空间向量与立体几何：求空间向量的数量积、空间向量的数量积的应用专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量数量积的计算与应用，通过正方体、三棱柱等多几何体情境，构建从定义计算到几何量求解的逻辑链条，培养几何直观与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求空间向量的数量积|8道（例4+变式4）|涉及基底法、坐标法求数量积，含投影向量计算|从数量积定义到不同几何体中基底选择与坐标运算| |空间向量的数量积的应用|8道（例4+变式4）|应用数量积求长度、夹角、判断垂直，含多面体综合问题|从数量积性质到空间几何量（长度、夹角）的求解应用|

空间向量与立体几何：求空间向量的数量积、空间向量的数量积的应用专项训练 空间向量与立体几何：求空间向量的数量积、空间向量的数量积的应用专项训练 考点目录 求空间向量的数量积 空间向量的数量积的应用 考点一 求空间向量的数量积 例1．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 【答案】C 【分析】利用正方体中棱向量两两垂直、模长为的性质，先展开点积，再根据垂直向量点积为，向量自身点积为模长平方，代入计算即可快速得到结果． 【详解】    由题意，正方体棱长为1，所以两两垂直且， 所以， 因为、、，所以，，， 又，代入得． 例2．（25-26高二上·吉林松原·期中）郑国渠是秦王嬴政命郑国修建的著名水利工程，先人用智慧和勤劳修筑了一道道坚固的堤坝.如图是一道堤坝的示意图，堤坝斜面与底面的交线记为，点分别在堤坝斜面与地面上，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，若，二面角的大小为，则（    ） A．3 B． C． D．6 【答案】D 【分析】根据向量加法的三角形法则得到，再利用向量模长平方的性质将展开，结合向量数量积公式计算，最后求出. 【详解】由题意可知：，，， 因为， 则 ， 所以． 故选：D. 例3．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）在斜三棱柱中，底面边长和侧棱长都为，且，则的值为____． 【答案】 【分析】根据向量线性运算分别用表示出，结合向量数量积运算即可求解. 【详解】根据题意，画出空间几何体如下图：   ，， ， 则 . 故答案为：. 例4．（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）在空间直角坐标系中，是一个单位的正交基底，且向量，，则与夹角的余弦值为______． 【答案】 【分析】求出，，，利用空间向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】由题意得， 所以， ， ， 所以. 故答案为： 变式1．（25-26高二上·天津静海·期中）已知四面体的各棱长均为1，E、F、G分别是、、的中点，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】设，，，可得，，然后利用数量积的定义及运算法则即可求. 【详解】因为四面体的各棱长均为1，则该四面体为正四面体， 如图，设，，，    则， 又， ， ∴. 故选：A. 变式2．（25-26高二上·广东·期中）在正三棱柱中，为的中点，则（    ） A．-1 B． C． D．1 【答案】D 【分析】用空间向量将表示出来，然后结合正三棱柱的垂直关系和向量的数量积定义求出结果即可. 【详解】因为为的中点，故， 因为正三棱柱，所以，故， 于是.. 故选：D. 变式3．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知向量，满足，且在上的投影向量为，则= ______． 【答案】 【分析】根据投影向量公式求得，利用数量积的运算律化简得，将已知条件代入得，最后利用数量积的定义求解即可. 【详解】由于在上的投影向量为， 则，即， 即，由，则，所以， 于是． 故答案为： 变式4．（25-26高二下·广东·期末）如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且，，，，，则的长______. 【答案】 【分析】利用空间向量加法法则将表示为，通过两边平方结合向量数量积的定义及运算律求解. 【详解】因为，，所以，， 又因为二面角为，，，且，， 所以向量与的夹角为，则向量与的夹角为. 由向量加法法则可得， 所以， 即. 考点二 空间向量的数量积的应用 例1．（25-26高二上·河北承德·阶段检测）在棱长为的正四面体中，点在上，且，为中点，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】选取基底向量将表示为向量的线性组合，再通过对该向量求平方，利用已知向量的数量积即可求解. 【详解】设， 由题意得，， ，， 因为为中点，所以， ， ， 所以.    例2．（25-26高二上·湖南衡阳·阶段检测）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的数量积求向量的夹角. 【详解】因为，，即； 又，所以，， 设与的夹角为，则， 又，所以. 例3．（25-26高二上·安徽·阶段检测·多选）在平行六面体中，，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．直线与所成角的余弦值为 D．二面角的余弦值为 【答案】BCD 【分析】A：由结合数量积的运算求解出结果；B：根据结合数量积的运算求解出结果；C：先根据结合数量积的运算求解出，再由代入数据求解出结果；D：取的中点，通过几何关系可证即为所求二面角的平面角，结合线段长度以及余弦定理求解出结果. 【详解】对于A，令，则， 所以 ， 所以，故A错误； 对于B： ， 故B正确； 对于C，因为， 所以 ， 所以，故C正确； 对于D，因为， 所以， 因为， 所以， 取的中点，连接，因为， 所以，则即为所求二面角的平面角， 又因为， 所以，故D正确． 故选：BCD. 例4．（25-26高二上·浙江·期中）如图，在平行六面体中，，，点为的中点.    (1)求的长； (2)已知为上的动点，若，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，利用数量积求模长即可； （2）设，根据向量垂直结合数量积可得，即可得结果. 【详解】（1）由题意可知：，，， 因为， 则 ， 即，所以的长为. （2）设，则 可得 ， 若，则，解得， 所以，即的长为2. 变式1．（25-26高二上·河南郑州·期末）在平行六面体中，，，，是的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ， ，，， , ． 变式2．（25-26高三上·山东临沂·期末）如图，已知A，B，C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且与，与的夹角均为，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为基底向量，可得，结合空间向量的数量积运算求解即可. 【详解】由图可知：，且，则 由题意可得：， 因为， 则 ， 所以. 故选：B． 变式3．（2026·江西赣州·模拟预测·多选）如图，平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，平面，则（     ）    A．直线与直线所成角为 B．平面平面 C． D．平行六面体的体积为 【答案】BCD 【分析】根据题意，可得平面，则，可判断A；根据面面平行的判断定理判断B；根据，则解得，进而求得，判断C；过点作于点，则平面，故为平行六面体的高，求体积判断D. 【详解】连接，∵底面是边长为1的菱形，， 平面平面，， 平面，平面， 平面，，A错误； ，四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面，同理可知平面， 又平面， 平面平面B正确； 平面平面， ， 则， 即， 又， 设的长度为，故，解得，负值舍去， 又， 故   ， C正确； ， 又， 故，故， 过点作于点，则， 平面平面，， 平面为相交直线， 平面，故为平行六面体的高， 菱形的面积为， 则平行六面体的体积为D正确． 变式4．（25-26高二上·云南玉溪·阶段检测）如图，棱长为1的正四面体中，，，，点M满足，点N为中点． (1)用、、表示； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量线性运算求解即可； （2）根据数量积的运算计算，进而可得. 【详解】（1）连接，如图所示． ∵点N为中点，∴． ∵，∴. 则． （2）因为正四面体的棱长为1，所以， 所以 ， 所以． 2 学科网（北京）股份有限公司 $空间向量与立体几何：求空间向量的数量积、空间向量的数量积的应用专项训练 空间向量与立体几何：求空间向量的数量积、空间向量的数量积的应用专项训练 考点目录 求空间向量的数量积 空间向量的数量积的应用 考点一 求空间向量的数量积 例1．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 例2．（25-26高二上·吉林松原·期中）郑国渠是秦王嬴政命郑国修建的著名水利工程，先人用智慧和勤劳修筑了一道道坚固的堤坝.如图是一道堤坝的示意图，堤坝斜面与底面的交线记为，点分别在堤坝斜面与地面上，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，若，二面角的大小为，则（    ） A．3 B． C． D．6 例3．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）在斜三棱柱中，底面边长和侧棱长都为，且，则的值为____． 例4．（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）在空间直角坐标系中，是一个单位的正交基底，且向量，，则与夹角的余弦值为______． 变式1．（25-26高二上·天津静海·期中）已知四面体的各棱长均为1，E、F、G分别是、、的中点，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 变式2．（25-26高二上·广东·期中）在正三棱柱中，为的中点，则（    ） A．-1 B． C． D．1 变式3．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知向量，满足，且在上的投影向量为，则= ______． 变式4．（25-26高二下·广东·期末）如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且，，，，，则的长______. 考点二 空间向量的数量积的应用 例1．（25-26高二上·河北承德·阶段检测）在棱长为的正四面体中，点在上，且，为中点，则为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·湖南衡阳·阶段检测）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·安徽·阶段检测·多选）在平行六面体中，，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．直线与所成角的余弦值为 D．二面角的余弦值为 例4．（25-26高二上·浙江·期中）如图，在平行六面体中，，，点为的中点.    (1)求的长； (2)已知为上的动点，若，求的长. 变式1．（25-26高二上·河南郑州·期末）在平行六面体中，，，，是的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·山东临沂·期末）如图，已知A，B，C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且与，与的夹角均为，，若，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（2026·江西赣州·模拟预测·多选）如图，平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，平面，则（     ）    A．直线与直线所成角为 B．平面平面 C． D．平行六面体的体积为 变式4．（25-26高二上·云南玉溪·阶段检测）如图，棱长为1的正四面体中，，，，点M满足，点N为中点． (1)用、、表示； (2)求． 2 学科网（北京）股份有限公司 $