 C.48 3 3'3 D.0,2 二、多选题 9.(25-26高二下·江苏镇江期中)在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P,Q分别为棱C1D1, CC,的中点，则下列结论正确的有() A.直线A1P与直线BQ共面 B.直线AP⊥QD1 C.点D1到平面A1BD的距离为22 5 D.直线AP与直线BQ所成角的正弦值为 10.(2026河南开封模拟预测)在直三棱柱ABC-A1B,C1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC1=2, M为线段AB的中点，则下列正确的有() A.直线AC1/平面B,MC B.AB1⊥A,C C.直线A1M与直线BC1所成的角为45 23 D.C到平面A1MC距离为3 三、填空题 1.（25-26高二上广东汕头期未)在空间直角坐标系中，若平面经过点PX,y0,2且以向量 立=a,b,c为法向量，则方程ax-x,+by-y+c2-z,=0表示平面。已知点M1,t0在平面 y:x+2y=3t内，则点P2,3,-2到y的距离为 试卷第3页（共3页） 12.(25-26高一下河北保定期中)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1BC1D1中，E为A1B1中点， 则点C到平面AEC1的距离为 D E A C B 13.(25-26高二下江苏南京·阶段检测)在正四棱柱ABCD一A1BC1D1中，底面边长为2，侧棱长为 4,则C1到平面AD1C的距离为 14.(25-26高三上·湖南娄底·期末)如图所示，点0是半圆柱底面的圆心，AA1和BB1是圆柱的母线， )为母线BB,的中点，若AB=AA1=4,B,E和AC的弧长为4”则点E到平面OCD的距 B D 四、解答题 15.(25-26高一下·浙江温州·期末)在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯 形，AD/1BC,PA=AB=BC=2,AD=1,∠BAD=90°. (I)若E为PB的中点，求证：AE/I平面PDC: (2)求点B到平面PCD的距离. 16.(2026福建泉州·模拟预测)如图，圆锥PO的底面半径为2，高为23，AB是⊙O的直径，点C在 ⊙O上，且∠AOC=120°，点M为PB的中点. 试卷第4页（共3页） M B (1)求AC与平面POC所成角的正弦值： (2)求A到平面MOC的距离. 试卷第5页（共3页） 点到平面距离的向量求法小专题训练 （适合全国I卷地区） 解题依据 点P到直线l的距离：设是直线l的单位方向向量，则向量在直线l上的投影向量.在中，由勾股定理，得______. 【答案】 【详解】根据投影向量公式和勾股定理得 . 小专题训练 点到平面的距离 如图，在平面内任取一点，作向量，设是平面的法向量，则在法向量上的投影长______即为点到平面的距离．    【答案】 一、单选题 1．（25-26高二下·江苏扬州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易得，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则点到平面的距离为. 2．（25-26高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，是平面外一点，平面的一个法向量为，的面积为3，且，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点到平面距离的向量公式，求出点到平面的距离，再结合锥体体积公式计算即得. 【详解】因为，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离， 又的面积， 所以三棱锥的体积. 3．（2026·湖南郴州·模拟预测）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，点，则点Q到平面距离为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出平面的法向量及所过的点，再利用点到平面距离公式求解 【详解】依题意，平面过点，其法向量， 则，所以点Q到平面距离. 4．（26-27高三·全国·一轮复习）如图，在长方体中，，E为的中点，则点D到平面的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，求出平面的法向量，进而根据点到平面的距离公式计算即可. 【详解】以D为坐标原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，得，所以， 则点到平面的距离. 5．（25-26高一下·广东深圳·期末）已知向量，，，则三棱锥的体积为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先求出平面的法向量，再利用向量求出点到平面的距离，然后利用向量求出点到直线的距离，进而求出的面积，最后利用三棱锥的体积公式即可. 【详解】设平面的法向量为， 则，则， 则点到平面的距离为， 又，， 则点到直线的距离为， 则， 故三棱锥的体积为. 6．（25-26高一下·浙江温州·期中）如图，正方体棱长为4，点是棱的中点，点分别是线段的中点，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离，再结合棱锥的体积公式求解. 【详解】以为原点，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，，. 所以，，. 在中，，， 所以 . 又，，. 设平面的法向量为，则 ，取可得. 所以点到平面的距离为：. 所以. 7．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，点，则点到平面距离为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到平面内的一点为，且平面的一个法向量为，再由，结合向量的距离公式，即可求解. 【详解】由平面的方程为，可化为， 根据题意，可得平面内的一点为，且平面的一个法向量为， 又由点，所以， 所以点到平面的距离为. 8．（2026·山东东营·模拟预测）在棱长为2的正方体中，点P在正方体的棱上运动，则三棱锥的体积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据P点位置可确定三棱锥的体积可无限接近于0；再确定当P点位于正方体顶点B处时，三棱锥的高最大，利用空间向量求点到平面的距离，即求出三棱锥的高的最大值，利用棱锥体积公式，即可求得答案. 【详解】如图，当在的顶点相连的棱上时，当无限靠近时， 三棱锥的高可无限接近于0，故三棱锥可无限接近于0； 当点位于正方体顶点处时，三棱锥的高最大，此时三棱锥的体积最大； 如图建立空间直角坐标系，则, ， 则，即得， 结合平面，可得平面， 即为平面的一个法向量，则B到平面的 距离为， 为边长为等边三角形，其面积为， 故三棱锥的体积最大为， 故三棱锥的体积的取值范围是. 二、多选题 9．（25-26高二下·江苏镇江·期中）在棱长为4的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的有（    ） A．直线与直线共面 B．直线 C．点到平面的距离为 D．直线与直线所成角的正弦值为 【答案】ABD 【分析】利用线线平行可判断A选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量可逐个分析B，C，D选项. 【详解】连接，，，因为P，Q分别为棱，的中点，所以， 因为，所以，所以四点共面，所以直线与直线共面，所以A正确； 以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 由已知棱长为，所以，，，， 所以，，所以,所以，所以B正确； 点，，，所以,， 设平面的法向量为， 所以，即，取， 所以平面的一个法向量为，， 所以点到平面的距离，所以C错误； ，，设直线与直线所成角为， 所以，所以，所以D正确. 10．（2026·河南开封·模拟预测）在直三棱柱中，，，为线段的中点，则下列正确的有（    ） A．直线平面 B． C．直线与直线所成的角为 D．到平面距离为 【答案】ABD 【分析】以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，对A，求直线的方向向量和平面的法向量，验证方向向量与法向量垂直，结合线不在面内判定；对B，计算和​的数量积判断；对C，利用异面直线夹角公式，计算两个方向向量夹角的余弦绝对值判断；对D，求出平面的法向量，代入距离公式计算验证. 【详解】以为原点，​分别为轴， 由，得各点坐标： ， 对于选项A：，平面中， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以是平面的一个法向量 ， 因为，故，且不在平面内， 因此平面，A正确； 对于选项B：， 因为 ，所以，B正确； 对于选项C：，设异面直线与所成角为， 则，得，C错误； 对于选项D：，设平面的法向量， 则，即，令，则， 所以是平面的一个法向量，又， 所以点到平面的距离： ，D正确. 三、填空题 11．（25-26高二上·广东汕头·期末）在空间直角坐标系中，若平面经过点，且以向量为法向量，则方程表示平面.已知点在平面内，则点到的距离为__________. 【答案】 【分析】由题设确定平面的法向量且，进而有，应用向量法求点面距离. 【详解】由题意知，平面的法向量， 由，可得，于是，所以， 故点到的距离. 故答案为： 12．（25-26高一下·河北保定·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E为中点，则点C到平面的距离为______ 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，然后利用点到平面的距离公式求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量为， , 则， 令，则， 设点到平面的距离为， 则，     即点到平面的距离为. 13．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）在正四棱柱中，底面边长为2，侧棱长为4，则到平面的距离为_______． 【答案】 【分析】以D为原点，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离. 【详解】如图，以D为原点，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则 ∴ ， ， ． 设平面的法向量为， 则即取，则，所以， 所以点C1到平面AD1C的距离为＝． 14．（25-26高三上·湖南娄底·期末）如图所示，点是半圆柱底面的圆心，和是圆柱的母线，点D为母线的中点，若，和的弧长为.则点E到平面的距离为_______. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再利用点到平面距离的向量求法求解即可. 【详解】如图，以为原点，建立空间直角坐标系，连接， 设中点为，中点为，由题意得，， 因为和的弧长为，所以与弧长为， 可得， 所以， 设平面的法向量为，则， 即，令，则，取， 则到平面距离为. 故答案为： 四、解答题 15．（25-26高一下·浙江温州·期末）在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，． (1)若为的中点，求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用向量法证明线面平行即可； （2）利用向量法直接求解点到平面的距离. 【详解】（1）由题知，因为平面，平面， 且，所以两两互相垂直， 以为原点，所在直线分别为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以，，又， 令平面的一个法向量， 则，解得， 取，则，所以， 则， 所以平面. （2）由（1）知，平面的一个法向量， 又， 则点到平面的距离为. 16．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，圆锥的底面半径为，高为，是的直径，点在上，且，点为的中点． (1)求与平面所成角的正弦值； (2)求到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求解； （2）利用向量法求得平面的法向量，进而求得结果. 【详解】（1）如图，在平面内，过与垂直的直线为轴，，所在的直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 设平面的法向量为． 则有，即 所以平面的一个法向量，且， 所以与平面所成角的正弦值为． （2）又，设平面的法向量为， 则  ，故可取． 因为，所以到平面的距离为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $