精品解析：陕西省咸阳市长武县昭仁中学2025～2026学年下学期期中考试八年级数学试题

2025~2026学年度第二学期期中教学质量阶段性检测作业八年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列分式与一定相等的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题为真命题的是（ ） A. 等腰三角形的底角必为锐角 B. 有一个角是的三角形是等边三角形 C. 等腰三角形的顶角一定是锐角 D. 斜边相等的两个直角三角形全等 4. 下列判断不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，直线，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，点D在上，D点在的中垂线上，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是等边三角形，，分别为，边上的点，且，，相交于点，连接并延长到点，与相交于点，延长到点，连接，，若，，点是的中点，下列结论：；；；，其中正确结论的序号是（） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 的与的差不小于3，用不等式表示为______． 10. 如果分式的值为，那么的值是______． 11. 已知点和点关于原点对称，则的值为______． 12. 因式分解：=___． 13. 如图，在中，，平分，若，，则的度数为______． 14. 在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，点的坐标为，，点的坐标为，点为斜边上的一个动点，则的最小值为________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 把下列各式因式分解： （1） （2） 16. 解不等式组． 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得______； （2）解不等式②，得______； （3）把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来： （4）原不等式组的解集为______． 17. 如果一元一次不等式组无解，求m的取值范围． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 尺规作图：（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 如图，中，，，利用尺规在边上求作一点，使． 20. 已知：如图，在中，、是边、边上的高，且．求证： （1）； （2）． 21. 如图，已知在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是． （1）画出将向左平移6个单位，再向下平移1个单位后的． （2）画出关于原点中心对称的． 22. 如图，将绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点E恰好落在上． （1）若，，求线段的长． （2）连接，若，，求的度数． 23. 新能源汽车行业已进入从“高速扩张”向“高质量发展”转型的关键阶段．李叔叔购买了一辆新能源汽车，现在面临充电方案的选择，经过调查，有两种方案： 第一种方案（家用充电）：安装家用充电桩所需费用为1750元，电费每度0.5元； 第二种方案（公用充电）：仅有电费，电费每度1.2元． 请问该车充电总量为多少度时，选择方案一所需充电总费用较少？ 24. 现有图1中的A，B，C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解． 例：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式． （1）请把表示图3面积的多项式因式分解（直接写出等式即可）_____________； （2）请利用图1的卡片，若想得到面积为的图形，需要卡片A____张，卡片B____张，卡片C____张． 25. 2025年12月为纪念仁怀撤县设市30周年，仁怀举办了大型无人机表演，科技走入了我们的生活．某校准备开设无人机驾驶实验课程，打算购买两种型号的无人机．已知型号无人机的单价比型号无人机单价多2000元，若购买3台型号无人机和2台型号无人机需要21000元． （1）求型号、型号无人机的单价分别是多少元； （2）若学校预计用不高于145000元的资金购买，两种型号的无人机共40台，则最多可以购买型号无人机多少台？ 26. 在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点在等边内部，且，，，求的长． （1）【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找，，三边之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的证明过程； （2）【理解应用】如图②，在等腰直角中，，为内一点，，可判断出，请说明理由： （3）如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期中教学质量阶段性检测作业八年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据定义依次判断每个选项，进而选出是中心对称图形，但不是轴对称图形的选项. 【详解】解：、有竖直对称轴，是轴对称图形；旋转不能与原图重合，不是中心对称图形； 、绕圆心旋转和原图重合（中心对称）；找不到一条直线对折后两边重合（不是轴对称）； 、既有对称轴，旋转也和原图重合，既是轴对称，又是中心对称； 、有竖直对称轴，是轴对称图形；旋转不能重合，不是中心对称图形. 2. 下列分式与一定相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的基本性质可判断A；根据当时，式子无意义可判断B；根据当时，，可判断C、D． 【详解】解：A、，故此选项符合题意； B、当时，式子无意义，故此选项不符合题意； C、当时，，，此时，故此选项不符合题意； D、当时，，，此时，故此选项不符合题意； 3. 下列命题为真命题的是（ ） A. 等腰三角形的底角必为锐角 B. 有一个角是的三角形是等边三角形 C. 等腰三角形的顶角一定是锐角 D. 斜边相等的两个直角三角形全等 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵ 等腰三角形两个底角相等，三角形内角和为，若底角为直角或钝角，则两个底角的和 ，加上顶角后内角和超过，不符合三角形内角和定理 ∴ 等腰三角形的底角必为锐角，A是真命题； B选项：只有一个角是的等腰三角形才是等边三角形，任意三角形有一个角为不一定是等边三角形，因此B是假命题； C选项：等腰三角形顶角可以是钝角，例如顶角为，两底角各为的等腰三角形存在，因此等腰三角形顶角不一定是锐角，C是假命题； D选项：斜边相等的两个直角三角形，直角边不一定对应相等，无法判定全等，因此D是假命题． 4. 下列判断不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的基本性质逐一判断各选项，找出错误的判断即可． 【详解】解：A、由于，不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变， 则，选项正确，不符合题意； B、由于，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，则，选项正确，不符合题意； C、当时，则，选项错误，符合题意； D、由于，且，可得，不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，则，选项正确，不符合题意． 5. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A选项，等式左边是单项式，不是多项式，不符合要求，错误； B选项，等式右边是和的形式，不是整式乘积的形式，不符合要求，错误； C选项，，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，正确； D选项，该变形是整式乘法，将积化为多项式，不是因式分解，错误． 6. 如图，直线，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形内角和为． 根据两直线平行同位角相等得出图中的同位角的度数，再根据三角形内角和求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴． 7. 如图，在中，，，点D在上，D点在的中垂线上，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中垂线的性质可得，利用勾股定理求出，结合即可求解． 【详解】解：设边的中垂线为， ， ，，， ， ． 8. 如图，是等边三角形，，分别为，边上的点，且，，相交于点，连接并延长到点，与相交于点，延长到点，连接，，若，，点是的中点，下列结论：；；；，其中正确结论的序号是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明，则，再通过三角形的外角性质即可判断；设，则，所以，再通过角度和差，即可判断；由，则有，可得，即，即可判断；延长到，使，连接，证明，，通过全等三角形的性质等知识，即可判断． 【详解】解：为等边三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ，故错误； ， 设，则， ， ， ， ， 又， ，故正确； ， ， ， ，即， ， ，故错误； 延长到，使，连接，如图， 又，， ， ， 又，， ，即， 又， ，即， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ，故正确， 综上可得：正确． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 的与的差不小于3，用不等式表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意写出对应代数式，再根据“不小于”的含义确定不等关系，即可列出不等式． 【详解】解：的表示为，的与的差为：，“不小于”即大于或等于， 因此列不等式得：． 10. 如果分式的值为，那么的值是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴，且， ∴． 11. 已知点和点关于原点对称，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征求出和的值，再代入代数式计算即可求解． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴它们的横、纵坐标分别互为相反数， ∴，， ∴． 12. 因式分解：=___． 【答案】 【解析】 【分析】根据提公因式法和公式法因式分解． 【详解】解：原式 ． 13. 如图，在中，，平分，若，，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】在中，求出，再利用角平分线的定义可得，再利用三角形内角和定理求得． 【详解】解：，， ， ， ， 平分， ， ． 14. 在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，点的坐标为，，点的坐标为，点为斜边上的一个动点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查轴对称最短路径问题，坐标与简单图形计算，直角三角形计算．作关于的对称点，连接交于，此时就是的最小值．通过直角三角形计算即可求出长度． 【详解】解：作关于的对称点，连接交于，连接，过作，点在上，连接交于．此时就是的最小值． ，点的坐标为， ，，， 和关于对称， ，， ， ， ， 由可得， ， ， ， ， ， ． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 把下列各式因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式因式分解即可； （2）先提取公因式，再用平方差公式因式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 解不等式组． 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得______； （2）解不等式②，得______； （3）把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来： （4）原不等式组的解集为______． 【答案】（1） （2） （3） 解：不等式①和②的解集在数轴上表示如图： （4） 【解析】 【分析】分别解不等式组中的一元一次不等式，再用数轴表示出不等式解集，最后由不等式组解集求法即可得到答案． 【小问1详解】 解：， 移项，得， 合并同类项，得； 【小问2详解】 解：， 移项，得， 合并同类项，得； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：由（3）可知，原不等式组的解集为． 17. 如果一元一次不等式组无解，求m的取值范围． 【答案】 【解析】 【详解】解：由，得：， ∵一元一次不等式组无解， ∴． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则进行化简，再将代入进行计算即可． 【详解】解：原式 当时，原式． 19. 尺规作图：（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 如图，中，，，利用尺规在边上求作一点，使． 【答案】 解：如图，点P即为所求 【解析】 【分析】方法①作上的垂线（延长，以点为圆心，小于长为半径画弧与射线相交，分别以两交点为圆心，任意长为半径画弧，交点与点相连即为上的垂线），将分成和，此时垂线与交点即为点； 方法②可根据三角形内角和定理及等边对等角得，则作的垂直平分线交于点（分别以点、点为圆心，大于为半径画弧，连接交点即为的垂直平分线），也能使； 方法③过点作（以点为圆心，小于长为半径画弧分别与、相交，再以点为圆心，相同半径画弧与相交，再以该交点为圆心，将以点为圆心画弧得到的两交点之间的距离为半径画弧，该弧与以点为圆心画的弧形成交点，连接点与该交点并延长交于点），也能使． 【详解】略 20. 已知：如图，在中，、是边、边上的高，且．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（）由垂直定义可得，然后通过“”证明即可； （）由，所以，，则，然后通过线段的和与差即可求证． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 21. 如图，已知在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是． （1）画出将向左平移6个单位，再向下平移1个单位后的． （2）画出关于原点中心对称的． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求， ． （2） 解：如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】（1）将向左平移6个单位长度，再向下平移1个单位，根据得到，从而在坐标系中描点、、，再顺次连接这三点即可． （2）根据得到，从而在坐标系中描点、、，再顺次连接这三点即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，将绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点E恰好落在上． （1）若，，求线段的长． （2）连接，若，，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定及性质； （1）由旋转的性质得，，再由，即可求解； （2）由三角形内角和定理可求，再由“等边对等角”和三角形内角和定理得＝，即可求解； 掌握相关的性质，并能熟练利用等腰三角形的性质进行角度求解是解题的关键． 【小问1详解】 解：将绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点E落在上， ，， ； 【小问2详解】 解：如图，连接， ，， ， ， ， ＝ ． 23. 新能源汽车行业已进入从“高速扩张”向“高质量发展”转型的关键阶段．李叔叔购买了一辆新能源汽车，现在面临充电方案的选择，经过调查，有两种方案： 第一种方案（家用充电）：安装家用充电桩所需费用为1750元，电费每度0.5元； 第二种方案（公用充电）：仅有电费，电费每度1.2元． 请问该车充电总量为多少度时，选择方案一所需充电总费用较少？ 【答案】该车充电总量大于2500度时，选择方案一所需充电总费用较少 【解析】 【分析】设这辆新能源汽车的充电总量为x度，根据题意，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：设这辆新能源汽车的充电总量为x度， 由题意，得 ， 解得； 答：该车充电总量大于2500度时，选择方案一所需充电总费用较少． 24. 现有图1中的A，B，C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解． 例：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式． （1）请把表示图3面积的多项式因式分解（直接写出等式即可）_____________； （2）请利用图1的卡片，若想得到面积为的图形，需要卡片A____张，卡片B____张，卡片C____张． 【答案】（1） （2）2，5，3 【解析】 【分析】（1）仿照题意把图3的面积用两种方法表示出来，然后根据两种表示方法表示的面积相等即可得到答案； （2）仿照题意画出对应的图形即可得到答案． 【小问1详解】 解：由图可知，图3是由1张A卡片，3张B卡片，2张C卡片拼成的， 图3的面积为， 又图3的面积又等于一个长为，宽为的长方形面积， ． 【小问2详解】 解：如图所示，下图是由2张A卡片，5张B卡片，3张C卡片拼成的 同理可得； 25. 2025年12月为纪念仁怀撤县设市30周年，仁怀举办了大型无人机表演，科技走入了我们的生活．某校准备开设无人机驾驶实验课程，打算购买两种型号的无人机．已知型号无人机的单价比型号无人机单价多2000元，若购买3台型号无人机和2台型号无人机需要21000元． （1）求型号、型号无人机的单价分别是多少元； （2）若学校预计用不高于145000元的资金购买，两种型号的无人机共40台，则最多可以购买型号无人机多少台？ 【答案】（1）A型号无人机单价为5000元，B型号无人机单价为3000元； （2）最多可以购买A型号无人机12台． 【解析】 【分析】（1）设型号无人机的单价为元，根据“购买3台型号无人机和2台型号无人机需要21000元”，列一元一次方程求解即可； （2）设购买型号无人机台，根据费用不高于145000元列一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设型号无人机的单价为元，则型号无人机的单价为元， 由题意得：， 解得：， 则， 答：A型号无人机单价为5000元，B型号无人机单价为3000元； 【小问2详解】 解：设购买型号无人机台，则购买型号无人机台， 由题意得：， 解得：， 是整数， 的最大取值为12， 答：最多可以购买A型号无人机12台． 26. 在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点在等边内部，且，，，求的长． （1）【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找，，三边之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的证明过程； （2）【理解应用】如图②，在等腰直角中，，为内一点，，可判断出，请说明理由： （3）如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值． 【答案】（1） ，证明如下： 根据旋转的性质得，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴由勾股定理得，； （2） 证明：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理等三角形综合知识，通过旋转构造特殊三角形是解题的关键． （1）根据提示易得等边三角形和直角三角形，继而得解； （2）将绕点顺时针旋转得到，连接，证明，得到相等边，然后利用勾股定理进行证明即可； （3）将绕点顺时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，连接，利用（1）的思路，得出全等的三角形和等边三角形，得出相等的角和边，最后利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，将绕点顺时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，连接， 同（1）可得为等边三角形， ∴， 同（1）可得， ∴，， ∴， ∴点在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 由勾股定理得， ∴， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $